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아인슈타인-힐베르트 작용

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목차

1. 개요

아인슈타인-힐베르트 작용은 일반 상대성 이론의 핵심적인 개념으로, 중력을 기술하는 데 사용되는 작용(functional)이다. 이 작용은 스칼라 곡률과 중력 상수를 포함하며, 우주 상수를 추가하여 확장할 수 있다. 아인슈타인-힐베르트 작용에 최소 작용 원리를 적용하여 아인슈타인 장 방정식을 유도할 수 있으며, 이는 일반 상대성 이론의 운동 방정식 역할을 한다. 이 작용은 일반 상대성 이론과 다른 장 이론을 통합하고, 뇌터 정리를 통해 보존량을 식별하는 데 기여한다.

2. 정의

아인슈타인-힐베르트 작용에서 운동 방정식을 유도하면 몇 가지 장점이 있다. 첫째, 일반 상대성 이론을 맥스웰 이론처럼 작용으로 공식화할 수 있는 다른 고전적인 장 이론과 쉽게 통합할 수 있다. 이 과정에서 계량을 물질장과 연결하는 소스 항의 자연스러운 후보가 식별된다. 또한, 작용의 대칭성을 통해 뇌터 정리로 보존량을 쉽게 찾을 수 있다.

일반 상대성 이론에서 작용은 보통 계량(및 물질장)의 범함수로 간주되며, 접속은 레비-치비타 접속으로 주어진다. 일반 상대성 이론의 팔라티니 작용은 계량과 접속이 독립적이라고 가정하고 둘 다 독립적으로 변화시켜, 정수가 아닌 스핀을 가진 페르미온 물질장을 포함할 수 있게 한다.[1]

물질이 존재할 때 아인슈타인 방정식은 아인슈타인-힐베르트 작용에 물질 작용을 더해 주어진다.

2. 1. 기본 정의

아인슈타인-힐베르트 작용 S는 다음과 같다.

:S =\frac{1}{2\kappa}\int R \sqrt{-g} \, d^4x

여기서 R은 스칼라 곡률이고, \kappa=8\pi G/c^4이다. G는 중력 상수다.

필요하면 우주 상수를 더하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:S =\frac{1}{2\kappa}\int(R-2\Lambda)\sqrt{-g} \, d^4x

2. 2. 우주 상수

필요하면 우주 상수를 더하여 아인슈타인-힐베르트 작용을 다음과 같이 쓸 수 있다.

:S =\frac1{2\kappa}\int(R-2\Lambda)\sqrt{-g} \, d^4x.

우주 상수 Λ가 라그랑지안에 포함될 때, 작용은 다음과 같다.

:S = \int \left[ \frac{1}{2\kappa} (R-2 \Lambda ) + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x

\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4} 을 대입하면 이 식은 우주 상수를 포함하는 장 방정식이 된다.

:R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}.

우주 상수 Λ는 라그랑지안이므로 새로운 작용과 장 방정식은 다음과 같다.

:S = \int \left[ {1 \over 2\kappa} \left( R - 2 \Lambda \right) + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x

:R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}

3. 장 방정식 유도

최소 작용 원리를 사용하여 아인슈타인-힐베르트 작용으로부터 아인슈타인 장 방정식을 유도하는 과정을 살펴보자.

이론의 완전한 작용은 아인슈타인-힐베르트 항에 물질장을 묘사하는 항 \mathcal{L}_\mathrm{M}을 더한 것으로 주어진다.

:S = \int \left[ \frac{1}{2\kappa} R + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x .

최소 작용 원리에 따르면, 이 작용의 역 계량에 대한 변분은 0이 되어야 한다. 이 식을 전개하면 다음과 같다.

:\begin{align}

0 &= \delta S \\

&= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}

\right] \delta g^{\mu\nu} \, \mathrm{d}^4x \\

&= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} }

\right) + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x

\end{align}.

이 방정식은 임의의 변분 \delta g^{\mu\nu}에 대해 성립해야 하므로, 다음을 얻는다.

:\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}} = -2\kappa \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}

위 식은 계량장에 대한 운동 방정식을 나타낸다. 우변은 에너지-운동량 텐서에 비례하며, 다음과 같이 정의된다.[8]

:T_{\mu\nu} := \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}.

