신속도

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 역사
- 2.1. 쌍곡선 함수와의 관계
3. 로런츠 변환과 신속도
- 3.1. 로런츠 군
4. 상대론적 속도 덧셈
5. 실험 입자 물리학에서의 활용
- 5.1. 유사 신속도
참조

1. 개요

신속도는 특수 상대성 이론에서 사용되는 속도 매개변수로, 로렌츠 변환을 단순화하고 상대론적 속도 덧셈을 용이하게 한다. 1908년 헤르만 민코프스키에 의해 도입되었으며, 로런츠 변환을 쌍곡선 회전으로 해석하여 속도 대신 사용된다. 신속도는 쌍곡선 함수를 통해 속도와 연관되며, 로런츠 인자와 고유 가속도와도 밀접한 관련이 있다. 또한 신속도는 로런츠 군의 리 대수에서 좌표 역할을 하며, 상대론적 속도 덧셈에서 속도 대신 사용되어 덧셈 공식을 간단하게 나타낸다. 실험 입자 물리학에서는 빔 축 방향의 운동을 기술하기 위해 수정된 신속도 정의를 사용하며, 유사 신속도와 관련된다.

더 읽어볼만한 페이지

특수 상대성이론 - 상대론적 양자화학
상대론적 양자화학은 상대성이론을 적용하여 원자와 분자의 구조 및 성질을 연구하는 화학 분야로, 특히 무거운 원소에서 전자의 속도가 빨라 상대론적 효과가 두드러지게 나타나 원자 크기, 결합 에너지, 스펙트럼 등에 영향을 미치며, 금의 색, 수은의 낮은 녹는점 등 여러 현상을 설명하는 데 필요하다.
특수 상대성이론 - 동시성의 상대성
동시성의 상대성은 상대적으로 움직이는 기준계에서 공간적으로 분리된 두 사건의 시간 판단이 달라지는 현상으로, 아인슈타인의 특수 상대성 이론에서 절대적인 동시성이 존재하지 않음을 나타내는 핵심 개념이다.

신속도

2. 역사

1908년 헤르만 민코프스키는 로런츠 변환을 쌍곡선 회전, 즉 허수 각도를 통한 회전으로 해석할 수 있음을 보였다.^[1] 블라디미르 바리차크(1910년)^[3]와 E. T. 휘태커(1910년)^[4]는 속도 대신 사용할 수 있는 신속도 매개변수를 도입했다. 알프레드 롭(1911년)이 이 매개변수를 '신속도(rapidity)'로 명명했으며,^[5] 이후 루드비크 실버스타인(1914년), 프랭크 모리(1936년), 볼프강 린들러(2001년) 등 여러 학자들이 이 용어를 사용했다.

신속도는 그레고리 드 생뱅상의 쌍곡선 구적법에서 유래한 자연 로그와 관련이 있으며, 시공간 다이어그램에서 쌍곡선 각도로 표현된다.

2. 1. 쌍곡선 함수와의 관계

신속도는 쌍곡선 함수를 통해 속도와 관련지을 수 있다. 로런츠 인자는 신속도의 쌍곡 코사인 함수(cosh)로 표현된다.^[7] 속도 덧셈은 쌍곡 탄젠트 함수(tanh)의 덧셈 공식으로 간단하게 표현될 수 있다.^[9]^[10]

:

\tanh\varphi = \frac{\tanh\varphi_1 +\tanh\varphi_2}{1+\tanh\varphi_1\tanh\varphi_2} = \tanh(\varphi_1+\varphi_2)

상대론적 도플러 효과와 관련된 속도

w

는

k = e^w

이다.

3. 로런츠 변환과 신속도

로런츠 변환은 신속도를 사용하면 그 의미가 더 명확해진다. 상대속도 ''v''로 움직이는 두 관측자 ''O''(''t'', ''x'', ''y'', ''z'')와 ''O'''(''t''', ''x''', ''y''', ''z''')에 대한 로런츠 변환은 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix}c t' \\ x' \\ y' \\ z'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&-\beta \gamma&0&0\\

\beta \gamma&\gamma&0&0\\

0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\,t \\ x \\ y \\ z\end{bmatrix}

여기서 ''β'' =

\scriptstyle \frac{v}{c}

, ''γ'' =

\scriptstyle \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}

이다. 이 변수들을 신속도를 사용해 쓰면 ''β'' = tanh ''φ'' , ''γ'' = cosh ''φ''가 된다. 이를 로런츠 변환식에 대입하면 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix}c t' \\ x' \\ y' \\ z'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cosh \phi & -\sinh \phi &0&0\\

\sinh \phi & \cosh \phi &0&0\\

0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\,t \\ x \\ y \\ z\end{bmatrix} = {\Lambda^\mu}_\nu (\phi) \;x^\nu

위 결과로부터 위 변환은 ''c''²''t''² - ''x''²가 변하지 않는 변환임을 알 수 있다. 즉, 로런츠 변환은 ''ct''-''x'' 평면상의 일종의 쌍곡회전변환이고, 그 매개변수인 쌍곡각이 신속도이다.

신속도는 로렌츠 부스트의 선형 표현에서 다음과 같은 벡터-행렬 곱으로 나타난다.

:

\begin{pmatrix}c t' \\x'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cosh w & -\sinh w \\

\sinh w & \cosh w

\end{pmatrix}\begin{pmatrix}ct \\x\end{pmatrix}= \mathbf \Lambda (w)\begin{pmatrix}ct \\x\end{pmatrix}.

