일반항 판정법

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1. 개요
2. 일반항 판정법의 내용
- 2.1. 증명
  - 2.1.1. 극한 조작을 이용한 증명
  - 2.1.2. 코시 수렴 판정법을 이용한 증명
3. 일반항 판정법의 적용 범위
4. 예시
- 4.1. 역이 성립하지 않는 예시
5. 다른 판정법과의 관계
- 5.1. p-급수
6. 유사한 결과
참조

1. 개요

일반항 판정법은 급수의 수렴 여부를 판정하는 방법으로, 급수의 일반항의 극한이 0이 아니면 그 급수는 발산한다는 것을 보여준다. 그러나 일반항의 극한이 0이라고 해서 급수가 반드시 수렴하는 것은 아니며, 이 판정법은 수렴성을 증명할 수 없다. 일반항 판정법은 코시 수렴 판정법의 특별한 경우이며, 실수로 이루어진 무한 급수뿐만 아니라 다른 노름 벡터 공간이나 아벨 군에서도 적용될 수 있다.

2. 일반항 판정법의 내용

일반항 판정법은 급수가 수렴하는지 여부를 판정할 수 있는 수렴 판정법 중 하나이지만, 이 판정법 자체만으로는 급수의 수렴성을 보장할 수 없다. 특히, 이 판정법의 역은 성립하지 않는다. 즉, 다음 명제는 참이 아니다.

만약 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ 이면, $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 은 수렴한다.

\lim_{n \to \infty} a_n = 0

인 경우, 급수

\sum_{n=1}^\infty a_n

은 수렴할 수도 있고 발산할 수도 있다. 따라서 이 경우에는 일반항 판정법으로 결론을 내릴 수 없다.

조화 급수는

n \rightarrow \infty

일 때 각 항이 0으로 수렴하지만, 급수 자체는 발산하는 대표적인 예이다.^[3]

일반적으로 ''p''-급수라고 불리는 다음 급수를 통해 일반항 판정법의 결과를 확인할 수 있다.

:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},

''p'' ≤ 0이면, 일반항 판정법에 의해 급수는 발산한다.
0 < ''p'' ≤ 1이면, 일반항 판정법으로는 결론을 내릴 수 없지만, 적분 판정법에 의해 급수는 발산한다.
1 < ''p''이면, 일반항 판정법으로는 결론을 내릴 수 없지만, 적분 판정법에 의해 급수는 수렴한다.

2. 1. 증명

일반항 판정법은 대우 명제의 형태로 증명할 수 있다. 즉, "

\sum_{n=1}^\infty a_n

이 수렴하면,

\lim_{n \to \infty} a_n = 0

이다."를 증명하는 것이다.

s_n

이 급수의 부분합일 때, 급수가 수렴한다는 가정은 어떤 수

L

에 대해

:

\lim_{n\to\infty} s_n = L

이 성립함을 의미한다.^[4]

따라서,

:

\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1}) = \lim_{n\to\infty} s_n - \lim_{n\to\infty} s_{n-1} = L-L = 0.

이다.

수열의 수렴은 코시 수렴 판정법을 통과함을 의미한다. 즉, 모든

\varepsilon>0

에 대해 다음을 만족하는 수

N

이 존재한다.

:

\left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}\right|<\varepsilon

이는 모든

n

>

N

및

p

≥ 1에 대해 성립한다.

p

= 1로 설정하면^[5]

:

\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

임을 얻는다.

2. 1. 1. 극한 조작을 이용한 증명

급수가 (S로) 수렴한다고 가정하자. 급수의 처음 n항의 합을 S_n이라 할 때,

:

\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(S_n - S_{n-1}) = S - S = 0\ \blacksquare

또, 일반항 판정법은 코시 수렴 판정법의 특별한 경우이며, 많은 곳에서 코시 판정법에 의해 증명된다. 모든 ε > 0에 대해, 어떤 N이 존재하여 모든 m ≥ n ≥ N에 대해

:

|a_n + a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_m| \le \varepsilon

여기서 특별히 1=m=n인 경우 a_n ≤ ε이다. 따라서

\textstyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0\ \blacksquare

이 판정법은 일반적으로 대우 명제의 형태로 증명된다.

만약 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 이 수렴한다면, $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ 이다.

만약 s_n이 급수의 부분합이라면, 급수가 수렴한다는 가정은

:

\lim_{n\to\infty} s_n = L

가 어떤 수 L에 대해 성립한다는 것을 의미한다.^[4]

:

\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1}) = \lim_{n\to\infty} s_n - \lim_{n\to\infty} s_{n-1} = L-L = 0.

2. 1. 2. 코시 수렴 판정법을 이용한 증명

급수가 (

S

로) 수렴한다고 가정하고, 급수의 처음

n

항의 합을

S_n

이라 할 때,

:

\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(S_n - S_{n-1}) = S - S = 0\ \blacksquare

이다.

일반항 판정법은 코시 수렴 판정법의 특별한 경우이며, 많은 곳에서 코시 판정법에 의해 증명된다. 모든

\varepsilon > 0

에 대해,

N

이 존재하여 모든

m

≥

n

≥

N

에 대해

:

|a_n + a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_m| \le \varepsilon

이다. 여기서 특별히

1=m=n

인 경우

|a_n| ≤ ε

이다. 따라서

\textstyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0\ \blacksquare

이다.

이 판정법은 일반적으로 대우 명제의 형태로 증명된다.

