운동 방정식

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1. 개요
2. 뉴턴 역학
- 2.1. 식 생성 알고리즘
- 2.2. 병진 운동
  - 2.2.1. 속도 증감
  - 2.2.2. 알짜힘 (합력)
3. 해석 역학
- 3.1. 라그랑주 역학
- 3.2. 해밀턴 역학
4. 유체 역학
- 4.1. 동수역학에서의 운동량 방정식
5. 양자 역학
- 5.1. 하이젠베르크의 운동 방정식
- 5.2. 슈뢰딩거 방정식
6. 상대성 이론
- 6.1. 일반 상대성 이론
- 6.2. 특수 상대성 이론
7. 역사
참조

1. 개요

운동 방정식은 물체의 운동을 수학적으로 기술하는 데 사용되는 일련의 방정식이다. 뉴턴의 운동 제2법칙(F=ma)은 가장 기본적인 형태로, 힘, 질량, 가속도 사이의 관계를 나타낸다. 해석 역학, 유체 역학, 양자 역학, 상대성 이론 등 다양한 분야에서 운동 방정식이 사용되며, 각 분야는 고유한 방정식과 개념을 사용한다. 예를 들어, 양자역학에서는 슈뢰딩거 방정식이, 일반 상대성 이론에서는 지오데식 편차 방정식이 사용된다. 이러한 방정식들은 시간의 흐름에 따른 물체의 위치, 속도, 운동량의 변화를 예측하고, 다양한 물리적 현상을 이해하는 데 필수적이다.

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운동 방정식
역학 방정식
설명	물리계의 거동을 기술하는 방정식
주요 분야	고전역학
관련 방정식	라그랑주 역학 해밀턴 역학 루스 역학 해밀턴-야코비 방정식 아펠 방정식 쿠프만-폰 노이만 고전 역학
고전 역학
기본 개념	힘 운동량 에너지 일 토크
공식	뉴턴 운동 법칙 오일러 운동 법칙
핵심 주제	질점 역학 강체 역학
공식화	라그랑주 역학 해밀턴 역학
관련 주제	회전 운동
관련 과학자	아이작 뉴턴 조제프루이 라그랑주 윌리엄 로언 해밀턴 레온하르트 오일러 장 르 롱 달랑베르 루트비히 볼츠만 앙리 푸앵카레 카를 구스타프 야코프 야코비 시메옹 드니 푸아송 요한 베르누이 다니엘 베르누이 피에르루이 모페르튀이 알렉시 클레로 아르키메데스
역사
역사	고전역학의 역사

2. 뉴턴 역학

최초로 개발된 일반적인 운동 방정식은 뉴턴의 운동 제2법칙이다. 가장 일반적인 형태로, 물체의 운동량 '''p''' = '''p'''(''t'') = ''m'''''v'''(''t'')^영어의 변화율은 물체에 작용하는 힘 '''F''' = '''F'''('''x'''(''t''), '''v'''(''t''), ''t'')}}와 같다.^[13]

: $\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p$ ^영어{dt}

이 방정식에서 힘은 물체가 작용하는 힘이 아니다. 운동량을 질량 곱하기 속도로 대체하면, 이 법칙은 뉴턴 역학에서 ''m''^영어이 상수이므로 다음과 같이 더 잘 알려진 형태로 쓸 수 있다.

: $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$

흔히 유명한 뉴턴역학 F = ma로 물체에 작용한 총 합과 힘을 추론할 수 있다. 뉴턴의 제2법칙은 점입자와 강체의 모든 점에 적용된다. 또한 변형 가능한 고체나 유체와 같은 질량 연속체의 각 점에도 적용되지만, 계의 운동을 고려해야 한다. 물질 도함수 참조. 질량이 일정하지 않은 경우, 질량과 속도에 대한 시간 도함수에 곱의 법칙을 사용하는 것만으로는 충분하지 않으며, 뉴턴의 제2법칙은 운동량 보존과 일치하는 방식으로 수정해야 한다. 변질량계 참조.

뉴턴의 운동 법칙을 사용하여 벡터 형태로 운동 방정식을 쓰는 것은 간단할 수 있지만, 성분은 공간 좌표와 시간에 따라 복잡한 방식으로 변할 수 있으며, 이를 푸는 것은 쉽지 않다. 문제를 완전히 풀기 위해 해결해야 할 변수가 과도하게 많기 때문에, 뉴턴의 법칙이 항상 계의 운동을 결정하는 가장 효율적인 방법은 아니다. 직교 기하학의 간단한 경우에는 데카르트 좌표계에서 뉴턴의 법칙이 잘 작동하지만, 다른 좌표계에서는 극적으로 복잡해질 수 있다.

