아이버슨 괄호

1. 개요

아이버슨 괄호는 명제 P에 대해 0 또는 1의 값을 갖는 정수 표기법으로, 명제가 참이면 1, 거짓이면 0을 나타낸다. 굴리엘모 리브리 카루치 달라 솜마야가 1830년대에 처음 사용했으며, 1962년 케네스 유진 아이버슨이 APL 프로그래밍 언어에서 사용하면서 널리 알려졌다. 이 표기법은 논리 및 집합 연산과 관련이 있으며, 합의 경계 조건 조작, 이중 계산 규칙 유도, 특정 조건 만족 항의 개수 세기, 특수한 경우의 공식 간략화, 여러 함수 표현 등 다양한 수학적 표현에 활용된다.

2. 정의

아이버슨 괄호는 어떤 명제 $P$에 대하여 $[P]\; \backslash in\; \backslash \{0,1\backslash \}$의 값을 가지는 정수로, 다음과 같이 정의되는 표기법이다.

* 만약 $P$가 참이라면 $[P]\; =\; 1$이다.
* 만약 $P$가 거짓이라면 $[P]\; =\; 0$이다.

예를 들어 $[n>0]$은 $n=3$일 때 $[3>0]=1$이지만, $n=-2$일 때 $[-2>1]\; =\; 0$이다.

3. 역사

1830년대에 굴리엘모 리브리 카루치 달라 솜마이아(it, 1803〜1869)는 다음과 같은 기호를 도입(또는 ‘발견’)하였다.

:$0^\{0^x\}\; =\; [x>0]$

이는 $0^0\; =\; 1$ 및 $0^\{-1\}\; =\; \backslash infty$ 및 $0^\backslash infty\; =\; 0$과 같은 정의를 사용하면 우변의 아이버슨 괄호와 같은 뜻임을 알 수 있다. 리브리는 이를 사용하여 다음과 같은 꼴의 표기를 사용하였다.

:$(1-0^\{0^\{-x\}\})(1-0^\{0^\{x-a\}\})\; =\; [0\backslash le\; x\backslash le\; a]$

이후 케네스 유진 아이버슨(Kenneth Eugene Iverson^영어, 1920 ~ 2004)이 1962년에 프로그래밍 언어 APL에서 이와 같은 표기법을 사용하였다. 이후 도널드 크누스가 아이버슨의 표기법을 일반 수학 표기에서 널리 사용하기 시작하였다.

4. 성질

아이버슨 괄호의 계산 규칙과 논리 및 집합 연산 사이에는 직접적인 대응 관계가 있다. A, B를 집합으로 하고, $P(k\_1,\backslash dots)$를 정수에 대한 임의의 성질이라고 하면, 다음과 같은 관계가 성립한다.

:$\backslash begin\{align\}[]$
[P \land Q] &= [P][Q], \qquad [\neg P] = 1 - [P]. \\[1em]
[P \lor Q] &= [P] + [Q] - [P][Q]. \\[1em]
[k \in A] + [k \in B] &= [k \in A \cup B] + [k \in A \cap B]. \\[1em]
[x \in A \cap B] &= [x \in A] [x \in B]. \\[1em]
[\forall m\ . \ P(k, m)] &= \prod_m [P(k, m)]. \\[1em]
[\exists m\ . \ P(k, m)] &= \min\Big(1, \sum_m [P(k, m)]\Big) = 1 - \prod_m \left(1 - [P(k, m)] \right). \\[1em]
\#\{m \mid P(k, m)\} &= \sum_m [P(k, m)].
\end{align}

5. 활용 예시

아이버슨 괄호 표기법을 사용하면 합이나 적분의 경계 조건을 피연산자 안으로 이동시켜 대수적으로 조작할 수 있다. 이러한 특징은 다양한 수학 분야에서 활용된다.

* [[오일러 피 함수|오일러의 토션 함수]] 표현: n과 상호소인 n 이하 양의 정수의 개수를 나타내는 오일러 피 함수는 아이버슨 괄호를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$$\backslash varphi(n)=\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}[\backslash gcd(i,n)=1],\backslash qquad\backslash text\{for\; \}\; n\backslash in\backslash N^+.$$
* 특수한 경우의 공식 간략화: 특수한 경우에 따라 식이 달라지는 경우, 아이버슨 괄호를 이용하여 모든 경우에 대해 유효한 하나의 식으로 표현할 수 있다. 예를 들어, 다음 공식은

:$$\backslash sum\_\{1\backslash le\; k\backslash le\; n\; \backslash atop\; \backslash gcd(k,n)=1\}\backslash !\backslash !k\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}n\backslash varphi(n)$$

n=1일 때 성립하지 않지만, 아이버슨 괄호를 추가하면 다음과 같이 모든 양의 정수 n에 대해 유효한 공식이 된다.

:$$\backslash sum\_\{1\backslash le\; k\backslash le\; n\; \backslash atop\; \backslash gcd(k,n)=1\}\backslash !\backslash !k\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}n\; \backslash Big(\backslash varphi(n)+[n=1]\backslash Big)$$
* 여러 함수 표현: 크로네커 델타, 지시 함수, 헤비사이드 계단 함수, 부호 함수, 절댓값 함수, 바닥 함수와 천장 함수, 램프 함수 등 다양한 함수들을 아이버슨 괄호를 사용하여 간결하게 표현할 수 있다.
* [[삼분법 (수학)|삼분법]] 표현: 실수의 삼분법은 다음 항등식과 같다.

:
* [[뫼비우스 함수]] 표현: 뫼비우스 함수는 다음 속성을 가진다.

