일반항 판정법

1. 개요

일반항 판정법은 급수의 수렴 여부를 판정하는 방법으로, 급수의 일반항의 극한이 0이 아니면 그 급수는 발산한다는 것을 보여준다. 그러나 일반항의 극한이 0이라고 해서 급수가 반드시 수렴하는 것은 아니며, 이 판정법은 수렴성을 증명할 수 없다. 일반항 판정법은 코시 수렴 판정법의 특별한 경우이며, 실수로 이루어진 무한 급수뿐만 아니라 다른 노름 벡터 공간이나 아벨 군에서도 적용될 수 있다.

2. 일반항 판정법의 내용

일반항 판정법은 급수가 수렴하는지 여부를 판정할 수 있는 수렴 판정법 중 하나이지만, 이 판정법 자체만으로는 급수의 수렴성을 보장할 수 없다. 특히, 이 판정법의 역은 성립하지 않는다. 즉, 다음 명제는 참이 아니다.

만약 $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; 0$이면, $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n$은 수렴한다.

$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; 0$인 경우, 급수 $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n$은 수렴할 수도 있고 발산할 수도 있다. 따라서 이 경우에는 일반항 판정법으로 결론을 내릴 수 없다.

조화 급수는 $n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty$일 때 각 항이 0으로 수렴하지만, 급수 자체는 발산하는 대표적인 예이다.

일반적으로 p-급수라고 불리는 다음 급수를 통해 일반항 판정법의 결과를 확인할 수 있다.
:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^p\},$

* p ≤ 0이면, 일반항 판정법에 의해 급수는 발산한다.
* 0 < p ≤ 1이면, 일반항 판정법으로는 결론을 내릴 수 없지만, 적분 판정법에 의해 급수는 발산한다.
* 1 < p이면, 일반항 판정법으로는 결론을 내릴 수 없지만, 적분 판정법에 의해 급수는 수렴한다.

2.1. 증명

일반항 판정법은 대우 명제의 형태로 증명할 수 있다. 즉, "$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n$이 수렴하면, $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; 0$이다."를 증명하는 것이다.

$s\_n$이 급수의 부분합일 때, 급수가 수렴한다는 가정은 어떤 수 $L$에 대해
:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; s\_n\; =\; L$
이 성립함을 의미한다.

따라서,
:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}(s\_n-s\_\{n-1\})\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; s\_n\; -\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; s\_\{n-1\}\; =\; L-L\; =\; 0.$
이다.

수열의 수렴은 코시 수렴 판정법을 통과함을 의미한다. 즉, 모든 $\backslash varepsilon>0$에 대해 다음을 만족하는 수 $N$이 존재한다.

:

이는 모든 $n$ > $N$ 및 $p$ ≥ 1에 대해 성립한다. $p$ = 1로 설정하면
:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; =\; 0.$임을 얻는다.

2.1.1. 극한 조작을 이용한 증명

급수가 (S로) 수렴한다고 가정하자. 급수의 처음 n항의 합을 S_n이라 할 때,

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}(S\_n\; -\; S\_\{n-1\})\; =\; S\; -\; S\; =\; 0\backslash \; \backslash blacksquare$

또, 일반항 판정법은 코시 수렴 판정법의 특별한 경우이며, 많은 곳에서 코시 판정법에 의해 증명된다. 모든 ε > 0에 대해, 어떤 N이 존재하여 모든 m ≥ n ≥ N에 대해

:$|a\_n\; +\; a\_\{n+1\}\; +\; a\_\{n+2\}\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_m|\; \backslash le\; \backslash varepsilon$

여기서 특별히 1=m=n인 경우 a_n ≤ ε이다. 따라서 $\backslash textstyle\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; =\; 0\backslash \; \backslash blacksquare$

이 판정법은 일반적으로 대우 명제의 형태로 증명된다.

만약 $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n$이 수렴한다면, $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; 0$이다.

만약 s_n이 급수의 부분합이라면, 급수가 수렴한다는 가정은

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; s\_n\; =\; L$

가 어떤 수 L에 대해 성립한다는 것을 의미한다.

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}(s\_n-s\_\{n-1\})\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; s\_n\; -\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; s\_\{n-1\}\; =\; L-L\; =\; 0.$

2.1.2. 코시 수렴 판정법을 이용한 증명

급수가 ($S$로) 수렴한다고 가정하고, 급수의 처음 $n$항의 합을 $S\_n$이라 할 때,
:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}(S\_n\; -\; S\_\{n-1\})\; =\; S\; -\; S\; =\; 0\backslash \; \backslash blacksquare$
이다.

일반항 판정법은 코시 수렴 판정법의 특별한 경우이며, 많은 곳에서 코시 판정법에 의해 증명된다. 모든 $\backslash varepsilon\; >\; 0$에 대해, $N$이 존재하여 모든 $m$ ≥ $n$ ≥ $N$에 대해
:$|a\_n\; +\; a\_\{n+1\}\; +\; a\_\{n+2\}\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_m|\; \backslash le\; \backslash varepsilon$
이다. 여기서 특별히 $1=m=n$인 경우 $|a\_n|\; \le \; \epsilon$이다. 따라서 $\backslash textstyle\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; =\; 0\backslash \; \backslash blacksquare$이다.

