중선

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1. 개요
2. 정의
3. 주요 성질
4. 중선과 관련된 공식
5. 다른 성질
6. 사면체로의 확장
참조

1. 개요

중선은 삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 연결하는 선분이다. 삼각형의 세 중선은 한 점에서 만나며, 이 점은 삼각형의 무게중심이다. 무게중심은 각 중선을 꼭짓점으로부터 2:1로 내분한다. 중선은 삼각형의 면적을 이등분하며, 중선의 길이, 중선 정리, 스튜어트 정리 등과 관련된 다양한 공식이 존재한다. 중선의 개념은 사면체로 확장되어, 사면체의 꼭짓점과 반대편 면의 무게중심을 연결하는 중앙선으로 이어진다.

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중선
기하학적 정보
정의	삼각형의 한 꼭짓점에서 마주보는 변의 중점까지 이은 선분
다른 이름	중선
성질	삼각형의 세 중선은 한 점에서 만나며, 이 점은 각 중선을 2:1로 나눈다. 이 교점은 삼각형의 무게중심이다.
관련 개념
관련 도형	삼각형
관련 용어	무게중심

2. 정의

삼각형의 한 꼭짓점과 그 마주보는 변의 중점을 이은 선분을 중선이라고 한다.

3. 주요 성질

삼각형의 세 중선은 한 점에서 만나며, 이 점을 무게중심이라고 한다. 각 중선은 삼각형의 넓이를 이등분한다.^[2]^[3]

3. 1. 무게중심

평면 위의 한 삼각형에서 세 중선의 교점은 그 무게중심이 된다. 여기서 무게중심은 한 중선을 2:1로 내분하는 점(꼭짓점으로부터 2, 대변의 중점으로부터 1)이기도 하다. 삼각형의 각 중선은 삼각형의 무게중심을 지나는데, 이는 삼각형과 일치하는 균일한 밀도를 가진 무한히 얇은 물체의 질량 중심이다.^[1] 따라서, 물체는 중선의 교차점에서 균형을 이룬다. 무게중심은 중선이 교차하는 변과 비교하여 중선이 시작되는 꼭짓점에 대해 두 배 가깝다.

3. 2. 면적 이등분

각 중선은 삼각형의 넓이를 이등분한다. 이 때문에 중선이라는 이름이 붙었고, 균일한 밀도의 삼각형 물체는 어떤 중선에서도 균형을 이룰 수 있다.^[2]^[3] 세 중선은 삼각형을 넓이가 같은 여섯 개의 작은 삼각형으로 나눈다.

3. 2. 1. 면적 이등분 성질 증명

삼각형 ''ABC''에서 점 ''D''는 변

\overline{AB}

의 중점, 점 ''E''는 변

\overline{BC}

의 중점, 점 ''F''는 변

\overline{AC}

의 중점이고, 점 ''O''는 무게중심이다.

정의에 따라

AD=DB, AF=FC, BE=EC

이다. 따라서

[ADO]=[BDO], [AFO]=[CFO], [BEO]=[CEO]

이고,

[ABE]=[ACE]

이다. 여기서

[ABC]

는 삼각형

\triangle ABC

의 넓이를 나타낸다. 이는 각 경우에 두 삼각형이 길이가 같은 밑변을 가지고 (연장된) 밑변에서 공통의 높이를 공유하며, 삼각형의 넓이는 밑변과 높이의 곱의 절반과 같기 때문이다.^[1]

다음이 성립한다.

:

[ABO]=[ABE]-[BEO]

:

[ACO]=[ACE]-[CEO]

따라서

[ABO]=[ACO]

이고

[ADO]=[DBO]

이며,

[ADO]=\frac{1}{2}[ABO]

이다.

[AFO]=[FCO]

이고

[AFO]= \frac{1}{2}[ACO]=\frac{1}{2}[ABO]=[ADO]

이므로,

[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]

이다. 같은 방법을 사용하면

[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]

임을 보일 수 있다.^[1]

3. 3. 합동 삼각형 (리로스 정리)

리 샐로스는 2014년 다음과 같은 정리를 발견했다.^[4]

삼각형의 중선은 위의 그림과 같이 여섯 개의 동일한 면적을 가진 작은 삼각형으로 나뉜다. 여기서 삼각형의 인접한 세 쌍은 중점 D, E, F에서 만난다. 각 쌍의 두 삼각형을 공통 중점을 중심으로 회전시켜 공통 변을 공유하도록 하면, 각 쌍의 결합으로 형성된 세 개의 새로운 삼각형은 합동이다.

