아벨-디니-프링스하임 판정법

1. 개요

아벨-디니-프링스하임 판정법은 양의 실수 수열의 급수 수렴 및 발산 여부를 판정하는 방법이다. 이 판정법은 발산하는 급수와 수렴하는 급수에 대한 두 가지 형태로 나뉘며, 급수의 항과 부분합 사이의 관계를 통해 수렴성을 분석한다. 발산 급수와 수렴 급수에 대한 판정법은 서로 동치 관계에 있으며, 급수의 수렴성을 판별하는 데 사용되는 여러 가지 명제들을 포함한다.

2. 정의와 증명

아벨-디니-프링스하임 정리는 발산하는 급수 또는 수렴하는 급수에 대해 주어질 수 있다. 이 두 정의는 동일하므로, 한 가지 경우만 증명하면 충분하다. 부분 합이 $S\_n\text{'}=\backslash frac1\{r\_n\}$ 과 같은 급수에 발산하는 급수에 대한 정리를 적용하면 수렴하는 급수에 대한 정리가 도출된다.

증명은 다음과 같다.

인 경우만 고려하면 충분하다. 모든 $x\backslash in(0,\backslash infty)$에 대해, 다음 부등식이 성립한다.
:$\backslash epsilon(1-x)\backslash le1-x^\backslash epsilon.$
이는,
:$f(x)=\backslash epsilon(1-x)-1+x^\backslash epsilon$
라고 하면,
:$f(1)=0$
:$f\text{'}(x)=\backslash epsilon(x^\{\backslash epsilon-1\}-1)\backslash ge0\backslash qquad(\backslash forall\; x\backslash in(0,1])$
:$f\text{'}(x)=\backslash epsilon(x^\{\backslash epsilon-1\}-1)\backslash le0\backslash qquad(\backslash forall\; x\backslash in[1,\backslash infty)).$
이기 때문이다.

따라서,
:$\backslash begin\{align\}$
\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{S_nS_{n-1}^\epsilon}
&=\sum_{n=1}^\infty\frac{S_n-S_{n-1}}{S_nS_{n-1}^\epsilon}\\
&=\sum_{n=1}^\infty\frac1{S_{n-1}^\epsilon}\left(1-\frac{S_{n-1}}{S_n}\right)\\
&\le\sum_{n=1}^\infty\frac1{\epsilon S_{n-1}^\epsilon}\left(1-\left(\frac{S_{n-1}}{S_n}\right)^\epsilon\right)\\
&=\sum_{n=1}^\infty\frac1\epsilon\left(\frac1{S_{n-1}^\epsilon}-\frac1{S_n^\epsilon}\right)\\
&=\frac1{\epsilon S_0^\epsilon}\\
&<\infty
\end{align}


Stolz-Cesaro 정리에 의해,
:$\backslash begin\{align\}$
\lim_{n\to\infty}\frac{a_0/S_0+a_1/S_1+\cdots+a_n/S_n}{\ln S_n}
&=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/S_n}{\ln(S_n/S_{n-1})}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/S_n}{\ln(1/(1-a_n/S_n))}\\
&=1
\end{align}

2.1. 발산급수

양의 실수의 수열 $(a\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash subset(0,\backslash infty)$에 대하여,
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n=\backslash infty$
이면, 다음이 성립한다 ($S\_n=a\_0+a\_1+\backslash cdots+a\_n$).
* $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_n\}\{S\_n\}=\backslash infty$
* 임의의 양의 실수 $\backslash epsilon>0$에 대하여,
* $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{S\_n\}=0$이면, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_0/S\_0+a\_1/S\_1+\backslash cdots+a\_n/S\_n\}\{\backslash ln\; S\_n\}=1$

이에 따라, 급수
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_n\}\{S\_n^t\}$
는 $t>1$일 때 수렴하며, $t\backslash le1$일 때 발산한다.

$(a\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash subset(0,\backslash infty)$가 수열이고, 급수
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n=\backslash infty$
가 무한대로 발산한다고 가정할 때, $S\_n=a\_0+a\_1+\backslash cdots+a\_n$을 $n$번째 부분합이라고 하면, 발산 급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 정리는 다음이 성립함을 의미한다.

# $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_n\}\{S\_n\}=\backslash infty$
# 모든 $\backslash epsilon>0$에 대해
# $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{S\_n\}=0$이면, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_0/S\_0+a\_1/S\_1+\backslash cdots+a\_n/S\_n\}\{\backslash ln\; S\_n\}=1$

결과적으로, 급수
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_n\}\{S\_n^t\}$
는 $t>1$일 때 수렴하고, $t\backslash le1$일 때 발산한다. $t\backslash le1$일 때, 이 급수는 $a\_n$보다 덜 빠르게 발산한다.

