아인슈타인-힐베르트 작용

1. 개요

아인슈타인-힐베르트 작용은 일반 상대성 이론의 핵심적인 개념으로, 중력을 기술하는 데 사용되는 작용(functional)이다. 이 작용은 스칼라 곡률과 중력 상수를 포함하며, 우주 상수를 추가하여 확장할 수 있다. 아인슈타인-힐베르트 작용에 최소 작용 원리를 적용하여 아인슈타인 장 방정식을 유도할 수 있으며, 이는 일반 상대성 이론의 운동 방정식 역할을 한다. 이 작용은 일반 상대성 이론과 다른 장 이론을 통합하고, 뇌터 정리를 통해 보존량을 식별하는 데 기여한다.

2. 정의

아인슈타인-힐베르트 작용에서 운동 방정식을 유도하면 몇 가지 장점이 있다. 첫째, 일반 상대성 이론을 맥스웰 이론처럼 작용으로 공식화할 수 있는 다른 고전적인 장 이론과 쉽게 통합할 수 있다. 이 과정에서 계량을 물질장과 연결하는 소스 항의 자연스러운 후보가 식별된다. 또한, 작용의 대칭성을 통해 뇌터 정리로 보존량을 쉽게 찾을 수 있다.

일반 상대성 이론에서 작용은 보통 계량(및 물질장)의 범함수로 간주되며, 접속은 레비-치비타 접속으로 주어진다. 일반 상대성 이론의 팔라티니 작용은 계량과 접속이 독립적이라고 가정하고 둘 다 독립적으로 변화시켜, 정수가 아닌 스핀을 가진 페르미온 물질장을 포함할 수 있게 한다.

물질이 존재할 때 아인슈타인 방정식은 아인슈타인-힐베르트 작용에 물질 작용을 더해 주어진다.

2.1. 기본 정의

아인슈타인-힐베르트 작용 $S$는 다음과 같다.

:$S\; =\backslash frac\{1\}\{2\backslash kappa\}\backslash int\; R\; \backslash sqrt\{-g\}\; \backslash ,\; d^4x$

여기서 $R$은 스칼라 곡률이고, $\backslash kappa=8\backslash pi\; G/c^4$이다. $G$는 중력 상수다.

필요하면 우주 상수를 더하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$S\; =\backslash frac\{1\}\{2\backslash kappa\}\backslash int(R-2\backslash Lambda)\backslash sqrt\{-g\}\; \backslash ,\; d^4x$

2.2. 우주 상수

필요하면 우주 상수를 더하여 아인슈타인-힐베르트 작용을 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$S\; =\backslash frac1\{2\backslash kappa\}\backslash int(R-2\backslash Lambda)\backslash sqrt\{-g\}\; \backslash ,\; d^4x$.

우주 상수 Λ가 라그랑지안에 포함될 때, 작용은 다음과 같다.

:$S\; =\; \backslash int\; \backslash left[\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash kappa\}\; (R-2\; \backslash Lambda\; )\; +\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}\; \backslash right]\; \backslash sqrt\{-g\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}^4\; x$

$\backslash kappa\; =\; \backslash frac\{8\; \backslash pi\; G\}\{c^4\}$을 대입하면 이 식은 우주 상수를 포함하는 장 방정식이 된다.

:$R\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; R\; +\; \backslash Lambda\; g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; =\; \backslash frac\{8\; \backslash pi\; G\}\{c^4\}\; T\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}.$

우주 상수 Λ는 라그랑지안이므로 새로운 작용과 장 방정식은 다음과 같다.

:$S\; =\; \backslash int\; \backslash left[\; \{1\; \backslash over\; 2\backslash kappa\}\; \backslash left(\; R\; -\; 2\; \backslash Lambda\; \backslash right)\; +\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}\; \backslash right]\; \backslash sqrt\{-g\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}^4\; x$

:$R\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; R\; +\; \backslash Lambda\; g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; =\; \backslash frac\{8\; \backslash pi\; G\}\{c^4\}\; T\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}$

3. 장 방정식 유도

최소 작용 원리를 사용하여 아인슈타인-힐베르트 작용으로부터 아인슈타인 장 방정식을 유도하는 과정을 살펴보자.

