바닥 함수와 천장 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 응용
5. 역사
참조

1. 개요

바닥 함수와 천장 함수는 실수에 대응하는 정수를 정의하는 함수로, 수학 및 컴퓨터 과학 분야에서 널리 사용된다. 바닥 함수는 주어진 실수 이하의 최대 정수를, 천장 함수는 주어진 실수 이상의 최소 정수를 의미하며, 각각 $\lfloor x \rfloor$ 와 $\lceil x \rceil$ 로 표기한다. 이 함수들은 정수 부분과 소수 부분의 분해, 반올림, 나머지 연산, 자릿수 계산 등 다양한 분야에 응용된다. 특히, 바닥 함수는 에르미트 항등식, 레일리의 정리, 와이소프의 게임 등 다양한 수학적 개념과 공식에 활용되며, 컴퓨터 프로그래밍 언어에서도 내장 함수로 제공된다.

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2. 정의

'''바닥 함수'''와 '''천장 함수'''는 실수를 정수로 변환하는 함수이다. 바닥 함수는 주어진 실수보다 작거나 같은 최대 정수를, 천장 함수는 주어진 실수보다 크거나 같은 최소 정수를 반환한다.

카를 프리드리히 가우스는 1808년 제곱 잉여의 상호 법칙의 세 번째 증명에서 대괄호 표기

[x]

를 처음 사용했다.^[3] 케네스 E. 아이버슨이 1962년 저서 ''A Programming Language''에서 "floor"와 "ceiling"이라는 이름과 함께

\lfloor x\rfloor

와

\lceil x\rceil

표기법을 도입하기 전까지, 가우스 기호가 수학에서 표준 표기법으로 사용되었다.^[5]^[6]

실수

x

에 대해 바닥 함수와 천장 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

\lfloor x \rfloor=\max \{m\in\mathbb{Z}\mid m\le x\}

(바닥 함수)

:

\lceil x \rceil=\min \{n\in\mathbb{Z}\mid n\ge x\}

(천장 함수)

실수

x

는 다음과 같이 정수 부분과 소수 부분으로 나눌 수 있다.

:

x = \lfloor x \rfloor + \{x\}

여기서

\lfloor x \rfloor

는 '''정수 부분''',

\{x\}

는 '''소수 부분'''이며 0 이상 1 미만의 값을 가진다.

2. 1. 바닥 함수

바닥 함수

\lfloor -\rfloor\colon\mathbb R\to\mathbb Z

는 다음과 같이 정의된다.

:

\lfloor x\rfloor=\max\{n\in\mathbb Z\colon n\le x\}

즉, 실수

x

의 바닥 함수 값은

x

와 같거나 그보다 작은 정수 가운데 가장 큰 값이다. 예를 들면 다음과 같다.

:

\lfloor 5.2\rfloor=5

:

\lfloor-5.2\rfloor=-6

:

\lfloor 3\rfloor=3

:

\lfloor-4\rfloor=-4

바닥 함수는 다음과 같이 표기한다.

$\lfloor x\rfloor$
$[x]$ ('''가우스 기호'''라고 부르지만, 가우스 함수와는 관련이 없다.)
$\operatorname{floor}(x)$

카를 프리드리히 가우스는 제곱 잉여의 상호 법칙의 세 번째 증명(1808)에서 대괄호 표기

[x]

를 도입했다.^[3] 1962년 케네스 E. 아이버슨이 저서 ''A Programming Language''에서 "floor"와 "ceiling"이라는 이름과 함께

\lfloor x\rfloor

와

\lceil x\rceil

표기법을 도입하기 전까지, 가우스 기호가 수학에서 표준 표기법으로 사용되었다.^[5]^[6]

실수

x

에 대해

\lfloor x \rfloor

를 '''정수 부분''',

x - \lfloor x \rfloor

를 '''소수 부분'''이라고 부른다. 소수 부분은

\{x\}

^[9] 와 같이 표현하며,

x \mod 1

이나

으로도 표기한다. 예를 들어, 다음과 같다.

$\lfloor 1.7 \rfloor = 1,\;\{ 1.7 \} = 0.7$
$\left\lfloor \frac{4}{3} \right\rfloor = 1,\;\left\{ \frac{4}{3} \right\} = \frac{1}{3}$
$\lfloor \sqrt{3} \rfloor = \lfloor 1.732\cdots \rfloor = 1,\;\{ \sqrt{3} \} = \sqrt{3} -1 = 0.732\cdots$
$\lfloor \pi \rfloor = \lfloor 3.14\cdots \rfloor = 3,\;\{ \pi \} = \pi -3 = 0.14\cdots$
$\lfloor e \rfloor = \lfloor 2.71\cdots \rfloor = 2,\;\{e\} = e-2 = 0.71\cdots$

(

\pi

는 원주율,

e

는 자연 상수)

음수의 경우, 정수 부분과 소수 부분은 소수점 이하 부분과 일치하지 않는다.

$\lfloor -1.7 \rfloor = -2,\;\{ -1.7 \} = 0.3$
$\left\lfloor -\frac{4}{3} \right\rfloor = -2,\;\left\{ -\frac{4}{3} \right\} = \frac{2}{3}$
$\lfloor -\sqrt{3} \rfloor = \lfloor -1.732\cdots \rfloor = -2,\;\{ -\sqrt{3} \} = 2- \sqrt{3} = 0.267\cdots$
$\lfloor -\pi \rfloor = \lfloor -3.14\cdots \rfloor = -4,\;\{ -\pi \} = 4- \pi = 0.85\cdots$

2. 2. 천장 함수

'''천장 함수'''는 실수

x

에 대해

x

와 같거나 그보다 큰 정수 가운데 가장 작은 하나를 의미한다. 예를 들어,

\lceil 3.72\rceil=4

,

\lceil-3.72\rceil=-3

,

\lceil 4\rceil=4

,

\lceil-2\rceil=-2

이다.

천장 함수는 다음과 같이 표기한다.

$\lceil x\rceil$
$\operatorname{ceil}(x)$

카를 프리드리히 가우스는 1808년 2차 상호 법칙의 세 번째 증명에서 대괄호 표기

[''x'']

를 도입했다.^[3] 이는 케네스 E. 아이버슨이 1962년 저서 ''A Programming Language''에서 "floor"와 "ceiling"이라는 이름과 해당 표기

\lfloor x \rfloor

와

\lceil x \rceil

를 도입할 때까지 수학에서 표준으로 남아있었다.^[5]^[6]

천장 함수는 실수

x

에 대해

x

이상의 최소 정수로 정의되며, 수식으로 나타내면 다음과 같다.

:

\lceil x \rceil := \min \{n \in \mathbb{Z} \mid x \le n \}.

