바닥 함수와 천장 함수

1. 개요

바닥 함수와 천장 함수는 실수에 대응하는 정수를 정의하는 함수로, 수학 및 컴퓨터 과학 분야에서 널리 사용된다. 바닥 함수는 주어진 실수 이하의 최대 정수를, 천장 함수는 주어진 실수 이상의 최소 정수를 의미하며, 각각 $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$와 $\backslash lceil\; x\; \backslash rceil$로 표기한다. 이 함수들은 정수 부분과 소수 부분의 분해, 반올림, 나머지 연산, 자릿수 계산 등 다양한 분야에 응용된다. 특히, 바닥 함수는 에르미트 항등식, 레일리의 정리, 와이소프의 게임 등 다양한 수학적 개념과 공식에 활용되며, 컴퓨터 프로그래밍 언어에서도 내장 함수로 제공된다.

2. 정의

2.1. 바닥 함수

바닥 함수 $\backslash lfloor\; -\backslash rfloor\backslash colon\backslash mathbb\; R\backslash to\backslash mathbb\; Z$는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash lfloor\; x\backslash rfloor=\backslash max\backslash \{n\backslash in\backslash mathbb\; Z\backslash colon\; n\backslash le\; x\backslash \}$

즉, 실수 $x$의 바닥 함수 값은 $x$와 같거나 그보다 작은 정수 가운데 가장 큰 값이다. 예를 들면 다음과 같다.

:$\backslash lfloor\; 5.2\backslash rfloor=5$
:$\backslash lfloor-5.2\backslash rfloor=-6$
:$\backslash lfloor\; 3\backslash rfloor=3$
:$\backslash lfloor-4\backslash rfloor=-4$

바닥 함수는 다음과 같이 표기한다.

* $\backslash lfloor\; x\backslash rfloor$
* $[x]$ (가우스 기호라고 부르지만, 가우스 함수와는 관련이 없다.)
* $\backslash operatorname\{floor\}(x)$

카를 프리드리히 가우스는 제곱 잉여의 상호 법칙의 세 번째 증명(1808)에서 대괄호 표기 $[x]$를 도입했다. 1962년 케네스 E. 아이버슨이 저서 A Programming Language에서 "floor"와 "ceiling"이라는 이름과 함께 $\backslash lfloor\; x\backslash rfloor$와 $\backslash lceil\; x\backslash rceil$ 표기법을 도입하기 전까지, 가우스 기호가 수학에서 표준 표기법으로 사용되었다.

실수 $x$에 대해 $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$를 정수 부분, $x\; -\; \backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$를 소수 부분이라고 부른다. 소수 부분은 $\backslash \{x\backslash \}$ 와 같이 표현하며, $x\; \backslash mod\; 1$이나 $$으로도 표기한다. 예를 들어, 다음과 같다.

*$\backslash lfloor\; 1.7\; \backslash rfloor\; =\; 1,\backslash ;\backslash \{\; 1.7\; \backslash \}\; =\; 0.7$
*$\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{4\}\{3\}\; \backslash right\backslash rfloor\; =\; 1,\backslash ;\backslash left\backslash \{\; \backslash frac\{4\}\{3\}\; \backslash right\backslash \}\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$
*$\backslash lfloor\; \backslash sqrt\{3\}\; \backslash rfloor\; =\; \backslash lfloor\; 1.732\backslash cdots\; \backslash rfloor\; =\; 1,\backslash ;\backslash \{\; \backslash sqrt\{3\}\; \backslash \}\; =\; \backslash sqrt\{3\}\; -1\; =\; 0.732\backslash cdots$
*$\backslash lfloor\; \backslash pi\; \backslash rfloor\; =\; \backslash lfloor\; 3.14\backslash cdots\; \backslash rfloor\; =\; 3,\backslash ;\backslash \{\; \backslash pi\; \backslash \}\; =\; \backslash pi\; -3\; =\; 0.14\backslash cdots$
*$\backslash lfloor\; e\; \backslash rfloor\; =\; \backslash lfloor\; 2.71\backslash cdots\; \backslash rfloor\; =\; 2,\backslash ;\backslash \{e\backslash \}\; =\; e-2\; =\; 0.71\backslash cdots$
( $\backslash pi$는 원주율, $e$는 자연 상수)

음수의 경우, 정수 부분과 소수 부분은 소수점 이하 부분과 일치하지 않는다.

*$\backslash lfloor\; -1.7\; \backslash rfloor\; =\; -2,\backslash ;\backslash \{\; -1.7\; \backslash \}\; =\; 0.3$
*$\backslash left\backslash lfloor\; -\backslash frac\{4\}\{3\}\; \backslash right\backslash rfloor\; =\; -2,\backslash ;\backslash left\backslash \{\; -\backslash frac\{4\}\{3\}\; \backslash right\backslash \}\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}$
*$\backslash lfloor\; -\backslash sqrt\{3\}\; \backslash rfloor\; =\; \backslash lfloor\; -1.732\backslash cdots\; \backslash rfloor\; =\; -2,\backslash ;\backslash \{\; -\backslash sqrt\{3\}\; \backslash \}\; =\; 2-\; \backslash sqrt\{3\}\; =\; 0.267\backslash cdots$
*$\backslash lfloor\; -\backslash pi\; \backslash rfloor\; =\; \backslash lfloor\; -3.14\backslash cdots\; \backslash rfloor\; =\; -4,\backslash ;\backslash \{\; -\backslash pi\; \backslash \}\; =\; 4-\; \backslash pi\; =\; 0.85\backslash cdots$

2.2. 천장 함수

천장 함수는 실수 $x$에 대해 $x$와 같거나 그보다 큰 정수 가운데 가장 작은 하나를 의미한다. 예를 들어, $\backslash lceil\; 3.72\backslash rceil=4$, $\backslash lceil-3.72\backslash rceil=-3$, $\backslash lceil\; 4\backslash rceil=4$, $\backslash lceil-2\backslash rceil=-2$이다.

천장 함수는 다음과 같이 표기한다.
* $\backslash lceil\; x\backslash rceil$
* $\backslash operatorname\{ceil\}(x)$

카를 프리드리히 가우스는 1808년 2차 상호 법칙의 세 번째 증명에서 대괄호 표기 $[$x]를 도입했다. 이는 케네스 E. 아이버슨이 1962년 저서 A Programming Language에서 "floor"와 "ceiling"이라는 이름과 해당 표기 $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$와 $\backslash lceil\; x\; \backslash rceil$를 도입할 때까지 수학에서 표준으로 남아있었다.

천장 함수는 실수 $x$에 대해 $x$ 이상의 최소 정수로 정의되며, 수식으로 나타내면 다음과 같다.

:$\backslash lceil\; x\; \backslash rceil\; :=\; \backslash min\; \backslash \{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\; \backslash mid\; x\; \backslash le\; n\; \backslash \}.$

예시는 다음과 같다.

