로런츠 변환

3. 로런츠 변환의 유도

$x\text{'}\; =\; \backslash gamma\; (x\; -\; v\; t)\backslash ,$

$y\text{'}\; =\; y\backslash ,$

$z\text{'}\; =\; z\backslash ,$

}}

여기서

}}

는 '''로렌츠 인자'''이고, 는 진공에서 광속이다.

파라미터 를 사용하여 $\backslash frac\{v\}\{c\}\; =\; \backslash tanh\backslash theta$로 나타내면,

:$$

\begin{align}

ct'&= ct \cosh{\theta} - x \sinh{\theta} \\

x'&= x\cosh{\theta} - ct \sinh{\theta}

\end{align}



와 같이 표현할 수 있다. 허수 시간 를 사용하면 로런츠 변환을 민코프스키 공간 상에서의 허수각 의 회전으로 이해할 수 있다.

로런츠 변환은 세계 간격을 불변으로 유지하는 선형 변환으로 정의될 수 있으며, 민코프스키 시공간에서의 내적에 대한 대칭성으로 파악할 수 있다.

4. 로런츠 변환의 공식

'''상단:''' 프레임 는 프레임 의 축을 따라 속도 ''v''로 이동한다.
'''하단:''' 프레임 는 프레임 의 축을 따라 속도 −로 이동한다.^[15]||upright=1.75||right]]

프레임 의 "정지" 관측자는 좌표 로 사건을 정의한다. 다른 프레임 는 에 대해 속도 로 이동하며, 이 "이동" 프레임 의 관측자는 좌표 를 사용하여 사건을 정의한다.

각 프레임의 좌표축은 평행하고( 및 축은 평행하고, 및 축은 평행하고, 및 축은 평행하다), 서로 수직을 유지하며, 상대 운동은 일치하는 축을 따라 이루어진다. 에서 두 좌표계의 원점은 동일하며, 이다. 즉, 이 사건에서 시간과 위치가 일치한다. 이 모든 조건이 충족되면 좌표계가 '''표준 설정''' 또는 '''동기화'''되었다고 한다.

의 관측자가 사건 를 기록하면 의 관측자는 ''동일한'' 사건을 좌표로 기록한다.^[16]

:$\backslash begin\{align\}$

t' &= \gamma \left( t - \frac{v x}{c^2} \right) \\

x' &= \gamma \left( x - v t \right)\\

y' &= y \\

z' &= z

\end{align}

여기서 는 방향의 프레임 간 상대 속도이고, 는 광속이며,

$$\backslash gamma\; =\; \backslash frac\{1\}\{\; \backslash sqrt\{1\; -\; \backslash frac\{v^2\}\{c^2\}\}\}$$

(소문자 감마)는 로렌츠 인자이다.

여기서 는 주어진 부스트에 대한 변환의 ''매개변수''이며 상수이지만 연속적인 값 범위를 가질 수 있다. 여기서 사용된 설정에서 양의 상대 속도 는 축의 양의 방향을 따라 이동하며, 0 상대 속도 는 상대 운동이 없으며, 음의 상대 속도 는 축의 음의 방향을 따른 상대 운동이다. 상대 속도 의 크기는 와 같거나 이를 초과할 수 없으므로 아광속 속도 만 허용된다. 이에 해당하는 의 범위는 이다.

변환은 가 이러한 제한을 벗어나는 경우 정의되지 않는다. 광속( )에서 는 무한대이고, 광속보다 빠름 ( )에서 는 복소수인데, 각 경우 변환을 비물리적으로 만든다. 시공간 좌표는 측정 가능한 양이며 수치적으로는 실수여야 한다.

능동 변환으로, F′의 관측자는 변환의 때문에 사건의 좌표가 축의 음의 방향으로 "부스트"되는 것을 알아차린다. 이는 단순히 다른 좌표계에서 표현되는 사건이 변경되지 않는 반면, 좌표계 F′가 축의 양의 방향으로 부스트되는 것과 동일한 효과를 갖는다. 즉, 수동 변환이다.

역 관계( 를 로 표현)는 원래 일련의 방정식을 대수적으로 풀어서 찾을 수 있다. 더 효율적인 방법은 물리적 원리를 사용하는 것이다. 여기서 는 "정지" 프레임이고 는 "이동" 프레임이다. 상대성 원리에 따르면 특권적인 기준틀은 없으므로 에서 로의 변환은 에서 로의 변환과 정확히 동일한 형태를 가져야 한다. 유일한 차이점은 가 의 속도로 에 대해 이동한다는 것이다(즉, 상대 속도는 크기는 같지만 반대 방향입니다). 따라서 의 관측자가 사건 를 기록하면 의 관측자는 ''동일한'' 사건을 좌표로 기록한다.

