중선

1. 개요

중선은 삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 연결하는 선분이다. 삼각형의 세 중선은 한 점에서 만나며, 이 점은 삼각형의 무게중심이다. 무게중심은 각 중선을 꼭짓점으로부터 2:1로 내분한다. 중선은 삼각형의 면적을 이등분하며, 중선의 길이, 중선 정리, 스튜어트 정리 등과 관련된 다양한 공식이 존재한다. 중선의 개념은 사면체로 확장되어, 사면체의 꼭짓점과 반대편 면의 무게중심을 연결하는 중앙선으로 이어진다.

2. 정의

삼각형의 한 꼭짓점과 그 마주보는 변의 중점을 이은 선분을 중선이라고 한다.

3. 주요 성질

삼각형의 세 중선은 한 점에서 만나며, 이 점을 무게중심이라고 한다. 각 중선은 삼각형의 넓이를 이등분한다.

3.1. 무게중심

평면 위의 한 삼각형에서 세 중선의 교점은 그 무게중심이 된다. 여기서 무게중심은 한 중선을 2:1로 내분하는 점(꼭짓점으로부터 2, 대변의 중점으로부터 1)이기도 하다. 삼각형의 각 중선은 삼각형의 무게중심을 지나는데, 이는 삼각형과 일치하는 균일한 밀도를 가진 무한히 얇은 물체의 질량 중심이다. 따라서, 물체는 중선의 교차점에서 균형을 이룬다. 무게중심은 중선이 교차하는 변과 비교하여 중선이 시작되는 꼭짓점에 대해 두 배 가깝다.

3.2. 면적 이등분

각 중선은 삼각형의 넓이를 이등분한다. 이 때문에 중선이라는 이름이 붙었고, 균일한 밀도의 삼각형 물체는 어떤 중선에서도 균형을 이룰 수 있다. 세 중선은 삼각형을 넓이가 같은 여섯 개의 작은 삼각형으로 나눈다.

3.2.1. 면적 이등분 성질 증명

삼각형 ABC에서 점 D는 변 $\backslash overline\{AB\}$의 중점, 점 E는 변 $\backslash overline\{BC\}$의 중점, 점 F는 변 $\backslash overline\{AC\}$의 중점이고, 점 O는 무게중심이다.

정의에 따라 $AD=DB,\; AF=FC,\; BE=EC$이다. 따라서 $[ADO]=[BDO],\; [AFO]=[CFO],\; [BEO]=[CEO]$이고, $[ABE]=[ACE]$이다. 여기서 $[ABC]$는 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$의 넓이를 나타낸다. 이는 각 경우에 두 삼각형이 길이가 같은 밑변을 가지고 (연장된) 밑변에서 공통의 높이를 공유하며, 삼각형의 넓이는 밑변과 높이의 곱의 절반과 같기 때문이다.

다음이 성립한다.
:$[ABO]=[ABE]-[BEO]$
:$[ACO]=[ACE]-[CEO]$

따라서 $[ABO]=[ACO]$이고 $[ADO]=[DBO]$이며, $[ADO]=\backslash frac\{1\}\{2\}[ABO]$이다.

$[AFO]=[FCO]$이고 $[AFO]=\; \backslash frac\{1\}\{2\}[ACO]=\backslash frac\{1\}\{2\}[ABO]=[ADO]$이므로, $[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]$이다. 같은 방법을 사용하면 $[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]$임을 보일 수 있다.

3.3. 합동 삼각형 (리로스 정리)

리 샐로스는 2014년 다음과 같은 정리를 발견했다.
삼각형의 중선은 위의 그림과 같이 여섯 개의 동일한 면적을 가진 작은 삼각형으로 나뉜다. 여기서 삼각형의 인접한 세 쌍은 중점 D, E, F에서 만난다. 각 쌍의 두 삼각형을 공통 중점을 중심으로 회전시켜 공통 변을 공유하도록 하면, 각 쌍의 결합으로 형성된 세 개의 새로운 삼각형은 합동이다.

4. 중선과 관련된 공식

중선과 관련된 공식으로는 아폴로니우스의 정리(파푸스 중선 정리)와 스튜어트의 정리가 있다. 이 공식들은 중선의 길이를 구하거나 중선과 관련된 여러 성질을 나타낸다.

4.1. 중선의 길이 공식

아폴로니우스의 정리를 이용하면 삼각형의 중선 길이를 다음과 같이 구할 수 있다.