* $\backslash lceil\; n\; \backslash rceil\; =\; n$ (n은 임의의 정수)
* $\backslash lceil\; 1.7\; \backslash rceil\; =\; 2$
* $\backslash lceil\; \backslash sqrt\{3\}\; \backslash rceil\; =\; \backslash lceil\; 1.732\backslash cdots\; \backslash rceil\; =\; 2$
* $\backslash lceil\; -\backslash pi\; \backslash rceil\; =\; \backslash lceil\; -3.14\backslash cdots\; \backslash rceil\; =\; -3$

2.3. 소수 부분 함수

분수 부분 함수(分數部分函數, fractional part function^영어) $\backslash \{-\backslash \}\backslash colon\backslash mathbb\; R\backslash to[0,1)$는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash \{x\backslash \}=x-\backslash lfloor\; x\backslash rfloor=\backslash min\backslash \{y\backslash in\backslash mathbb\; R\_\{\backslash ge\; 0\}\backslash colon\; x-y\backslash in\backslash mathbb\; Z\backslash \}$

여기서 $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$는 바닥 함수를 의미한다. 즉, 실수 $x$에서 정수 부분을 뺀 나머지가 소수 부분이 된다.

분수 부분 함수는 $\backslash \{x\backslash \}$ 또는 $\backslash operatorname\{frac\}(x)$로 표기한다. 모든 실수 x에 대해, 이다. 소수 부분은 톱니파 함수의 일종이다.

실수 $x$에 대해 $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$를 정수 부분, $x\; -\; \backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$를 소수 부분이라고 부른다. 정수 부분은 정수, 소수 부분은 0 이상 1 미만이다.

예시는 다음과 같다.

3. 성질

바닥 함수와 천장 함수는 다음과 같은 성질을 갖는다.

* 기본 부등식:
* 모든 실수 $x$에 대해, 이고 이다.
* (소수 부분).
* 정수:
* $x$가 정수이면 $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor\; =\; \backslash lceil\; x\; \backslash rceil\; =\; x$이다.
* $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$ 와 $\backslash lceil\; x\; \backslash rceil$는 정수이다.
* 음수:
* $-\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor\; =\; \backslash lceil\; -x\; \backslash rceil$ 이고, $-\backslash lceil\; x\; \backslash rceil\; =\; \backslash lfloor\; -x\; \backslash rfloor$ 이다.
* $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor\; +\; \backslash lceil\; -x\; \backslash rceil\; =\; 0$.
* .
* 정수 덧셈:
* 임의의 정수 $n$에 대해, $\backslash lfloor\; x\; +\; n\; \backslash rfloor\; =\; \backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor\; +\; n$ 이고, $\backslash lceil\; x\; +\; n\; \backslash rceil\; =\; \backslash lceil\; x\; \backslash rceil\; +\; n$ 이다.
* $\backslash \{x\; +\; n\backslash \}\; =\; \backslash \{x\backslash \}$.
* 멱등성: $\backslash big\backslash lfloor\; \backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor\; \backslash big\backslash rfloor\; =\; \backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$ 이고 $\backslash big\backslash lceil\; \backslash lceil\; x\; \backslash rceil\; \backslash big\backslash rceil\; =\; \backslash lceil\; x\; \backslash rceil$ 이다.
* 단조성:
* $x\_\{1\}\; \backslash le\; x\_\{2\}$ 이면, $\backslash lfloor\; x\_\{1\}\; \backslash rfloor\; \backslash le\; \backslash lfloor\; x\_\{2\}\; \backslash rfloor$ 이고 $\backslash lceil\; x\_\{1\}\; \backslash rceil\; \backslash le\; \backslash lceil\; x\_\{2\}\; \backslash rceil$ 이다.
* 불연속성:
* $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$는 상반연속이고, $\backslash lceil\; x\; \backslash rceil$와 $\backslash \{\; x\backslash \}$는 하반연속이다.
* 구간별 선형 함수이며, 정수에서 불연속성을 갖는다.
* 정수 부등식: $n\; \backslash le\; x$ 와 $n\; \backslash le\; \backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$는 동치이다. ( $n$은 정수, $x$는 실수)
* 갈루아 연결: 바닥 함수는 잔류 사상이며, 정수를 실수에 포함시키는 함수의 상위 갈루아 연결의 일부이다.

3.1. 부등식

다음과 같은 부등식들이 성립한다.

:
:

비슷하게, 다음과 같은 부등식들이 성립한다.

:
:
:

삼각 부등식과 닮은 다음과 같은 부등식들이 성립한다.

:$\backslash lfloor\; x\backslash rfloor+\backslash lfloor\; y\backslash rfloor\backslash le\backslash lfloor\; x+y\backslash rfloor\backslash le\backslash lfloor\; x\backslash rfloor+\backslash lfloor\; y\backslash rfloor+1$
:$\backslash lceil\; x\backslash rceil+\backslash lceil\; y\backslash rceil-1\backslash le\backslash lceil\; x+y\backslash rceil\backslash le\backslash lceil\; x\backslash rceil+\backslash lceil\; y\backslash rceil$

바닥 함수와 천장 함수를 통해 실수 부등식과 동치인 정수 부등식을 얻을 수 있다. 즉, 임의의 $n\backslash in\backslash mathbb\; Z$ 및 $x\backslash in\backslash mathbb\; R$에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다.

* $n>x$
* $n>\backslash lfloor\; x\backslash rfloor$

마찬가지로, $n$ 및 $x$에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다.

*
*

마찬가지로, $n$ 및 $x$에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다.

* $n\backslash ge\; x$
* $n\backslash ge\backslash lceil\; x\backslash rceil$

마찬가지로, $n$ 및 $x$에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다.

* $n\backslash le\; x$
* $n\backslash le\backslash lfloor\; x\backslash rfloor$

순서론의 언어로 표현하면, 바닥 함수는 잔류 사상인데, 이는 정수를 실수에 포함시키는 함수의 상위 갈루아 연결의 일부이다.