이제 좌변을 계산하기 위해 리치 스칼라 R의 변분과 계량의 행렬식의 변분을 구해야 한다. 이 과정은 Carroll (2004)와 같은 표준 교과서에서 자세히 다루어진다.[5]

3. 1. 최소 작용 원리

이론의 완전한 작용이 아인슈타인-힐베르트 항에 물질장을 묘사하는 항 \mathcal{L}_\mathrm{M}이 더해진 것으로 주어졌다고 하자.

:S = \int \left[ \frac{1}{2\kappa} R + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x .

그러면 최소 작용 원리는 물리법칙을 유지하기 위해선 이 작용의 역 계량에 대한 변분이 영이 되어야 함을 시사한다.

:\begin{align}

0 &= \delta S \\

&= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}

\right] \delta g^{\mu\nu} \, \mathrm{d}^4x \\

&= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} }

\right) + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x

\end{align}.

이 방정식은 임의의 변분 \delta g^{\mu\nu}에 대해 성립해야 하므로, 이는

:\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}} = -2\kappa \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}

가 운동 방정식임을 보여준다. 오른쪽 항은 에너지-운동량 텐서에 비례한다.[8]

:T_{\mu\nu} := \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}.

왼쪽 항을 계산하기 위해 우리는 리치 스칼라 R의 변분과 계량의 행렬식이 필요하다.

3. 2. 라그랑지안과 운동 방정식

이론의 완전한 작용은 아인슈타인-힐베르트 항에 물질장을 묘사하는 항 \mathcal{L}_\mathrm{M}을 더한 것으로 주어진다.

:S = \int \left[ \frac{1}{2\kappa} R + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x .

정상 작용 원리에 따르면, 이 작용의 역 계량 텐서에 대한 변분은 0이 되어야 한다.

:\begin{align}

0 &= \delta S \\

&= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}

\right] \delta g^{\mu\nu} \, \mathrm{d}^4x \\

&= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}}

\right) + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x

\end{align}.

이 방정식은 임의의 변분 \delta g^{\mu\nu}에 대해 성립해야 하므로, 다음을 얻는다.

:\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}} = -2\kappa \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}

이는 계량장에 대한 운동 방정식이다. 이 방정식의 우변은 응력-에너지 텐서에 비례한다.[8][4]

:T_{\mu\nu} := \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}.

방정식의 좌변을 계산하기 위해서는 리치 스칼라 R과 계량 텐서의 행렬식의 변분을 구해야 한다. 이 계산은 Carroll (2004)와 같은 표준 교과서에서 찾을 수 있다.[5]

3. 3. 리만 텐서, 리치 텐서, 리치 스칼라의 변분

리만 곡률 텐서는 다음과 같이 정의된다.

:{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}- \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}.

리만 곡률 텐서는 오직 레비치비타 접속 \Gamma^\lambda_{\mu\nu}에 대해서만 달라지므로, 리만 텐서의 변분은 다음과 같이 계산된다.

:\delta{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\delta\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \delta \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \delta\Gamma^\rho_{\nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\mu\sigma} -\Gamma^\rho_{\nu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}.

\delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma}는 두 접속의 차이이므로, 이는 텐서이며 이의 공변미분은 다음과 같다.

:\nabla_\mu \left( \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma} \right ) = \partial_\mu (\delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma}) + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \delta \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} -\Gamma^\lambda_{\mu\nu} \delta \Gamma^\rho_{\lambda\sigma} - \Gamma^\lambda_{\mu\sigma} \delta \Gamma^\rho_{\nu\lambda}.

따라서 리만 곡률 텐서의 변분의 표현은 다음 두 항의 차이와 같다.

:\delta{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \nabla_\mu \left( \delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} \right) -\nabla_\nu \left( \delta\Gamma^\rho_{\mu\sigma} \right).

리치 텐서의 변분은 리만 텐서 변분의 인덱스를 축약하여 얻을 수 있으며, 이를 팔라티니 항등식이라 부른다.

:\delta R_{\sigma\nu} \equiv \delta {R^\rho}_{\sigma\rho\nu} = \nabla_\rho \left( \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma} \right) - \nabla_\nu \left( \delta \Gamma^\rho_{\rho\sigma} \right).

리치 스칼라는 다음과 같이 정의된다.

:R = g^{\sigma\nu} R_{\sigma\nu}.

그러므로, 이의 역 계량 g^{\sigma\nu}에 대한 변분은 다음과 같다.