4. 중선과 관련된 공식

중선과 관련된 공식으로는 아폴로니우스의 정리(파푸스 중선 정리)와 스튜어트의 정리가 있다. 이 공식들은 중선의 길이를 구하거나 중선과 관련된 여러 성질을 나타낸다.

4. 1. 중선의 길이 공식

아폴로니우스의 정리를 이용하면 삼각형의 중선 길이를 다음과 같이 구할 수 있다.

:

m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}

:

m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2 a^2 + 2 c^2 - b^2}

:

m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}

여기서

a, b, c

는 삼각형의 세 변의 길이를 나타내고,

m_a, m_b, m_c

는 각 변의 중점에서 마주보는 꼭짓점까지 이은 중선의 길이를 나타낸다.

이 공식들은 다음과 같은 관계를 가진다.

:

a = \frac{2}{3} \sqrt{-m_a^2 + 2m_b^2 + 2m_c^2} = \sqrt{2(b^2+c^2)-4m_a^2} = \sqrt{\frac{b^2}{2} - c^2 + 2m_b^2} = \sqrt{\frac{c^2}{2} - b^2 + 2m_c^2}

:

b = \frac{2}{3} \sqrt{-m_b^2 + 2m_a^2 + 2m_c^2} = \sqrt{2(a^2+c^2)-4m_b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} - c^2 + 2m_a^2} = \sqrt{\frac{c^2}{2} - a^2 + 2m_c^2}

:

c = \frac{2}{3} \sqrt{-m_c^2 + 2m_b^2 + 2m_a^2} = \sqrt{2(b^2+a^2)-4m_c^2} = \sqrt{\frac{b^2}{2} - a^2 + 2m_b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} - b^2 + 2m_a^2}.

삼각형 ABC의 세 변 BC, CA, AB의 길이를 각각 ''a'',''b'',''c''로 하고, 꼭짓점 A와 BC의 중점을 잇는 중선의 길이를 m이라고 하면, 다음의 파푸스 중선 정리가 성립한다.

:4m²+''a''²=2(''b''²+''c''²)

이 식을 변형하면,

:

m = \sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} }

가 되어, 세 변의 길이로부터 중선의 길이를 구할 수 있다.

스튜어트의 정리는 파푸스 중선 정리의 일반화로, 변 BC의 중점이 아닌 임의의 점과 꼭짓점 A를 잇는 선분에 대한 관계식이다.

4. 2. 중선 정리 (파푸스의 중선 정리)

아폴로니우스의 정리에 따라 중선의 길이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}$
$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2 a^2 + 2 c^2 - b^2}$
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}$

여기서

a, b, c

는 삼각형의 각 변을,

m_a, m_b, m_c

는 각 변의 중점을 이은 중선을 나타낸다.

이 공식들로부터 다음 관계가 성립한다.

$a = \frac{2}{3} \sqrt{-m_a^2 + 2m_b^2 + 2m_c^2} = \sqrt{2(b^2+c^2)-4m_a^2} = \sqrt{\frac{b^2}{2} - c^2 + 2m_b^2} = \sqrt{\frac{c^2}{2} - b^2 + 2m_c^2}$
$b = \frac{2}{3} \sqrt{-m_b^2 + 2m_a^2 + 2m_c^2} = \sqrt{2(a^2+c^2)-4m_b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} - c^2 + 2m_a^2} = \sqrt{\frac{c^2}{2} - a^2 + 2m_c^2}$
$c = \frac{2}{3} \sqrt{-m_c^2 + 2m_b^2 + 2m_a^2} = \sqrt{2(b^2+a^2)-4m_c^2} = \sqrt{\frac{b^2}{2} - a^2 + 2m_b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} - b^2 + 2m_a^2}.$

삼각형 ABC에서 변 BC, CA, AB의 길이를 각각 ''a'',''b'',''c''라 하고, 꼭짓점 A에서 변 BC의 중점을 이은 중선의 길이를 m이라 하면, 다음 식이 성립한다.

:4m²+''a''²=2(''b''²+''c''²)

이를 파푸스 중선 정리라고 한다. 이 식을 변형하면 다음과 같다.

:

m = \sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} }

즉, 세 변의 길이로부터 중선의 길이를 구할 수 있다.

