디리클레 판정법

1. 개요

디리클레 판정법은 수열의 수렴성을 판정하는 데 사용되는 수학적 정리이다. 단조 수열과 유계인 부분합을 갖는 수열의 곱으로 이루어진 급수의 수렴성을 보장하며, 이상 적분과 균등 수렴에도 적용된다. 교대 급수 판정법과 삼각 급수의 수렴성을 증명하는 데 활용되며, 페터 구스타프 르죈 디리클레의 이름을 따서 명명되었다.

2. 정의

디리클레 판정법은 실수 항 급수, 이상 적분, 균등 수렴 급수에 대해 다룬다.

* 실수 항 급수: 두 실수 수열이 특정 조건을 만족하면, 그 곱으로 이루어진 급수가 수렴한다.
* 이상 적분: 두 실수 값 함수가 특정 조건을 만족하면, 그 곱으로 이루어진 이상 적분이 수렴한다.
* 균등 수렴: 함수열로 이루어진 급수의 부분합이 균등 유계 함수열이고, 다른 함수열이 특정 조건을 만족하면, 그 곱으로 이루어진 급수가 균등 수렴한다.

2.1. 실수 항 급수

두 실수 수열 {a_n}, {b_n}이 다음 조건을 만족하면, 급수 ∑ a_nb_n은 수렴한다.

* 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n$의 부분합은 유계 수열이다. 즉,
* $(b\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$은 단조수열이다. 즉, $b\_0\backslash ge\; b\_1\backslash ge\; b\_2\backslash ge\backslash cdots$이거나 $b\_0\backslash le\; b\_1\backslash le\; b\_2\backslash le\backslash cdots$
* $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}b\_n=0$

2.2. 이상 적분

두 실수 값 함수 f^영어, g^영어 : [a, ∞) → ℝ가 다음 세 조건을 만족하면, 이상 적분 ∫ f^영어(x^영어)g^영어(x^영어) dx^영어는 수렴한다.

* f^영어는 임의의 [a,b]⊆[a,∞)에서 리만 적분 가능하며, 또한 이다.
* g^영어는 단조함수이다. (특히, g^영어는 임의의 [a,b]⊆[a,∞)에서 리만 적분 가능하다.)
* $\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}g(x)=0$

이상 적분의 수렴에 대한 유사한 명제는 부분 적분을 사용하여 수학적 증명으로 증명된다. 함수 f의 적분이 모든 구간에서 균등하게 유계이고, g가 음이 아닌 단조 감소 함수이면, fg의 적분은 수렴하는 이상 적분이다.

이상적분의 수렴에 대해서도 유사한 명제가 성립한다. 실수축의 비유계 구간에서 정의된 함수 f와 g가 있고, f는 임의의 적분 범위에서의 적분값의 절댓값이 어떤 상수로 균일하게(적분 범위에 관계없이) 위에서 억제되어 있고, g는 비음수이며 단조 감소할 때, fg의 이상적분은 수렴한다.

2.3. 균등 수렴

함수 항 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; f\_n$의 부분합이 균등 유계 함수열이고, 임의의 $x\backslash in\; X$에 대하여 $(g\_n(x))\_\{n=0\}^\backslash infty$이 단조수열이며, $(g\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$이 $0\backslash colon\; X\backslash to\backslash mathbb\; R$로 균등 수렴하면, 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; f\_ng\_n$는 균등 수렴한다.

3. 증명

디리클레 판정법은 실수 항 급수와 이상 적분에 대한 판정법으로, 부분합(부분 적분)과 아벨 변환(제2 적분 평균값 정리)을 이용하여 증명할 수 있다. 균등 수렴 급수에 대한 증명은 실수 항 급수의 증명과 유사하다.

부분합을 이용한 증명은 다음과 같다. $S\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; a\_k\; b\_k$, $B\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; b\_k$라고 하면, 부분합에 의해 $S\_n\; =\; a\_\{n\}\; B\_n\; +\; \backslash sum\_\{k=1\}^\{n-1\}\; B\_k\; (a\_k\; -\; a\_\{k+1\})$이다. $B\_n$의 크기가 M으로 유계이고, $a\_n\; \backslash to\; 0$ ($n\backslash to\backslash infty$)이므로, $|a\_\{n\}\; B\_n|\; \backslash leq\; |a\_\{n\}\; M|\; \backslash to\; 0$이다.