이론의 완전한 작용은 아인슈타인-힐베르트 항에 물질장을 묘사하는 항 $\backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}$을 더한 것으로 주어진다.

:$S\; =\; \backslash int\; \backslash left[\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash kappa\}\; R\; +\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}\; \backslash right]\; \backslash sqrt\{-g\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}^4\; x$.

최소 작용 원리에 따르면, 이 작용의 역 계량에 대한 변분은 0이 되어야 한다. 이 식을 전개하면 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
0 &= \delta S \\
&= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}
\right] \delta g^{\mu\nu} \, \mathrm{d}^4x \\
&= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} }
\right) + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x
\end{align}.

이 방정식은 임의의 변분 $\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}$에 대해 성립해야 하므로, 다음을 얻는다.

:$\backslash frac\{\backslash delta\; R\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}\; +\; \backslash frac\{R\}\{\backslash sqrt\{-g\}\}\; \backslash frac\{\backslash delta\; \backslash sqrt\{-g\}\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}\; =\; -2\backslash kappa\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{-g\}\}\; \backslash frac\{\backslash delta\; (\backslash sqrt\{-g\}\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\})\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}$

위 식은 계량장에 대한 운동 방정식을 나타낸다. 우변은 에너지-운동량 텐서에 비례하며, 다음과 같이 정의된다.

:$T\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; :=\; \backslash frac\{-2\}\{\backslash sqrt\{-g\}\}\backslash frac\{\backslash delta\; (\backslash sqrt\{-g\}\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\})\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}\; =\; -2\; \backslash frac\{\backslash delta\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}\; +\; g\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}.$

이제 좌변을 계산하기 위해 리치 스칼라 $R$의 변분과 계량의 행렬식의 변분을 구해야 한다. 이 과정은 Carroll (2004)와 같은 표준 교과서에서 자세히 다루어진다.

3.1. 최소 작용 원리

이론의 완전한 작용이 아인슈타인-힐베르트 항에 물질장을 묘사하는 항 $\backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}$이 더해진 것으로 주어졌다고 하자.

:$S\; =\; \backslash int\; \backslash left[\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash kappa\}\; R\; +\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}\; \backslash right]\; \backslash sqrt\{-g\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}^4\; x$.

그러면 최소 작용 원리는 물리법칙을 유지하기 위해선 이 작용의 역 계량에 대한 변분이 영이 되어야 함을 시사한다.

:$\backslash begin\{align\}$
0 &= \delta S \\
&= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}
\right] \delta g^{\mu\nu} \, \mathrm{d}^4x \\
&= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} }
\right) + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x
\end{align}.

이 방정식은 임의의 변분 $\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}$에 대해 성립해야 하므로, 이는

:$\backslash frac\{\backslash delta\; R\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}\; +\; \backslash frac\{R\}\{\backslash sqrt\{-g\}\}\; \backslash frac\{\backslash delta\; \backslash sqrt\{-g\}\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}\; =\; -2\backslash kappa\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{-g\}\}\; \backslash frac\{\backslash delta\; (\backslash sqrt\{-g\}\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\})\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}$

가 운동 방정식임을 보여준다. 오른쪽 항은 에너지-운동량 텐서에 비례한다.

:$T\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; :=\; \backslash frac\{-2\}\{\backslash sqrt\{-g\}\}\backslash frac\{\backslash delta\; (\backslash sqrt\{-g\}\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\})\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}\; =\; -2\; \backslash frac\{\backslash delta\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}\; +\; g\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}.$

왼쪽 항을 계산하기 위해 우리는 리치 스칼라 $R$의 변분과 계량의 행렬식이 필요하다.

3.2. 라그랑지안과 운동 방정식

이론의 완전한 작용은 아인슈타인-힐베르트 항에 물질장을 묘사하는 항 $\backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}$을 더한 것으로 주어진다.

:$S\; =\; \backslash int\; \backslash left[\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash kappa\}\; R\; +\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}\; \backslash right]\; \backslash sqrt\{-g\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}^4\; x$.