예시는 다음과 같다.

$\lceil n \rceil = n$ (n은 임의의 정수)
$\lceil 1.7 \rceil = 2$
$\lceil \sqrt{3} \rceil = \lceil 1.732\cdots \rceil = 2$
$\lceil -\pi \rceil = \lceil -3.14\cdots \rceil = -3$

2. 3. 소수 부분 함수

'''분수 부분 함수'''(分數部分函數, fractional part function^영어)

\{-\}\colon\mathbb R\to[0,1)

는 다음과 같이 정의된다.

:

\{x\}=x-\lfloor x\rfloor=\min\{y\in\mathbb R_{\ge 0}\colon x-y\in\mathbb Z\}

여기서

\lfloor x \rfloor

는 바닥 함수를 의미한다. 즉, 실수

x

에서 정수 부분을 뺀 나머지가 소수 부분이 된다.

분수 부분 함수는

\{x\}

또는

\operatorname{frac}(x)

로 표기한다. 모든 실수 ''x''에 대해,

0 \le \{x\} < 1

이다. 소수 부분은 톱니파 함수의 일종이다.^[9]

실수

x

에 대해

\lfloor x \rfloor

를 '''정수 부분''',

x - \lfloor x \rfloor

를 '''소수 부분'''이라고 부른다. 정수 부분은 정수, 소수 부분은 0 이상 1 미만이다.

예시는 다음과 같다.

입력값 ( $x$ )	정수 부분 ( $\lfloor x \rfloor$ )	소수 부분 ( $\{x\}$ )
$n$ (임의의 정수)	$n$	$0$
$1.7$	$1$	$0.7$
$\frac{4}{3}$	$1$	$\frac{1}{3}$
$\sqrt{3}$	$1$	$\sqrt{3} - 1 = 0.732\cdots$
$\pi$	$3$	$\pi - 3 = 0.14\cdots$
$e$	$2$	$e - 2 = 0.71\cdots$
$-1.7$	$-2$	$0.3$
$-\frac{4}{3}$	$-2$	$\frac{2}{3}$
$-\sqrt{3}$	$-2$	$2 - \sqrt{3} = 0.267\cdots$
$-\pi$	$-4$	$4 - \pi = 0.85\cdots$

위 표에서 원주율( $\pi$ ), 자연 상수( $e$ )가 사용되었다. 입력값이 음의 비정수일 경우에는 정수 부분・소수 부분이 소수점 이하의 부분이 아님에 주의해야 한다.

3. 성질

바닥 함수와 천장 함수는 다음과 같은 성질을 갖는다.^[11]

기본 부등식:
모든 실수 $x$ 에 대해, $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$ 이고 $\lceil x \rceil - 1 < x \le \lceil x \rceil$ 이다.
$0 \le \{x\} < 1$ (소수 부분).
정수:
$x$ 가 정수이면 $\lfloor x \rfloor = \lceil x \rceil = x$ 이다.
$\lfloor x \rfloor$ 와 $\lceil x \rceil$ 는 정수이다.
음수:
$-\lfloor x \rfloor = \lceil -x \rceil$ 이고, $-\lceil x \rceil = \lfloor -x \rfloor$ 이다.
$\lfloor x \rfloor + \lceil -x \rceil = 0$ .
$\{x\} + \{-x\} = \begin{cases} 0&\text{if } x\in \mathbb{Z}\\ 1&\text{if } x\not\in \mathbb{Z}\end{cases}$ .
정수 덧셈:
임의의 정수 $n$ 에 대해, $\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$ 이고, $\lceil x + n \rceil = \lceil x \rceil + n$ 이다.
$\{x + n\} = \{x\}$ .
멱등성: $\big\lfloor \lfloor x \rfloor \big\rfloor = \lfloor x \rfloor$ 이고 $\big\lceil \lceil x \rceil \big\rceil = \lceil x \rceil$ 이다.
단조성:
$x_{1} \le x_{2}$ 이면, $\lfloor x_{1} \rfloor \le \lfloor x_{2} \rfloor$ 이고 $\lceil x_{1} \rceil \le \lceil x_{2} \rceil$ 이다.
불연속성:
$\lfloor x \rfloor$ 는 상반연속이고, $\lceil x \rceil$ 와 $\{ x\}$ 는 하반연속이다.
구간별 선형 함수이며, 정수에서 불연속성을 갖는다.
정수 부등식: $n \le x$ 와 $n \le \lfloor x \rfloor$ 는 동치이다. ( $n$ 은 정수, $x$ 는 실수)
갈루아 연결: 바닥 함수는 잔류 사상이며, 정수를 실수에 포함시키는 함수의 상위 갈루아 연결의 일부이다.

3. 1. 부등식

다음과 같은 부등식들이 성립한다.

:

\lfloor x\rfloor\le x<\lfloor x\rfloor+1

:

\lceil x\rceil-1

비슷하게, 다음과 같은 부등식들이 성립한다.

:

x-1<\lfloor x\rfloor\le x

:

x\le\lceil x\rceil

:

0\le\{x\}<1

삼각 부등식과 닮은 다음과 같은 부등식들이 성립한다.^[11]

:

\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor\le\lfloor x+y\rfloor\le\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+1

:

\lceil x\rceil+\lceil y\rceil-1\le\lceil x+y\rceil\le\lceil x\rceil+\lceil y\rceil

바닥 함수와 천장 함수를 통해 실수 부등식과 동치인 정수 부등식을 얻을 수 있다. 즉, 임의의

n\in\mathbb Z

및

x\in\mathbb R

에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다.

$n>x$
$n>\lfloor x\rfloor$

마찬가지로,

n

및

x

에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다.

$n$
$n<\lceil x\rceil$

마찬가지로,

n

및

x

에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다.

$n\ge x$
$n\ge\lceil x\rceil$

마찬가지로,

n

및

x

에 대하여, 다음 두 부등식이 서로 동치이다.

$n\le x$
$n\le\lfloor x\rfloor$

순서론의 언어로 표현하면, 바닥 함수는 잔류 사상인데, 이는 정수를 실수에 포함시키는 함수의 상위 갈루아 연결의 일부이다.

