닐스 헨리크 아벨

3. 주요 업적

아벨은 짧은 생애에도 불구하고 19세기 수학 발전에 지대한 공헌을 한 노르웨이의 수학자이다. 그의 주요 업적은 여러 분야에 걸쳐 있으며, 후대 수학에 깊은 영향을 미쳤다.

가장 널리 알려진 업적 중 하나는 5차 방정식 이상의 대수 방정식에 대한 일반적인 근의 공식이 사칙연산과 제곱근 연산($\backslash sqrt[n]\{~\}$)만으로는 존재하지 않음을 최초로 엄밀하게 증명한 것이다. 이 증명은 아벨-루피니 정리로 알려져 있으며, 오랫동안 수학계의 난제였던 문제를 해결한 중요한 성과이다.^[6] 이 과정에서 아벨은 군론의 기초 개념을 발전시키는 데 기여했다.

또한 아벨은 타원함수와 아벨 함수 연구에 큰 족적을 남겼다. 가우스의 저작에 있는 렘니스케이트의 등분 문제로부터 힌트를 얻어 타원 적분의 역함수 연구를 독자적으로 발전시켰으며, 타원함수의 중요한 성질들을 규명했다. 특히 파리 과학 아카데미에 제출했던 초월 함수에 관한 논문은 후대에 '청동보다 영속할 기념비'로 평가받으며 그의 천재성을 보여준다.^[12] 이 연구는 야코비 등 동시대 및 후대 수학자들에게 큰 영감을 주었다.

무한급수 분야에서도 중요한 업적을 남겼다. 급수의 수렴에 관한 아벨의 정리는 해석학의 기본 정리 중 하나이며, 무한급수의 균등수렴 개념에 처음으로 주목하여 해석학의 엄밀성을 높이는 데 기여했다.^[13][14] 또한, 16세에 이항 정리를 모든 수에 대해 일반화하여 증명하기도 했다.^[13][14]

그의 이름은 가환군을 뜻하는 '아벨 군'을 비롯하여 아벨 방정식, 아벨 적분, 아벨 다양체 등 수많은 수학 용어에 남아 그의 업적을 기리고 있다. 비록 생전에는 가우스나 코시 등으로부터 정당한 평가를 받지 못하는 어려움을 겪기도 했지만,^[12] 사후 그의 업적은 높이 평가받아 1830년 프랑스 학사원 수학 부문 대상을 수상했으며, 그의 이름을 딴 아벨상이 제정되어 오늘날 수학 분야 최고 권위의 상 중 하나로 인정받고 있다.

3. 1. 5차 이상 방정식의 대수적 해법 불가능성 증명

3. 2. 타원함수론 연구

3. 3. 기타 업적

4. 사후 평가 및 영향

가우스나 코시와 같은 당대의 저명한 수학자들에게 정당한 평가를 받지 못했던 아벨의 업적은 사후에야 제대로 인정받기 시작했다. 특히 그가 파리 과학 아카데미에 제출했던 「초월 함수 중 상당히 확장된 것의 일반적인 성질에 관한 논문」은 후대에 '청동보다도 영속할 기념비'로 불리며, 후대 수학자들에게 500년 치 연구 과제를 남겼다고 평가받는 중요한 논문이었다.

아벨은 사후인 1830년 프랑스 학사원 수학 부문 대상을 수상했다. 그의 연구는 이후 분석학의 발전에 크게 기여했으며, 새로운 수학 분야를 개척하는 데 중요한 역할을 했다. 5차 방정식 이상의 대수방정식에 일반적인 근의 공식이 존재하지 않음을 증명한 아벨-루피니 정리나 타원함수에 대한 연구는 그의 대표적인 업적으로 꼽힌다. 특히 타원함수 연구의 경쟁자였던 야코비는 아벨의 논문을 보고 "내가 감히 비평할 수도 없는 위대한 논문"이라며 극찬한 것으로 알려져 있다.

그의 이름은 가환군을 뜻하는 '아벨 군'을 비롯하여 무한급수의 수렴에 관한 아벨의 정리, 아벨 방정식, 아벨 적분, 아벨 함수, 아벨 다양체, 원 아벨 기하학 등 수많은 수학 용어에 남아 있다. 그의 이름에서 유래한 형용사 '아벨(abelian)'은 수학 저술에서 매우 흔하게 사용되어, 관례적으로 소문자 'a'로 시작하여 표기하기도 한다.