스튜어트의 정리는 파푸스 중선 정리를 일반화한 것으로, 변 BC의 중점이 아닌 임의의 점과 꼭짓점 A를 이은 선에 대한 관계식을 제공한다.

4. 3. 스튜어트 정리

스튜어트 정리는 중선 정리의 일반화된 형태로, 삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변 위의 임의의 점을 잇는 선분의 길이에 대한 관계식이다.

4. 4. 기타 공식

아폴로니우스의 정리에 따르면, 삼각형의 세 중선의 길이는 다음과 같이 표현된다.

:

m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}

:

m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2 a^2 + 2 c^2 - b^2}

:

m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}

여기서

a, b, c

는 삼각형의 세 변의 길이이고,

m_a, m_b, m_c

는 각 변의 중점에서 마주보는 꼭짓점까지 이은 중선의 길이이다.

이 공식들을 이용하면, 삼각형의 각 변의 길이를 중선의 길이를 통해 나타낼 수 있다.

:

a = \frac{2}{3} \sqrt{-m_a^2 + 2m_b^2 + 2m_c^2} = \sqrt{2(b^2+c^2)-4m_a^2} = \sqrt{\frac{b^2}{2} - c^2 + 2m_b^2} = \sqrt{\frac{c^2}{2} - b^2 + 2m_c^2}

:

b = \frac{2}{3} \sqrt{-m_b^2 + 2m_a^2 + 2m_c^2} = \sqrt{2(a^2+c^2)-4m_b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} - c^2 + 2m_a^2} = \sqrt{\frac{c^2}{2} - a^2 + 2m_c^2}

:

c = \frac{2}{3} \sqrt{-m_c^2 + 2m_b^2 + 2m_a^2} = \sqrt{2(b^2+a^2)-4m_c^2} = \sqrt{\frac{b^2}{2} - a^2 + 2m_b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} - b^2 + 2m_a^2}

5. 다른 성질

삼각형 ''ABC''가 있고, ''G''가 무게중심이며, ''D'', ''E'', ''F''가 각각 ''BC'', ''CA'', ''AB''의 중점이라고 하자. 평면 위의 임의의 점 ''P''에 대해 다음 부등식이 성립한다.^[6]

:PA+PB+PC ≤ 2(PD+PE+PF) + 3PG.

무게중심은 각 중선을 2:1의 비율로 나눈다.

변의 길이가 ''a'', ''b'', ''c''이고 중선이 m_a, m_b, m_c인 임의의 삼각형에 대해 다음이 성립한다.^[7]

:

길이가 a와 b인 변으로부터의 중선은 일 때에만 서로 수직이다.^[8]

빗변이 c인 직각삼각형의 중선은 을 만족한다.

임의의 삼각형의 넓이 ''T''는 중선 m_a, m_b, m_c를 사용하여 다음과 같이 표현될 수 있다. 만약 이들의 반합 (m_a + m_b + m_c)/2가 σ로 표시된다면^[9]

:

6. 사면체로의 확장

/ / / / {{lang||en||SS_{ABC}]]

정사면체는 4개의 삼각 면을 갖는 3차원 물체이다. 정사면체의 꼭짓점과 반대편 면의 무게중심을 연결하는 선분은 정사면체의 ''중앙선''이라고 한다. 4개의 중앙선이 있으며, 모두 정사면체의 ''무게중심''에서 만난다.^[10] 2차원 경우와 마찬가지로, 정사면체의 무게중심은 질량 중심이다. 그러나 2차원 경우와 달리, 무게중심은 중앙선을 2:1의 비율이 아닌 3:1의 비율로 나눈다 (코만디노 정리).

참조

_[1] 서적 CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition CRC Press
_[2] 웹사이트 Medians and Area Bisectors of a Triangle http://www.se16.info[...] 2013-09-27
_[3] 간행물 Halving a triangle https://doi.org/10.2[...] Mathematical Gazette 1972-05
_[4] 학술지 A Triangle Theorem https://www.jstor.or[...] 2014
_[5] 서적 Diccio fórmulas https://books.google[...] Edunsa 2011-04-24
_[6] 학술지 Problem 12015 2018-01
_[7] 서적 Challenging Problems in Geometry Dover
_[8] 간행물 Mathematical Gazette, Note 93.15
_[9] 간행물 A Heron-type formula for the triangle 2003-07
_[10] 서적 Vectors, matrices and geometry Hong Kong University Press

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