:$$
\begin{align}
xnx\le n &\;\;\mbox{ if and only if } &\lceil x \rceil &\le n, \\
n\le x &\;\;\mbox{ if and only if } &n &\le \lfloor x \rfloor.
\end{align}

3.2. 항등식

천장 함수는 바닥 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: $\backslash lceil\; x\backslash rceil=-\backslash lfloor-x\backslash rfloor=$
\begin{cases}\lfloor x\rfloor&x\in\mathbb Z\\\lfloor x\rfloor+1&x\not\in\mathbb Z\end{cases}

비슷하게 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
: $\backslash lfloor-x\backslash rfloor=$
\begin{cases}-\lfloor x\rfloor&x\in\mathbb Z\\-\lfloor x\rfloor-1&x\not\in\mathbb Z\end{cases}
: $\backslash lceil-x\backslash rceil=$
\begin{cases}-\lceil x\rceil&x\in\mathbb Z\\-\lceil x\rceil+1&x\not\in\mathbb Z\end{cases}
: $\backslash \{-x\backslash \}=$
\begin{cases}0&x\in\mathbb Z\\-\{x\}+1&x\not\in\mathbb Z\end{cases}

임의의 정수는 바닥 함수와 천장 함수의 고정점이다.
: $\backslash lfloor\; n\backslash rfloor=\backslash lceil\; n\backslash rceil=n\backslash qquad\; n\backslash in\backslash mathbb\; Z$

바닥 함수와 천장 함수의 정의에 따라, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
: $\backslash max\backslash \{n\backslash in\backslash mathbb\; Z\backslash colon\; n\backslash le\; x\backslash \}=\backslash lfloor\; x\backslash rfloor$
: $\backslash min\backslash \{n\backslash in\backslash mathbb\; Z\backslash colon\; n\backslash ge\; x\backslash \}=\backslash lceil\; x\backslash rceil$
: $\backslash min\backslash \{n\backslash in\backslash mathbb\; Z\backslash colon\; n>x\backslash \}=\backslash lfloor\; x\backslash rfloor+1$
:

바닥 함수와 천장 함수와 분수 부분 함수의 합성은 다음과 같다. 특히, 바닥 함수와 천장 함수와 분수 부분 함수는 모두 멱등 함수이다.
: $\backslash lfloor\backslash lfloor\; x\backslash rfloor\backslash rfloor=\backslash lfloor\; x\backslash rfloor$
: $\backslash lceil\backslash lceil\; x\backslash rceil\backslash rceil=\backslash lceil\; x\backslash rceil$
: $\backslash \{\backslash \{x\backslash \}\backslash \}=\backslash \{x\backslash \}$
: $\backslash lceil\backslash lfloor\; x\backslash rfloor\backslash rceil=\backslash lfloor\; x\backslash rfloor$
: $\backslash lfloor\backslash lceil\; x\backslash rceil\backslash rfloor=\backslash lceil\; x\backslash rceil$
: $\backslash \{\backslash lfloor\; x\backslash rfloor\backslash \}=0$
: $\backslash lfloor\backslash \{x\backslash \}\backslash rfloor=0$
: $\backslash \{\backslash lceil\; x\backslash rceil\backslash \}=0$
:

임의의 $n\backslash in\backslash mathbb\; Z$ 및 $x\backslash in\backslash mathbb\; R$에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. 특히, 분수 부분 함수는 양의 최소 주기가 1인 주기 함수이다.
: $\backslash lfloor\; x+n\backslash rfloor=\backslash lfloor\; x\backslash rfloor+n$
: $\backslash lceil\; x+n\backslash rceil=\backslash lceil\; x\backslash rceil+n$
: $\backslash \{x+n\backslash \}=\backslash \{x\backslash \}$

임의의 $m,n\backslash in\backslash mathbb\; Z$ ($n>0$) 및 $x\backslash in\backslash mathbb\; R$에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
: $\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{x+m\}n\backslash right\backslash rfloor=\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{\backslash lfloor\; x\backslash rfloor+m\}n\backslash right\backslash rfloor$
: $\backslash left\backslash lceil\backslash frac\{x+m\}n\backslash right\backslash rceil=\backslash left\backslash lceil\backslash frac\{\backslash lceil\; x\backslash rceil+m\}n\backslash right\backslash rceil$
: $\backslash biggl\backslash lceil\backslash frac\; mn\backslash biggr\backslash rceil=\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{m+n-1\}n\backslash right\backslash rfloor$

임의의 $n\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$ 및 $x,y\backslash in\backslash mathbb\; R$에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
: $\backslash lfloor\backslash lfloor\; x/y\backslash rfloor/n\backslash rfloor=\backslash lfloor\; x/(yn)\backslash rfloor$
: $\backslash lceil\backslash lceil\; x/y\backslash rceil/n\backslash rceil=\backslash lceil\; x/(yn)\backslash rceil$

임의의 $n\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$ 및 $x\backslash in\backslash mathbb\; R$에 대하여, 다음과 같은 합 공식이 성립한다. 이를 에르미트 항등식이라고 한다.
: $\backslash lfloor\; nx\backslash rfloor=\backslash lfloor\; x\backslash rfloor+\backslash left\backslash lfloor\; x+\backslash frac\; 1n\backslash right\backslash rfloor+\backslash cdots+\backslash left\backslash lfloor\; x+\backslash frac\{n-1\}n\backslash right\backslash rfloor$
: $\backslash lceil\; nx\backslash rceil=\backslash lceil\; x\backslash rceil+\backslash left\backslash lceil\; x-\backslash frac\; 1n\backslash right\backslash rceil+\backslash cdots+\backslash left\backslash lceil\; x-\backslash frac\{n-1\}n\backslash right\backslash rceil$

특히, $x=m/n$ ($m\backslash in\backslash mathbb\; Z$)인 경우 다음과 같다.
: $\backslash begin\{align\}m$
&=\biggl\lfloor\frac mn\biggr\rfloor+\left\lfloor\frac{m+1}n\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{m+n-1}n\right\rfloor\\
&=\biggl\lceil\frac mn\biggr\rceil+\left\lceil\frac{m-1}n\right\rceil+\cdots+\left\lceil\frac{m-n+1}n\right\rceil\end{align}

특히, $n=2$인 경우 다음과 같은 항등식을 유도할 수 있다.
: $m=\backslash biggl\backslash lfloor\backslash frac\; m2\backslash biggr\backslash rfloor+\backslash biggl\backslash lceil\backslash frac\; m2\backslash biggr\backslash rceil$

임의의 $m,n\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$ 및 $x\backslash in\backslash mathbb\; R$에 대하여, 다음이 성립한다.
: $\backslash biggl\backslash lfloor\backslash frac\; xn\backslash biggr\backslash rfloor+\backslash biggl\backslash lfloor\backslash frac\; \{x+m\}n\backslash biggr\backslash rfloor+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{x+2m\}n\backslash right\backslash rfloor+\backslash cdots+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{x+(n-1)m\}n\backslash right\backslash rfloor=\backslash biggl\backslash lfloor\backslash frac\; xm\backslash biggr\backslash rfloor+\backslash biggl\backslash lfloor\backslash frac\; \{x+n\}m\backslash biggr\backslash rfloor+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{x+2n\}m\backslash right\backslash rfloor+\backslash cdots+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{x+(m-1)n\}m\backslash right\backslash rfloor$
즉, 이러한 합 공식은 $m,n$의 순서와 무관하다. 특히, $x=0$인 경우 합이 다음과 같이 주어진다.
: $\backslash biggl\backslash lfloor\backslash frac\; mn\backslash biggr\backslash rfloor+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{2m\}n\backslash right\backslash rfloor+\backslash cdots+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{(n-2)m\}n\backslash right\backslash rfloor=\backslash frac\{(m-1)(n-1)+\backslash gcd\backslash \{m,n\backslash \}-1\}2$

특히, $m,n$이 서로소인 경우 (즉, $\backslash gcd\backslash \{m,n\backslash \}=1$인 경우) 다음과 같다.
: $\backslash biggl\backslash lfloor\backslash frac\; mn\backslash biggr\backslash rfloor+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{2m\}n\backslash right\backslash rfloor+\backslash cdots+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{(n-2)m\}n\backslash right\backslash rfloor=\backslash frac\{(m-1)(n-1)\}2$

다음 공식들은 바닥 함수와 천장 함수를 포함하는 식을 단순화하는 데 사용될 수 있다.

