아폴로니오스 정리

1. 개요

아폴로니오스 정리는 임의의 삼각형에서 한 변의 중점을 연결하는 중선과 변들 사이의 관계를 나타내는 기하학 정리이다. 삼각형 ABC에서 변 BC의 중점을 M이라고 할 때, AB² + AC² = 2(BM² + AM²)이 성립한다. 이 정리는 스튜어트 정리의 특수한 경우이며, 평행사변형 법칙과 논리적으로 동치 관계에 있다. 아폴로니오스 정리는 코사인 법칙, 피타고라스 정리, 좌표, 벡터 등을 이용하여 증명할 수 있다.

2. 내용 및 다른 정리와의 관계

임의의 삼각형 $ABC$에서 변 $BC$의 중점을 $M$이라 할 때, 다음 식이 성립한다.

::$AB^2\; +\; AC^2\; =\; 2(BM^2\; +\; AM^2)\; \{=\; 2(CM^2\; +\; AM^2)\}\backslash ,$

특히, $AB\; =\; AC$가 성립할 경우, 피타고라스 정리가 된다. 즉,

::$AI^2\; +\; BI^2\; =\; AB^2\; (=\; AC^2)\backslash ,$

이 정리는 스튜어트 정리에서 $BI\; =\; IC$를 가정할 때와 동일하므로 스튜어트 정리의 특수한 형태가 된다. 평행사변형의 대각선이 서로를 이등분한다는 사실로부터, 이 정리는 평행사변형 법칙과 논리적 동치이다.

아폴로니오스 정리는 스튜어트 정리의 특수한 경우이다. 즉, 스튜어트 정리에서 중선의 조건을 추가하면 아폴로니오스 정리가 된다. $AB\; =\; AC$인 이등변삼각형의 경우, 중선 $AM$은 변 $BC$에 수직이 되며, 이 정리는 피타고라스 정리로 축소된다. 평행사변형의 대각선은 서로를 이등분하므로, 아폴로니오스 정리는 평행사변형 법칙과 논리적 동치이다.

2.1. 내용

임의의 삼각형 $ABC$에서 변 $BC$의 중점을 $M$이라 할 때, 다음 식이 성립한다.

::$AB^2\; +\; AC^2\; =\; 2(BM^2\; +\; AM^2)\; \{=\; 2(CM^2\; +\; AM^2)\}\backslash ,$

특히, $AB\; =\; AC$가 성립할 경우, 피타고라스 정리가 된다. 즉,

::$AI^2\; +\; BI^2\; =\; AB^2\; (=\; AC^2)\backslash ,$

이 정리는 스튜어트 정리에서 $BI\; =\; IC$를 가정할 때와 동일하므로 스튜어트 정리의 특수한 형태가 된다. 평행사변형의 대각선이 서로를 이등분한다는 사실로부터, 이 정리는 평행사변형 법칙과 논리적 동치이다.

2.2. 다른 정리와의 관계

아폴로니오스 정리는 스튜어트 정리의 특수한 경우이다. 즉, 스튜어트 정리에서 중선의 조건을 추가하면 아폴로니오스 정리가 된다. $AB\; =\; AC$인 이등변삼각형의 경우, 중선 $AM$은 변 $BC$에 수직이 되며, 이 정리는 피타고라스 정리로 축소된다. 평행사변형의 대각선은 서로를 이등분하므로, 아폴로니오스 정리는 평행사변형 법칙과 논리적 동치이다.

3. 증명

이 정리는 스튜어트 정리의 특수한 경우로 증명하거나, 벡터를 사용하여 증명할 수 있다(평행사변형 법칙 참조). 다음은 코사인 법칙을 사용하는 독립적인 증명이다.

삼각형의 변을 $a,\; b,\; c$라고 하고, 변 $a$에 그은 중선을 $d$라고 하자. $m$을 중선에 의해 형성된 $a$의 분할된 선분의 길이로 정의하면, $m$은 $a$의 절반이다. $a$와 $d$ 사이의 각을 $\backslash theta$와 $\backslash theta^\{\backslash prime\}$라고 하자. 여기서 $\backslash theta$는 $b$를 포함하고 $\backslash theta^\{\backslash prime\}$는 $c$를 포함한다. 그러면 $\backslash theta^\{\backslash prime\}$는 $\backslash theta$의 보각이고 $\backslash cos\; \backslash theta^\{\backslash prime\}\; =\; -\; \backslash cos\; \backslash theta$이다. 코사인 법칙에 따르면 $\backslash theta$와 $\backslash theta^\{\backslash prime\}$에 대해 다음과 같다.
$$\backslash begin\{align\}$$
b^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\
c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta' \\
&= m^2 + d^2 + 2dm\cos\theta.\, \end{align}


첫 번째 방정식과 세 번째 방정식을 더하면,
$$b^2\; +\; c^2\; =\; 2(m^2\; +\; d^2)$$
를 얻을 수 있다.