정상 작용 원리에 따르면, 이 작용의 역 계량 텐서에 대한 변분은 0이 되어야 한다.

:$\backslash begin\{align\}$
0 &= \delta S \\
&= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}
\right] \delta g^{\mu\nu} \, \mathrm{d}^4x \\
&= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}}
\right) + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x
\end{align}.

이 방정식은 임의의 변분 $\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}$에 대해 성립해야 하므로, 다음을 얻는다.

:$\backslash frac\{\backslash delta\; R\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}\; +\; \backslash frac\{R\}\{\backslash sqrt\{-g\}\}\; \backslash frac\{\backslash delta\; \backslash sqrt\{-g\}\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}\; =\; -2\backslash kappa\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{-g\}\}\; \backslash frac\{\backslash delta\; (\backslash sqrt\{-g\}\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\})\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}$

이는 계량장에 대한 운동 방정식이다. 이 방정식의 우변은 응력-에너지 텐서에 비례한다.

:$T\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; :=\; \backslash frac\{-2\}\{\backslash sqrt\{-g\}\}\backslash frac\{\backslash delta\; (\backslash sqrt\{-g\}\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\})\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}\; =\; -2\; \backslash frac\{\backslash delta\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}\; +\; g\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}$.

방정식의 좌변을 계산하기 위해서는 리치 스칼라 $R$과 계량 텐서의 행렬식의 변분을 구해야 한다. 이 계산은 Carroll (2004)와 같은 표준 교과서에서 찾을 수 있다.

3.3. 리만 텐서, 리치 텐서, 리치 스칼라의 변분

리만 곡률 텐서는 다음과 같이 정의된다.

:$\{R^\backslash rho\}\_\{\backslash sigma\backslash mu\backslash nu\}\; =\; \backslash partial\_\backslash mu\backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash nu\backslash sigma\}-\; \backslash partial\_\backslash nu\backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash mu\backslash sigma\}\; +\; \backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash mu\backslash lambda\}\; \backslash Gamma^\backslash lambda\_\{\backslash nu\backslash sigma\}\; -\; \backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash nu\backslash lambda\}\backslash Gamma^\backslash lambda\_\{\backslash mu\backslash sigma\}.$

리만 곡률 텐서는 오직 레비치비타 접속 $\backslash Gamma^\backslash lambda\_\{\backslash mu\backslash nu\}$에 대해서만 달라지므로, 리만 텐서의 변분은 다음과 같이 계산된다.

:$\backslash delta\{R^\backslash rho\}\_\{\backslash sigma\backslash mu\backslash nu\}\; =\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash delta\; \backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash nu\backslash sigma\}\; -\; \backslash partial\_\backslash nu\backslash delta\backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash mu\backslash sigma\}\; +\; \backslash delta\; \backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash mu\backslash lambda\}\; \backslash Gamma^\backslash lambda\_\{\backslash nu\backslash sigma\}\; +\; \backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash mu\backslash lambda\}\; \backslash delta\backslash Gamma^\backslash lambda\_\{\backslash nu\backslash sigma\}\; -\; \backslash delta\backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash nu\backslash lambda\}\; \backslash Gamma^\backslash lambda\_\{\backslash mu\backslash sigma\}\; -\backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash nu\backslash lambda\}\; \backslash delta\backslash Gamma^\backslash lambda\_\{\backslash mu\backslash sigma\}.$

$\backslash delta\backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash nu\backslash sigma\}$는 두 접속의 차이이므로, 이는 텐서이며 이의 공변미분은 다음과 같다.

:$\backslash nabla\_\backslash mu\; \backslash left(\; \backslash delta\; \backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash nu\backslash sigma\}\; \backslash right\; )\; =\; \backslash partial\_\backslash mu\; (\backslash delta\; \backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash nu\backslash sigma\})\; +\; \backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash mu\backslash lambda\}\; \backslash delta\; \backslash Gamma^\backslash lambda\_\{\backslash nu\backslash sigma\}\; -\backslash Gamma^\backslash lambda\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; \backslash delta\; \backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash lambda\backslash sigma\}\; -\; \backslash Gamma^\backslash lambda\_\{\backslash mu\backslash sigma\}\; \backslash delta\; \backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash nu\backslash lambda\}.$

따라서 리만 곡률 텐서의 변분의 표현은 다음 두 항의 차이와 같다.