이 판정법은 일반적으로 대우 명제의 형태로 증명된다.

수열의 수렴은 코시 수렴 판정법을 통과함을 의미한다. 즉, 모든 $\backslash varepsilon>0$에 대해 다음을 만족하는 수 $N$이 존재한다.
:
는 모든 $n$ > $N$ 및 $p$ ≥ 1에 대해 성립한다. $p$ = 1로 설정하면
:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; =\; 0.$임을 얻는다.

3. 일반항 판정법의 적용 범위

일반항 판정법의 가장 단순한 형태는 실수로 이루어진 무한 급수에 적용된다. 위에 제시된 두 증명은 코시 조건이나 극한의 선형성을 이용하여, 다른 모든 노름 벡터 공간 또는 가법적으로 표기된 아벨 군에서도 작동한다.

4. 예시

일반항 판정법에 따르면, 0이 아닌 값으로 수렴하는 일반항을 가지는 급수는 발산한다. 예를 들어, $\backslash textstyle\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; 1$은 상수열 1이 1(≠ 0)로 수렴하므로 발산한다. 일반항이 극한을 갖지 않아도 급수는 발산하는데, $\backslash textstyle\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; (-1)^n$은 \((-1)^n\)의 극한이 존재하지 않으므로 발산한다.

조화 급수는 항이 0에 접근하지만 발산하는 급수의 대표적인 예이다.

4.1. 역이 성립하지 않는 예시

$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; =\; 0$은 급수 $\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; a\_n$의 수렴을 보장하지 않는다. 즉, 일반항 판정법의 역은 성립하지 않는다. 다음 급수들은 항이 0으로 수렴하지만, 각기 다른 수렴성을 보인다.

* $\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}$은 수렴한다.
* $\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n\}$(조화급수)은 무한대로 발산한다.
* $\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash left(\backslash sin\; \backslash sqrt\{n\; +\; 1\}\; -\; \backslash sin\; \backslash sqrt\{n\}\backslash right)$은 부분합이 유계인 채로 발산한다.

일반적인 수렴 판정법과는 달리, 일반항 판정법은 그 자체만으로는 급수가 수렴함을 증명할 수 없다. 특히, 판정법의 역은 성립하지 않는다. 대신 다음과 같이 말할 수 있다.

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; 0$이면, $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n$은 수렴할 수도 있고 수렴하지 않을 수도 있다. 다시 말해, $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; 0$이면, 판정법은 결론을 내릴 수 없다.

조화 급수는 $n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty$일 때 그 항이 0에 접근하는 발산 급수의 전형적인 예이다. 더 일반적인 부류의 p-급수,

:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^p\},$

는 판정법의 가능한 결과를 보여준다.

* 만약 p ≤ 0이면, 일반항 판정법은 급수가 발산한다고 판정한다.
* 만약 0 < p ≤ 1이면, 일반항 판정법은 결론을 내릴 수 없지만, 적분 판정법에 의해 급수는 발산한다.
* 만약 1 < p이면, 일반항 판정법은 결론을 내릴 수 없지만, 적분 판정법에 의해 급수는 수렴한다.

5. 다른 판정법과의 관계

일반항 판정법은 다른 수렴 판정법과는 달리, 급수가 수렴하는지 여부를 자체적으로 증명할 수 없다. 판정법의 역은 성립하지 않으며, 다음이 성립한다.

만약 $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; 0$이면, $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n$은 수렴할 수도 있고 수렴하지 않을 수도 있다. 다시 말해, $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; 0$이면, 판정법은 결론을 내릴 수 없다.

조화 급수는 $n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty$일 때 그 항이 0으로 접근하지만 발산하는 급수의 대표적인 예이다.

5.1. p-급수

조화 급수의 더 일반적인 부류인 p-급수는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^p\},$

이 급수는 일반항 판정법의 가능한 결과를 보여준다.

* p ≤ 0이면, 일반항 판정법은 급수가 발산한다고 판정한다.
* 0 < p ≤ 1이면, 일반항 판정법은 결론을 내릴 수 없지만, 적분 판정법에 의해 급수는 발산한다.
* 1 < p이면, 일반항 판정법은 결론을 내릴 수 없지만, 적분 판정법에 의해 급수는 수렴한다.

6. 유사한 결과

이상적분, 무한곱, 균등수렴에 대해 급수의 일반항 판정법과 비슷한 결론이 있다.

* 단조함수 f의 이상적분 $\backslash textstyle\; \backslash int\_a^\{\backslash infty\}\; f(x)\; \backslash ,dx$가 수렴한다면, f(x)는 0으로 수렴한다(x → ∞). f가 단조함수가 아닌 경우는 일반적으로 틀린 결론이다.
* 0이 아닌 수로 수렴하는 무한곱 $\backslash textstyle\; \backslash prod\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; a\_n$의 항 $a\_n$은 1로 수렴한다.
* 균등수렴하는 함수열 $\backslash textstyle\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; f\_n(x)$의 항 $f\_n(x)$는 영함수로 균등수렴한다(n → ∞).