운동량 형태가 선호되는데, 이는 특수 상대성 이론 및 일반 상대성 이론( 사차 운동량 참조)과 같은 더 복잡한 시스템으로 쉽게 일반화될 수 있기 때문이다.^[13] 또한 운동량 보존과 함께 사용할 수 있다. 그러나 뉴턴의 법칙은 운동량 보존보다 더 근본적이지 않다. 왜냐하면 뉴턴의 법칙은 물체에 작용하는 알짜힘이 0이면 운동량이 일정하고, 알짜힘이 작용하면 운동량이 일정하지 않다는 사실과 일치하기 때문이다. 운동량 보존은 알짜힘을 받지 않는 고립계에 대해 항상 성립한다.

다수의 입자( 다체 문제 참조)의 경우, 다른 입자의 영향을 받는 한 입자 ''i''^영어의 운동 방정식은 다음과 같다.^[7]^[1]

: $\frac{d\mathbf{p}_i}{dt} = \mathbf{F}_{E} + \sum_{i \neq j} \mathbf{F}_{ij}$

여기서 '''p'''_''i''^영어는 입자 ''i''^영어의 운동량, '''F'''_''ij''^영어는 입자 ''j''^영어가 입자 ''i''^영어에 작용하는 힘, '''F'''_''E''^영어는 계의 일부가 아닌 임의의 작용제로 인한 알짜 외력이다. 입자 '''L'''/''i''}}는 자신에게 힘을 작용하지 않는다.

오일러 운동 방정식은 뉴턴의 법칙과 유사하지만, 특히 강체의 운동에 적용된다. 뉴턴-오일러 방정식은 강체에 작용하는 힘과 토크를 단일 방정식으로 결합한다.

회전에 대한 뉴턴의 제2법칙은 병진 운동의 경우와 유사한 형태를 취한다.^[13]

: $\boldsymbol{\tau} = \frac{d\mathbf{L}}{dt} \,,$

이는 물체에 작용하는 토크를 그 각운동량 는 회전축에 대한 질량 분포에 따라 달라지며, 각가속도는 각속도의 변화율이다.

: $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{I} \boldsymbol{\alpha}.$

마찬가지로, 이 방정식은 점입자 또는 강체의 각 점에 적용된다.

마찬가지로, 다수의 입자의 경우, 한 입자 의 운동 방정식은 다음과 같다.^[7]

: $\frac{d\mathbf{L}_i}{dt} = \boldsymbol{\tau}_E + \sum_{i \neq j} \boldsymbol{\tau}_{ij} \,,$

여기서 는 입자 의 각운동량, 는 입자 가 입자 에 작용하는 토크, 는 알짜 외력 토크(계의 일부가 아닌 임의의 작용제로 인한)이다. 입자 는 자신에게 토크를 작용하지 않는다.

뉴턴 운동 법칙의 몇 가지 예^[14]로는 단진자의 운동을 기술하는 것,

: $- mg\sin\theta = m\frac{d^2 (\ell\theta)}{dt^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \frac{g}{\ell}\sin\theta \,,$

그리고 감쇠된 정현파 구동 조화 진동자
감쇠된, 정현파 구동 조화 진동자의 운동을 기술하는 것,

: $F_0 \sin(\omega t) = m\left(\frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega_0\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x \right)\,.$

이 있습니다.

중력에 의한 질량의 운동을 설명하기 위해 뉴턴의 만유인력의 법칙을 뉴턴의 제2법칙과 결합할 수 있습니다. 두 가지 예로, 질량 의 공을 공기 중으로 던지는 경우, 벡터장 '''R'''('''r''', ''t'')}}로 설명되는 기류(예: 바람)가 있는 경우,

: $- \frac{GmM}{|\mathbf{r}|^2} \mathbf{\hat{e}}_r + \mathbf{R} = m\frac{d^2 \mathbf{r}}{d t^2} + 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{d^2 \mathbf{r}}{d t^2} = - \frac{GM}{|\mathbf{r}|^2} \mathbf{\hat{e}}_r + \mathbf{A}$

여기서 는 중력 상수, 은 지구의 질량, }}는 위치 와 시간 에서 기류로 인한 발사체의 가속도입니다.

개의 입자가 서로 중력으로 상호 작용하는 고전적인 -체 문제는 개의 비선형 결합된 2차 상미분 방정식(ODE)의 집합입니다.

: $\frac{d^2\mathbf{r}_i}{dt^2} = G\sum_{i\neq j}\frac{m_j}$

2. 1. 식 생성 알고리즘

함께 운동하는 물체들이 있으면 그 물체들을 합성한다. 운동하는 물체들의 외력만을 합성한다.