:

\begin{align}x

3. 2. 항등식

천장 함수는 바닥 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[11]

:

\lceil x\rceil=-\lfloor-x\rfloor=\begin{cases}\lfloor x\rfloor&x\in\mathbb Z\\\lfloor x\rfloor+1&x\not\in\mathbb Z\end{cases}

비슷하게 다음과 같은 항등식들이 성립한다.^[11]

:

\lfloor-x\rfloor=\begin{cases}-\lfloor x\rfloor&x\in\mathbb Z\\-\lfloor x\rfloor-1&x\not\in\mathbb Z\end{cases}

:

\lceil-x\rceil=\begin{cases}-\lceil x\rceil&x\in\mathbb Z\\-\lceil x\rceil+1&x\not\in\mathbb Z\end{cases}

:

\{-x\}=\begin{cases}0&x\in\mathbb Z\\-\{x\}+1&x\not\in\mathbb Z\end{cases}

임의의 정수는 바닥 함수와 천장 함수의 고정점이다.^[11]

:

\lfloor n\rfloor=\lceil n\rceil=n\qquad n\in\mathbb Z

바닥 함수와 천장 함수의 정의에 따라, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.^[11]

:

\max\{n\in\mathbb Z\colon n\le x\}=\lfloor x\rfloor

:

\min\{n\in\mathbb Z\colon n\ge x\}=\lceil x\rceil

:

\min\{n\in\mathbb Z\colon n>x\}=\lfloor x\rfloor+1

:

\max\{n\in\mathbb Z\colon n

바닥 함수와 천장 함수와 분수 부분 함수의 합성은 다음과 같다. 특히, 바닥 함수와 천장 함수와 분수 부분 함수는 모두 멱등 함수이다.^[11]

:

\lfloor\lfloor x\rfloor\rfloor=\lfloor x\rfloor

:

\lceil\lceil x\rceil\rceil=\lceil x\rceil

:

\{\{x\}\}=\{x\}

:

\lceil\lfloor x\rfloor\rceil=\lfloor x\rfloor

:

\lfloor\lceil x\rceil\rfloor=\lceil x\rceil

:

\{\lfloor x\rfloor\}=0

:

\lfloor\{x\}\rfloor=0

:

\{\lceil x\rceil\}=0

:

\lceil\{x\}\rceil=\begin{cases}0&x\in\mathbb Z\\1&x\not\in\mathbb Z\end{cases}

임의의

n\in\mathbb Z

및

x\in\mathbb R

에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. 특히, 분수 부분 함수는 양의 최소 주기가 1인 주기 함수이다.^[11]

:

\lfloor x+n\rfloor=\lfloor x\rfloor+n

:

\lceil x+n\rceil=\lceil x\rceil+n

:

\{x+n\}=\{x\}

임의의

m,n\in\mathbb Z

(

n>0

) 및

x\in\mathbb R

에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.^[11]

:

\left\lfloor\frac{x+m}n\right\rfloor=\left\lfloor\frac{\lfloor x\rfloor+m}n\right\rfloor

:

\left\lceil\frac{x+m}n\right\rceil=\left\lceil\frac{\lceil x\rceil+m}n\right\rceil

:

\biggl\lceil\frac mn\biggr\rceil=\left\lfloor\frac{m+n-1}n\right\rfloor

임의의

n\in\mathbb Z^+

및

x,y\in\mathbb R

에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.^[11]

:

\lfloor\lfloor x/y\rfloor/n\rfloor=\lfloor x/(yn)\rfloor

:

\lceil\lceil x/y\rceil/n\rceil=\lceil x/(yn)\rceil

임의의

n\in\mathbb Z^+

및

x\in\mathbb R

에 대하여, 다음과 같은 합 공식이 성립한다. 이를 '''에르미트 항등식'''이라고 한다.^[11]

:

\lfloor nx\rfloor=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor x+\frac 1n\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor x+\frac{n-1}n\right\rfloor

:

\lceil nx\rceil=\lceil x\rceil+\left\lceil x-\frac 1n\right\rceil+\cdots+\left\lceil x-\frac{n-1}n\right\rceil

특히,

x=m/n

(

m\in\mathbb Z

)인 경우 다음과 같다.^[11]

:

\begin{align}m&=\biggl\lfloor\frac mn\biggr\rfloor+\left\lfloor\frac{m+1}n\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{m+n-1}n\right\rfloor\\&=\biggl\lceil\frac mn\biggr\rceil+\left\lceil\frac{m-1}n\right\rceil+\cdots+\left\lceil\frac{m-n+1}n\right\rceil\end{align}

특히,

n=2

인 경우 다음과 같은 항등식을 유도할 수 있다.^[11]

:

m=\biggl\lfloor\frac m2\biggr\rfloor+\biggl\lceil\frac m2\biggr\rceil

임의의

m,n\in\mathbb Z^+

및

x\in\mathbb R

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\biggl\lfloor\frac xn\biggr\rfloor+\biggl\lfloor\frac {x+m}n\biggr\rfloor+\left\lfloor\frac{x+2m}n\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{x+(n-1)m}n\right\rfloor=\biggl\lfloor\frac xm\biggr\rfloor+\biggl\lfloor\frac {x+n}m\biggr\rfloor+\left\lfloor\frac{x+2n}m\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{x+(m-1)n}m\right\rfloor

즉, 이러한 합 공식은

m,n

의 순서와 무관하다. 특히,

x=0

인 경우 합이 다음과 같이 주어진다.^[11]

:

\biggl\lfloor\frac mn\biggr\rfloor+\left\lfloor\frac{2m}n\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{(n-2)m}n\right\rfloor=\frac{(m-1)(n-1)+\gcd\{m,n\}-1}2

특히,

m,n

이 서로소인 경우 (즉,

\gcd\{m,n\}=1

인 경우) 다음과 같다.^[11]

:

\biggl\lfloor\frac mn\biggr\rfloor+\left\lfloor\frac{2m}n\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{(n-2)m}n\right\rfloor=\frac{(m-1)(n-1)}2

다음 공식들은 바닥 함수와 천장 함수를 포함하는 식을 단순화하는 데 사용될 수 있다.^[11]

:

\begin{alignat}{3}\lfloor x \rfloor &= m \ \ &&\mbox{ if and only if } &m &\le x < m+1,\\\lceil x \rceil &= n     &&\mbox{ if and only if } &\ \ n -1 &< x \le n,\\\lfloor x \rfloor &= m   &&\mbox{ if and only if } &x-1 &< m \le x,\\\lceil x \rceil &= n    &&\mbox{ if and only if }  &x &\le n < x+1.\end{alignat}

순서론의 언어로 표현하면, 바닥 함수는 잔류 사상인데, 이는 정수를 실수에 포함시키는 함수의 상위 갈루아 연결의 일부이다.^[11]

:

\begin{align}x

다음 공식들은 정수 n을 인수에 더하는 것이 함수에 어떤 영향을 미치는지 보여준다.^[11]

:

\begin{align}\lfloor x+n \rfloor &= \lfloor x \rfloor+n,\\\lceil x+n \rceil &= \lceil x \rceil+n,\\\{ x+n \} &= \{ x \}.\end{align}

위의 공식들은 n이 정수가 아닌 경우에는 절대 참이 아니지만, 모든 x와 y에 대해 다음 부등식이 성립한다.^[11]

:

\begin{align}\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor &\leq \lfloor x + y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1,\\[3mu]\lceil x \rceil + \lceil y \rceil -1 &\leq \lceil x + y \rceil \leq \lceil x \rceil + \lceil y \rceil.\end{align}

정의에 따르면 다음과 같은 관계가 성립한다.^[11]

:

\lfloor x \rfloor \le \lceil x \rceil,

여기서 등호는 x가 정수일 때만 성립한다. 즉,

:

\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = \begin{cases}0&\mbox{ if } x\in \mathbb{Z}\\1&\mbox{ if } x\not\in \mathbb{Z}\end{cases}

실제로, 정수 n에 대해 바닥 함수와 천장 함수 모두 항등 함수이다.^[11]

:

\lfloor n \rfloor = \lceil n \rceil = n.