:$$
\begin{alignat}{3}
\lfloor x \rfloor &= m \ \ &&\mbox{ if and only if } &m &\le x < m+1,\\
\lceil x \rceil &= n &&\mbox{ if and only if } &\ \ n -1 &< x \le n,\\

\lfloor x \rfloor &= m &&\mbox{ if and only if } &x-1 &< m \le x,\\
\lceil x \rceil &= n &&\mbox{ if and only if } &x &\le n < x+1.
\end{alignat}


순서론의 언어로 표현하면, 바닥 함수는 잔류 사상인데, 이는 정수를 실수에 포함시키는 함수의 상위 갈루아 연결의 일부이다.

:$$
\begin{align}
xnx\le n &\;\;\mbox{ if and only if } &\lceil x \rceil &\le n, \\
n\le x &\;\;\mbox{ if and only if } &n &\le \lfloor x \rfloor.
\end{align}


다음 공식들은 정수 n을 인수에 더하는 것이 함수에 어떤 영향을 미치는지 보여준다.

:$$
\begin{align}
\lfloor x+n \rfloor &= \lfloor x \rfloor+n,\\
\lceil x+n \rceil &= \lceil x \rceil+n,\\
\{ x+n \} &= \{ x \}.
\end{align}


위의 공식들은 n이 정수가 아닌 경우에는 절대 참이 아니지만, 모든 x와 y에 대해 다음 부등식이 성립한다.

:$\backslash begin\{align\}$
\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor &\leq \lfloor x + y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1,\\[3mu]
\lceil x \rceil + \lceil y \rceil -1 &\leq \lceil x + y \rceil \leq \lceil x \rceil + \lceil y \rceil.
\end{align}
정의에 따르면 다음과 같은 관계가 성립한다.
:$\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor\; \backslash le\; \backslash lceil\; x\; \backslash rceil,$   여기서 등호는 x가 정수일 때만 성립한다. 즉,
:$\backslash lceil\; x\; \backslash rceil\; -\; \backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor\; =\; \backslash begin\{cases\}$
0&\mbox{ if } x\in \mathbb{Z}\\
1&\mbox{ if } x\not\in \mathbb{Z}
\end{cases}

실제로, 정수 n에 대해 바닥 함수와 천장 함수 모두 항등 함수이다.
:$\backslash lfloor\; n\; \backslash rfloor\; =\; \backslash lceil\; n\; \backslash rceil\; =\; n.$

인수를 부정하면 바닥 함수와 천장 함수가 바뀌고 부호가 변경된다.
:$\backslash begin\{align\}$
\lfloor x \rfloor +\lceil -x \rceil &= 0 \\
-\lfloor x \rfloor &= \lceil -x \rceil \\
-\lceil x \rceil &= \lfloor -x \rfloor
\end{align}


그리고:
:$\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor\; +\; \backslash lfloor\; -x\; \backslash rfloor\; =\; \backslash begin\{cases\}$
0&\text{if } x\in \mathbb{Z}\\
-1&\text{if } x\not\in \mathbb{Z},
\end{cases}

:$\backslash lceil\; x\; \backslash rceil\; +\; \backslash lceil\; -x\; \backslash rceil\; =\; \backslash begin\{cases\}$
0&\text{if } x\in \mathbb{Z}\\
1&\text{if } x\not\in \mathbb{Z}.
\end{cases}

인수를 부정하면 소수 부분이 보완된다.

:$\backslash \{\; x\; \backslash \}\; +\; \backslash \{\; -x\; \backslash \}\; =\; \backslash begin\{cases\}$
0&\text{if } x\in \mathbb{Z}\\
1&\text{if } x\not\in \mathbb{Z}.
\end{cases}

바닥, 천장 및 소수 부분 함수는 멱등성을 가진다.

:$$
\begin{align}
\big\lfloor \lfloor x \rfloor \big\rfloor &= \lfloor x \rfloor, \\
\big\lceil \lceil x \rceil \big\rceil &= \lceil x \rceil, \\
\big\{ \{ x \} \big\} &= \{ x \}.
\end{align}


중첩된 바닥 함수 또는 천장 함수의 결과는 가장 안쪽의 함수이다.
:$$
\begin{align}
\big\lfloor \lceil x \rceil \big\rfloor &= \lceil x \rceil, \\
\big\lceil \lfloor x \rfloor \big\rceil &= \lfloor x \rfloor
\end{align}

이는 정수의 항등 속성 때문이다.
다음 x는 임의의 실수로 한다.
* $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$는 정수
*
이지만, 상기 2개가 바닥 함수를 특징짓는다.

마찬가지로 천장 함수는
* $\backslash lceil\; x\; \backslash rceil$는 정수
*
에 의해 특징지어진다.

바닥 함수와 천장 함수의 관계는, x가 정수, 비정수인지에 따라 각각
* $\backslash lceil\; x\; \backslash rceil\; -\; \backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$는 0 또는 1
이 된다. 바닥 함수와 천장 함수의 기본 부등식을 함께 사용하면
* $\backslash lceil\; x\; \backslash rceil\; -\; 1\; \backslash le\; \backslash lfloor\; x\backslash rfloor\; \backslash le\; x\; \backslash le\; \backslash lceil\; x\; \backslash rceil\; \backslash le\; \backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor\; +\; 1$
* 임의의 정수 n에 대해,
*: $\backslash lfloor\; n+x\; \backslash rfloor\; =\; n\; +\; \backslash lfloor\; x\backslash rfloor$
*: $\backslash lceil\; n+x\; \backslash rceil\; =\; n\; +\; \backslash lceil\; x\backslash rceil$

바닥 함수와 천장 함수는 서로 상대방을 나타낼 수 있다.
* $\backslash lceil\; x\; \backslash rceil\; =\; -\; \backslash lfloor\; -\; x\; \backslash rfloor$
* $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor\; =\; -\; \backslash lceil\; -\; x\; \backslash rceil$
* 바닥 함수・천장 함수는 멱등이다.
*: $\backslash lfloor\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor\backslash rfloor\; =\; \backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$
*: $\backslash lceil\backslash lceil\; x\; \backslash rceil\backslash rceil\; =\; \backslash lceil\; x\; \backslash rceil$
* 임의의 정수 n에 대해,
*: $\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{n\}\{2\}\; \backslash right\backslash rfloor\; +\; \backslash left\backslash lceil\; \backslash frac\{n\}\{2\}\; \backslash right\backslash rceil\; =\; n$.