2. 2. 병진 운동

가속도가 일정할 때, 물체의 속도는 시간에 따라 증가하거나 감소한다. 이 관계는 다음 방정식으로 나타낼 수 있다.^[9]:''v'' = ''at'' + ''v''₀여기서,

''v''₀는 입자의 초기 속도이다.
''v''는 입자의 최종 속도이다.
''a''는 입자의 가속도이다.
''t''는 시간 간격이다.

이 식은 속도의 정의를 적분하여 얻을 수 있다.^[9]흔히 유명한 뉴턴역학 F = ma로 물체에 작용한 총 합과 힘을 추론할 수 있다. 최초로 개발된 일반적인 운동 방정식은 뉴턴의 운동 제2법칙이다. 가장 일반적인 형태로, 물체의 운동량 '''p''' = '''p'''(''t'') = ''m'''''v'''(''t'')^영어의 변화율은 물체에 작용하는 힘 '''F''' = '''F'''('''x'''(''t''), '''v'''(''t''), ''t'')}}와 같다.^[13]:

\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p

^영어{dt}

이 방정식에서 힘은 물체가 작용하는 힘이 아니다. 운동량을 질량 곱하기 속도로 대체하면, 이 법칙은 뉴턴 역학에서 ''m''^영어이 상수이므로 다음과 같이 더 잘 알려진 형태로 쓸 수 있다.

:

\mathbf{F} = m\mathbf{a}

뉴턴의 제2법칙은 점입자와 강체의 모든 점에 적용된다. 또한 변형 가능한 고체나 유체와 같은 질량 연속체의 각 점에도 적용되지만, 계의 운동을 고려해야 한다. 물질 도함수 참조. 질량이 일정하지 않은 경우, 질량과 속도에 대한 시간 도함수에 곱의 법칙을 사용하는 것만으로는 충분하지 않으며, 뉴턴의 제2법칙은 운동량 보존과 일치하는 방식으로 수정해야 한다. 변질량계 참조.

뉴턴의 운동 법칙을 사용하여 벡터 형태로 운동 방정식을 쓰는 것은 간단할 수 있지만, 성분은 공간 좌표와 시간에 따라 복잡한 방식으로 변할 수 있으며, 이를 푸는 것은 쉽지 않다. 문제를 완전히 풀기 위해 해결해야 할 변수가 과도하게 많기 때문에, 뉴턴의 법칙이 항상 계의 운동을 결정하는 가장 효율적인 방법은 아니다. 직교 기하학의 간단한 경우에는 데카르트 좌표계에서 뉴턴의 법칙이 잘 작동하지만, 다른 좌표계에서는 극적으로 복잡해질 수 있다.

운동량 형태가 선호되는데, 이는 특수 상대성 이론 및 일반 상대성 이론( 사차 운동량 참조)과 같은 더 복잡한 시스템으로 쉽게 일반화될 수 있기 때문이다.^[13] 또한 운동량 보존과 함께 사용할 수 있다. 그러나 뉴턴의 법칙은 운동량 보존보다 더 근본적이지 않다. 왜냐하면 뉴턴의 법칙은 물체에 작용하는 알짜힘이 0이면 운동량이 일정하고, 알짜힘이 작용하면 운동량이 일정하지 않다는 사실과 일치하기 때문이다. 운동량 보존은 알짜힘을 받지 않는 고립계에 대해 항상 성립한다.

다수의 입자( 다체 문제 참조)의 경우, 다른 입자의 영향을 받는 한 입자 ''i''^영어의 운동 방정식은 다음과 같다.^[7]^[1]

:

\frac{d\mathbf{p}_i}{dt} = \mathbf{F}_{E} + \sum_{i \neq j} \mathbf{F}_{ij}

여기서 '''p'''_''i''^영어는 입자 ''i''^영어의 운동량, '''F'''_''ij''^영어는 입자 ''j''^영어가 입자 ''i''^영어에 작용하는 힘, '''F'''_''E''^영어는 계의 일부가 아닌 임의의 작용제로 인한 알짜 외력이다. 입자 ''i''^영어는 자신에게 힘을 작용하지 않는다.

2. 2. 1. 속도 증감

가속도가 일정할 때, 물체의 속도는 시간에 따라 증가하거나 감소한다. 이 관계는 다음 방정식으로 나타낼 수 있다.^[9]

:''v'' = ''at'' + ''v''₀

여기서,

''v''₀는 입자의 초기 속도이다.
''v''는 입자의 최종 속도이다.
''a''는 입자의 가속도이다.
''t''는 시간 간격이다.