:$m\_a\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\; b^2\; +\; 2\; c^2\; -\; a^2\}$
:$m\_b\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\; a^2\; +\; 2\; c^2\; -\; b^2\}$
:$m\_c\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\; a^2\; +\; 2\; b^2\; -\; c^2\}$

여기서 $a,\; b,\; c$는 삼각형의 세 변의 길이를 나타내고, $m\_a,\; m\_b,\; m\_c$는 각 변의 중점에서 마주보는 꼭짓점까지 이은 중선의 길이를 나타낸다.

이 공식들은 다음과 같은 관계를 가진다.

:$a\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash sqrt\{-m\_a^2\; +\; 2m\_b^2\; +\; 2m\_c^2\}\; =\; \backslash sqrt\{2(b^2+c^2)-4m\_a^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{b^2\}\{2\}\; -\; c^2\; +\; 2m\_b^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{c^2\}\{2\}\; -\; b^2\; +\; 2m\_c^2\}$
:$b\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash sqrt\{-m\_b^2\; +\; 2m\_a^2\; +\; 2m\_c^2\}\; =\; \backslash sqrt\{2(a^2+c^2)-4m\_b^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{a^2\}\{2\}\; -\; c^2\; +\; 2m\_a^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{c^2\}\{2\}\; -\; a^2\; +\; 2m\_c^2\}$
:$c\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash sqrt\{-m\_c^2\; +\; 2m\_b^2\; +\; 2m\_a^2\}\; =\; \backslash sqrt\{2(b^2+a^2)-4m\_c^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{b^2\}\{2\}\; -\; a^2\; +\; 2m\_b^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{a^2\}\{2\}\; -\; b^2\; +\; 2m\_a^2\}.$

삼각형 ABC의 세 변 BC, CA, AB의 길이를 각각 a,b,c로 하고, 꼭짓점 A와 BC의 중점을 잇는 중선의 길이를 m이라고 하면, 다음의 파푸스 중선 정리가 성립한다.

:4m²+a²=2(b²+c²)

이 식을 변형하면,

:$m\; =\; \backslash sqrt\; \{\backslash frac\{2\; b^2\; +\; 2\; c^2\; -\; a^2\}\{4\}\; \}$

가 되어, 세 변의 길이로부터 중선의 길이를 구할 수 있다.

스튜어트의 정리는 파푸스 중선 정리의 일반화로, 변 BC의 중점이 아닌 임의의 점과 꼭짓점 A를 잇는 선분에 대한 관계식이다.

4.2. 중선 정리 (파푸스의 중선 정리)

아폴로니우스의 정리에 따라 중선의 길이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

*$m\_a\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\; b^2\; +\; 2\; c^2\; -\; a^2\}$
*$m\_b\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\; a^2\; +\; 2\; c^2\; -\; b^2\}$
*$m\_c\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\; a^2\; +\; 2\; b^2\; -\; c^2\}$

여기서 $a,\; b,\; c$는 삼각형의 각 변을, $m\_a,\; m\_b,\; m\_c$는 각 변의 중점을 이은 중선을 나타낸다.

이 공식들로부터 다음 관계가 성립한다.

*$a\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash sqrt\{-m\_a^2\; +\; 2m\_b^2\; +\; 2m\_c^2\}\; =\; \backslash sqrt\{2(b^2+c^2)-4m\_a^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{b^2\}\{2\}\; -\; c^2\; +\; 2m\_b^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{c^2\}\{2\}\; -\; b^2\; +\; 2m\_c^2\}$
*$b\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash sqrt\{-m\_b^2\; +\; 2m\_a^2\; +\; 2m\_c^2\}\; =\; \backslash sqrt\{2(a^2+c^2)-4m\_b^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{a^2\}\{2\}\; -\; c^2\; +\; 2m\_a^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{c^2\}\{2\}\; -\; a^2\; +\; 2m\_c^2\}$
*$c\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash sqrt\{-m\_c^2\; +\; 2m\_b^2\; +\; 2m\_a^2\}\; =\; \backslash sqrt\{2(b^2+a^2)-4m\_c^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{b^2\}\{2\}\; -\; a^2\; +\; 2m\_b^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{a^2\}\{2\}\; -\; b^2\; +\; 2m\_a^2\}.$

삼각형 ABC에서 변 BC, CA, AB의 길이를 각각 a,b,c라 하고, 꼭짓점 A에서 변 BC의 중점을 이은 중선의 길이를 m이라 하면, 다음 식이 성립한다.