3.1. 코사인 법칙을 이용한 증명

세 변이 각각 $a,\; b,\; c$인 삼각형에서 변 $a$를 지나도록 중선 $d$를 긋고, 변 $a$의 절반을 $m$이라 한다. 변 $a$와 중선 $d$가 이루는 두 각을 각각 $\backslash theta$와 $\backslash theta^\{\backslash prime\}$이라고 하면, $\backslash theta$는 변 $b$와 마주보고 $\backslash theta^\{\backslash prime\}$은 변 $c$와 마주본다. $\backslash theta$와 $\backslash theta^\{\backslash prime\}$은 서로 보각이 되므로 $\backslash cos\; \backslash theta^\{\backslash prime\}\; =\; -\; \backslash cos\; \backslash theta$가 된다. 이때 코사인 법칙에 의해 아래 식이 성립한다.

$$\backslash begin\{align\}$$
b^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\
c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta' \\
&= m^2 + d^2 + 2dm\cos\theta\, \end{align}


첫째 줄의 식과 셋째 줄의 식을 더하면, 아래와 같은 결론을 얻을 수 있다.
$$b^2\; +\; c^2\; =\; 2(m^2\; +\; d^2)$$

3.2. 피타고라스 정리를 이용한 증명

$\backslash triangle\; \backslash mathrm\{ABC\}$에서 $\backslash overline\{\backslash mathrm\{BC\}\}$의 중점을 $\backslash mathrm\{M\}$이라 하고, 점 $\backslash mathrm\{A\}$에서 $\backslash overline\{\backslash mathrm\{BC\}\}$에 내린 수선의 발을 점 $\backslash mathrm\{H\}$라 한다. 이때, $\backslash overline\{\backslash mathrm\{BM\}\}=\backslash overline\{\backslash mathrm\{CM\}\}$이다. 피타고라스 정리를 활용하면 아래와 같이 증명할 수 있다.

$$
\begin{matrix}
\overline{\mathrm{AB}}^2
&=& \left( \overline{\mathrm{BM}}+\overline{\mathrm{MH}} \right)^2+\overline{\mathrm{AH}}^2 \\
&=& \overline{\mathrm{BM}}^2+2\overline{\mathrm{BM}}\times\overline{\mathrm{MH}}+\overline{\mathrm{MH}}^2+\overline{\mathrm{AH}}^2
\end{matrix}


$$
\begin{matrix}
\overline{\mathrm{AC}}^2
&=& \left( \overline{\mathrm{CM}}-\overline{\mathrm{MH}} \right)^2+\overline{\mathrm{AH}}^2 \\
&=& \left( \overline{\mathrm{BM}}-\overline{\mathrm{MH}} \right)^2+\overline{\mathrm{AH}}^2 \\
&=& \overline{\mathrm{BM}}^2-2\overline{\mathrm{BM}}\times\overline{\mathrm{MH}}+\overline{\mathrm{MH}}^2+\overline{\mathrm{AH}}^2
\end{matrix}


$$
\begin{matrix}
\therefore \overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{AC}}^2
&=& 2 \left( \overline{\mathrm{BM}}^2+\overline{\mathrm{MH}}^2+\overline{\mathrm{AH}}^2 \right) \\
&=& 2 \left( \overline{\mathrm{AM}}^2+\overline{\mathrm{BM}}^2 \right)
\end{matrix}

3.3. 좌표를 이용한 증명

좌표를 사용하여 아폴로니오스 정리를 증명할 수 있다.

그림과 같이 $\backslash overline\{\backslash mathrm\{BC\}\}$가 $x$축과 겹쳐지도록 하고, $\backslash triangle\; \backslash mathrm\{ABC\}$에서 $\backslash overline\{\backslash mathrm\{BC\}\}$의 중점 $\backslash mathrm\{M\}$이 원점에 오도록 한다. 각 점의 좌표는 $\backslash mathrm\{A\}\; (a,\; b)$, $\backslash mathrm\{B\}\; (-c,\; 0)$, $\backslash mathrm\{C\}\; (c,\; 0)$, $\backslash mathrm\{M\}\; (0,\; 0)$이 된다.

$\backslash overline\{\backslash mathrm\{AB\}\}^2\; =\; (a+c)^2+b^2\; =\; a^2+b^2+c^2+2ac$

$\backslash overline\{\backslash mathrm\{AC\}\}^2\; =\; (a-c)^2+b^2\; =\; a^2+b^2+c^2-2ac$

$\backslash overline\{\backslash mathrm\{AM\}\}^2\; =\; a^2+b^2$

$\backslash overline\{\backslash mathrm\{BM\}\}^2\; =\; c^2$

$\backslash overline\{\backslash mathrm\{AB\}\}^2+\backslash overline\{\backslash mathrm\{AC\}\}^2\; =\; 2(a^2+b^2+c^2)$, $\backslash overline\{\backslash mathrm\{AM\}\}^2+\backslash overline\{\backslash mathrm\{BM\}\}^2\; =\; a^2+b^2+c^2$ 이므로,

$\backslash therefore\; \backslash overline\{\backslash mathrm\{AB\}\}^2+\backslash overline\{\backslash mathrm\{AC\}\}^2\; =\; 2\; \backslash left(\; \backslash overline\{\backslash mathrm\{AM\}\}^2+\backslash overline\{\backslash mathrm\{BM\}\}^2\; \backslash right)$이다.

3.4. 벡터를 이용한 증명

아폴로니오스 정리는 벡터를 사용하여 증명할 수 있다. 이 증명은 평행사변형 법칙을 참조하라.