인수를 부정하면 바닥 함수와 천장 함수가 바뀌고 부호가 변경된다.^[11]

:

\begin{align}\lfloor x \rfloor +\lceil -x \rceil &= 0 \\

\lfloor x \rfloor &= \lceil -x \rceil \\
\lceil x \rceil &= \lfloor -x \rfloor

\end{align}

그리고:^[11]

:

\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \begin{cases}0&\text{if } x\in \mathbb{Z}\\

1&\text{if } x\not\in \mathbb{Z},

\end{cases}

:

\lceil x \rceil + \lceil -x \rceil = \begin{cases}0&\text{if } x\in \mathbb{Z}\\1&\text{if } x\not\in \mathbb{Z}.\end{cases}

인수를 부정하면 소수 부분이 보완된다.^[11]

:

\{ x \} +  \{ -x \} = \begin{cases}0&\text{if } x\in \mathbb{Z}\\1&\text{if } x\not\in \mathbb{Z}.\end{cases}

바닥, 천장 및 소수 부분 함수는 멱등성을 가진다.^[11]

:

\begin{align}\big\lfloor \lfloor x \rfloor \big\rfloor &= \lfloor x \rfloor, \\\big\lceil \lceil x \rceil \big\rceil &= \lceil x \rceil, \\\big\{ \{ x \} \big\} &= \{ x \}.\end{align}

중첩된 바닥 함수 또는 천장 함수의 결과는 가장 안쪽의 함수이다.^[11]

:

\begin{align}\big\lfloor \lceil x \rceil \big\rfloor &= \lceil x \rceil, \\\big\lceil \lfloor x \rfloor \big\rceil &= \lfloor x \rfloor\end{align}

이는 정수의 항등 속성 때문이다.

다음 x는 임의의 실수로 한다.^[11]

$\lfloor x \rfloor$ 는 정수
$\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$

이지만, 상기 2개가 바닥 함수를 특징짓는다.

마찬가지로 천장 함수는^[11]

$\lceil x \rceil$ 는 정수
$\lceil x \rceil -1< x \le \lceil x \rceil$

에 의해 특징지어진다.

바닥 함수와 천장 함수의 관계는, x가 정수, 비정수인지에 따라 각각^[11]

$\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor$ 는 0 또는 1

이 된다. 바닥 함수와 천장 함수의 기본 부등식을 함께 사용하면

$\lceil x \rceil - 1 \le \lfloor x\rfloor \le x \le \lceil x \rceil \le \lfloor x \rfloor + 1$
임의의 정수 n에 대해,
: $\lfloor n+x \rfloor = n + \lfloor x\rfloor$
: $\lceil n+x \rceil = n + \lceil x\rceil$

바닥 함수와 천장 함수는 서로 상대방을 나타낼 수 있다.^[11]

$\lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor$
$\lfloor x \rfloor = - \lceil - x \rceil$
바닥 함수・천장 함수는 멱등이다.
: $\lfloor\lfloor x \rfloor\rfloor = \lfloor x \rfloor$
: $\lceil\lceil x \rceil\rceil = \lceil x \rceil$
임의의 정수 n에 대해,
: $\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + \left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil = n$ .

3. 3. 합 공식

임의의 양의 정수

n

과 실수

x

에 대하여, 다음과 같은 합 공식이 성립하며, 이를 '''에르미트 항등식'''이라고 한다.

:

\lfloor nx\rfloor=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor x+\frac 1n\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor x+\frac{n-1}n\right\rfloor

:

\lceil nx\rceil=\lceil x\rceil+\left\lceil x-\frac 1n\right\rceil+\cdots+\left\lceil x-\frac{n-1}n\right\rceil

특히,

x=m/n

(

m

은 정수)인 경우 다음과 같다.

:

\begin{align}m&=\biggl\lfloor\frac mn\biggr\rfloor+\left\lfloor\frac{m+1}n\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{m+n-1}n\right\rfloor\\&=\biggl\lceil\frac mn\biggr\rceil+\left\lceil\frac{m-1}n\right\rceil+\cdots+\left\lceil\frac{m-n+1}n\right\rceil\end{align}

특히,

n=2

인 경우 다음 항등식을 유도할 수 있다.

:

m=\biggl\lfloor\frac m2\biggr\rfloor+\biggl\lceil\frac m2\biggr\rceil

임의의 양의 정수

m,n

과 실수

x

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\biggl\lfloor\frac xn\biggr\rfloor+\biggl\lfloor\frac {x+m}n\biggr\rfloor+\left\lfloor\frac{x+2m}n\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{x+(n-1)m}n\right\rfloor=\biggl\lfloor\frac xm\biggr\rfloor+\biggl\lfloor\frac {x+n}m\biggr\rfloor+\left\lfloor\frac{x+2n}m\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{x+(m-1)n}m\right\rfloor

즉, 이러한 합 공식은

m,n

의 순서와 무관하다. 특히,

x=0

인 경우 합은 다음과 같이 주어진다.

:

\biggl\lfloor\frac mn\biggr\rfloor+\left\lfloor\frac{2m}n\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{(n-2)m}n\right\rfloor=\frac{(m-1)(n-1)+\gcd\{m,n\}-1}2

특히,

m,n

이 서로소인 경우 (즉,

\gcd\{m,n\}=1

인 경우) 다음과 같다.

:

\biggl\lfloor\frac mn\biggr\rfloor+\left\lfloor\frac{2m}n\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{(n-2)m}n\right\rfloor=\frac{(m-1)(n-1)}2

다음 공식들은 바닥 함수와 천장 함수를 포함하는 식을 단순화하는 데 사용될 수 있다.^[11]

:

\begin{alignat}{3}\lfloor x \rfloor &= m \ \ &&\mbox{ if and only if } &m &\le x < m+1,\\\lceil x \rceil &= n     &&\mbox{ if and only if } &\ \ n -1 &< x \le n,\\\lfloor x \rfloor &= m   &&\mbox{ if and only if } &x-1 &< m \le x,\\\lceil x \rceil &= n    &&\mbox{ if and only if }  &x &\le n < x+1.\end{alignat}

순서론의 언어로 표현하면, 바닥 함수는 잔류 사상인데, 이는 정수를 실수에 포함시키는 함수의 상위 갈루아 연결의 일부이다.