2.2. 수렴급수

양의 실수의 수열 $(a\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash subset(0,\backslash infty)$에 대하여,
:
라면, 다음 명제들이 성립한다 ($r\_n=a\_n+a\_\{n+1\}+a\_\{n+2\}+\backslash cdots$).
* (A’) $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_n\}\{r\_n\}=\backslash infty$
* (B’) 임의의 양의 실수 $\backslash epsilon>0$에 대하여,
* (C’) 만약 추가로 $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{r\_n\}=0$이라면, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_0/r\_0+a\_1/r\_1+\backslash cdots+a\_n/r\_n\}\{\backslash ln\; r\_n\}=-1$
특히, 급수
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_n\}\{r\_n^t\}$
는 일 때 수렴하며, $t\backslash ge1$일 때 발산한다.

$(a\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash subset(0,\backslash infty)$가 가 유한한 값으로 수렴하는 양의 실수의 수열이라고 가정하고, $r\_n=a\_n+a\_\{n+1\}+a\_\{n+2\}+\backslash cdots$를 급수의 $(n-1)$번째 나머지라고 하면, 수렴 급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 정리에 따르면 다음 조건이 성립한다.
* $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_n\}\{r\_n\}=\backslash infty$
* 모든 $\backslash epsilon>0$에 대해 이다.
* 또한 $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{r\_n\}=0$이면 $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_0/r\_0+a\_1/r\_1+\backslash cdots+a\_n/r\_n\}\{\backslash ln\; r\_n\}=-1$이다.
특히, 급수
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_n\}\{r\_n^t\}$
는 일 때 수렴하고, $t\backslash ge1$일 때 발산한다. 일 때, 이 급수는 $a\_n$보다 더 느리게 수렴한다.

2.3. 두 경우의 동치성

발산급수와 수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법은 서로 동치이다. 구체적으로, 발산급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법에 :$S\_n\text{'}=\backslash frac1\{r\_n\}$을 대입하면 수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법을 얻는다.

3. 예시

급수
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty1$
는 발산하며, 그 $n$번째 부분합은 $n$이다. 아벨-디니-프링스하임 판정법에 따라, 급수
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac1\{n^t\}$
는 $t>1$일 때 수렴하며, $t\backslash le1$일 때 발산한다.

발산급수
:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac1n$
에 대하여 다시 아벨-디니-프링스하임 판정법을 적용할 수 있다. 이 급수의 부분합 대신 이와 점근적으로 같은 수열 $\backslash ln\; n$을 사용할 수 있다. 따라서 급수
:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac1\{n\backslash ln^tn\}$
는 $t>1$일 때 수렴하며 $t\backslash le1$일 때 발산한다.

3.1. 발산 급수

양의 실수의 수열 $(a\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash subset(0,\backslash infty)$에 대하여,
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n=\backslash infty$
라면, 다음이 성립한다. ($S\_n=a\_0+a\_1+\backslash cdots+a\_n$)

* (A) $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_n\}\{S\_n\}=\backslash infty$
* (B) 임의의 양의 실수 $\backslash epsilon>0$에 대하여,
* (C) 추가로 $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_n\}\{S\_n\}=0$이면, $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{a\_0/S\_0+a\_1/S\_1+\backslash cdots+a\_n/S\_n\}\{\backslash ln\; S\_n\}=1$

이에 따라, 급수
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_n\}\{S\_n^t\}$
는 $t>1$일 때 수렴하며, $t\backslash le1$일 때 발산한다.

3.2. 점근 공식

급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^t\}$는 $t\; >\; 1$일 때 수렴하며, $t\; \backslash le\; 1$일 때 발산한다. 또한, $1/n$이 0으로 수렴하므로 다음 점근 공식이 성립한다.
:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{1+1/2+\backslash cdots+1/n\}\{\backslash ln\; n\}=1$

발산 급수 $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac1n$에 대하여 다시 아벨-디니-프링스하임 판정법을 적용할 때, 이 급수의 부분합 대신 이와 점근적으로 같은 수열 $\backslash ln\; n$을 사용할 수 있다. 따라서, 급수
:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac1\{n\backslash ln^tn\}$
는 $t>1$일 때 수렴하며 $t\backslash le1$일 때 발산한다. 또한, $1/(n\backslash ln\; n)$이 0으로 수렴하므로 다음이 성립한다.
:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{1+1/(2\backslash ln\; 2)+\backslash cdots+1/(n\backslash ln\; n)\}\{\backslash ln\backslash ln\; n\}=1$

4. 역사

노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨은 이 정리의 첫 번째 부분(발산 급수에 대해)의 약한 형태를 증명하였다. 이탈리아의 수학자 Ulisse Dini^{이탈리아어}는 이 정리의 첫 번째 부분의 완전한 형태와 두 번째 부분의 약한 형태를 증명했다. 알프레드 프린스하임은 정리의 두 번째 부분을 증명했다. 세 번째 부분은 에르네스토 체사로에 의해 증명되었다.