:$\backslash delta\{R^\backslash rho\}\_\{\backslash sigma\backslash mu\backslash nu\}\; =\; \backslash nabla\_\backslash mu\; \backslash left(\; \backslash delta\backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash nu\backslash sigma\}\; \backslash right)\; -\backslash nabla\_\backslash nu\; \backslash left(\; \backslash delta\backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash mu\backslash sigma\}\; \backslash right).$

리치 텐서의 변분은 리만 텐서 변분의 인덱스를 축약하여 얻을 수 있으며, 이를 팔라티니 항등식이라 부른다.

:$\backslash delta\; R\_\{\backslash sigma\backslash nu\}\; \backslash equiv\; \backslash delta\; \{R^\backslash rho\}\_\{\backslash sigma\backslash rho\backslash nu\}\; =\; \backslash nabla\_\backslash rho\; \backslash left(\; \backslash delta\; \backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash nu\backslash sigma\}\; \backslash right)\; -\; \backslash nabla\_\backslash nu\; \backslash left(\; \backslash delta\; \backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash rho\backslash sigma\}\; \backslash right).$

리치 스칼라는 다음과 같이 정의된다.

:$R\; =\; g^\{\backslash sigma\backslash nu\}\; R\_\{\backslash sigma\backslash nu\}.$

그러므로, 이의 역 계량 $g^\{\backslash sigma\backslash nu\}$에 대한 변분은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\delta R &= R_{\sigma\nu} \delta g^{\sigma\nu} + g^{\sigma\nu} \delta R_{\sigma\nu}\\
&= R_{\sigma\nu} \delta g^{\sigma\nu} + \nabla_\rho \left( g^{\sigma\nu} \delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - g^{\sigma\rho} \delta \Gamma^\mu_{\mu\sigma} \right)
\end{align}

두 번째 줄에서는 계량 호환성 $\backslash nabla\_\backslash sigma\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\; =\; 0$과, 리치 곡률에 대해 앞서 얻었던 결과를 사용하였다.

$\backslash sqrt\{-g\}$를 곱하면, 항 $\backslash nabla\_\backslash rho\; \backslash left(\; g^\{\backslash sigma\backslash nu\}\; \backslash delta\backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash nu\backslash sigma\}\; -\; g^\{\backslash sigma\backslash rho\}\backslash delta\backslash Gamma^\backslash mu\_\{\backslash mu\backslash sigma\}\; \backslash right)$는 전미분이 된다. 이는 스토크스 정리에 의해, 적분될 때 경계 항만을 생성한다. 기번스-호킹-요크 경계 항에 따르면, 이 경계 항은 일반적으로 0이 아니지만, 계량의 변분 $\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}$이 경계의 근방에서 사라지거나 경계가 없을 때, 이 항은 작용의 변분에 기여하지 않는다. 따라서 이 항을 무시하면 다음을 얻는다.

:$\backslash frac\{\backslash delta\; R\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}\; =\; R\_\{\backslash mu\backslash nu\}$

3.4. 야코비 공식과 행렬식의 변분

야코비 공식은 행렬식을 미분하는 규칙으로, 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash delta\; g\; =\; \backslash delta\; \backslash det(g\_\{\backslash mu\backslash nu\})\; =\; g\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\; \backslash delta\; g\_\{\backslash mu\backslash nu\}$

여기서 $g\_\{\backslash mu\backslash nu\}$는 계량 텐서, $g$는 계량 텐서의 행렬식이다. 이 공식은 $g\_\{\backslash mu\backslash nu\}$를 대각행렬로 변환한 후 주대각선 요소들의 곱에 대한 곱의 규칙을 적용하여 유도할 수도 있다.

야코비 공식을 이용하면, 계량 텐서 행렬식의 변분 $\backslash delta\; \backslash sqrt\{-g\}$는 다음과 같이 계산된다.