또한 각 k에 대해 $|B\_k\; (a\_k\; -\; a\_\{k+1\})|\; \backslash leq\; M|a\_k\; -\; a\_\{k+1\}|$이다. $(a\_n)$이 단조수열이므로, 감소하거나 증가한다.

* $(a\_n)$이 감소한다면, $\backslash sum\_\{k=1\}^n\; M|a\_k\; -\; a\_\{k+1\}|\; =\; M\backslash sum\_\{k=1\}^n\; (a\_k\; -\; a\_\{k+1\})\; =\; M(a\_1\; -\; a\_\{n+1\})$이며, 이는 $n\; \backslash to\; \backslash infty$일 때 $Ma\_1$에 접근하는 텔레스코핑 합이다. 따라서 $\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; M(a\_k\; -\; a\_\{k+1\})$은 수렴한다.
* $(a\_n)$이 증가한다면, $\backslash sum\_\{k=1\}^n\; M|a\_k\; -\; a\_\{k+1\}|\; =\; -M\backslash sum\_\{k=1\}^n\; (a\_k\; -\; a\_\{k+1\})\; =\; -M(a\_1\; -\; a\_\{n+1\})$이며, 이는 $n\backslash to\backslash infty$일 때 $-Ma\_1$에 접근하는 텔레스코핑 합이다. 따라서 $\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; M(a\_k\; -\; a\_\{k+1\})$은 수렴한다.

결과적으로 직접 비교 판정법에 의해 $\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; B\_k(a\_k\; -\; a\_\{k+1\})$은 수렴하고, $S\_n$도 수렴한다.

부분합을 이용한 다른 증명은 다음과 같다. $S\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; a\_k\; b\_k$, $B\_n\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; b\_k$라고 하면, 부분합에 의해 $S\_n\; =\; a\_\{n\; +\; 1\}\; B\_\{n\}\; +\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; B\_k\; (a\_k\; -\; a\_\{k+1\})$이다. $B\_n$의 절댓값이 M으로 억제되고 $a\_n\; \backslash rightarrow\; 0$이므로, $a\_\{n\; +\; 1\}B\_\{n\}\; \backslash to\; 0$ ($n\backslash to\backslash infty$)이다.

$a\_n$은 단조 감소 수열이므로 $a\_k\; -\; a\_\{k+1\}$은 임의의 k에 대해 음이 아니고, $|B\_k\; (a\_k\; -\; a\_\{k+1\})|\; \backslash leq\; M(a\_k\; -\; a\_\{k+1\})$이다. $\backslash sum\_\{k=1\}^n\; M(a\_k\; -\; a\_\{k+1\})\; =\; M(a\_1\; -\; a\_\{n+1\})$이므로, $\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; M(a\_k\; -\; a\_\{k+1\})$은 $n\backslash to\backslash infty$일 때 $Ma\_1$에 수렴한다.

따라서 비교판정법에 의해 $\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; |B\_k(a\_k\; -\; a\_\{k+1\})|$은 수렴하고, 절대수렴하는 급수 $\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; B\_k(a\_k\; -\; a\_\{k+1\})$도 수렴한다. 따라서 $S\_n$이 수렴한다.

이상 적분의 경우, 부분 적분을 사용하여 증명할 수 있다. 함수 f의 적분이 모든 구간에서 균등하게 유계이고, g가 음이 아닌 단조 감소 함수이면, fg의 적분은 수렴하는 이상 적분이다.

실수축의 비유계 구간에서 정의된 함수 f와 g가 있고, f의 임의의 적분 범위에서의 적분값의 절댓값이 어떤 상수로 균일하게 위에서 억제되어 있고, g는 비음수이며 단조 감소할 때, fg의 이상적분은 수렴한다.