:$\backslash begin\{align\}$

t &= \gamma \left( t' + \frac{v x'}{c^2} \right) \\

x &= \gamma \left( x' + v t' \right)\\

y &= y' \\

z &= z',

\end{align}

그리고 의 값은 변경되지 않는다. 상대 속도의 방향을 단순히 반전시키면서 크기를 보존하고, 소문자 변수와 대문자 변수를 교환하는 이 "트릭"은 모든 방향의 모든 부스트의 역 변환을 찾는 데 항상 적용된다.^[17][18]

때로는 대신 (소문자 베타)를 사용하는 것이 더 편리하다.

$$\backslash begin\{align\}$$

ct' &= \gamma \left( ct - \beta x \right) \,, \\

x' &= \gamma \left( x - \beta ct \right) \,, \\

\end{align}

이는 변환의 대칭성을 훨씬 더 명확하게 보여준다. 의 허용 범위와 의 정의에 따르면 이 된다. 와 의 사용은 문헌에서 표준이다.

5. 로런츠 변환의 물리적 의미와 응용

로런츠 변환은 특수 상대성 이론의 주요 결과인 시간 팽창, 길이 수축, 동시성의 상대성을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

• 시간 팽창: 움직이는 관찰자가 정지해 있는 시계보다 시간이 느리게 가는 현상이다. 정지한 관찰자가 측정한 시간 간격이 일 때, 로런츠 변환에 의해 움직이는 관찰자는 로 시간이 늘어난 것으로 측정한다.
• 길이 수축: 관찰자에 대해 운동하는 물체가 운동 방향으로 수축되어 보이는 현상이다. 정지 좌표계에서 길이가 인 막대가 축 방향으로 운동할 때, 움직이는 관찰자는 이 막대의 길이를 배 짧게 측정한다.
• 동시성의 상대성: 한 관성계에서 동시에 발생한 두 사건이 다른 관성계에서는 동시에 발생하지 않을 수 있다. x축을 따라 동시에 () 발생하고 만큼 떨어진 두 사건은, 움직이는 관찰자에게는 가 되어 동시성을 잃는다.

5. 1. 전자기장 변환

• 관찰자가 F 프레임에서 정지된 전하를 측정하면 정적인 전기장을 감지한다. 전하는 이 프레임에서 정지해 있으므로 전류가 없어 자기장은 관찰되지 않는다.
• F′ 프레임의 다른 관찰자는 F에 대해 속도로 움직이며 전하와 관련된다. ''이'' 관찰자는 전하가 자신의 정지 프레임에서 의 속도로 움직이기 때문에 다른 전기장을 본다. 전하의 운동은 전류에 해당하며, 따라서 F′ 프레임의 관찰자는 자기장도 관찰한다.

6. 로런츠 군

로런츠 변환은 행렬 곱셈에 대해 군을 이루며, 이를 '''로런츠 군'''이라고 한다. 주어진 4차원 벡터 $x$에 대해,

:$$

\Lambda^\mathrm T g \Lambda =g



을 만족하는 임의의 4×4 행렬 $\backslash Lambda$에 의해 주어지는 변환

:$$

x \rightarrow x'= \Lambda x



이 로런츠 변환이 된다. 여기서 $T$는 전치 행렬을, $g$는

:$g=(g\_\{\backslash mu\backslash nu\})=$

\begin{bmatrix}

1&0&0&0\\

0&-1&0&0\\

0&0&-1&0\\

0&0&0&-1

\end{bmatrix}

로 주어지는 시공간의 계량 텐서를 나타낸다. 이처럼 정의된 행렬 $\backslash Lambda$의 전체는, '''로런츠 군'''으로 알려진 군 $O(3,1)$을 구성한다.^[14]

로런츠 군은 부정 직교 군 O(3,1)으로 표현된다.^[14] 시공간 간격은 다음과 같은 형태를 갖는다(윗첨자 $T$는 전치를 나타냄).

$$X\; \backslash cdot\; X\; =\; X^\backslash mathrm\{T\}\; \backslash eta\; X\; =\; \{X\text{'}\}^\backslash mathrm\{T\}\; \backslash eta\; \{X\text{'}\}$$

그리고 이는 로런츠 변환에 대해 불변이다.

$$X\text{'}\; =\; \backslash Lambda\; X$$

여기서 $\backslash Lambda$는 매개변수에 의존할 수 있는 정사각 행렬이다.

