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아폴로니오스 정리

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목차

1. 개요

아폴로니오스 정리는 임의의 삼각형에서 한 변의 중점을 연결하는 중선과 변들 사이의 관계를 나타내는 기하학 정리이다. 삼각형 ABC에서 변 BC의 중점을 M이라고 할 때, AB² + AC² = 2(BM² + AM²)이 성립한다. 이 정리는 스튜어트 정리의 특수한 경우이며, 평행사변형 법칙과 논리적으로 동치 관계에 있다. 아폴로니오스 정리는 코사인 법칙, 피타고라스 정리, 좌표, 벡터 등을 이용하여 증명할 수 있다.

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아폴로니오스 정리
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아폴로니오스 정리
분야기하학
설명삼각형의 중선 길이와 변 길이 사이의 관계를 나타내는 정리
관련 인물페르게의 아폴로니오스
공식
공식ab² + ac² = 2(ad² + bd²)
변수 설명a, b, c는 삼각형의 변의 길이
d는 변 bc의 중점

2. 내용 및 다른 정리와의 관계

중선(Median]) AI


임의의 삼각형 ABC에서 변 BC의 중점을 M이라 할 때, 다음 식이 성립한다.

::AB^2 + AC^2 = 2(BM^2 + AM^2) {= 2(CM^2 + AM^2)}\,

특히, AB = AC가 성립할 경우, 피타고라스 정리가 된다. 즉,

:: AI^2 + BI^2 = AB^2 (= AC^2)\,

이 정리는 스튜어트 정리에서 BI = IC를 가정할 때와 동일하므로 스튜어트 정리의 특수한 형태가 된다. 평행사변형의 대각선이 서로를 이등분한다는 사실로부터, 이 정리는 평행사변형 법칙과 논리적 동치이다.

아폴로니오스 정리는 스튜어트 정리의 특수한 경우이다. 즉, 스튜어트 정리에서 중선의 조건을 추가하면 아폴로니오스 정리가 된다. AB = AC인 이등변삼각형의 경우, 중선 AM은 변 BC에 수직이 되며, 이 정리는 피타고라스 정리로 축소된다. 평행사변형의 대각선은 서로를 이등분하므로, 아폴로니오스 정리는 평행사변형 법칙과 논리적 동치이다.

2. 1. 내용

임의의 삼각형 ABC에서 변 BC의 중점을 M이라 할 때, 다음 식이 성립한다.

::AB^2 + AC^2 = 2(BM^2 + AM^2) {= 2(CM^2 + AM^2)}\,

특히, AB = AC가 성립할 경우, 피타고라스 정리가 된다. 즉,

:: AI^2 + BI^2 = AB^2 (= AC^2)\,

이 정리는 스튜어트 정리에서 BI = IC를 가정할 때와 동일하므로 스튜어트 정리의 특수한 형태가 된다. 평행사변형의 대각선이 서로를 이등분한다는 사실로부터, 이 정리는 평행사변형 법칙과 논리적 동치이다.

2. 2. 다른 정리와의 관계

아폴로니오스 정리는 스튜어트 정리의 특수한 경우이다. 즉, 스튜어트 정리에서 중선의 조건을 추가하면 아폴로니오스 정리가 된다. AB = AC인 이등변삼각형의 경우, 중선 AM은 변 BC에 수직이 되며, 이 정리는 피타고라스 정리로 축소된다. 평행사변형의 대각선은 서로를 이등분하므로, 아폴로니오스 정리는 평행사변형 법칙과 논리적 동치이다.

3. 증명

아폴로니오스 정리 증명


이 정리는 스튜어트 정리의 특수한 경우로 증명하거나, 벡터를 사용하여 증명할 수 있다(평행사변형 법칙 참조). 다음은 코사인 법칙을 사용하는 독립적인 증명이다.[1]

삼각형의 변을 a, b, c라고 하고, 변 a에 그은 중선을 d라고 하자. m을 중선에 의해 형성된 a의 분할된 선분의 길이로 정의하면, m은 a의 절반이다. a와 d 사이의 각을 \theta와 \theta^{\prime}라고 하자. 여기서 \theta는 b를 포함하고 \theta^{\prime}는 c를 포함한다. 그러면 \theta^{\prime}는 \theta의 보각이고 \cos \theta^{\prime} = - \cos \theta이다. 코사인 법칙에 따르면 \theta와 \theta^{\prime}에 대해 다음과 같다.

\begin{align}

b^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\

c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta' \\

&= m^2 + d^2 + 2dm\cos\theta.\, \end{align}



첫 번째 방정식과 세 번째 방정식을 더하면,

b^2 + c^2 = 2(m^2 + d^2)

를 얻을 수 있다.