:$\backslash delta\; \backslash sqrt\{-g\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\backslash sqrt\{-g\}\}\backslash delta\; g\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sqrt\{-g\}\; \backslash left(\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\; \backslash delta\; g\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; \backslash right)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sqrt\{-g\}\; \backslash left(\; g\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; \backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\; \backslash right)$

마지막 등식에서는 다음 관계식이 사용되었다.

:$g\_\{\backslash mu\backslash nu\}\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\; =\; -g^\{\backslash mu\backslash nu\}\; \backslash delta\; g\_\{\backslash mu\backslash nu\}$

이 관계식은 역행렬의 미분 규칙

:$\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\; =\; -\; g^\{\backslash mu\backslash alpha\}\; \backslash left(\; \backslash delta\; g\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\; \backslash right)\; g^\{\backslash beta\backslash nu\}$

으로부터 유도된다.

결론적으로, 다음 식을 얻을 수 있다.

:$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{-g\}\}\; \backslash frac\{\backslash delta\; \backslash sqrt\{-g\}\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\; \}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\; g\_\{\backslash mu\backslash nu\}$

3.5. 에너지-운동량 텐서

이론의 전체 작용이 아인슈타인-힐베르트 항에 물질장을 묘사하는 항 $\backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}$을 더하여 주어진다고 하면, 다음과 같다.

:$S\; =\; \backslash int\; \backslash left[\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash kappa\}\; R\; +\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}\; \backslash right]\; \backslash sqrt\{-g\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}^4\; x$.

최소 작용 원리에 의해 이 작용의 역 계량에 대한 변분은 0이 되어야 한다.

:$\backslash begin\{align\}$
0 &= \delta S \\
&= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}
\right] \delta g^{\mu\nu} \, \mathrm{d}^4x \\
&= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}}
\right) + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x
\end{align}.

이 방정식은 임의의 변분 $\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}$에 대해 성립해야 하므로, 다음을 얻는다.

:$\backslash frac\{\backslash delta\; R\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}\; +\; \backslash frac\{R\}\{\backslash sqrt\{-g\}\}\; \backslash frac\{\backslash delta\; \backslash sqrt\{-g\}\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}\; =\; -2\backslash kappa\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{-g\}\}\; \backslash frac\{\backslash delta\; (\backslash sqrt\{-g\}\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\})\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}$

이는 운동 방정식이다. 이 식의 오른쪽 항은 에너지-운동량 텐서에 비례한다.

:$T\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; :=\; \backslash frac\{-2\}\{\backslash sqrt\{-g\}\}\backslash frac\{\backslash delta\; (\backslash sqrt\{-g\}\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\})\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}\; =\; -2\; \backslash frac\{\backslash delta\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}\}\{\backslash delta\; g^\{\backslash mu\backslash nu\}\}\; +\; g\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}.$

왼쪽 항을 계산하기 위해서는 리치 스칼라 $R$의 변분과 계량의 행렬식이 필요하다. 이는 Carroll (2004)와 같은 교재에 잘 나와 있다.

4. 아인슈타인 장 방정식

계량장의 운동 방정식에 필요한 식의 변형을 대입하면, 다음과 같은 아인슈타인의 장 방정식을 얻을 수 있다.

:$R\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; g\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; R\; =\; \backslash kappa\; T\_\{\backslash mu\backslash nu\}$

여기서,

:$\backslash kappa\; =\; \backslash frac\{8\; \backslash pi\; G\}\{c^4\}$

이며, $G$는 중력 상수이다. 이 상수를 위와 같이 선택하면, 비상대론적 극한에서 뉴턴의 만유인력의 법칙을 얻을 수 있다. (자세한 내용은 대응 원리 참조).

4.1. 우주 상수를 포함하는 경우

우주 상수 Λ가 라그랑지안에 포함될 때 작용은 다음과 같다.