로런츠 군의 원소는 회전과 이들의 ''부스트''이다. 시공간 변환이 포함된 경우 ''비균질 로런츠 군'' 또는 푸앵카레 군을 얻는다.

로런츠 변환 $\backslash Lambda$의 집합은 $\backslash mathcal\{L\}$로 표기하며, 행렬 곱셈과 함께 군을 형성한다. 이를 ''로런츠 군''이라고 한다.

시공간 간격의 불변성으로부터 다음이 따른다.

$$\backslash eta\; =\; \backslash Lambda^\backslash mathrm\{T\}\; \backslash eta\; \backslash Lambda$$

이 행렬 방정식은 시공간 간격의 불변성을 보장하기 위해 로런츠 변환에 대한 일반적인 조건을 포함한다. 행렬식을 구하면 다음과 같다.

$$\backslash left[\backslash det\; (\backslash Lambda)\backslash right]^2\; =\; 1\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; \backslash det(\backslash Lambda)\; =\; \backslash pm\; 1$$

로런츠 변환은 행렬식과 부등식에 따라 네 가지로 분류된다.

여기서 "+"와 "−"는 행렬식 부호를, "↑"는 ≥를, "↓"는 ≤를 나타낸다.

전체 로런츠 군은 네 개의 상호 배타적 집합의 합집합으로 나뉜다.

$$\backslash mathcal\{L\}\; =\; \backslash mathcal\{L\}\_\{+\}^\backslash uparrow\; \backslash cup\; \backslash mathcal\{L\}\_\{-\}^\backslash uparrow\; \backslash cup\; \backslash mathcal\{L\}\_\{+\}^\backslash downarrow\; \backslash cup\; \backslash mathcal\{L\}\_\{-\}^\backslash downarrow$$

$\backslash mathcal\{L\}\_+^\backslash uparrow$, $\backslash mathcal\{L\}\_+$, $\backslash mathcal\{L\}^\backslash uparrow$, $\backslash mathcal\{L\}\_0\; =\; \backslash mathcal\{L\}\_+^\backslash uparrow\; \backslash cup\; \backslash mathcal\{L\}\_\{-\}^\backslash downarrow$는 부분군을 형성하지만, 비고유 및/또는 반시적 변환을 포함하는 집합은 부분군을 형성하지 않는다.

변환 집합

$$\backslash \{\; B(\backslash boldsymbol\{\backslash zeta\}),\; R(\backslash boldsymbol\{\backslash theta\}),\; \backslash Lambda(\backslash boldsymbol\{\backslash zeta\},\; \backslash boldsymbol\{\backslash theta\})\; \backslash \}$$

은 행렬 곱셈을 연산으로 하는 군을 형성하며, 이를 "제한 로런츠 군"이라 하고, 특수 부정 직교군 SO⁺(3,1)이다.

로런츠 군의 생성자는 시공간의 중요한 대칭에 해당하며, $\backslash mathbf\{J\}$는 각운동량에 해당하는 ''회전 생성자''이고, $\backslash mathbf\{K\}$는 ''부스트 생성자''이다.^[28]

$$B(\backslash boldsymbol\{\backslash zeta\})\; =\; e^\{-\backslash boldsymbol\{\backslash zeta\}\backslash cdot\backslash mathbf\{K\}\}\; \backslash ,\; ,\; \backslash quad\; R(\backslash boldsymbol\{\backslash theta\})\; =\; e^\{\backslash boldsymbol\{\backslash theta\}\backslash cdot\backslash mathbf\{J\}\}\; \backslash ,.$$

일반적인 고유 로런츠 변환은 부스트와 회전의 곱이며, 다음과 같이 표현된다.

$$\backslash Lambda\; (\backslash boldsymbol\{\backslash zeta\},\; \backslash boldsymbol\{\backslash theta\})\; =\; e^\{-\backslash boldsymbol\{\backslash zeta\}\; \backslash cdot\backslash mathbf\{K\}\; +\; \backslash boldsymbol\{\backslash theta\}\; \backslash cdot\backslash mathbf\{J\}\; \}.$$

로런츠 생성자의 교환 관계 중 세 가지는 다음과 같다.^[29]

$$[\; J\_x,\; J\_y\; ]\; =\; J\_z\; \backslash ,,\backslash quad\; [\; K\_x,\; K\_y\; ]\; =\; -J\_z\; \backslash ,,\backslash quad\; [\; J\_x,\; K\_y\; ]\; =\; K\_z\; \backslash ,,$$

여기서 괄호 $[\text{'}\text{'}A\text{'}\text{'},\; \text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}]\; =\; \text{'}\text{'}AB\text{'}\text{'}\; -\; \text{'}\text{'}BA\text{'}\text{'}$는 ''교환자''이다.