이 식은 속도의 정의를 적분하여 얻을 수 있다.^[9]

2. 2. 2. 알짜힘 (합력)

흔히 유명한 뉴턴역학 F = ma로 물체에 작용한 총 합과 힘을 추론할 수 있다. 최초로 개발된 일반적인 운동 방정식은 뉴턴의 운동 제2법칙이다. 가장 일반적인 형태로, 물체의 운동량 '''p''' = '''p'''(''t'') = ''m'''''v'''(''t'')^영어의 변화율은 물체에 작용하는 힘 '''F''' = '''F'''('''x'''(''t''), '''v'''(''t''), ''t'')}}와 같다.^[13]

:

\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p

^영어{dt}

이 방정식에서 힘은 물체가 작용하는 힘이 아니다. 운동량을 질량 곱하기 속도로 대체하면, 이 법칙은 뉴턴 역학에서 ''m''^영어이 상수이므로 다음과 같이 더 잘 알려진 형태로 쓸 수 있다.

:

\mathbf{F} = m\mathbf{a}

뉴턴의 제2법칙은 점입자와 강체의 모든 점에 적용된다. 또한 변형 가능한 고체나 유체와 같은 질량 연속체의 각 점에도 적용되지만, 계의 운동을 고려해야 한다. 물질 도함수 참조. 질량이 일정하지 않은 경우, 질량과 속도에 대한 시간 도함수에 곱의 법칙을 사용하는 것만으로는 충분하지 않으며, 뉴턴의 제2법칙은 운동량 보존과 일치하는 방식으로 수정해야 한다. 변질량계 참조.

뉴턴의 운동 법칙을 사용하여 벡터 형태로 운동 방정식을 쓰는 것은 간단할 수 있지만, 성분은 공간 좌표와 시간에 따라 복잡한 방식으로 변할 수 있으며, 이를 푸는 것은 쉽지 않다. 문제를 완전히 풀기 위해 해결해야 할 변수가 과도하게 많기 때문에, 뉴턴의 법칙이 항상 계의 운동을 결정하는 가장 효율적인 방법은 아니다. 직교 기하학의 간단한 경우에는 데카르트 좌표계에서 뉴턴의 법칙이 잘 작동하지만, 다른 좌표계에서는 극적으로 복잡해질 수 있다.

운동량 형태가 선호되는데, 이는 특수 상대성 이론 및 일반 상대성 이론( 사차 운동량 참조)과 같은 더 복잡한 시스템으로 쉽게 일반화될 수 있기 때문이다.^[13] 또한 운동량 보존과 함께 사용할 수 있다. 그러나 뉴턴의 법칙은 운동량 보존보다 더 근본적이지 않다. 왜냐하면 뉴턴의 법칙은 물체에 작용하는 알짜힘이 0이면 운동량이 일정하고, 알짜힘이 작용하면 운동량이 일정하지 않다는 사실과 일치하기 때문이다. 운동량 보존은 알짜힘을 받지 않는 고립계에 대해 항상 성립한다.

다수의 입자( 다체 문제 참조)의 경우, 다른 입자의 영향을 받는 한 입자 ''i''^영어의 운동 방정식은 다음과 같다.^[7]^[1]

:

\frac{d\mathbf{p}_i}{dt} = \mathbf{F}_{E} + \sum_{i \neq j} \mathbf{F}_{ij}

여기서 '''p'''_''i''^영어는 입자 ''i''^영어의 운동량, '''F'''_''ij''^영어는 입자 ''j''^영어가 입자 ''i''^영어에 작용하는 힘, '''F'''_''E''^영어는 계의 일부가 아닌 임의의 작용제로 인한 알짜 외력이다. 입자 ''i''^영어는 자신에게 힘을 작용하지 않는다.

3. 해석 역학

해석 역학은 뉴턴 역학을 일반화한 운동 방정식으로, 라그랑주 역학과 해밀턴 역학이 대표적이다.

계에 제약 조건이 있는 경우 3차원 공간의 세 좌표를 모두 사용할 필요가 없다. 계가 ''N''개의 자유도를 가지면, 계의 구성을 정의하기 위해 ''N''개의 일반화 좌표 '''q'''(''t'') [''q''₁(''t''), ''q''₂(''t'') ... ''q_N''(''t'')] 집합을 사용할 수 있다. 이 좌표는 호 길이 또는 각도 형태일 수 있다. 이 좌표는 계의 운동을 제한하는 본질적인 제약 조건을 활용하고 좌표 수를 최소한으로 줄이기 때문에 운동을 설명하는 데 상당한 단순화를 제공한다. 일반화 좌표의 시간 미분은 ''일반화 속도''이다.

\mathbf{\dot{q}} = \frac{d\mathbf{q}}{dt} \,.