3.1. 실수 항 급수의 증명

두 실수 수열 $(a\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$, $(b\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$이 다음 세 조건을 만족한다고 가정하자.

* 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n$의 부분합은 유계 수열이다. 즉, 이다.
* $(b\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$은 단조수열이다. 즉, $b\_0\backslash ge\; b\_1\backslash ge\; b\_2\backslash ge\backslash cdots$이거나 $b\_0\backslash le\; b\_1\backslash le\; b\_2\backslash le\backslash cdots$이다.
* $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}b\_n=0$이다.

이때, 디리클레 판정법에 따르면, 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_nb\_n$는 수렴한다.

$S\_n=\backslash sum\_\{k=0\}^na\_k\backslash qquad(\backslash forall\; n\backslash in\backslash mathbb\; N)$이고,
$M=1+\backslash sup\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}|S\_n|\backslash in\backslash mathbb\; R^+$라고 하자.

임의의 $\backslash epsilon>0$에 대하여, 인 자연수 $N(\backslash epsilon)\backslash in\backslash mathbb\; N$이 존재한다. 아벨 변환에 의하여, 임의의 $n\backslash ge\; N(\backslash epsilon)$ 및 임의의 $p\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\backslash begin\{align\}$
\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_kb_k\right|
&=\left|b_{n+p}(S_{n+p}-S_n)+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_k-b_{k+1})(S_k-S_n)\right|\\
&\le|b_{n+p}|(|S_{n+p}|+|S_n|)+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}|b_k-b_{k+1}|(|S_k|+|S_n|)\\
&\le2M\left(|b_{n+p}|+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}|b_k-b_{k+1}|\right)\\
&=2M\left(|b_{n+p}|+\left|\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_k-b_{k+1})\right|\right)\\
&=2M(|b_{n+p}|+|b_{n+1}-b_{n+p}|)\\
&\le2M(2|b_{n+p}|+|b_{n+1}|)\\
&<2M\cdot3\cdot\frac\epsilon{6M}\\
&=\epsilon
\end{align}


즉, 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_nb\_n$의 부분합은 코시 수열이다. 따라서 이 급수는 수렴한다.

3.2. 이상 적분의 증명

두 실수 값 함수 $f,g\backslash colon[a,\backslash infty)\backslash to\backslash mathbb\; R$가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.

* $f$는 임의의 $[a,b]\backslash subseteq[a,\backslash infty)$에서 리만 적분 가능하며, 또한
* $g$는 단조함수이다. (특히, $g$는 임의의 $[a,b]\backslash subseteq[a,\backslash infty)$에서 리만 적분 가능하다.)
* $\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}g(x)=0$

그렇다면, 이상 적분

:$\backslash int\_a^\backslash infty\; f(x)g(x)\backslash ,dx$

는 수렴한다.

:$M=1+\backslash sup\_\{x\backslash in[a,\backslash infty)\}\backslash left|\backslash int\_a^xf(t)\backslash ,dt\backslash right|\backslash in\backslash mathbb\; R^+$

이라고 하자. 임의의 $\backslash epsilon>0$에 대하여,

:

인 $N(\backslash epsilon)>a$가 존재한다. 제2 적분 평균값 정리에 따라, 임의의 $y>x>N(\backslash epsilon)$에 대하여, 어떤 $c(x,y)\backslash in[x,y]$가 존재하며, 다음이 성립한다.

:$\backslash begin\{align\}$
\left|\int_x^yf(t)g(t)\,dt\right|
&=\left|g(x)\int_x^{c(x,y)}f(t)\,dt+g(y)\int_{c(x,y)}^yf(t)\,dt\right|\\
&\le\frac\epsilon{4M}\left(\left|\int_a^{c(x,y)}f(t)\,dt-\int_a^xf(t)\,dt\right|+\left|\int_a^yf(t)\,dt-\int_a^{c(x,y)}f(t)\,dt\right|\right)\\
&\le\frac\epsilon{4M}(2M+2M)\\
&=\epsilon
\end{align}


따라서, 이상 적분

:$\backslash int\_a^\backslash infty\; f(x)g(x)\backslash ,dx$

은 수렴한다.