3. 1. 코사인 법칙을 이용한 증명



세 변이 각각 a, b, c인 삼각형에서 변 a를 지나도록 중선 d를 긋고, 변 a의 절반을 m이라 한다. 변 a와 중선 d가 이루는 두 각을 각각 \theta와 \theta^{\prime}이라고 하면, \theta는 변 b와 마주보고 \theta^{\prime}은 변 c와 마주본다. \theta와 \theta^{\prime}은 서로 보각이 되므로 \cos \theta^{\prime} = - \cos \theta가 된다.[1][2] 이때 코사인 법칙에 의해 아래 식이 성립한다.

\begin{align}

b^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\

c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta' \\

&= m^2 + d^2 + 2dm\cos\theta\, \end{align}



첫째 줄의 식과 셋째 줄의 식을 더하면, 아래와 같은 결론을 얻을 수 있다.[1][2]

b^2 + c^2 = 2(m^2 + d^2)

3. 2. 피타고라스 정리를 이용한 증명

아폴로니오스 정리의 증명


\triangle \mathrm{ABC}에서 \overline{\mathrm{BC}}의 중점을 \mathrm{M}이라 하고, 점 \mathrm{A}에서 \overline{\mathrm{BC}}에 내린 수선의 발을 점 \mathrm{H}라 한다. 이때, \overline{\mathrm{BM}}=\overline{\mathrm{CM}}이다. 피타고라스 정리를 활용하면 아래와 같이 증명할 수 있다.



\begin{matrix}

\overline{\mathrm{AB}}^2

&=& \left( \overline{\mathrm{BM}}+\overline{\mathrm{MH}} \right)^2+\overline{\mathrm{AH}}^2 \\

&=& \overline{\mathrm{BM}}^2+2\overline{\mathrm{BM}}\times\overline{\mathrm{MH}}+\overline{\mathrm{MH}}^2+\overline{\mathrm{AH}}^2

\end{matrix}





\begin{matrix}

\overline{\mathrm{AC}}^2

&=& \left( \overline{\mathrm{CM}}-\overline{\mathrm{MH}} \right)^2+\overline{\mathrm{AH}}^2 \\

&=& \left( \overline{\mathrm{BM}}-\overline{\mathrm{MH}} \right)^2+\overline{\mathrm{AH}}^2 \\

&=& \overline{\mathrm{BM}}^2-2\overline{\mathrm{BM}}\times\overline{\mathrm{MH}}+\overline{\mathrm{MH}}^2+\overline{\mathrm{AH}}^2

\end{matrix}





\begin{matrix}

\therefore \overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{AC}}^2

&=& 2 \left( \overline{\mathrm{BM}}^2+\overline{\mathrm{MH}}^2+\overline{\mathrm{AH}}^2 \right) \\

&=& 2 \left( \overline{\mathrm{AM}}^2+\overline{\mathrm{BM}}^2 \right)

\end{matrix}


3. 3. 좌표를 이용한 증명

좌표를 활용한 아폴로니오스 정리 증명


좌표를 사용하여 아폴로니오스 정리를 증명할 수 있다.

그림과 같이 \overline{\mathrm{BC}}가 x축과 겹쳐지도록 하고, \triangle \mathrm{ABC}에서 \overline{\mathrm{BC}}의 중점 \mathrm{M}이 원점에 오도록 한다. 각 점의 좌표는 \mathrm{A} (a, b), \mathrm{B} (-c, 0), \mathrm{C} (c, 0), \mathrm{M} (0, 0)이 된다.

\overline{\mathrm{AB}}^2 = (a+c)^2+b^2 = a^2+b^2+c^2+2ac

\overline{\mathrm{AC}}^2 = (a-c)^2+b^2 = a^2+b^2+c^2-2ac

\overline{\mathrm{AM}}^2 = a^2+b^2

\overline{\mathrm{BM}}^2 = c^2

\overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{AC}}^2 = 2(a^2+b^2+c^2), \overline{\mathrm{AM}}^2+\overline{\mathrm{BM}}^2 = a^2+b^2+c^2 이므로,

\therefore \overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{AC}}^2 = 2 \left( \overline{\mathrm{AM}}^2+\overline{\mathrm{BM}}^2 \right)이다.

3. 4. 벡터를 이용한 증명



아폴로니오스 정리는 벡터를 사용하여 증명할 수 있다. 이 증명은 평행사변형 법칙을 참조하라.

참조

[1] 서적 Modern Geometry https://archive.org/[...] University Press
[2] 서적 Modern Geometry https://archive.org/[...] University Press


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