오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.^[2]^[17]

\frac{d}{d t} \left ( \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{q}} } \right ) = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} \,,

여기서 ''라그랑지언''은 구성 '''q''' 및 그 시간 변화율 (그리고 시간 ''t'')의 함수이다.

L = L\left [ \mathbf{q}(t), \mathbf{\dot{q}}(t), t \right ] \,.

계의 라그랑지언을 설정한 다음 방정식에 대입하고 편미분을 계산하고 간소화하면 좌표에 대한 ''N''개의 2차 상미분 방정식의 결합 집합을 얻게 된다.

해밀턴 방정식은 다음과 같다.^[2]^[17]

\mathbf{\dot{p}} = -\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}} \,, \quad \mathbf{\dot{q}} = + \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}} \,,

여기서 해밀토니안은

H = H\left [ \mathbf{q}(t), \mathbf{p}(t), t \right ] \,,

구성 '''q''' 및 켤레 ''"일반화된" 운동량''의 함수이다.

\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{q}}} \,,

여기서 (, , …, )}}는 지정된 변수에 대한 편미분 벡터에 대한 약기 표기법이며(예를 들어 행렬 미적분에서 이 분모 표기법 참조), 시간 ''t''일 수도 있다.

계의 해밀토니안을 설정한 다음 방정식에 대입하고 편미분을 계산하고 간소화하면 좌표 ''q_i'' 및 운동량 ''p_i''에 대한 2''N''개의 1차 상미분 방정식의 결합 집합을 얻게 된다.

해밀턴-야코비 방정식은 다음과 같다.^[2]

- \frac{\partial S(\mathbf{q},t)}{\partial t} = H\left(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t \right) \,.

여기서

S[\mathbf{q},t] = \int_{t_1}^{t_2}L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)\,dt \,,

는 ''해밀턴의 주함수''이기도 한 ''고전 작용''이며 ''L''의 함수이다. 이 경우 운동량은 다음과 같이 주어진다.

\mathbf{p} = \frac{\partial S }{\partial \mathbf{q}}\,.

이 방정식은 간단한 일반 형태를 가지고 있지만, 주어진 해밀토니안의 경우 실제로 ''N'' + 1개의 변수에 대한 단일 1차 ''비선형'' 편미분 방정식이다. 작용 ''S''을 통해 기계적 문제 자체를 완전히 해결할 수 없는 경우에도 기계 시스템의 보존량을 식별할 수 있다. 왜냐하면 물리적 시스템의 작용의 모든 미분 가능한 대칭성에는 해당하는 보존 법칙이 있기 때문이며, 이는 에미 뇌터의 정리 때문이다.

모든 고전 운동 방정식은 변분 원리로 알려진 해밀턴의 최소 작용 원리에서 유도할 수 있다.

\delta S = 0 \,,

이는 계가 구성 공간을 통과하는 경로는 작용 ''S''이 가장 작은 경로라는 것을 나타낸다.

3. 1. 라그랑주 역학

해석역학의 주요 문서로는 라그랑주 역학 및 해밀턴 역학 등이 있다.^[15]

계가 진화함에 따라 '''q'''는 구성 공간을 따라 경로를 그리는데, 계가 취하는 경로(빨간색)는 계의 구성()의 작은 변화에 따라 작용이 정지 상태를 유지한다( 0}}).^[15]

계에 제약 조건이 있는 경우 3차원 공간의 세 좌표를 모두 사용할 필요는 없다. 계가 개의 자유도를 가지면, 계의 구성을 정의하기 위해 개의 일반화 좌표 [''q''₁(''t''), ''q''₂(''t'') ... ''q_N''(''t'')]}} 집합을 사용할 수 있다. 일반화 좌표는 호 길이 또는 각도 형태일 수 있으며, 계의 운동을 제한하는 본질적인 제약 조건을 활용하고 좌표 수를 최소한으로 줄이기 때문에 운동을 설명하는 데 상당한 단순화를 제공한다. 일반화 좌표의 시간 미분은 ''일반화 속도''이다.

\mathbf{\dot{q}} = \frac{d\mathbf{q}}{dt} \,.

오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.^[2]^[17]

\frac{d}{d t} \left ( \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{q}} } \right ) = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} \,,

여기서 ''라그랑지언'' ''L''은 운동 에너지와 위치 에너지의 차이로, 구성 및 그 시간 변화율 }} (그리고 시간 )의 함수이다.

L = L\left [ \mathbf{q}(t), \mathbf{\dot{q}}(t), t \right ] \,.

계의 라그랑지언을 설정한 다음 방정식에 대입하고 편미분을 계산하고 간소화하면 좌표에 대한 개의 2차 상미분 방정식의 결합 집합을 얻게 된다.