수열의 수렴은 코시 수렴 판정법을 통과함을 의미한다. 즉, 모든

\varepsilon>0

에 대해 다음을 만족하는 수

N

이 존재한다.

:

\left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}\right|<\varepsilon

는 모든

n

>

N

및

p

≥ 1에 대해 성립한다.

p

= 1로 설정하면^[5]

:

\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

임을 얻는다.

3. 일반항 판정법의 적용 범위

일반항 판정법의 가장 단순한 형태는 실수로 이루어진 무한 급수에 적용된다. 위에 제시된 두 증명은 코시 조건이나 극한의 선형성을 이용하여, 다른 모든 노름 벡터 공간^[6] 또는 가법적으로 표기된 아벨 군에서도 작동한다.

4. 예시

일반항 판정법에 따르면, 0이 아닌 값으로 수렴하는 일반항을 가지는 급수는 발산한다. 예를 들어, $\textstyle \sum_{n=0}^{\infty} 1$ 은 상수열 1이 1(≠ 0)로 수렴하므로 발산한다. 일반항이 극한을 갖지 않아도 급수는 발산하는데, $\textstyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$ 은 $(-1)^n$의 극한이 존재하지 않으므로 발산한다.

조화 급수는 항이 0에 접근하지만 발산하는 급수의 대표적인 예이다.^[3]

4. 1. 역이 성립하지 않는 예시

\lim_{n\to\infty} a_n = 0

은 급수

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

의 수렴을 보장하지 않는다. 즉, 일반항 판정법의 역은 성립하지 않는다. 다음 급수들은 항이 0으로 수렴하지만, 각기 다른 수렴성을 보인다.

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 은 수렴한다.
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ (조화급수)은 무한대로 발산한다.
$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\sin \sqrt{n + 1} - \sin \sqrt{n}\right)$ 은 부분합이 유계인 채로 발산한다.

일반적인 수렴 판정법과는 달리, 일반항 판정법은 그 자체만으로는 급수가 수렴함을 증명할 수 없다. 특히, 판정법의 역은 성립하지 않는다. 대신 다음과 같이 말할 수 있다.

:

\lim_{n \to \infty} a_n = 0

이면,

\sum_{n=1}^\infty a_n

은 수렴할 수도 있고 수렴하지 않을 수도 있다. 다시 말해,

\lim_{n \to \infty} a_n = 0

이면, 판정법은 결론을 내릴 수 없다.

조화 급수는

n \rightarrow \infty

일 때 그 항이 0에 접근하는 발산 급수의 전형적인 예이다.^[3] 더 일반적인 부류의 ''p''-급수,

:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},

는 판정법의 가능한 결과를 보여준다.

만약 ''p'' ≤ 0이면, 일반항 판정법은 급수가 발산한다고 판정한다.
만약 0 < ''p'' ≤ 1이면, 일반항 판정법은 결론을 내릴 수 없지만, 적분 판정법에 의해 급수는 발산한다.
만약 1 < ''p''이면, 일반항 판정법은 결론을 내릴 수 없지만, 적분 판정법에 의해 급수는 수렴한다.

5. 다른 판정법과의 관계

일반항 판정법은 다른 수렴 판정법과는 달리, 급수가 수렴하는지 여부를 자체적으로 증명할 수 없다. 판정법의 역은 성립하지 않으며, 다음이 성립한다.

만약 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ 이면, $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 은 수렴할 수도 있고 수렴하지 않을 수도 있다. 다시 말해, $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ 이면, 판정법은 결론을 내릴 수 없다.

조화 급수는

n \rightarrow \infty

일 때 그 항이 0으로 접근하지만 발산하는 급수의 대표적인 예이다.^[3]

5. 1. p-급수

조화 급수의 더 일반적인 부류인 ''p''-급수는 다음과 같이 정의된다.^[3]

:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},

이 급수는 일반항 판정법의 가능한 결과를 보여준다.

''p'' ≤ 0이면, 일반항 판정법은 급수가 발산한다고 판정한다.
0 < ''p'' ≤ 1이면, 일반항 판정법은 결론을 내릴 수 없지만, 적분 판정법에 의해 급수는 발산한다.
1 < ''p''이면, 일반항 판정법은 결론을 내릴 수 없지만, 적분 판정법에 의해 급수는 수렴한다.

6. 유사한 결과

이상적분, 무한곱, 균등수렴에 대해 급수의 일반항 판정법과 비슷한 결론이 있다.

단조함수 ''f''의 이상적분 $\textstyle \int_a^{\infty} f(x) \,dx$ 가 수렴한다면, ''f''(''x'')는 0으로 수렴한다(''x'' → ∞). ''f''가 단조함수가 아닌 경우는 일반적으로 틀린 결론이다.
0이 아닌 수로 수렴하는 무한곱 $\textstyle \prod_{n=1}^{\infty} a_n$ 의 항 $a_n$ 은 1로 수렴한다.
균등수렴하는 함수열 $\textstyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ 의 항 $f_n(x)$ 는 영함수로 균등수렴한다(''n'' → ∞).

참조

_[1] 서적 Kaczor
_[2] 서적 Rudin
_[2] 서적 Brabenec
_[2] 서적 Stewart
_[2] 서적 Spivak
_[3] 서적 Rudin
_[4] 서적 Brabenec
_[4] 서적 Stewart
_[5] 서적 Rudin
_[6] 서적 Hansen
_[6] 서적 Șuhubi

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