:$S\; =\; \backslash int\; \backslash left[\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash kappa\}\; (R-2\; \backslash Lambda\; )\; +\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}\; \backslash right]\; \backslash sqrt\{-g\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}^4\; x$

역 메트릭에 관하여 변화를 취하고, 작용 원리를 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
\frac{1}{2\kappa} R_{\mu \nu} + \frac{R}{2\kappa} \frac{-g_{\mu \nu}}{2} - \frac{\Lambda}{\kappa} \frac{-g_{\mu \nu}}{2} + \left(\frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu \nu}} + \mathcal{L}_\mathrm{M}\frac{-g_{\mu \nu}}{2} \right) &= 0 \\
R_{\mu \nu} - \frac{R}{2} g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} + \kappa \left(2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu \nu}} - \mathcal{L}_\mathrm{M}g_{\mu \nu} \right) &= 0 \\
R_{\mu \nu} - \frac{R}{2} g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} - \kappa T_{\mu \nu} &= 0
\end{align}

$\backslash kappa\; =\; \backslash frac\{8\; \backslash pi\; G\}\{c^4\}$을 대입하면 이 식은 우주 상수를 포함하는 장 방정식이 된다.

:$R\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; R\; +\; \backslash Lambda\; g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; =\; \backslash frac\{8\; \backslash pi\; G\}\{c^4\}\; T\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}.$

우주 상수 Λ는 라그랑지안이므로 새로운 작용 및 장 방정식은 다음과 같다.

:$S\; =\; \backslash int\; \backslash left[\; \{1\; \backslash over\; 2\backslash kappa\}\; \backslash left(\; R\; -\; 2\; \backslash Lambda\; \backslash right)\; +\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}\; \backslash right]\; \backslash sqrt\{-g\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}^4\; x$

:$R\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; R\; +\; \backslash Lambda\; g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; =\; \backslash frac\{8\; \backslash pi\; G\}\{c^4\}\; T\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}$

4.2. 비상대론적 극한

비상대론적 극한non-relativistic limit^영어에서는 $\backslash kappa\; =\; \backslash frac\{8\; \backslash pi\; G\}\{c^4\}$을 선택하면, 뉴턴의 만유인력의 법칙을 얻을 수 있다. 여기서 G는 중력 상수이다 (자세한 내용은 대응 원리를 참조).

5. 일반 상대성 이론과의 관계

아인슈타인-힐베르트 작용에서 운동 방정식을 유도하면 몇 가지 장점이 있다. 우선, 일반 상대성 이론을 맥스웰 이론과 같은 다른 고전적인 장 이론과 쉽게 통합할 수 있게 해준다. 이러한 이론들 역시 작용으로 기술되기 때문이다. 이 과정에서 계량을 물질장과 연결하는 소스 항의 자연스러운 후보 또한 찾을 수 있다. 그리고 작용의 대칭성은 뇌터 정리를 통해 보존량을 쉽게 식별할 수 있게 해준다.

일반 상대성 이론에서 작용은 보통 계량(및 물질장)의 범함수로 가정되며, 접속은 레비-치비타 접속에 의해 주어진다. 물질이 존재할 때 아인슈타인 방정식은 아인슈타인-힐베르트 작용에 물질 작용을 더하여 얻을 수 있다.

5.1. 팔라티니 작용

일반 상대성 이론에서 작용은 보통 계량과 물질장의 범함수로 간주하며, 접속은 레비-치비타 접속에 의해 주어진다. 일반 상대성 이론의 카르탕 형식(팔라티니 정식화(Palatini formulation)이라고도 함)은 계량과 접속이 독립적이라고 생각하고, 각각을 독립적으로 변화시킴으로써, 반정수 스핀을 갖는 페르미온의 장을 포함하는 것을 가능하게 한다.

5.2. 뇌터 정리와 보존량

작용으로부터 운동 방정식을 유도하는 것에는 여러 장점이 있다. 첫째, 일반 상대성 이론을 맥스웰 이론과 같은 다른 고전적인 장 이론과 쉽게 통합할 수 있게 해주는데, 이들 역시 작용의 관점에서 공식화되기 때문이다. 이 과정에서 계량을 물질장과 연결하는 소스 항에 대한 자연스러운 후보를 식별한다. 또한, 작용의 대칭성은 뇌터 정리를 통해 보존량을 쉽게 식별할 수 있게 한다.

일반 상대성 이론에서 작용은 일반적으로 계량(및 물질장)의 범함수로 가정되며, 접속은 레비-치비타 접속에 의해 주어진다.