3.3. 합 공식

임의의 양의 정수 $n$과 실수 $x$에 대하여, 다음과 같은 합 공식이 성립하며, 이를 에르미트 항등식이라고 한다.
:$\backslash lfloor\; nx\backslash rfloor=\backslash lfloor\; x\backslash rfloor+\backslash left\backslash lfloor\; x+\backslash frac\; 1n\backslash right\backslash rfloor+\backslash cdots+\backslash left\backslash lfloor\; x+\backslash frac\{n-1\}n\backslash right\backslash rfloor$
:$\backslash lceil\; nx\backslash rceil=\backslash lceil\; x\backslash rceil+\backslash left\backslash lceil\; x-\backslash frac\; 1n\backslash right\backslash rceil+\backslash cdots+\backslash left\backslash lceil\; x-\backslash frac\{n-1\}n\backslash right\backslash rceil$

특히, $x=m/n$ ($m$은 정수)인 경우 다음과 같다.
:$\backslash begin\{align\}m$
&=\biggl\lfloor\frac mn\biggr\rfloor+\left\lfloor\frac{m+1}n\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{m+n-1}n\right\rfloor\\
&=\biggl\lceil\frac mn\biggr\rceil+\left\lceil\frac{m-1}n\right\rceil+\cdots+\left\lceil\frac{m-n+1}n\right\rceil\end{align}

특히, $n=2$인 경우 다음 항등식을 유도할 수 있다.
:$m=\backslash biggl\backslash lfloor\backslash frac\; m2\backslash biggr\backslash rfloor+\backslash biggl\backslash lceil\backslash frac\; m2\backslash biggr\backslash rceil$

임의의 양의 정수 $m,n$과 실수 $x$에 대하여, 다음이 성립한다.
:$\backslash biggl\backslash lfloor\backslash frac\; xn\backslash biggr\backslash rfloor+\backslash biggl\backslash lfloor\backslash frac\; \{x+m\}n\backslash biggr\backslash rfloor+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{x+2m\}n\backslash right\backslash rfloor+\backslash cdots+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{x+(n-1)m\}n\backslash right\backslash rfloor=\backslash biggl\backslash lfloor\backslash frac\; xm\backslash biggr\backslash rfloor+\backslash biggl\backslash lfloor\backslash frac\; \{x+n\}m\backslash biggr\backslash rfloor+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{x+2n\}m\backslash right\backslash rfloor+\backslash cdots+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{x+(m-1)n\}m\backslash right\backslash rfloor$

즉, 이러한 합 공식은 $m,n$의 순서와 무관하다. 특히, $x=0$인 경우 합은 다음과 같이 주어진다.
:$\backslash biggl\backslash lfloor\backslash frac\; mn\backslash biggr\backslash rfloor+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{2m\}n\backslash right\backslash rfloor+\backslash cdots+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{(n-2)m\}n\backslash right\backslash rfloor=\backslash frac\{(m-1)(n-1)+\backslash gcd\backslash \{m,n\backslash \}-1\}2$

특히, $m,n$이 서로소인 경우 (즉, $\backslash gcd\backslash \{m,n\backslash \}=1$인 경우) 다음과 같다.
:$\backslash biggl\backslash lfloor\backslash frac\; mn\backslash biggr\backslash rfloor+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{2m\}n\backslash right\backslash rfloor+\backslash cdots+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{(n-2)m\}n\backslash right\backslash rfloor=\backslash frac\{(m-1)(n-1)\}2$

다음 공식들은 바닥 함수와 천장 함수를 포함하는 식을 단순화하는 데 사용될 수 있다.

:$$
\begin{alignat}{3}
\lfloor x \rfloor &= m \ \ &&\mbox{ if and only if } &m &\le x < m+1,\\
\lceil x \rceil &= n &&\mbox{ if and only if } &\ \ n -1 &< x \le n,\\

\lfloor x \rfloor &= m &&\mbox{ if and only if } &x-1 &< m \le x,\\
\lceil x \rceil &= n &&\mbox{ if and only if } &x &\le n < x+1.
\end{alignat}


순서론의 언어로 표현하면, 바닥 함수는 잔류 사상인데, 이는 정수를 실수에 포함시키는 함수의 상위 갈루아 연결의 일부이다.

:$$
\begin{align}
xnx\le n &\;\;\mbox{ if and only if } &\lceil x \rceil &\le n, \\
n\le x &\;\;\mbox{ if and only if } &n &\le \lfloor x \rfloor.
\end{align}


다음 공식들은 정수 $n$을 인수에 더하는 것이 함수에 어떤 영향을 미치는지 보여준다.

:$$
\begin{align}
\lfloor x+n \rfloor &= \lfloor x \rfloor+n,\\
\lceil x+n \rceil &= \lceil x \rceil+n,\\
\{ x+n \} &= \{ x \}.
\end{align}


만약 $n$이 양의 정수이면
:$\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{x+m\}\{n\}\backslash right\backslash rfloor\; =\; \backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{\backslash lfloor\; x\backslash rfloor\; +m\}\{n\}\backslash right\backslash rfloor,$

:$\backslash left\backslash lceil\backslash frac\{x+m\}\{n\}\backslash right\backslash rceil\; =\; \backslash left\backslash lceil\backslash frac\{\backslash lceil\; x\backslash rceil\; +m\}\{n\}\backslash right\backslash rceil.$


만약 $m$이 양수이면, ( 에르미트 항등식 참조)
:$n=\backslash left\backslash lceil\backslash frac\{n\}\{m\}\backslash right\backslash rceil\; +\; \backslash left\backslash lceil\backslash frac\{n-1\}\{m\}\backslash right\backslash rceil\; +\backslash dots+\backslash left\backslash lceil\backslash frac\{n-m+1\}\{m\}\backslash right\backslash rceil,$

:$n=\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{n\}\{m\}\backslash right\backslash rfloor\; +\; \backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{n+1\}\{m\}\backslash right\backslash rfloor\; +\backslash dots+\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{n+m-1\}\{m\}\backslash right\backslash rfloor.$

:$\backslash lceil\; mx\; \backslash rceil\; =\backslash left\backslash lceil\; x\backslash right\backslash rceil\; +\; \backslash left\backslash lceil\; x-\backslash frac\{1\}\{m\}\backslash right\backslash rceil\; +\backslash dots+\backslash left\backslash lceil\; x-\backslash frac\{m-1\}\{m\}\backslash right\backslash rceil,$

:$\backslash lfloor\; mx\; \backslash rfloor=\backslash left\backslash lfloor\; x\backslash right\backslash rfloor\; +\; \backslash left\backslash lfloor\; x+\backslash frac\{1\}\{m\}\backslash right\backslash rfloor\; +\backslash dots+\backslash left\backslash lfloor\; x+\backslash frac\{m-1\}\{m\}\backslash right\backslash rfloor.$


다음은 바닥 함수를 천장 함수로 또는 그 반대로 변환하는 데 사용할 수 있다(m은 양수).