아벨은 5차 이상 방정식의 비가해성을 군론과 함께 증명한 갈루아와 더불어 젊은 나이에 비극적으로 생을 마감한 19세기의 천재 수학자로 널리 알려져 있으며, 많은 수학 애호가들에게 깊은 인상을 남겼다.

아벨을 기리기 위한 다양한 사업도 진행되었다. 그의 초상은 오랫동안 노르웨이 500크로네 지폐에 사용되었으며, 그의 서거 100주년(1929년)과 탄생 200주년(2002년)을 기념하는 우표가 발행되기도 했다. 오슬로에는 그의 동상이 세워졌고, 달의 분화구 중 하나에도 아벨이라는 이름이 붙여졌다. 또한 그의 이름을 딴 아벨상이 제정되기도 했다.

독일의 수학자 펠릭스 클라인은 아벨을 모차르트에 비유하며 그의 천재성을 높이 평가하면서도, 오슬로에 세워진 그의 동상에 대해서는 다음과 같이 비판적인 시각을 드러내기도 했다.

그러나 나는 다른 분야에서 나온 인물이지만 여전히 관련이 있는 것처럼 보이는, 수학 역사에서 거의 등장하지 않았던 이상적인 연구자 유형을 버리고 싶지 않습니다. 따라서 아벨은 많은 수학자들과 마찬가지로 음악적 재능이 전혀 없었지만, 그의 생산성과 인격을 모차르트와 비교해도 터무니없게 들리지 않을 것입니다. 따라서 비엔나의 모차르트 기념비처럼 신성한 영감을 받은 이 수학자에게 기념비를 세울 수 있습니다. 단순하고 소박하게 그는 서서 듣고, 우아한 천사들이 춤을 추며 다른 세상에서 그에게 영감을 가져다줍니다.

대신, 나는 실제로 크리스티아니아에서 아벨에게 세워진 매우 다른 유형의 기념비를 언급해야 합니다. 그의 본성을 잘 아는 사람이라면 매우 실망할 것입니다. 우뚝 솟은 가파른 화강암 블록 위에 바이런적인 유형의 젊은 운동선수가 두 개의 회색 희생자를 밟고 하늘을 향해 나아갑니다. 필요하다면 영웅을 인간 정신의 상징으로 볼 수 있지만, 두 괴물의 더 깊은 의미를 헛되이 숙고합니다. 그들은 정복된 5차 방정식이나 타원 함수입니까? 아니면 그의 일상생활의 슬픔과 걱정입니까? 기념비의 받침대에는 거대한 글자로 ABEL이라는 비문이 새겨져 있습니다.^[16]

4. 1. 아벨상

참조

_[1] 논문 Niels Henrik Abel http://snl.no/Niels_[...] 2018-04-18
_[2] 웹사이트 Niels Henrik Abel https://www.matemati[...] 2018-05-05
_[3] 웹사이트 Charles Hermite Quotes - 2 Science Quotes - Dictionary of Science Quotations and Scientist Quotes http://todayinsci.co[...] 2015-09-12
_[4] 웹사이트 Welcome to nginx! https://archive.toda[...] 2013-08-08
_[5] 웹사이트 Niels Abel https://web.archive.[...] 2015-09-12
_[6] 웹사이트 Niels Henrik Abel – utdypning (NBL-artikkel) http://www.snl.no/.n[...]
_[7] 서적 Sogneprest Søren Georg Abel – Matematikerens far Ætt og heim
_[8] 서적 Niels Henrik Abel – fødestaden Ætt og heim
_[9] 웹사이트 Abel biography http://www-groups.dc[...] 2011-07-12
_[10] 서적 Math & Mathematics: The History of Math Discoveries Around the World (Volume 1: A-H) U•X•L
_[11] 웹사이트 Mémoire sur les équations algébriques où on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré https://web.archive.[...] 2015-07-28
_[12] 웹사이트 Abel, Niels Henrik (1802-1829) -- from Eric Weisstein's World of Scientific Biography http://scienceworld.[...] 2015-09-12
_[13] 웹사이트 Abel, Niels Henrik http://scienceworld.[...] Wolfram Research 2017-01-27
_[14] 서적 Encyclopedia of the Enlightenment https://books.google[...] Routledge 2017-01-27
_[15] 서적 Calculus Gems https://archive.org/[...] McGraw Hill
_[16] 서적 Development of mathematics in the 19th century Math Sci Press