:\begin{align}

\delta R &= R_{\sigma\nu} \delta g^{\sigma\nu} + g^{\sigma\nu} \delta R_{\sigma\nu}\\

&= R_{\sigma\nu} \delta g^{\sigma\nu} + \nabla_\rho \left( g^{\sigma\nu} \delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - g^{\sigma\rho} \delta \Gamma^\mu_{\mu\sigma} \right)

\end{align}

두 번째 줄에서는 계량 호환성 \nabla_\sigma g^{\mu\nu} = 0과, 리치 곡률에 대해 앞서 얻었던 결과를 사용하였다.

\sqrt{-g}를 곱하면, 항 \nabla_\rho \left( g^{\sigma\nu} \delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - g^{\sigma\rho}\delta\Gamma^\mu_{\mu\sigma} \right)는 전미분이 된다. 이는 스토크스 정리에 의해, 적분될 때 경계 항만을 생성한다. 기번스-호킹-요크 경계 항에 따르면, 이 경계 항은 일반적으로 0이 아니지만, 계량의 변분 \delta g^{\mu\nu}이 경계의 근방에서 사라지거나 경계가 없을 때, 이 항은 작용의 변분에 기여하지 않는다. 따라서 이 항을 무시하면 다음을 얻는다.

:\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} = R_{\mu\nu}[8]

3. 4. 야코비 공식과 행렬식의 변분

야코비 공식은 행렬식을 미분하는 규칙으로, 다음과 같이 표현된다.[1]

:\delta g = \delta \det(g_{\mu\nu}) = g g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}

여기서 g_{\mu\nu}는 계량 텐서, g는 계량 텐서의 행렬식이다. 이 공식은 g_{\mu\nu}를 대각행렬로 변환한 후 주대각선 요소들의 곱에 대한 곱의 규칙을 적용하여 유도할 수도 있다.[1]

야코비 공식을 이용하면, 계량 텐서 행렬식의 변분 \delta \sqrt{-g}는 다음과 같이 계산된다.[1]

:\delta \sqrt{-g} = -\frac{1}{2\sqrt{-g}}\delta g = \frac{1}{2} \sqrt{-g} \left( g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} \right) = -\frac{1}{2} \sqrt{-g} \left( g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} \right)

마지막 등식에서는 다음 관계식이 사용되었다.[1]

:g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} = -g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}

이 관계식은 역행렬의 미분 규칙[1]

:\delta g^{\mu\nu} = - g^{\mu\alpha} \left( \delta g_{\alpha\beta} \right) g^{\beta\nu}

으로부터 유도된다.

결론적으로, 다음 식을 얻을 수 있다.[1]

:\frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} } = -\frac{1}{2} g_{\mu\nu}

3. 5. 에너지-운동량 텐서

이론의 전체 작용이 아인슈타인-힐베르트 항에 물질장을 묘사하는 항 \mathcal{L}_\mathrm{M}을 더하여 주어진다고 하면, 다음과 같다.

:S = \int \left[ \frac{1}{2\kappa} R + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x .

최소 작용 원리에 의해 이 작용의 역 계량에 대한 변분은 0이 되어야 한다.

:\begin{align}

0 &= \delta S \\

&= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}

\right] \delta g^{\mu\nu} \, \mathrm{d}^4x \\

&= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}}

\right) + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x

\end{align}.

이 방정식은 임의의 변분 \delta g^{\mu\nu}에 대해 성립해야 하므로, 다음을 얻는다.

:\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}} = -2\kappa \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}

이는 운동 방정식이다. 이 식의 오른쪽 항은 에너지-운동량 텐서에 비례한다.[8]

:T_{\mu\nu} := \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}.

왼쪽 항을 계산하기 위해서는 리치 스칼라 R의 변분과 계량의 행렬식이 필요하다. 이는 Carroll (2004)와 같은 교재에 잘 나와 있다.

4. 아인슈타인 장 방정식

계량장의 운동 방정식에 필요한 식의 변형을 대입하면, 다음과 같은 아인슈타인의 장 방정식을 얻을 수 있다.

:R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \kappa T_{\mu\nu}

여기서,

:\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4}

이며, G는 중력 상수이다. 이 상수를 위와 같이 선택하면, 비상대론적 극한에서 뉴턴의 만유인력의 법칙을 얻을 수 있다. (자세한 내용은 대응 원리[7] 참조).

4. 1. 우주 상수를 포함하는 경우

우주 상수 Λ가 라그랑지안에 포함될 때 작용은 다음과 같다.