:

\begin{align}x

다음 공식들은 정수

n

을 인수에 더하는 것이 함수에 어떤 영향을 미치는지 보여준다.

:

\begin{align}\lfloor x+n \rfloor &= \lfloor x \rfloor+n,\\\lceil x+n \rceil &= \lceil x \rceil+n,\\\{ x+n \} &= \{ x \}.\end{align}

만약

n

이 양의 정수이면^[12]

:

\left\lfloor\frac{x+m}{n}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{\lfloor x\rfloor +m}{n}\right\rfloor,

:

\left\lceil\frac{x+m}{n}\right\rceil = \left\lceil\frac{\lceil x\rceil +m}{n}\right\rceil.

만약

m

이 양수이면,^[13] ( 에르미트 항등식 참조)

:

n=\left\lceil\frac{n}{m}\right\rceil + \left\lceil\frac{n-1}{m}\right\rceil +\dots+\left\lceil\frac{n-m+1}{m}\right\rceil,

:

n=\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n+1}{m}\right\rfloor +\dots+\left\lfloor\frac{n+m-1}{m}\right\rfloor.

:

\lceil mx \rceil =\left\lceil x\right\rceil  + \left\lceil x-\frac{1}{m}\right\rceil +\dots+\left\lceil x-\frac{m-1}{m}\right\rceil,

:

\lfloor mx \rfloor=\left\lfloor x\right\rfloor + \left\lfloor x+\frac{1}{m}\right\rfloor +\dots+\left\lfloor x+\frac{m-1}{m}\right\rfloor.

다음은 바닥 함수를 천장 함수로 또는 그 반대로 변환하는 데 사용할 수 있다(''m''은 양수).^[15]

:

\left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil = \left\lfloor \frac{n+m-1}{m} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{n - 1}{m} \right\rfloor + 1,

:

\left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor = \left\lceil \frac{n-m+1}{m} \right\rceil = \left\lceil \frac{n + 1}{m} \right\rceil - 1,

모든

m

과

n

에 대해 엄밀히 양의 정수이면:^[16]

:

\sum_{k = 1}^{n - 1} \left\lfloor \frac{k m}{n} \right\rfloor = \frac{(m - 1)(n - 1)+\gcd(m,n)-1}2,

이는 양수이고 상호소수

m

과

n

에 대해 다음으로 축소된다.

:

\sum_{k=1}^{n-1} \left\lfloor \frac{km}{n} \right\rfloor = \tfrac{1}{2}(m - 1)(n - 1) ,

그리고 천장 함수와 소수 부분 함수에 대해서도 마찬가지이다(여전히 양수이고 상호소수

m

과

n

에 대해),

:

\sum_{k=1}^{n-1} \left\lceil \frac{km}{n} \right\rceil = \tfrac{1}{2}(m + 1)(n - 1),

:

\sum_{k=1}^{n-1} \left\{ \frac{km}{n} \right\} = \tfrac{1}{2}(n - 1).

일반적인 경우의 우변이

m

과

n

에 대해 대칭이므로, 이는 다음을 의미한다.

:

\left\lfloor \frac{m}{n} \right \rfloor + \left\lfloor \frac{2m}{n} \right \rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{(n-1)m}{n} \right \rfloor =\left\lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor + \left\lfloor \frac{2n}{m} \right \rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{(m-1)n}{m} \right \rfloor.

더 일반적으로,

m

과

n

이 양수이면,

:

\begin{align}&\left\lfloor \frac{x}{n} \right \rfloor +\left\lfloor \frac{m+x}{n} \right \rfloor +\left\lfloor \frac{2m+x}{n} \right \rfloor +\dots +\left\lfloor \frac{(n-1)m+x}{n} \right \rfloor\\[5mu]=&\left\lfloor \frac{x}{m} \right \rfloor +\left\lfloor \frac{n+x}{m} \right \rfloor +\left\lfloor \frac{2n+x}{m} \right \rfloor +\cdots +\left\lfloor \frac{(m-1)n+x}{m} \right \rfloor.\end{align}

이것은 때때로 상호 법칙이라고 불린다.^[17]

서로소인 양의 정수

m, n

에 대해, 다음 식이 성립한다.^[61]

:

\textstyle\sum\limits_{i=1}^{n-1} \left\lfloor \dfrac{im}{n} \right\rfloor = \dfrac{(m-1)(n-1)}{2}.

3. 4. 푸리에 급수

소수 부분 함수는 주기 함수이며, 그 푸리에 급수는 다음과 같다.^[19]

:

\{x\}=\frac 12-\frac 1\pi\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(2n\pi x)}n\qquad x\not\in\mathbb Z

바닥 함수와 천장 함수는 주기 함수가 아니므로, 이들의 푸리에 급수는 균등 수렴하지 않는다. x가 정수가 아닌 경우, 바닥 함수는 다음과 같이 푸리에 급수로 전개할 수 있다.^[19]

:

\lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}  \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}

4. 응용

바닥 함수와 천장 함수는 수학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 활용된다.

모듈로 연산: 정수 $x$를 양의 정수 $y$로 나눈 나머지는 $x \bmod y = x-y\left\lfloor \frac{x}{y}\right\rfloor$로 표현할 수 있다. 예를 들어, $17 \bmod 5 = 17 - 5\left\lfloor \frac{17}{5}\right\rfloor = 17 - 5 \cdot 3 = 2$이다.

이차 상호 법칙: 가우스의 이차 상호 법칙 증명에는 바닥 함수가 사용된다.^[20]^[21] 홀수인 소수 $p$에 대한 작은 수들의 이차적 성질을 표현하는 공식에도 바닥 함수가 사용된다.^[22]

:

\begin{align}    \left(\frac{2}{p}\right) &= (-1)^{\left\lfloor\frac{p+1}{4}\right\rfloor}, \\[5mu]    \left(\frac{3}{p}\right) &= (-1)^{\left\lfloor\frac{p+1}{6}\right\rfloor}.    \end{align}

반올림: 실수 $x$를 양의 무한대 방향으로 묶음 풀기하여 가장 가까운 정수로 반올림하는 것은 $\left\lfloor x+\tfrac{1}{2}\right\rfloor$로 나타낼 수 있다.

