지시 함수

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1. 개요

지시 함수는 집합 X의 부분 집합 A에 대해 정의되는 함수로, A에 속하는 원소 x에 대해서는 1의 값을, A에 속하지 않는 원소 x에 대해서는 0의 값을 반환한다. 지시 함수는 집합론, 확률론, 통계학, 재귀 이론, 퍼지 집합 이론 등 다양한 분야에서 활용되며, 표기법으로는 1_A, I_A(x), χ_A(x), K_A 또는 A를 사용한다. 확률론에서는 지시 함수를 통해 확률 변수를 정의하고, 기댓값과 분산 등을 계산하며, 퍼지 집합 이론에서는 멤버십 함수로 일반화되어 사용된다. 지시 함수는 미분과 적분에서도 활용되며, 단위 계단 함수의 분포 미분은 디랙 델타 함수와 같다.

지시 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 표기법 및 용어
4. 기본 속성
5. 확률론에서의 활용
6. 재귀 이론
7. 퍼지 집합 이론
8. 미분
9. 적분

2. 정의

집합 $X$ 의 부분 집합 $A$ 에 대한 지시 함수 $\mathbf{1}_A\colon X\to\{0,1\}$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\mathbf{1}_A(x) :=\begin{cases}1&x\in A\\0&x\notin A\end{cases}$

아이버슨 괄호 표기법으로 지시 함수 $\mathbf{1}_A(x)$ 를 $[x \in A]$ 으로 나타낼 수 있다.

지시 함수는 $\mathbf{1}_A$ 외에도 $\mathbf{I}_A(x)$ , $\chi_A(x)$ , K_A 또는 간단하게 $A$ 로 표기할 수 있다. (그리스 문자 χ는 '특성(characteristic)'이라는 말의 그리스어 어원 χαρακτήρ의 첫 글자이다.)

3. 표기법 및 용어

집합 $X$ 의 부분 집합 $A$ 에 대한 지시 함수는 $\mathbf{1}_A(x)$ , $\mathbf{I}_A(x)$ , $\chi_A(x)$ , K_A 또는 간단하게 $A$ 로 표기할 수 있다. 여기서 그리스 문자 χ는 '특성(characteristic)'이라는 말의 그리스어 어원 χαρακτήρ의 첫 글자에서 따왔다. 지시 함수는 아이버슨 괄호 표기법으로 $[x \in A]$ 으로 나타낼 수도 있다.

$\chi_A$ 는 볼록 해석학에서 특성함수를 표기할 때에도 쓰인다. 확률론에서는 특성함수라는 표현이 다른 의미로 쓰이므로, 확률론자들은 지시 함수라는 용어를 사용한다. 통계학에서는 지시 함수를 통해 범주형 데이터를 0 또는 1로 변환한 것을 더미 변수라고 한다.

4. 기본 속성

어떤 집합 X의 부분집합 A의 지시 함수는 X의 원소를 {0, 1} 구간으로 대응시킨다.

만약 $A$ 와 $B$ 가 $X$ 의 부분집합이라면 다음과 같다.

: $\mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B,$
: $\mathbf{1}_{A\cup B} = \max\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B,$

$A$ 의 여집합, 즉 $A^C$ 의 지시함수는 다음과 같다.

: $\mathbf{1}_{A^\complement} = 1-\mathbf{1}_A$

더 일반적으로, $A_1, \dotsc, A_n$ 가 X의 부분집합들이라고 하면, 모든 x ∈ X에 대해서 다음이 성립한다.

: $\prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x)) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}.$

이 식의 좌변을 확장하면 다음과 같다.

: $\mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \dotsc, n\}} (-1)^$

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좌우로 밀어서 보기

\mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \dotsc, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k}

여기서 |F|는 F의 크기이다. 이것은 포함배제의 원리의 한 부분이다.

조합론에서 지시 함수는 유용한 표기 장치이며, 확률론 등 다른 분야에서도 사용된다.

5. 확률론에서의 활용

확률 공간 $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ 과 $A \in \mathcal F$ 가 주어졌을 때, 지시 함수 $\mathbf{1}_A \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 는 $\omega \in A$ 이면 $\mathbf{1}_A (\omega) = 1$ 이고, 그렇지 않으면 $\mathbf{1}_A (\omega) = 0$ 이다.

지시 함수는 확률 변수가 되며, 기댓값은 해당 사건의 확률과 같다. 마르코프 부등식 증명에 활용된다.

* 기댓값: $\operatorname{E}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname{P}(A)$
* 분산: $\operatorname{Var}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname{P}(A)(1 - \operatorname{P}(A))$
* 공분산: $\operatorname{Cov}(\mathbf{1}_A (\omega), \mathbf{1}_B (\omega)) = \operatorname{P}(A \cap B) - \operatorname{P}(A)\operatorname{P}(B)$

6. 재귀 이론

쿠르트 괴델은 1934년 논문 "형식 수학적 시스템의 결정 불가능 명제에 대하여"에서 표현 함수를 설명했다. 표현 함수 φ는 관계 R(x₁, . . ., x_n)이 참이면 0이고, 거짓이면 1이다.