3. 2. 해밀턴 역학

해밀턴 역학에서 운동 방정식은 "일반화된" 운동량과 위치를 독립 변수로 사용하여 기술된다.^[2]^[17] 해밀토니안은 다음과 같이 정의된다.

H = H\left [ \mathbf{q}(t), \mathbf{p}(t), t \right ] \,.

여기서 는 일반화 좌표, 는 켤레 운동량이다.

\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{q}}} \,.

해밀턴 방정식은 다음과 같다.^[2]^[17]

\mathbf{\dot{p}} = -\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}} \,, \quad \mathbf{\dot{q}} = + \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}} \,.

해밀토니안을 설정하고 방정식에 대입하여 편미분을 계산하면, 좌표 및 운동량 에 대한 개의 1차 상미분 방정식의 결합 집합을 얻는다.

4. 유체 역학

유체의 속도장을 지배하는 나비에-스토크스 방정식은 일반적으로 "장 방정식"이라고 부르지는 않는다. 이러한 맥락에서 이 방정식은 유체의 운동량을 나타내므로 "운동량 방정식"이라고 부른다.^[20] 유체역학에서 운동 방정식은 오일러 방정식과 나비에-스토크스 방정식이 있으며, 이 방정식들은 유체의 밀도, 속도, 압력 등의 변화를 설명한다.

동수역학에서는 질량 유량, 밀도, 체적 유량 등을 이용하여 관로 등에 작용하는 충격력을 계산할 수 있다. m은 질량 유량, ${\displaystyle \rho }$는 물의 밀도, Q는 체적 유량, ${\displaystyle \gamma _{w}}$는 물의 단위중량, g는 중력 가속도라 할 때, ${\displaystyle m=\rho Q=\gamma _{w}Q/g}$이므로, 단위 시간당 힘은 다음과 같다.

:${\displaystyle F={\frac {\gamma _{w}}{g}}Q(V_{2}-V_{1})}$

이를 통해 관로 등에 작용하는 충격력을 구할 수 있다.^[21]

4. 1. 동수역학에서의 운동량 방정식

동수역학에서는 질량 유량, 밀도, 체적 유량 등을 이용하여 관로 등에 작용하는 충격력을 계산할 수 있다. m은 질량 유량,

\rho

는 물의 밀도, Q는 체적 유량,

\gamma_w

는 물의 단위중량, g는 중력 가속도라 할 때,

m=\rho Q=\gamma_w Q/g

이므로, 단위 시간당 힘은 다음과 같다.

:

F=\frac{\gamma_w}{g}Q(V_2-V_1)

이를 통해 관로 등에 작용하는 충격력을 구할 수 있다.^[21]

5. 양자 역학

양자역학은 미시 세계의 입자 운동을 기술하는 운동 방정식으로, 하이젠베르크 운동 방정식과 슈뢰딩거 방정식이 있다.

양자역학에서 하이젠베르크 운동 방정식은 동역학적 관측량을 양자 연산자로, 고전적인 푸아송 괄호를 교환자로 대체하여 고전적인 관측량의 시간적 진화를 위치, 운동량, 시간의 함수로 나타낸다. 이는 연산자의 시간 변화를 기술하여 양자 상태의 변화를 설명한다.

양자역학에서 고전적인 운동 방정식(뉴턴의 운동 법칙, 오일러-라그랑주 방정식, 해밀턴-야코비 방정식 등)의 유사체는 가장 일반적인 형태의 슈뢰딩거 방정식이다.

: $i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = \hat{H}\Psi \,,$

여기서 Ψ/Ψ^영어는 계의 파동 함수이고, Ĥ/Ĥ^영어는 고전 역학에서와 같이 함수가 아니라 양자 해밀토니안 연산자이며, ħ/ħ^영어는 플랑크 상수를 2로 나눈 값이다. 해밀토니안을 설정하고 방정식에 삽입하면 파동 방정식이 되고, 그 해는 공간과 시간의 함수로서 파동 함수가 된다. ħ/ħ^영어가 0이 되는 극한에서 대응 원리를 고려하면 슈뢰딩거 방정식 자체가 해밀턴-야코비 방정식으로 축소된다. 이 방정식은 파동 함수의 시간 변화를 기술하여 입자의 파동성을 설명한다.

슈뢰딩거 방정식의 대안이 되는 다양한 공식화가 존재한다. 예를 들어, 하이젠베르크 운동 방정식, 위상 공간 공식화, 파인만의 경로 적분 공식화 등이 있다.