양자화: 실수 $x$를 가장 가까운 정수 값으로 반올림하는 것은 기본적인 양자화기를 형성한다. 일반적인 균일 양자화기는 $Q(x) = \Delta \cdot \left\lfloor \frac{x}{\Delta} + \frac{1}{2} \right\rfloor$로 표현할 수 있다. ($\Delta$는 양자화 단계 크기)

자릿수: 양의 정수 $k$를 밑 $b$로 나타낼 때 자릿수는 $\lfloor \log_{b}{k} \rfloor + 1$이다. 예를 들어, $100$은 $10$진법으로 $3$자리 수이고, $\lfloor \log_{10}{100} \rfloor + 1 = 2 + 1 = 3$이다.

르장드르 공식: 양의 정수 $n$과 양의 소수 $p$가 주어졌을 때, $n!$을 나누는 $p$의 최고 거듭제곱의 지수는 르장드르 공식을 통해 구할 수 있다.^[24]

:

\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^3}\right\rfloor + \dots

예를 들어, $10!$을 나누는 $2$의 최고 거듭제곱 지수는 $\left\lfloor\frac{10}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{10}{4}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{10}{8}\right\rfloor = 5 + 2 + 1 = 8$이다.

4. 1. 정수 부분·소수 부분

실수

x

의 정수 부분은

\lfloor x\rfloor

이며, 소수 부분은

\{x\}

로 나타낸다. 예를 들어,

\lfloor 2.34\rfloor=2

,

\{2.34\}=0.34

이다.

컴퓨터 과학에서는 정수 부분과 소수 부분을 다르게 정의하기도 한다. 예를 들어, 다음과 같은 함수를 사용한다.

:

\operatorname{ip}(x):=\sgn(x)\lfloor|x|\rfloor=\begin{cases}\lfloor x\rfloor&x\ge 0\\\lceil x\rceil&x<0\end{cases}

:

\operatorname{fp}(x):=x-\operatorname{ip}(x)=\sgn(x)(|x|-\lfloor|x|\rfloor)=\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor&x\ge 0\\x-\lceil x\rceil&x<0\end{cases}

바닥 함수의 정의에 따라 실수

x

에 대해

\lfloor x \rfloor

를 정수 부분,

x - \lfloor x \rfloor

를 소수 부분이라고 부른다. 정수 부분은 정수이고, 소수 부분은 0 이상 1 미만의 값을 가진다. 소수 부분은

x \bmod 1

나

\{x\}

으로도 표기한다.

예를 들어, 입력값이 0 이상 또는 정수인 경우는 다음과 같다.

$\lfloor n \rfloor = n,\;\{ n \}=0$ ( $n$ 은 임의의 정수)
$\lfloor 1.7 \rfloor = 1,\;\{ 1.7 \} = 0.7$
$\left\lfloor \frac{4}{3} \right\rfloor = 1,\;\left\{ \frac{4}{3} \right\} = \frac{1}{3}$
$\lfloor \sqrt{3} \rfloor = \lfloor 1.732\cdots \rfloor = 1,\;\{ \sqrt{3} \} = \sqrt{3} -1 = 0.732\cdots$
$\lfloor \pi \rfloor = \lfloor 3.14\cdots \rfloor = 3,\;\{ \pi \} = \pi -3 = 0.14\cdots$
$\lfloor e \rfloor = \lfloor 2.71\cdots \rfloor = 2,\;\{e\} = e-2 = 0.71\cdots$ ( $\pi$ 는 원주율, $e$ 는 자연 상수)

입력값이 음의 정수가 아닌 경우에는, 정수 부분과 소수 부분이 소수점 이하 부분과 일치하지 않는다.

$\lfloor -1.7 \rfloor = -2,\;\{ -1.7 \} = 0.3$
$\left\lfloor -\frac{4}{3} \right\rfloor = -2,\;\left\{ -\frac{4}{3} \right\} = \frac{2}{3}$
$\lfloor -\sqrt{3} \rfloor = \lfloor -1.732\cdots \rfloor = -2,\;\{ -\sqrt{3} \} = 2- \sqrt{3} = 0.267\cdots$
$\lfloor -\pi \rfloor = \lfloor -3.14\cdots \rfloor = -4,\;\{ -\pi \} = 4- \pi = 0.85\cdots$

-1.2

의 정수 부분을

-1

로 정의하는 방법(「0으로의 반올림」)도 있지만 일반적이지 않다.

양의 유리수의 대분수 표시는 정수 부분과 소수 부분(진분수)의 합으로 나타낼 수 있다.

4. 2. 내림·올림

실수

x

를 정수로 '''내림'''한 값은

\lfloor x\rfloor

이며, 정수로 '''올림'''한 값은

\lceil x\rceil

이다. 컴퓨터 과학에서는 변형된 내림·올림이 쓰이기도 한다. 즉, 실수

x

를 정수로 내림(올림)한 값을

\operatorname{ip}(x)

로 정의한다.

실수

x \ge 0

에 제한을 두면, 바닥 함수와 천장 함수는 소수점 첫째 자리에서 버림 및 올림이다. 이것을 이용하여, 위치 기수법 표기에서의 임의의 자리에서 버림이나 반올림을 바닥 함수로 나타낼 수 있다.

실수 $x \ge 0$ 의 소수점 이하를 반올림한 값은 $\lfloor x+0.5 \rfloor$ 이다.
실수 $x \le 0$ 의 소수점 이하를 반올림한 값은 $\lceil x-0.5 \rceil$ 이다.

이하 십진법 표기라고 한다. 실수

x \ge 0

에 대해,

$10^n$ 의 자리에서 버림은 $10^{n+1} \left\lfloor \frac{x}{10^{n+1}} \right\rfloor$ 이다.
소수점 $n$ 번째 자리에서 버림은 $\frac{1}{10^{n-1}} \lfloor 10^{n-1} x \rfloor$ 이다.
$10^n$ 의 자리에서 반올림은 $10^{n+1} \left\lfloor \frac{x}{10^{n+1}} +0.5 \right\rfloor$ 이다.
소수점 $n$ 번째 자리에서 반올림은 $\frac{1}{10^{n-1}} \lfloor 10^{n-1} x +0.5 \rfloor$ 이다.

4. 3. 반올림

실수

x

를 정수로 반올림한 값은

\lfloor x+0.5\rfloor

이다. 예를 들어,

\lfloor 2.34+0.5\rfloor=2

,

\lfloor 7.5+0.5\rfloor=8

이다.