이상 적분의 수렴에 대한 유사한 명제는 부분 적분을 사용하여 수학적 증명으로 증명된다. 함수 f의 적분이 모든 구간에서 균등하게 유계이고, g가 음이 아닌 단조 감소 함수이면, fg의 적분은 수렴하는 이상 적분이다.

이상적분의 수렴에 대해서도 유사한 명제가 성립한다. 실수축의 비유계 구간에서 정의된 함수 f와 g가 있고, f는 임의의 적분 범위에서의 적분값의 절댓값이 어떤 상수로 균일하게 (적분 범위에 관계없이) 위에서 억제되어 있고, g는 비음수이며 단조 감소할 때, fg의 이상적분은 수렴한다.

4. 예

교대급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우이다. 0으로 단조롭게 수렴하는 수열 a^영어에 대하여, 교대급수 ∑(-1)ⁿa_n은 수렴한다. 0으로 수렴하는 단조수열 $(a\_n)\_\{n=1\}^\backslash infty$ 및 $x\backslash in\backslash mathbb\; R$에 대하여, 다음이 성립한다.

* 급수 $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n\backslash sin\; nx$는 수렴한다.
* 만약 $x\backslash not\backslash in2\backslash pi\backslash mathbb\; Z$라면, 급수 $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n\backslash cos\; nx$는 수렴한다.

4.1. 교대급수

교대급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우이다. 0으로 단조롭게 수렴하는 수열 a^영어에 대하여, 교대급수 ∑(-1)ⁿa_n은 수렴한다. 이는 급수
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty(-1)^n$
의 부분합
:$\backslash sum\_\{i=0\}^n(-1)^i=\backslash begin\{cases\}$
1&n\in2\mathbb Z\\
0&n\in2\mathbb Z+1
\end{cases}
\qquad(n\in\mathbb N)

이 유계 수열이기 때문이다.

4.2. 삼각 급수

0으로 수렴하는 단조수열 $(a\_n)\_\{n=1\}^\backslash infty$ 및 $x\backslash in\backslash mathbb\; R$에 대하여, 다음이 성립한다.

* 급수 $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n\backslash sin\; nx$는 수렴한다.
* 만약 $x\backslash not\backslash in2\backslash pi\backslash mathbb\; Z$라면, 급수 $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n\backslash cos\; nx$는 수렴한다.

이는 다음 두 식이 성립하기 때문이다.

:$\backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash sin\; ix=\backslash begin\{cases\}$
0&x\in\pi\mathbb Z\\
(\cos(x/2)-\cos((n+1/2)x))/(2\sin(x/2))&x\not\in\pi\mathbb Z
\end{cases}
\qquad(n\in\mathbb Z^+)

는 유계 수열이다.

:$\backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash cos\; ix=\backslash begin\{cases\}$
n&x\in2\pi\mathbb Z\\
(\sin((n+1/2)x)-\sin(x/2))/(2\sin(x/2))&x\not\in2\pi\mathbb Z
\end{cases}
\qquad(n\in\mathbb Z^+)

는 $x\backslash not\backslash in2\backslash pi\backslash mathbb\; Z$일 때 유계 수열이다.

또한, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

*
* $x\backslash in\backslash pi\backslash mathbb\; Z$이거나,

마찬가지로, 다음 두 조건은 동치이다.

*
*

5. 역사

페터 구스타프 르죈 디리클레의 사후인 1862년 《순수 및 응용수학 저널》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées^프랑스어)에 게재되었다.

6. 응용

* Dirichlet's test^영어의 특별한 경우로, $b\_n\; =\; (-1)^n\; \backslash Rightarrow\backslash left|\backslash sum\_\{n=1\}^N\; b\_n\backslash right|\; \backslash leq\; 1$이면 교대급수 판정법이 성립한다.
* $\backslash \{a\_n\backslash \}$이 감소하여 0에 수렴하는 실수열이면, $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n\; \backslash sin\; n$은 항상 수렴한다.
* 아벨 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우로 볼 수 있다.