5. 1. 하이젠베르크의 운동 방정식

양자역학에서 하이젠베르크 운동 방정식은 동역학적 관측량을 양자 연산자로, 고전적인 푸아송 괄호를 교환자로 대체하여 고전적인 관측량의 시간적 진화를 위치, 운동량, 시간의 함수로 나타낸다. 이는 연산자의 시간 변화를 기술하여 양자 상태의 변화를 설명한다.

5. 2. 슈뢰딩거 방정식

양자역학에서 고전적인 운동 방정식(뉴턴의 운동 법칙, 오일러-라그랑주 방정식, 해밀턴-야코비 방정식 등)의 유사체는 가장 일반적인 형태의 슈뢰딩거 방정식이다.

:

i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = \hat{H}\Psi \,,

여기서 는 계의 파동 함수이고, 는 고전 역학에서와 같이 함수가 아니라 양자 해밀토니안 연산자이며, 는 플랑크 상수를 2로 나눈 값이다. 해밀토니안을 설정하고 방정식에 삽입하면 파동 방정식이 되고, 그 해는 공간과 시간의 함수로서 파동 함수가 된다. 가 0이 되는 극한에서 대응 원리를 고려하면 슈뢰딩거 방정식 자체가 해밀턴-야코비 방정식으로 축소된다. 이 방정식은 파동 함수의 시간 변화를 기술하여 입자의 파동성을 설명한다.

슈뢰딩거 방정식의 대안이 되는 다양한 공식화가 존재한다. 예를 들어, 하이젠베르크 운동 방정식, 위상 공간 공식화, 파인만의 경로 적분 공식화 등이 있다.

6. 상대성 이론

상대성 이론은 고속으로 움직이는 물체의 운동을 기술하는 운동 방정식으로, 일반 상대성 이론과 특수 상대성 이론이 있다.

== 일반 상대성 이론 ==

일반 상대성 이론에서 중력은 가상력으로, 곡선 시공간에서 한 지오데식에 대한 다른 지오데식의 상대 가속도는 지오데식 편차 방정식에 의해 주어진다.^[19]

곡률이 있는 시공간에서는 직선이 존재하지 않으며, 대신 두 점 사이의 가장 짧은 곡선인 지오데식으로 대체된다.^[18] 메트릭 텐서를 갖는 곡선 다양체에서, 미분 호 길이는 다음과 같다.

일반적인 지오데식 방정식의 해는 지오데식의 집합이다.^[18]

여기서 제2종 크리스토펠 기호이며, 좌표계에 대한 메트릭을 포함한다.

질량-에너지 분포를 나타내는 응력-에너지 텐서가 주어지면, 아인슈타인 장 방정식은 메트릭에 대한 비선형 2계 편미분 방정식 집합이 되며, 이는 시공간의 곡률이 중력장과 동등함을 의미한다(등가 원리 참조). 곡선 시공간에서 낙하하는 질량은 중력장에서 낙하하는 질량과 동등하다.

지오데식 편차 방정식은 곡선 시공간에서 질량의 운동 방정식이며, 전자기장 내 전하에 대한 로렌츠 힘 방정식과 유사하다.^[19]

평평한 시공간의 경우, 메트릭은 상수 텐서이므로 크리스토펠 기호는 사라지고 지오데식 방정식은 직선의 해를 갖는다. 이는 질량이 뉴턴의 중력 법칙에 따라 움직이는 경우의 극한적인 경우이다.

6. 1. 일반 상대성 이론

일반 상대성 이론에서 중력은 가상력으로, 곡선 시공간에서 한 지오데식에 대한 다른 지오데식의 상대 가속도는 지오데식 편차 방정식에 의해 주어진다.^[19]

:

\frac{D^2\xi^\alpha}{ds^2} = -R^\alpha{}_{\beta\gamma\delta}\frac{dx^\alpha}{ds}\xi^\gamma\frac{dx^\delta}{ds}

여기서 ''x''₂^''α'' − ''x''₁^''α''}}는 두 지오데식 사이의 분리 벡터이고, }}는 공변 도함수이며, 는 리만 곡률 텐서로, 크리스토펠 기호를 포함한다. 지오데식 편차 방정식은 곡선 시공간에서 질량의 운동 방정식이며, 전자기장 내 전하에 대한 로렌츠 힘 방정식과 유사하다.^[19]

곡률이 있는 시공간에서는 직선이 존재하지 않으며, 대신 두 점 사이의 가장 짧은 곡선인 지오데식으로 대체된다.^[18] 메트릭 텐서 를 갖는 곡선 다양체에서, 미분 호 길이는 다음과 같다.