컴퓨터 과학에서는 반올림의 여러 가지 변형이 사용되는데, 이들은 반정수의 경우를 달리 정의하며, 그 밖의 경우는 원래의 반올림과 일치한다. 원래의 반올림은 반정수를 비교적 큰 정수로 근사한다. 반정수를 비교적 작은 정수로 근사하는 반올림은

x\mapsto\lceil x-0.5\rceil

이며, 반정수를 절댓값이 비교적 큰 정수로 근사하는 반올림은

x\mapsto\sgn(x)\lfloor|x|+0.5\rfloor

이며, 반정수를 절댓값이 비교적 작은 정수로 근사하는 반올림은

x\mapsto\sgn(x)\lceil|x|-0.5\rceil

이다. 또한, '''최근 정수 함수'''(nearest integer function^영어)라고 불리는 함수는 반정수를 짝수로 근사하는 반올림 함수이다.

:

\operatorname{nint}(x)=\lfloor x\rceil:=\lfloor x-0.5\rfloor-\left\lfloor\frac{x-0.5}2\right\rfloor-\left\lfloor-\frac{x-0.5}2\right\rfloor=\begin{cases}\lfloor x+0.5\rfloor&x\not\in 2\mathbb Z+0.5\\\lfloor x-0.5\rfloor&x\in 2\mathbb Z+0.5\end{cases}

임의의 실수

x

에 대해, 양의 무한대 방향으로 묶음 풀기를 하여 가장 가까운 정수로 반올림하는 것은

\text{rpi}(x)=\left\lfloor x+\tfrac{1}{2}\right\rfloor = \left\lceil \tfrac12\lfloor 2x \rfloor \right\rceil

로 표시되며, 음의 무한대 방향으로의 반올림은

\text{rni}(x)=\left\lceil x-\tfrac{1}{2}\right\rceil = \left\lfloor \tfrac12 \lceil 2x \rceil \right\rfloor

로 표시된다.

묶음 풀기가 0에서 멀어지는 방향일 경우, 반올림 함수는

\text{ri}(x) = \sgn(x)\left\lfloor|x|+\tfrac{1}{2}\right\rfloor

이며 (sign function 참조), 짝수로 반올림은

\lfloor x\rceil=\left\lfloor x+\tfrac{1}{2}\right\rfloor+\bigl\lceil\tfrac14(2x-1)\bigr\rceil-\bigl\lfloor\tfrac14(2x-1)\bigr\rfloor-1

로 표현될 수 있는데, 이는 양의 무한대 방향으로의 반올림

\text{rpi}(x)

에 대한 식에서

\tfrac14(2x-1)

의 정수성 지표를 뺀 것이다.

실수

x

를 가장 가까운 정수 값으로 반올림하는 것은 매우 기본적인 유형의 양자화기 – ''균일''한 양자화기를 형성한다. 어떤 값

\Delta

와 같은 양자화 ''단계 크기''를 갖는 일반적인 (''mid-tread'') 균일 양자화기는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

Q(x) = \Delta \cdot  \left\lfloor \frac{x}{\Delta} + \frac{1}{2} \right\rfloor

실수

x \ge 0

에 제한을 두면, 바닥 함수와 천장 함수는 소수점 첫째 자리에서 버림 및 올림이다. 이것을 이용하여, 위치 기수법 표기에서의 임의의 자리에서 버림이나 반올림을 바닥 함수로 나타낼 수 있다.

실수 $x \ge 0$ 의 소수점 이하를 반올림한 값은 $\lfloor x+0.5 \rfloor$ 이다.
실수 $x \le 0$ 의 소수점 이하를 반올림한 값은 $\lceil x-0.5 \rceil$ 이다.

이하 십진법 표기라고 한다. 실수

x \ge 0

에 대해,

$10^{n}$ 의 자리에서 버림은 $10^{n+1} \left\lfloor \frac{x}{10^{n+1}} \right\rfloor$ 이다.
소수점 $n$ 번째 자리에서 버림은 $\frac{1}{10^{n-1}} \lfloor 10^{n-1} x \rfloor$ 이다.
$10^{n}$ 의 자리에서 반올림은 $10^{n+1} \left\lfloor \frac{x}{10^{n+1}} +0.5 \right\rfloor$ 이다.
소수점 $n$ 번째 자리에서 반올림은 $\frac{1}{10^{n-1}} \lfloor 10^{n-1} x +0.5 \rfloor$ 이다.

4. 4. 나머지 있는 나눗셈

두 정수

m,n\in\mathbb Z

(

n\ne 0

)의 나머지 있는 나눗셈의 결과를 바닥 함수를 통해 나타낼 수 있다. 몫은

:

\biggl\lfloor\frac mn\biggr\rfloor

이며, 나머지는

:

m-\biggl\lfloor\frac mn\biggr\rfloor n

이다.

만약 ''m''과 ''n''이 정수이고, ''n'' ≠ 0 이면,

:

0 \le \left\{ \frac{m}{n} \right\} \le 1-\frac{1}

.

정수 ''x''와 양의 정수 ''y''에 대해, 모듈로 연산은 ''x'' mod ''y''로 표기하며, ''x''를 ''y''로 나눈 나머지를 값으로 한다. 이 정의는 실수 ''x''와 ''y'', ''y'' ≠ 0으로 다음 공식에 의해 확장될 수 있다.

:

x \bmod y = x-y\left\lfloor \frac{x}{y}\right\rfloor.

바닥 함수의 정의에 따라 이 확장된 연산은 많은 자연스러운 속성을 만족한다. 특히, ''x'' mod ''y''는 항상 0과 ''y'' 사이에 있다. 즉,

''y''가 양수이면,

:

0 \le x \bmod y

''y''가 음수이면,

:

0 \ge x \bmod y >y.

4. 5. 자릿수

b^영어진법에서 정수 n^영어의 자릿수는 다음과 같다.

:

\lfloor\log_b|n|\rfloor+1=\lceil\log_b(|n|+1)\rceil

양의 정수 ''k''를 밑 b^영어로 나타낼 때 자릿수는 다음과 같다.

:

\lfloor \log_{b}{k} \rfloor + 1 = \lceil \log_{b}{(k+1)} \rceil .

4. 6. 계승의 소인수 분해

르장드르 공식에 따르면, 양의 정수 ''n''과 양의 소수 ''p''가 주어졌을 때, ''n''!을 나누는 ''p''의 최고 거듭제곱의 지수는 다음과 같이 계산할 수 있다.^[24]

:

\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p^3}\right\rfloor + \dots = \frac{n-\sum_{k}a_k}{p-1}

여기서

n = \sum_{k}a_kp^k

는 ''n''을 ''p''진법으로 나타낸 것이다. 이 합은 유한한데, ''p''^''k'' > ''n''일 때 바닥 함수가 0이 되기 때문이다.