:$\backslash left\backslash lceil\; \backslash frac\{n\}\{m\}\; \backslash right\backslash rceil\; =\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{n+m-1\}\{m\}\; \backslash right\backslash rfloor\; =\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{n\; -\; 1\}\{m\}\; \backslash right\backslash rfloor\; +\; 1,$

:$\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{n\}\{m\}\; \backslash right\backslash rfloor\; =\; \backslash left\backslash lceil\; \backslash frac\{n-m+1\}\{m\}\; \backslash right\backslash rceil\; =\; \backslash left\backslash lceil\; \backslash frac\{n\; +\; 1\}\{m\}\; \backslash right\backslash rceil\; -\; 1,$

모든 $m$과 $n$에 대해 엄밀히 양의 정수이면:

:$\backslash sum\_\{k\; =\; 1\}^\{n\; -\; 1\}\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{k\; m\}\{n\}\; \backslash right\backslash rfloor\; =\; \backslash frac\{(m\; -\; 1)(n\; -\; 1)+\backslash gcd(m,n)-1\}2,$

이는 양수이고 상호소수 $m$과 $n$에 대해 다음으로 축소된다.

:$\backslash sum\_\{k=1\}^\{n-1\}\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{km\}\{n\}\; \backslash right\backslash rfloor\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}(m\; -\; 1)(n\; -\; 1)\; ,$

그리고 천장 함수와 소수 부분 함수에 대해서도 마찬가지이다(여전히 양수이고 상호소수 $m$과 $n$에 대해),

:$\backslash sum\_\{k=1\}^\{n-1\}\; \backslash left\backslash lceil\; \backslash frac\{km\}\{n\}\; \backslash right\backslash rceil\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}(m\; +\; 1)(n\; -\; 1),$

:$\backslash sum\_\{k=1\}^\{n-1\}\; \backslash left\backslash \{\; \backslash frac\{km\}\{n\}\; \backslash right\backslash \}\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}(n\; -\; 1).$

일반적인 경우의 우변이 $m$과 $n$에 대해 대칭이므로, 이는 다음을 의미한다.

:$\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{m\}\{n\}\; \backslash right\; \backslash rfloor\; +\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{2m\}\{n\}\; \backslash right\; \backslash rfloor\; +\; \backslash dots\; +\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{(n-1)m\}\{n\}\; \backslash right\; \backslash rfloor\; =$
\left\lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor + \left\lfloor \frac{2n}{m} \right \rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{(m-1)n}{m} \right \rfloor.


더 일반적으로, $m$과 $n$이 양수이면,

:$\backslash begin\{align\}$
&\left\lfloor \frac{x}{n} \right \rfloor +
\left\lfloor \frac{m+x}{n} \right \rfloor +
\left\lfloor \frac{2m+x}{n} \right \rfloor +
\dots +
\left\lfloor \frac{(n-1)m+x}{n} \right \rfloor\\[5mu]
=
&\left\lfloor \frac{x}{m} \right \rfloor +
\left\lfloor \frac{n+x}{m} \right \rfloor +
\left\lfloor \frac{2n+x}{m} \right \rfloor +
\cdots +
\left\lfloor \frac{(m-1)n+x}{m} \right \rfloor.
\end{align}


이것은 때때로 상호 법칙이라고 불린다.

서로소인 양의 정수 $m,\; n$에 대해, 다음 식이 성립한다.
:$\backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^\{n-1\}\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash dfrac\{im\}\{n\}\; \backslash right\backslash rfloor\; =\; \backslash dfrac\{(m-1)(n-1)\}\{2\}.$

3.4. 푸리에 급수

소수 부분 함수는 주기 함수이며, 그 푸리에 급수는 다음과 같다.

:$\backslash \{x\backslash \}=\backslash frac\; 12-\backslash frac\; 1\backslash pi\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{\backslash sin(2n\backslash pi\; x)\}n\backslash qquad\; x\backslash not\backslash in\backslash mathbb\; Z$

바닥 함수와 천장 함수는 주기 함수가 아니므로, 이들의 푸리에 급수는 균등 수렴하지 않는다. x가 정수가 아닌 경우, 바닥 함수는 다음과 같이 푸리에 급수로 전개할 수 있다.

:$\backslash lfloor\; x\backslash rfloor\; =\; x\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\; \backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash sin(2\; \backslash pi\; k\; x)\}\{k\}$

4. 응용

바닥 함수와 천장 함수는 수학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 활용된다.

* 모듈로 연산: 정수 $x$를 양의 정수 $y$로 나눈 나머지는 $x \bmod y = x-y\left\lfloor \frac{x}{y}\right\rfloor$로 표현할 수 있다. 예를 들어, $17 \bmod 5 = 17 - 5\left\lfloor \frac{17}{5}\right\rfloor = 17 - 5 \cdot 3 = 2$이다.

* 이차 상호 법칙: 가우스의 이차 상호 법칙 증명에는 바닥 함수가 사용된다. 홀수인 소수 $p$에 대한 작은 수들의 이차적 성질을 표현하는 공식에도 바닥 함수가 사용된다.
:$\backslash begin\{align\}$
\left(\frac{2}{p}\right) &= (-1)^{\left\lfloor\frac{p+1}{4}\right\rfloor}, \\[5mu]
\left(\frac{3}{p}\right) &= (-1)^{\left\lfloor\frac{p+1}{6}\right\rfloor}.
\end{align}

* 반올림: 실수 $x$를 양의 무한대 방향으로 묶음 풀기하여 가장 가까운 정수로 반올림하는 것은 $\left\lfloor x+\tfrac{1}{2}\right\rfloor$로 나타낼 수 있다.

* 양자화: 실수 $x$를 가장 가까운 정수 값으로 반올림하는 것은 기본적인 양자화기를 형성한다. 일반적인 균일 양자화기는 $Q(x) = \Delta \cdot \left\lfloor \frac{x}{\Delta} + \frac{1}{2} \right\rfloor$로 표현할 수 있다. ($\Delta$는 양자화 단계 크기)

* 자릿수: 양의 정수 $k$를 밑 $b$로 나타낼 때 자릿수는 $\lfloor \log_{b}{k} \rfloor + 1$이다. 예를 들어, $100$은 $10$진법으로 $3$자리 수이고, $\lfloor \log_{10}{100} \rfloor + 1 = 2 + 1 = 3$이다.