스티븐 클레이니는 원시 재귀 함수의 내용 중에서 논리 P의 함수 φ를 같은 방식으로 정의했다. 이 함수는 논리가 거짓이면 1이고 참이면 0을 갖는다.

예를 들어, 표현 함수의 곱 φ₁*φ₂* . . . *φ_n은 어떤 하나의 함수가 0이면 0이 되기 때문에 논리 연산 "또는"의 역할을 한다. 즉, φ₁ = 0 이거나 φ₂ = 0 이거나 . . . 이거나 φ_n = 0 이라면 그 곱은 0이다. 표현 함수가 함수 R이 "참"일 때 0이 되는 점은 클레이니의 논리 연산 OR, AND, IMPLY, 제한- 과 무제한- 뮤 연산자 및 CASE 함수 정의에 중요한 역할을 한다.

7. 퍼지 집합 이론

퍼지 집합 이론에서 지시 함수는 멤버십 함수로 일반화되어 [0, 1] 구간의 값을 가질 수 있다. 이는 "키가 큰"과 같은 실제 술어에서 나타나는 진리의 정도를 점진적으로 변화하는 것으로 모델링할 때 사용된다.

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8. 미분

단위 계단 함수는 특정 구간의 지시 함수이며, 이 함수의 분포 미분은 디랙 델타 함수와 같다. 고차원에서는 지시 함수의 라플라시안을 통해 '표면 델타 함수'를 정의할 수 있다.

헤비사이드 계단 함수 $H(x)$ 의 분포 미분은 디랙 델타 함수와 같으며, 이는 다음과 같이 표현된다.

: $\delta(x)=\tfrac{d H(x)}{dx},$

이는 다음 성질을 만족한다.

: $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x) dx = f(0).$

단위 계단 함수의 미분은 양의 절반 선에 의해 주어진 영역의 '경계'에서 '내부 정상 도함수'로 볼 수 있다. 고차원에서 단위 계단 함수는 일부 정의역 D의 지시 함수로 일반화되며, 도함수는 내부 정상 도함수로 일반화된다. D의 표면을 S로 표현하면, 지시 함수의 내부 정상 도함수가 '표면 델타 함수'δ_S(x)를 발생시킨다.

: $\delta_S(\mathbf{x})=-\mathbf{n}_x\cdot\nabla_x\mathbf{1}_{\mathbf{x}\in D}$

여기서 n는 S의 바깥쪽 법선이다. 이 '표면 델타 함수'는 다음과 같은 특성을 갖는다.

: $-\int_{\mathbf{R}^n}f(\mathbf{x})\,\mathbf{n}_x\cdot\nabla_x\mathbf{1}_{\mathbf{x}\in D}\;d^{n}\mathbf{x}=\oint_{S}\,f(\mathbf{\beta})\;d^{n-1}\mathbf{\beta}.$

함수 f를 1로 두면, 지시 함수의 내부 정상 도함수는 표면적 S의 수치적 수로 통합된다.

9. 적분

가측 공간 (X, M) (M ⊆ 2^X)이 주어졌을 때, X의 부분 집합 A가 어떤 측도 μ에 관한 가측 집합이라면, 그 지시 함수 χ_A의 측도 μ에 관한 적분값
: $\operatorname{vol}_{μ}(A) = μ(A) := \int_{X} \chi_A(ξ) \, dμ(ξ)$
를 측도 μ에 관한 A의 체적(volume^영어)이라고 부른다.

어떤 집합 X상의 적분 가능한 함수 f(x)에 대하여, X의 부분 집합 A에서의 f의 적분은 종종
: $\int_A f|_A(ξ) \, dξ := \int_X \chi_A(ξ) f(ξ) \, dξ$
로 정의된다. (각 적분이 정의될 수 있는 한)

또한, 한 점 집합의 지시 함수는 (적당한 조건 하에서) 디랙 델타 함수를 나타내는 것으로 생각할 수 있다. 실제로, 한 점 집합 {x}에 대하여, 그 가측 집합으로 이루어진 근방계 N_x에서 그 교집합이 {x}가 되는 것이 존재할 때 (예를 들어 {x} 자체가 가측일 때)
: $\inf_{N \in \mathbf{N}_x} \chi_{N} = \chi_{\{x\}}$
: $\int_{X} \chi_{\{x\}}(ξ)f(ξ) \, dξ:= \inf_{N \in \mathbf{N}_x}\int_X \chi_N(ξ)f(ξ) \, dξ= f(x) \operatorname{vol}(\{x\})$
가 성립한다. χ_{x}는 종종 χ_x로 약기된다.