:4m²+a²=2(b²+c²)

이를 파푸스 중선 정리라고 한다. 이 식을 변형하면 다음과 같다.

:$m\; =\; \backslash sqrt\; \{\backslash frac\{2\; b^2\; +\; 2\; c^2\; -\; a^2\}\{4\}\; \}$

즉, 세 변의 길이로부터 중선의 길이를 구할 수 있다.

스튜어트의 정리는 파푸스 중선 정리를 일반화한 것으로, 변 BC의 중점이 아닌 임의의 점과 꼭짓점 A를 이은 선에 대한 관계식을 제공한다.

4.3. 스튜어트 정리

스튜어트 정리는 중선 정리의 일반화된 형태로, 삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변 위의 임의의 점을 잇는 선분의 길이에 대한 관계식이다.

4.4. 기타 공식

아폴로니우스의 정리에 따르면, 삼각형의 세 중선의 길이는 다음과 같이 표현된다.

:$m\_a\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\; b^2\; +\; 2\; c^2\; -\; a^2\}$
:$m\_b\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\; a^2\; +\; 2\; c^2\; -\; b^2\}$
:$m\_c\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\; a^2\; +\; 2\; b^2\; -\; c^2\}$

여기서 $a,\; b,\; c$는 삼각형의 세 변의 길이이고, $m\_a,\; m\_b,\; m\_c$는 각 변의 중점에서 마주보는 꼭짓점까지 이은 중선의 길이이다.

이 공식들을 이용하면, 삼각형의 각 변의 길이를 중선의 길이를 통해 나타낼 수 있다.

:$a\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash sqrt\{-m\_a^2\; +\; 2m\_b^2\; +\; 2m\_c^2\}\; =\; \backslash sqrt\{2(b^2+c^2)-4m\_a^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{b^2\}\{2\}\; -\; c^2\; +\; 2m\_b^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{c^2\}\{2\}\; -\; b^2\; +\; 2m\_c^2\}$
:$b\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash sqrt\{-m\_b^2\; +\; 2m\_a^2\; +\; 2m\_c^2\}\; =\; \backslash sqrt\{2(a^2+c^2)-4m\_b^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{a^2\}\{2\}\; -\; c^2\; +\; 2m\_a^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{c^2\}\{2\}\; -\; a^2\; +\; 2m\_c^2\}$
:$c\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash sqrt\{-m\_c^2\; +\; 2m\_b^2\; +\; 2m\_a^2\}\; =\; \backslash sqrt\{2(b^2+a^2)-4m\_c^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{b^2\}\{2\}\; -\; a^2\; +\; 2m\_b^2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{a^2\}\{2\}\; -\; b^2\; +\; 2m\_a^2\}$

5. 다른 성질

삼각형 ABC가 있고, G가 무게중심이며, D, E, F가 각각 BC, CA, AB의 중점이라고 하자. 평면 위의 임의의 점 P에 대해 다음 부등식이 성립한다.

:PA+PB+PC ≤ 2(PD+PE+PF) + 3PG.

무게중심은 각 중선을 2:1의 비율로 나눈다.

변의 길이가 a, b, c이고 중선이 m_a, m_b, m_c인 임의의 삼각형에 대해 다음이 성립한다.

:

길이가 a와 b인 변으로부터의 중선은 일 때에만 서로 수직이다.

빗변이 c인 직각삼각형의 중선은 을 만족한다.

임의의 삼각형의 넓이 T는 중선 m_a, m_b, m_c를 사용하여 다음과 같이 표현될 수 있다. 만약 이들의 반합 (m_a + m_b + m_c)/2가 σ로 표시된다면

:

6. 사면체로의 확장

정사면체는 4개의 삼각 면을 갖는 3차원 물체이다. 정사면체의 꼭짓점과 반대편 면의 무게중심을 연결하는 선분은 정사면체의 중앙선이라고 한다. 4개의 중앙선이 있으며, 모두 정사면체의 무게중심에서 만난다. 2차원 경우와 마찬가지로, 정사면체의 무게중심은 질량 중심이다. 그러나 2차원 경우와 달리, 무게중심은 중앙선을 2:1의 비율이 아닌 3:1의 비율로 나눈다 (코만디노 정리).