:

ds = \sqrt{g_{\alpha\beta} d x^\alpha dx^\beta}

일반적인 지오데식 방정식의 해는 지오데식의 집합이다.^[18]

:

\frac{d^2 x^\mu}{ds^2} = - \Gamma^\mu{}_{\alpha\beta}\frac{d x^\alpha}{ds}\frac{d x^\beta}{ds}

여기서 는 제2종 크리스토펠 기호이며, 좌표계에 대한 메트릭을 포함한다.

질량-에너지 분포를 나타내는 응력-에너지 텐서 가 주어지면, 아인슈타인 장 방정식은 메트릭에 대한 비선형 2계 편미분 방정식 집합이 되며, 이는 시공간의 곡률이 중력장과 동등함을 의미한다(등가 원리 참조). 곡선 시공간에서 낙하하는 질량은 중력장에서 낙하하는 질량과 동등하다.

평평한 시공간의 경우, 메트릭은 상수 텐서이므로 크리스토펠 기호는 사라지고 지오데식 방정식은 직선의 해를 갖는다. 이는 질량이 뉴턴의 중력 법칙에 따라 움직이는 경우의 극한적인 경우이다.

6. 2. 특수 상대성 이론

7. 역사

운동 방정식은 3천 년에 걸쳐 점진적으로 발전해 왔으며, 고대에는 사제, 점성가, 천문학자들이 일식, 월식, 지구의 동지와 춘분, 달의 주기를 예측했지만, 알고리즘 집합 외에는 아무것도 없었다. 13세기 중세 학자들은 옥스퍼드와 파리의 대학에서 고대 수학자와 철학자들의 업적을 바탕으로 물리학을 발전시켰다.

옥스퍼드의 머튼 칼리지 학자들은 아리스토텔레스의 양을 확장하고 지수 법칙을 제안했다. 니콜라 오레스므는 브래드워딘의 주장을 더욱 확장했고, 머튼 학파는 등가속도 운동을 하는 물체의 운동량이 가속 운동 중간 속도의 등속 운동량과 같다는 것을 증명했다.

1545년 도밍고 데 소토는 등가속도 운동을 시간에 비례하는 것으로 정의하고, 자유 낙하하는 물체와 발사체를 식별 가능하다고 선언했지만, 증명이나 공식을 제안하지는 않았다. 이러한 논의는 갈릴레오 갈릴레이 등의 연구에 영향을 미쳤고, 갈릴레오는 기하학적으로 ''gt''}} 방정식을 유도하고, 발사체의 궤적이 포물선임을 보였다. 그는 원심력을 이해하고 운동량을 정의했으며, 진자의 법칙에도 관심이 있었다.

르네 데카르트, 아이작 뉴턴, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 등에 의해 운동 방정식의 진화된 형태에 도달했다. 전자기학에서 로렌츠 힘은 전기장과 자기장 내 대전된 입자의 운동을 설명한다. 특수 상대성 이론과 일반 상대성 이론의 출현으로 고전적인 운동 방정식은 광속과 시공간의 곡률을 고려하도록 수정되었다. 양자 역학의 방정식도 파동 함수의 미분 방정식으로 "운동 방정식"으로 간주될 수 있다.

참조

_[1] 서적 Encyclopedia of Physics https://www.worldcat[...] VCH Publishers 1991
_[2] 서적 Analytical Mechanics https://www.worldcat[...] Cambridge University Press 1998
_[3] 서적 The Britannica Guide to History of Mathematics
_[4] 서적 Discourses
_[5] 서적 Dialogues Concerning Two New Sciences
_[6] 서적 Fundamentals of Physics https://archive.org/[...] Wiley 2004-06-16
_[7] 서적 Dynamics and Relativity https://www.worldcat[...] John Wiley & Sons 2009
_[8] 서적 Vector Analysis McGraw Hill
_[9] 서적 Essential Principles of Physics https://www.worldcat[...] John Murray 1978
_[10] 서적 Additional Mathematics for OCR Hodder & Stoughton
_[11] 서적 Physics for you: revised national curriculum edition for GCSE https://books.google[...] Nelson Thornes
_[12] 서적 3000 Solved Problems in Physics https://www.worldcat[...] McGraw Hill 1988
_[13] 서적 An Introduction to Mechanics https://www.worldcat[...] Cambridge University Press 2010
_[14] 서적 The Physics of Vibrations and Waves https://www.worldcat[...] Wiley 1983
_[15] 서적 The Road to Reality Vintage books
_[16] 서적 Electromagnetism https://www.worldcat[...] Wiley 1990
_[17] 서적 Classical Mechanics https://www.worldcat[...] McGraw Hill 1973
_[18] 서적 McGraw Hill Encyclopaedia of Physics https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[19] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co.
_[20] 서적 University Physics Addison-Wesley (Pearson International)
_[21] 서적 토목기사 과년도 시리즈 수리수문학 성안당

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