* 르장드르 공식: 양의 정수 $n$과 양의 소수 $p$가 주어졌을 때, $n!$을 나누는 $p$의 최고 거듭제곱의 지수는 르장드르 공식을 통해 구할 수 있다.
:$\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{n\}\{p\}\backslash right\backslash rfloor\; +\; \backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{n\}\{p^2\}\backslash right\backslash rfloor\; +\; \backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{n\}\{p^3\}\backslash right\backslash rfloor\; +\; \backslash dots$
예를 들어, $10!$을 나누는 $2$의 최고 거듭제곱 지수는 $\left\lfloor\frac{10}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{10}{4}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{10}{8}\right\rfloor = 5 + 2 + 1 = 8$이다.

4.1. 정수 부분·소수 부분

실수 $x$의 정수 부분은 $\backslash lfloor\; x\backslash rfloor$이며, 소수 부분은 $\backslash \{x\backslash \}$로 나타낸다. 예를 들어, $\backslash lfloor\; 2.34\backslash rfloor=2$, $\backslash \{2.34\backslash \}=0.34$이다.

컴퓨터 과학에서는 정수 부분과 소수 부분을 다르게 정의하기도 한다. 예를 들어, 다음과 같은 함수를 사용한다.

:$\backslash operatorname\{ip\}(x):=\backslash sgn(x)\backslash lfloor|x|\backslash rfloor=$
\begin{cases}\lfloor x\rfloor&x\ge 0\\\lceil x\rceil&x<0\end{cases}

:$\backslash operatorname\{fp\}(x):=x-\backslash operatorname\{ip\}(x)=\backslash sgn(x)(|x|-\backslash lfloor|x|\backslash rfloor)=$
\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor&x\ge 0\\x-\lceil x\rceil&x<0\end{cases}

바닥 함수의 정의에 따라 실수 $x$에 대해 $\backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$를 정수 부분, $x\; -\; \backslash lfloor\; x\; \backslash rfloor$를 소수 부분이라고 부른다. 정수 부분은 정수이고, 소수 부분은 0 이상 1 미만의 값을 가진다. 소수 부분은 $x\; \backslash bmod\; 1$나 $\backslash \{x\backslash \}$으로도 표기한다.

예를 들어, 입력값이 0 이상 또는 정수인 경우는 다음과 같다.

* $\backslash lfloor\; n\; \backslash rfloor\; =\; n,\backslash ;\backslash \{\; n\; \backslash \}=0$ ($n$은 임의의 정수)
* $\backslash lfloor\; 1.7\; \backslash rfloor\; =\; 1,\backslash ;\backslash \{\; 1.7\; \backslash \}\; =\; 0.7$
* $\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{4\}\{3\}\; \backslash right\backslash rfloor\; =\; 1,\backslash ;\backslash left\backslash \{\; \backslash frac\{4\}\{3\}\; \backslash right\backslash \}\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$
* $\backslash lfloor\; \backslash sqrt\{3\}\; \backslash rfloor\; =\; \backslash lfloor\; 1.732\backslash cdots\; \backslash rfloor\; =\; 1,\backslash ;\backslash \{\; \backslash sqrt\{3\}\; \backslash \}\; =\; \backslash sqrt\{3\}\; -1\; =\; 0.732\backslash cdots$
* $\backslash lfloor\; \backslash pi\; \backslash rfloor\; =\; \backslash lfloor\; 3.14\backslash cdots\; \backslash rfloor\; =\; 3,\backslash ;\backslash \{\; \backslash pi\; \backslash \}\; =\; \backslash pi\; -3\; =\; 0.14\backslash cdots$
* $\backslash lfloor\; e\; \backslash rfloor\; =\; \backslash lfloor\; 2.71\backslash cdots\; \backslash rfloor\; =\; 2,\backslash ;\backslash \{e\backslash \}\; =\; e-2\; =\; 0.71\backslash cdots$ ($\backslash pi$는 원주율, $e$는 자연 상수)

입력값이 음의 정수가 아닌 경우에는, 정수 부분과 소수 부분이 소수점 이하 부분과 일치하지 않는다.

* $\backslash lfloor\; -1.7\; \backslash rfloor\; =\; -2,\backslash ;\backslash \{\; -1.7\; \backslash \}\; =\; 0.3$
* $\backslash left\backslash lfloor\; -\backslash frac\{4\}\{3\}\; \backslash right\backslash rfloor\; =\; -2,\backslash ;\backslash left\backslash \{\; -\backslash frac\{4\}\{3\}\; \backslash right\backslash \}\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}$
* $\backslash lfloor\; -\backslash sqrt\{3\}\; \backslash rfloor\; =\; \backslash lfloor\; -1.732\backslash cdots\; \backslash rfloor\; =\; -2,\backslash ;\backslash \{\; -\backslash sqrt\{3\}\; \backslash \}\; =\; 2-\; \backslash sqrt\{3\}\; =\; 0.267\backslash cdots$
* $\backslash lfloor\; -\backslash pi\; \backslash rfloor\; =\; \backslash lfloor\; -3.14\backslash cdots\; \backslash rfloor\; =\; -4,\backslash ;\backslash \{\; -\backslash pi\; \backslash \}\; =\; 4-\; \backslash pi\; =\; 0.85\backslash cdots$

$-1.2$의 정수 부분을 $-1$로 정의하는 방법(「0으로의 반올림」)도 있지만 일반적이지 않다.

양의 유리수의 대분수 표시는 정수 부분과 소수 부분(진분수)의 합으로 나타낼 수 있다.

4.2. 내림·올림

실수 $x$를 정수로 내림한 값은 $\backslash lfloor\; x\backslash rfloor$이며, 정수로 올림한 값은 $\backslash lceil\; x\backslash rceil$이다. 컴퓨터 과학에서는 변형된 내림·올림이 쓰이기도 한다. 즉, 실수 $x$를 정수로 내림(올림)한 값을 $\backslash operatorname\{ip\}(x)$로 정의한다.
실수 $x\; \backslash ge\; 0$에 제한을 두면, 바닥 함수와 천장 함수는 소수점 첫째 자리에서 버림 및 올림이다. 이것을 이용하여, 위치 기수법 표기에서의 임의의 자리에서 버림이나 반올림을 바닥 함수로 나타낼 수 있다.

* 실수 $x\; \backslash ge\; 0$의 소수점 이하를 반올림한 값은 $\backslash lfloor\; x+0.5\; \backslash rfloor$이다.
* 실수 $x\; \backslash le\; 0$의 소수점 이하를 반올림한 값은 $\backslash lceil\; x-0.5\; \backslash rceil$이다.