로런츠 변환에는 모든 공간 좌표의 부호를 반전시키는 패리티 반전



과 시간 좌표만 반전시키는 시간 반전



이 포함된다.^[25] 이들은 시공간 간격을 불변으로 유지하며, 모두 대칭적이고 자기 자신의 역원이다. 또한, 각각 행렬식이 −1을 갖는다.

만약 $\backslash Lambda$가 고유 직교 로런츠 변환이면, $T\backslash Lambda$는 부적절한 반시적이며, $P\backslash Lambda$는 부적절한 직교적이며, $TP\backslash Lambda\; =\; PT\backslash Lambda$는 고유한 반시적이다.

엄밀히 말하면, 연속적인 회전만의 부분을 '''본질적 로런츠 변환'''이라고 부르기도 한다.

7. 푸앵카레 군

시공간 간격이 불변이 되기 위한 좌표 변환은 다음 형태를 가져야 한다는 것이 필요충분조건으로 증명되었다.^[31]

: $X\text{'}\; =\; \backslash Lambda\; X\; +\; C$

여기서 ''C''는 시간과 공간의 평행 이동을 포함하는 상수 열이다. ''C'' ≠ 0 이면, 이는 '''비동차 로렌츠 변환''' 또는 '''푸앵카레 변환'''이다.^[32][33] ''C'' = 0 이면, '''동차 로렌츠 변환'''이다. 이 문서에서는 푸앵카레 변환을 더 이상 다루지 않는다.

8. 텐서 표현

로런츠 변환은 텐서 지수 표기법을 사용하여 표현할 수 있다. 4차원 시공간에서 임의의 차수를 갖는 텐서나 스피너와 같이, 4-벡터로 표현할 수 없는 다른 물리량을 정의할 수 있다.^[34]

반변 벡터(contravariant vector)는 다음과 같이 변환된다.

:$$\{x\text{'}\}^\backslash nu\; =\; \{\backslash Lambda^\backslash nu\}\_\backslash mu\; x^\backslash mu,$$

여기서 아래첨자와 위첨자는 각각 벡터의 공변성과 반변성을 나타내며, 합 규약이 적용된다. Λ^grc는 로런츠 변환 행렬이다.

공변 벡터(covariant vector)는 다음과 같이 변환된다.

:$$\{A\text{'}\}\_\backslash nu\; =\; \{\backslash Lambda\_\backslash nu\}^\backslash mu\; A\_\backslash mu.$$

이는 역 로런츠 변환의 (μ, ν) 성분으로, 공변성 벡터(열 행렬)가 로렌츠 군의 표준 표현의 쌍대 표현에 따라 변환됨을 의미한다.

일반적인 텐서 양은 다음과 같은 변환 법칙을 따른다.^[36]

:$$

T^{\alpha'\beta' \cdots \zeta'}_{\theta'\iota' \cdots \kappa'} =

{\Lambda^{\alpha'}}_\mu {\Lambda^{\beta'}}_\nu \cdots {\Lambda^{\zeta'}}_\rho

{\Lambda_{\theta'}}^\sigma {\Lambda_{\iota'}}^\upsilon \cdots {\Lambda_{\kappa'}}^\zeta

T^{\mu\nu \cdots \rho}_{\sigma\upsilon \cdots \zeta},



스피너는 로렌츠 군의 다른 표현에 따라 변환된다.

참조

_[1] 서적 The Rotation and Lorentz Groups and Their Representations for Physicists https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[2] 간행물
_[3] 간행물 https://books.google[...]
_[4] 간행물
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_[6] 간행물
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_[8] 간행물
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_[13] 문서
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_[17] 서적 Special Relativity and How it Works https://books.google[...] John Wiley & Sons
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_[21] 서적 Basic Electromagnetism https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[22] 간행물
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_[25] 문서
_[26] 논문 Lorentz Transformation and the Thomas Precession https://aapt.scitati[...] 1955-11-01
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_[37] 서적
_[38] 서적
_[39] 서적 2023-11
_[40] 서적
_[41] 서적
_[42] 웹사이트 INSPIRE https://inspirehep.n[...] 2024-09-04