:$$\backslash sum\_\{d|n\}\; \backslash mu(d)\; \backslash \; =\backslash \; [n=1].$$

5.1. 이중 계산 규칙

아이버슨 괄호를 사용하면 다음과 같이 합을 조작하는 규칙을 유도할 수 있다.

5.2. 합의 순서 교환

잘 알려진 규칙 $\backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash sum\_\{k=1\}^j\; f(j,k)\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash sum\_\{j=k\}^n\; f(j,k)$도 마찬가지로 쉽게 유도할 수 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\sum_{j=1}^n\,\sum_{k=1}^j f(j,k)
&=\sum_{j,k}f(j,k)\,[1\leq j\leq n]\,[1\leq k\leq j]
\\&=\sum_{j,k}f(j,k)\,[1\leq k\leq j\leq n]
\\&=\sum_{j,k}f(j,k)\,[1\leq k\leq n]\,[k\leq j\leq n]
\\&=\sum_{k=1}^n\,\sum_{j=k}^n f(j,k).
\end{align}

5.3. 특정 조건을 만족하는 항의 개수 세기

n과 상호소인, n 이하 양의 정수의 개수를 세는 오일러의 토션 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$$\backslash varphi(n)=\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}[\backslash gcd(i,n)=1],\backslash qquad\backslash text\{for\; \}\; n\backslash in\backslash N^+.$$

5.4. 특수한 경우의 공식 간략화

Another use of the Iverson bracket is to simplify equations with special cases.^영어 예를 들어, 다음 공식은

:$$\backslash sum\_\{1\backslash le\; k\backslash le\; n\; \backslash atop\; \backslash gcd(k,n)=1\}\backslash !\backslash !k\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}n\backslash varphi(n)$$

에 유효하지만 에 대해서는 만큼 차이가 있습니다. 모든 양의 정수 (즉, $\backslash varphi(n)$이 정의된 모든 값)에 유효한 항등식을 얻기 위해, 아이버슨 괄호를 포함하는 수정 항을 추가할 수 있습니다.

:$$\backslash sum\_\{1\backslash le\; k\backslash le\; n\; \backslash atop\; \backslash gcd(k,n)=1\}\backslash !\backslash !k\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}n\; \backslash Big(\backslash varphi(n)+[n=1]\backslash Big)$$

5.5. 여러 함수의 표현

많은 일반적인 함수, 특히 자연적인 조각별 정의를 가진 함수는 아이버슨 괄호로 표현될 수 있다. 크로네커 델타 표기법은 조건이 같을 때 아이버슨 표기법의 특수한 경우이다. 즉,
:$$\backslash delta\_\{ij\}\; =\; [i=j].$$

집합 $A$의 지시 함수는 종종 $\backslash mathbf\{1\}\_A(x)$, $\backslash mathbf\{I\}\_A(x)$ 또는 $\backslash chi\_A(x)$로 표시되며, 집합 멤버십을 조건으로 하는 아이버슨 괄호이다.
:$$\backslash mathbf\{I\}\_A(x)\; =\; [x\backslash in\; A].$$

헤비사이드 계단 함수, 부호 함수 및 절댓값 함수도 이 표기법으로 쉽게 표현할 수 있다.
:$$\backslash begin\{align\}$$
H(x) &= [x \ge 0], \\
\sgn(x) &= [x > 0] - [x < 0],
\end{align}

그리고
:$$\backslash begin\{align\}$$
|x| &= x[x > 0] - x[x < 0] \\
&= x([x > 0] - [x < 0]) \\
&= x \cdot \sgn(x).
\end{align}

비교 함수 max와 min (두 인자 중 더 크거나 작은 값을 반환)은 다음과 같이 쓸 수 있다.
:$$\backslash max(x,\; y)\; =\; x[x\; >\; y]\; +\; y[x\; \backslash leq\; y]$$ 및
:$$\backslash min(x,\; y)\; =\; x[x\; \backslash leq\; y]\; +\; y[x\; >\; y].$$

바닥 함수와 천장 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.
:
그리고
:
여기서 합의 인덱스 $n$은 모든 정수를 범위로 하는 것으로 이해된다.

램프 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.
:$$R(x)\; =\; x\; \backslash cdot\; [x\; \backslash geq\; 0].$$

실수의 삼분법은 다음 항등식과 같다.
:

뫼비우스 함수는 다음 속성을 가진다(그리고 재귀적으로 다음과 같이 정의될 수 있다).
:$$\backslash sum\_\{d|n\}\; \backslash mu(d)\; \backslash \; =\backslash \; [n=1].$$

6. 다른 함수를 이용한 표현

1830년대에 구글리엘모 달라 솜마야는 현재 $[x\; >\; 0]$으로 쓰이는 것을 나타내기 위해 표현식 $0^\{0^x\}$을 사용했으며, $[0\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; a]$에 대해 $\backslash left(1\; -\; 0^\{0^\{-x\}\}\backslash right)\; \backslash left(1\; -\; 0^\{0^\{x-a\}\}\backslash right)$과 같은 변형도 사용했다. 일반적인 규칙에 따라, 정의된 경우 해당 값들은 다음과 같다. $0^\{0^x\}$는 x > 0^영어이면 1, x = 0^영어이면 0, 그렇지 않으면 정의되지 않는다.

7. 표기법의 변형

현재 표준화된 대괄호 외에도 블랙보드 볼드 괄호(예: ⟦ · ⟧)가 사용되었으며, 출판사의 서체에서 사용할 수 있는 다른 특이한 형태의 괄호와 함께 여백 주석이 사용되기도 한다.