이하 십진법 표기라고 한다. 실수 $x\; \backslash ge\; 0$에 대해,
* $10^n$의 자리에서 버림은 $10^\{n+1\}\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{x\}\{10^\{n+1\}\}\; \backslash right\backslash rfloor$이다.
* 소수점 $n$번째 자리에서 버림은 $\backslash frac\{1\}\{10^\{n-1\}\}\; \backslash lfloor\; 10^\{n-1\}\; x\; \backslash rfloor$이다.
* $10^n$의 자리에서 반올림은 $10^\{n+1\}\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{x\}\{10^\{n+1\}\}\; +0.5\; \backslash right\backslash rfloor$이다.
* 소수점 $n$번째 자리에서 반올림은 $\backslash frac\{1\}\{10^\{n-1\}\}\; \backslash lfloor\; 10^\{n-1\}\; x\; +0.5\; \backslash rfloor$이다.

4.3. 반올림

실수 $x$를 정수로 반올림한 값은 $\backslash lfloor\; x+0.5\backslash rfloor$이다. 예를 들어, $\backslash lfloor\; 2.34+0.5\backslash rfloor=2$, $\backslash lfloor\; 7.5+0.5\backslash rfloor=8$이다.

컴퓨터 과학에서는 반올림의 여러 가지 변형이 사용되는데, 이들은 반정수의 경우를 달리 정의하며, 그 밖의 경우는 원래의 반올림과 일치한다. 원래의 반올림은 반정수를 비교적 큰 정수로 근사한다. 반정수를 비교적 작은 정수로 근사하는 반올림은 $x\backslash mapsto\backslash lceil\; x-0.5\backslash rceil$이며, 반정수를 절댓값이 비교적 큰 정수로 근사하는 반올림은 $x\backslash mapsto\backslash sgn(x)\backslash lfloor|x|+0.5\backslash rfloor$이며, 반정수를 절댓값이 비교적 작은 정수로 근사하는 반올림은 $x\backslash mapsto\backslash sgn(x)\backslash lceil|x|-0.5\backslash rceil$이다. 또한, 최근 정수 함수(nearest integer function^영어)라고 불리는 함수는 반정수를 짝수로 근사하는 반올림 함수이다.

:$\backslash operatorname\{nint\}(x)=\backslash lfloor\; x\backslash rceil:=$
\lfloor x-0.5\rfloor-\left\lfloor\frac{x-0.5}2\right\rfloor-\left\lfloor-\frac{x-0.5}2\right\rfloor=
\begin{cases}\lfloor x+0.5\rfloor&x\not\in 2\mathbb Z+0.5\\\lfloor x-0.5\rfloor&x\in 2\mathbb Z+0.5\end{cases}

임의의 실수 $x$에 대해, 양의 무한대 방향으로 묶음 풀기를 하여 가장 가까운 정수로 반올림하는 것은 $\backslash text\{rpi\}(x)=\backslash left\backslash lfloor\; x+\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash right\backslash rfloor\; =\; \backslash left\backslash lceil\; \backslash tfrac12\backslash lfloor\; 2x\; \backslash rfloor\; \backslash right\backslash rceil$로 표시되며, 음의 무한대 방향으로의 반올림은 $\backslash text\{rni\}(x)=\backslash left\backslash lceil\; x-\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash right\backslash rceil\; =\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash tfrac12\; \backslash lceil\; 2x\; \backslash rceil\; \backslash right\backslash rfloor$로 표시된다.

묶음 풀기가 0에서 멀어지는 방향일 경우, 반올림 함수는 $\backslash text\{ri\}(x)\; =\; \backslash sgn(x)\backslash left\backslash lfloor|x|+\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash right\backslash rfloor$이며 (sign function 참조), 짝수로 반올림은 $\backslash lfloor\; x\backslash rceil=\backslash left\backslash lfloor\; x+\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash right\backslash rfloor+\backslash bigl\backslash lceil\backslash tfrac14(2x-1)\backslash bigr\backslash rceil-\backslash bigl\backslash lfloor\backslash tfrac14(2x-1)\backslash bigr\backslash rfloor-1$로 표현될 수 있는데, 이는 양의 무한대 방향으로의 반올림 $\backslash text\{rpi\}(x)$에 대한 식에서 $\backslash tfrac14(2x-1)$의 정수성 지표를 뺀 것이다.

실수 $x$를 가장 가까운 정수 값으로 반올림하는 것은 매우 기본적인 유형의 양자화기 – 균일한 양자화기를 형성한다. 어떤 값 $\backslash Delta$와 같은 양자화 단계 크기를 갖는 일반적인 (mid-tread) 균일 양자화기는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$Q(x)\; =\; \backslash Delta\; \backslash cdot\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{x\}\{\backslash Delta\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right\backslash rfloor$

실수 $x\; \backslash ge\; 0$에 제한을 두면, 바닥 함수와 천장 함수는 소수점 첫째 자리에서 버림 및 올림이다. 이것을 이용하여, 위치 기수법 표기에서의 임의의 자리에서 버림이나 반올림을 바닥 함수로 나타낼 수 있다.

* 실수 $x\; \backslash ge\; 0$의 소수점 이하를 반올림한 값은 $\backslash lfloor\; x+0.5\; \backslash rfloor$이다.
* 실수 $x\; \backslash le\; 0$의 소수점 이하를 반올림한 값은 $\backslash lceil\; x-0.5\; \backslash rceil$이다.

이하 십진법 표기라고 한다. 실수 $x\; \backslash ge\; 0$에 대해,

*$10^\{n\}$의 자리에서 버림은 $10^\{n+1\}\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{x\}\{10^\{n+1\}\}\; \backslash right\backslash rfloor$이다.
*소수점 $n$번째 자리에서 버림은 $\backslash frac\{1\}\{10^\{n-1\}\}\; \backslash lfloor\; 10^\{n-1\}\; x\; \backslash rfloor$이다.
*$10^\{n\}$의 자리에서 반올림은 $10^\{n+1\}\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{x\}\{10^\{n+1\}\}\; +0.5\; \backslash right\backslash rfloor$이다.
*소수점 $n$번째 자리에서 반올림은 $\backslash frac\{1\}\{10^\{n-1\}\}\; \backslash lfloor\; 10^\{n-1\}\; x\; +0.5\; \backslash rfloor$이다.

4.4. 나머지 있는 나눗셈

두 정수 $m,n\backslash in\backslash mathbb\; Z$ ($n\backslash ne\; 0$)의 나머지 있는 나눗셈의 결과를 바닥 함수를 통해 나타낼 수 있다. 몫은
:$\backslash biggl\backslash lfloor\backslash frac\; mn\backslash biggr\backslash rfloor$
이며, 나머지는
:$m-\backslash biggl\backslash lfloor\backslash frac\; mn\backslash biggr\backslash rfloor\; n$
이다.

만약 m과 n이 정수이고, n ≠ 0 이면,
:$0\; \backslash le\; \backslash left\backslash \{\; \backslash frac\{m\}\{n\}\; \backslash right\backslash \}\; \backslash le\; 1-\backslash frac\{1\}$