:S = \int \left[ \frac{1}{2\kappa} (R-2 \Lambda ) + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x

역 메트릭에 관하여 변화를 취하고, 작용 원리를 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

:\begin{align}

\frac{1}{2\kappa} R_{\mu \nu} + \frac{R}{2\kappa} \frac{-g_{\mu \nu}}{2} - \frac{\Lambda}{\kappa} \frac{-g_{\mu \nu}}{2} + \left(\frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu \nu}} + \mathcal{L}_\mathrm{M}\frac{-g_{\mu \nu}}{2} \right) &= 0 \\

R_{\mu \nu} - \frac{R}{2} g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} + \kappa \left(2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu \nu}} - \mathcal{L}_\mathrm{M}g_{\mu \nu} \right) &= 0 \\

R_{\mu \nu} - \frac{R}{2} g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} - \kappa T_{\mu \nu} &= 0

\end{align}

\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4} 을 대입하면 이 식은 우주 상수를 포함하는 장 방정식이 된다.

:R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}.

우주 상수 Λ는 라그랑지안이므로 새로운 작용 및 장 방정식은 다음과 같다.

:S = \int \left[ {1 \over 2\kappa} \left( R - 2 \Lambda \right) + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x

:R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}

4. 2. 비상대론적 극한

비상대론적 극한non-relativistic limit영어에서는 \kappa = \frac{8 \pi G}{c^4}을 선택하면, 뉴턴의 만유인력의 법칙을 얻을 수 있다. 여기서 G는 중력 상수이다 (자세한 내용은 대응 원리[7]를 참조).

5. 일반 상대성 이론과의 관계

아인슈타인-힐베르트 작용에서 운동 방정식을 유도하면 몇 가지 장점이 있다. 우선, 일반 상대성 이론을 맥스웰 이론과 같은 다른 고전적인 장 이론과 쉽게 통합할 수 있게 해준다. 이러한 이론들 역시 작용으로 기술되기 때문이다. 이 과정에서 계량을 물질장과 연결하는 소스 항의 자연스러운 후보 또한 찾을 수 있다. 그리고 작용의 대칭성은 뇌터 정리를 통해 보존량을 쉽게 식별할 수 있게 해준다.

일반 상대성 이론에서 작용은 보통 계량(및 물질장)의 범함수로 가정되며, 접속은 레비-치비타 접속에 의해 주어진다.[1] 물질이 존재할 때 아인슈타인 방정식은 아인슈타인-힐베르트 작용에 물질 작용을 더하여 얻을 수 있다.

5. 1. 팔라티니 작용

일반 상대성 이론에서 작용은 보통 계량과 물질장의 범함수로 간주하며, 접속은 레비-치비타 접속에 의해 주어진다. 일반 상대성 이론의 카르탕 형식(팔라티니 정식화(Palatini formulation)이라고도 함)은 계량과 접속이 독립적이라고 생각하고, 각각을 독립적으로 변화시킴으로써, 반정수 스핀을 갖는 페르미온의 장을 포함하는 것을 가능하게 한다.[1]

5. 2. 뇌터 정리와 보존량

작용으로부터 운동 방정식을 유도하는 것에는 여러 장점이 있다. 첫째, 일반 상대성 이론을 맥스웰 이론과 같은 다른 고전적인 장 이론과 쉽게 통합할 수 있게 해주는데, 이들 역시 작용의 관점에서 공식화되기 때문이다. 이 과정에서 계량을 물질장과 연결하는 소스 항에 대한 자연스러운 후보를 식별한다. 또한, 작용의 대칭성은 뇌터 정리를 통해 보존량을 쉽게 식별할 수 있게 한다.

일반 상대성 이론에서 작용은 일반적으로 계량(및 물질장)의 범함수로 가정되며, 접속은 레비-치비타 접속에 의해 주어진다.[1]

참조

[1] 서적 Feynman Lectures on Gravitation https://archive.org/[...] Addison-Wesley
[2] 간행물 Die Grundlagen der Physik
[3] 서적 The physicist's conception of nature Reidel 1987
[4] 간행물 Lecture Notes on General Relativity http://www.blau.itp.[...] 2024-08-27
[5] 서적 Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity Addison-Wesley 2004
[6] 서적 Feynman Lectures on Gravitation Addison-Wesley 1995
[7] 문서
[8] 간행물 Lecture Notes on General Relativity http://www.blau.itp.[...] 2020-07-27


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