이것은 자연수 ''n''의 계승이 소수 ''p''로 나누어 떨어지는 횟수를 구하는 공식과 같다.^[61]

:

\textstyle\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \log_p n \rfloor} \left\lfloor \dfrac{n}{p^i} \right\rfloor

5. 역사

1808년에 카를 프리드리히 가우스는 이차 상호 법칙의 세 번째 증명에서 기호 $[x]$ 를 사용하여 바닥 함수를 정의하였다.^[62] 이 기호는 1962년에 케네스 아이버슨이 《프로그래밍 언어》(''A Programming Language'')라는 책에서 바닥 함수와 천장 함수라는 용어를 정의하고 기호로 각각 $\lfloor x\rfloor$ 와 $\lceil x \rceil$ 로 나타낼 때까지 표준 형태였다.^[63]^[64] 지금은 두 사람의 기호가 모두 쓰이고 있다. 수의 ''정수 부분''은 1798년 아드리앵마리 르장드르가 르장드르 공식 증명에서 처음 정의했다.

카를 프리드리히 가우스는 2차 상호 법칙의 세 번째 증명(1808)에서 대괄호 표기 $[''x'']$ 를 도입했다.^[3] 이는 케네스 E. 아이버슨이 1962년 저서 ''A Programming Language''에서 "floor"와 "ceiling"이라는 이름과 해당 표기 $⌊''x''⌋$ 와 $⌈''x''⌉$ 를 도입할 때까지 수학에서 표준으로 남아있었다.^[5]^[6]

바닥 함수는 $\lfloor x \rfloor$ , 천장 함수는 $\lceil x \rceil$ 로 위아래가 잘린 꺾쇠 괄호로 표기한다. 이는 에서 `\lfloor`, `\rfloor`, `\lceil`, `\rceil`로 표기한다. 유니코드^영어에서는 U+2308부터 U+230B에 할당되어 있다.

참조

_[1] 서적 Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
_[2] 서적 1998
_[3] 서적 Lemmermeyer
_[4] 서적 "Cassels, Hardy & Wright, and Ribenboim use Gauss's notation. Graham, Knuth & Patashnik, and Crandall & Pomerance use Iverson's."
_[5] 서적 Iverson
_[6] 서적 Higham
_[7] 웹사이트 Mathwords: Floor Function http://www.mathwords[...]
_[8] 웹사이트 Mathwords: Ceiling Function http://www.mathwords[...]
_[9] 서적 Graham, Knuth, & Patashnik
_[10] 웹사이트 LaTeX News, Issue 28 https://www.latex-pr[...] The LaTeX Project 2024-07-27
_[11] 서적 Graham, Knuth, & Patashink, Ch. 3
_[12] 서적 Graham, Knuth, & Patashnik
_[13] 서적 Graham, Knuth, & Patashnik
_[14] 서적 Graham, Knuth, & Patashnik
_[15] 서적 Graham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3.12
_[16] 서적 Graham, Knuth, & Patashnik
_[17] 서적 Graham, Knuth, & Patashnik
_[18] 서적 Graham, Knuth, & Patashnik
_[19] 서적 Titchmarsh
_[20] 서적 Lemmermeyer
_[21] 서적 Hardy & Wright
_[22] 서적 Lemmermeyer
_[23] OEIS Total number of arrangements of a set with n elements: a(n) = Sum_{k=0..n} n!/k!.
_[24] 서적 Hardy & Wright, Th. 416
_[25] 서적 Graham, Knuth, & Patashnik
_[26] 위키백과 These formulas are from the Wikipedia article Euler–Mascheroni constant, which has many more.
_[27] 서적 Titchmarsh
_[28] 서적 Titchmarsh
_[29] 서적 Crandall & Pomerance
_[30] 서적 Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46. The infinite upper limit of the sum can be replaced with ''n''. An equivalent condition is ''n'' > 1 is prime if and only if $\sum_{m=1}^{\lfloor \sqrt n \rfloor} \bigl(\bigl\lfloor\frac{n}{m}\bigr\rfloor-\bigl\lfloor\frac{n-1}{m}\bigr\rfloor\bigr) = 1$ .
_[31] 서적 Hardy & Wright
_[32] 서적 Ribenboim
_[33] 서적 Ribenboim
_[34] 서적 Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
_[35] 서적 Ribenboim, p. 180 says that "Despite the nil practical value of the formulas ... [they] may have some relevance to logicians who wish to understand clearly how various parts of arithmetic may be deduced from different axiomatzations ... "
_[36] 서적 "Any one of these formulas (or any similar one) would attain a different status if the exact value of the number α ... could be expressed independently of the primes. There seems no likelihood of this, but it cannot be ruled out as entirely impossible."
_[37] 간행물 Papers
_[38] 논문 On some generalizations to floor function identities of Ramanujan http://math.colgate.[...]
_[39] 서적
_[40] 논문 On the fractional parts of the powers of a rational number II 1957
_[41] 웹사이트 C++ reference of floor function http://en.cppreferen[...] 2010-12-05
_[42] 웹사이트 C++ reference of ceil function http://en.cppreferen[...] 2010-12-05
_[43] 웹사이트 Math.Floor Method (System) https://docs.microso[...] 2019-11-28
_[44] 웹사이트 Math.Ceiling Method (System) https://docs.microso[...] 2019-11-28
_[45] 웹사이트 Math (Java SE 9 & JDK 9 ) https://docs.oracle.[...] 2018-11-20
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바닥 함수와 천장 함수
개요
명칭	바닥 함수와 천장 함수
영어 명칭	Floor and ceiling functions
정의
바닥 함수	실수 x보다 크지 않은 가장 큰 정수 (바닥)
기호	⌊x⌋ 또는 floor(x)
천장 함수	실수 x보다 작지 않은 가장 작은 정수 (천장)
기호	⌈x⌉ 또는 ceil(x)
예시
바닥 함수	⌊2.4⌋ = 2, ⌊-2.4⌋ = -3
천장 함수	⌈2.4⌉ = 3, ⌈-2.4⌉ = -2
표기법
일반적인 표기	[x] (드물게 사용됨)
Iverson 표기법	케네스 아이버슨이 제안, ⌊x⌋ 및 ⌈x⌉
성질
정수 n에 대해	⌊n⌋ = ⌈n⌉ = n
중요 성질	⌊x+1⌋ = ⌈x⌉
응용
컴퓨터 과학	컴퓨터 과학에서 배열 인덱스 계산, 테이블 크기 결정 등에 사용됨
관련 함수
소수 부분 함수	{x} = x - ⌊x⌋

기호	유니코드	JIS X 0213	문자 참조	이름
⌈	U+2308	-	⌈	LEFT CEILING
⌉	U+2309	-	⌉	RIGHT CEILING
⌊	U+230A	-	⌊	LEFT FLOOR
⌋	U+230B	-	⌋	RIGHT FLOOR