신속도의 덧셈 성질은 다음과 같다. 만약 관성계 , , 가 있다면,

:

w_{\text{AC}}= w_{\text{AB}} + w_{\text{BC}},

여기서 는 관성계 에 대한 관성계 의 신속도를 나타낸다. 이 공식의 단순함은 속도 덧셈 공식의 복잡성과 대조된다.

로런츠 인자는

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \equiv \cosh w

와 동일하다. 따라서 신속도 는 및 를 사용하는 로런츠 변환 표현식에서 쌍곡선 각도로 암묵적으로 사용된다.

고유 가속도 (가속되는 물체가 '느끼는' 가속도)는 고유 시간 (가속을 겪는 물체 자신이 측정한 시간)에 대한 신속도의 변화율이다.

3. 1. 로런츠 군

로런츠 변환은 군을 이룬다. 신속도가 0인 로런츠 변환은 항등원이 된다. 회전변환과 마찬가지로, 로런츠 변환을 두 번 하면, 두 각의 크기를 합친 만큼 로런츠 변환을 한 것과 같은 결과가 나온다. 로런츠 변환의 역변환도 로런츠 변환이며, 결합법칙 또한 쉽게 유도할 수 있다. 그러므로 로런츠 변환을 모아놓은 집합은 군이 된다. 로런츠 변환을 신속도로 대응시키는 사상은 이 군과 실수의 덧셈군 ('''R''', +)과 동형사상이 되고, 이 때문에 로런츠 변환을 모아놓은 군은 로런츠 군이라는 리 군이 된다.

각 방향의 로런츠 변환, 회전변환, 경우에 따라선 반사와 시간역전을 모두 모아놓으면 - ''c''²''t''² + ''x''² + ''y''² + ''z''²를 일정하게 해주는 변환들의 집합이 되는데, 이 또한 군을 이루게 되고 이 군을 로런츠 군이라 한다.

4. 상대론적 속도 덧셈

특수상대성이론에서는 같은 방향의 두 속도 ''u'', ''v''를 더할 때 ''u'' + ''v''처럼 간단하게 계산되지 않는다. 더해진 속도 ''w''는 다음과 같이 나타난다.

: $w = \frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}}$

이 식을 각 속도의 신속도 ''φ''_''u'' , ''φ''_''v'' , ''φ''_''w'' 로 나타내면 다음과 같다.

: $\tanh \phi_w = \frac{\tanh \phi_u + \tanh \phi_v}{1+\tanh \phi_u \tanh \phi_v}$

오른쪽 식은 쌍곡탄젠트함수의 합 공식을 활용하면 tanh (''φ''_''u'' + ''φ''_''v'') 가 되고, 다음과 같은 식이 된다.

: $\phi_w = \phi_u + \phi_v \;$

즉, 특수상대성이론에서는 속도가 아니라 신속도가 우리가 직관적으로 생각하는 것처럼 간단한 덧셈 공식을 따른다는 것을 알 수 있다.^[12]

두 속도를 더했을 때 나오는 속도는 간단히 덧셈으로 더한 값 (빨간 선)보다 더 빠르다.

5. 실험 입자 물리학에서의 활용

실험 입자 물리학에서는 빔 축 방향의 운동을 기술하기 위해 수정된 신속도 정의를 사용한다.^[6] 이 정의는 다음과 같다.

:''y'' = 1/2 ln ((''E'' + ''p_zc'')/(''E'' - ''p_zc''))

여기서 ''p''_''z''는 빔 축을 따르는 운동량 성분이다.^[6] 이는 관찰자를 실험실 좌표계에서 입자가 빔에 수직으로만 움직이는 좌표계로 이동시키는, 빔 축을 따른 부스트의 신속도이다. 이와 관련된 개념으로 유사 신속도가 있다.

빔 축에 상대적인 신속도는 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:''y'' = ln ((''E'' + ''p_zc'')/√(m²c⁴+p_T²c²))

5. 1. 유사 신속도

유사 신속도는 실험 입자 물리학에서 빔 축에 대한 입자의 각도를 나타내는 데 사용되는 좌표이다. 신속도를 측정하기 어려운 경우, 유사 신속도를 대신 사용하기도 한다.^[13]

참조

_[1] 서적 Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies https://en.wikisourc[...] Wikisource 1908
_[2] 간행물 1909
_[3] 간행물 Application of Lobachevskian Geometry in the Theory of Relativity https://en.wikisourc[...] Wikisource 1910
_[4] 서적 A History of the Theories of Aether and Electricity 1910
_[5] 서적 Optical Geometry of Motion 1911
_[6] 논문 The Review of Particle Physics http://pdg.lbl.gov/2[...] 2008
_[7] 서적 運動物体における電磁過程の基本方程式（英語） https://en.wikisourc[...] ウィキソース 1908
_[8] 간행물 1909
_[9] 간행물 相対性理論におけるロバチェフスキー幾何学の応用物理学 https://en.wikisourc[...] ウィキソース 1910
_[10] 서적 エーテルと電気の理論の歴史 (英語） 1910
_[11] 서적 光学的運動幾何学 1911
_[12] 학술지 Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession http://www.bates.edu[...]
_[13] 논문 The Review of Particle Physics http://pdg.lbl.gov/2[...] 2008

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com