스튜어트 정리

1. 개요

스튜어트 정리는 삼각형의 변과 체바 선분 사이의 관계를 나타내는 기하학 정리이다. 삼각형 ABC의 변의 길이와 체바 선분 AX의 길이, 그리고 체바 선분에 의해 나뉜 변 BC의 두 부분의 길이를 이용하여 표현되며, 아폴로니우스 정리를 포함한다. 스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트의 이름을 따서 명명되었으며, 코사인 법칙을 이용하여 증명할 수 있다.

2. 정의

삼각형 ABC의 꼭짓점 A, B, C의 대변의 길이를 각각 a, b, c라고 하고, 꼭짓점 A를 지나는 체바 선분 AX의 길이를 d라고 하자. 이때, 변 BC가 AX에 의해 나누어지는 두 부분 BX와 CX의 길이를 각각 m과 n이라고 하면, 스튜어트 정리에 따라 다음 식이 성립한다.
:b²m+c²n=a(d²+mn)

특히 m=n일 경우 체바 선분 AX는 중선이 되고, 스튜어트 정리는 아폴로니우스 정리가 된다.

스튜어트 정리는 다음과 같이 표현할 수도 있다. 삼각형의 변의 길이를 각각 a, b, c라고 하고, 변 a에 대한 체바 선의 길이를 d라고 하자. 체바 선이 변 a를 길이 m과 n의 두 선분으로 나누고, m이 c에 인접하고 n이 b에 인접한다면, 다음과 같은 식이 성립한다.

:b²m + c²n = a(d² + mn)

이 정리는 선분의 부호 있는 길이를 사용하여 더 대칭적으로 쓸 수 있다. 선 AB의 길이는 선의 고정된 방향에서 A가 B의 왼쪽에 있는지 오른쪽에 있는지에 따라 양수 또는 음수로 간주한다. 이 때, A, B, C가 공선점이고 P가 임의의 점이면 다음 식이 성립한다.

:(PA² * BC) + (PB² * CA) + (PC² * AB) + (AB * BC * CA) = 0

체바 선이 중선인 특별한 경우(즉, 마주보는 변을 같은 길이의 두 선분으로 나누는 경우)에는 아폴로니우스 정리가 된다.

한편, 삼각형의 변 BC, CA, AB의 길이를 각각 a, b, c라고 하고, 변 AB 위에 점 M을 잡고, C와의 거리를 d라고 하자. AM, BM의 길이를 각각 x, y라고 하면 다음 식이 성립한다.

:a²x + b²y = c(d² + xy)

M이 변의 중점일 때, 이 식은 중선 정리의 식과 일치한다.

3. 증명

삼각형 $ABC$와 $AXC$에 코사인 법칙을 적용하면 다음을 얻는다.

:$c^2=a^2+b^2-2ab\backslash cos\; C$
:$d^2=b^2+n^2-2bn\backslash cos\; C$

두 등식에서 $\backslash cos\; C$를 소거하면 다음을 얻는다.

:$\backslash begin\{align\}c^2n-ad^2$
&=n(a^2+b^2)-a(b^2+n^2)\\
&=an(a-n)-b^2(a-n)\\
&=amn-b^2m
\end{align}

이를 정리하면 스튜어트 정리가 된다.

이 정리는 코사인 법칙의 응용으로 증명할 수 있다.

$m$과 $d$ 사이의 각을 $\backslash theta$, $n$과 $d$ 사이의 각을 $\backslash theta\text{'}$라고 하자. 그러면 $\backslash theta\text{'}$는 $\backslash theta$의 보각이므로, $\backslash cos\; \backslash theta\text{'}\; =\; -\backslash cos\; \backslash theta$이다. 각 $\backslash theta$와 $\backslash theta\text{'}$를 사용하여 두 개의 작은 삼각형에 코사인 법칙을 적용하면 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta, \\
b^2 &= n^2 + d^2 - 2dn\cos\theta' \\
&= n^2 + d^2 + 2dn\cos\theta.
\end{align}

첫 번째 방정식에 $n$을 곱하고 세 번째 방정식에 $m$을 곱하여 더하면 $\backslash cos\; \backslash theta$가 제거된다. 다음을 얻는다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
b^2m + c^2n &= nm^2 + n^2m + (m+n)d^2 \\
&= (m+n)(mn + d^2) \\
&= a(mn + d^2), \\
\end{align}

이것이 필요한 방정식이다.

또는, 삼각형의 꼭지점에서 밑변에 수선을 긋고 피타고라스 정리를 사용하여 거리 $b$, $c$, $d$를 고도에 대한 식으로 나타내어 정리를 증명할 수도 있다. 그러면 방정식의 좌변과 우변이 대수적으로 같은 식으로 줄어든다.

코사인 법칙에 의해 다음 식이 성립한다.

:$$
\begin{align}
b^2 &= x^2 + d^2 - 2dx\cos\theta \\
a^2 &= y^2 + d^2 - 2dy\cos\theta' \\
&= y^2 + d^2 + 2dy\cos\theta.\, \end{align}


위 식에 $y$를 곱하고, 아래 식에 $x$를 곱하여 합하면, $\backslash cos\; \backslash theta$의 항이 소거된다.

:$$
\begin{align}
&b^2y + a^2x \\
&= x^2y + y^2x + (x + y)d^2 \\
&= (x + y)(xy + d^2) \\
&= c(xy + d^2) \\
\end{align}

4. 역사

이 정리는 스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트의 이름을 따서 지어졌다. Hutton과 Gregory에 따르면, 스튜어트는 1746년 콜린 매클로린의 후임으로 에든버러 대학교 수학과 교수로 임명되려 할 때 이 결과를 발표했다고 한다. Coxeter와 Greitzer는 이 결과가 기원전 300년경 아르키메데스에게 이미 알려졌을 것이라고 언급한다. 이들은 이어서 최초로 알려진 증명이 R. 심슨에 의해 1751년에 제공되었다고 잘못 말하고 있다. Hutton과 Gregory는 이 결과가 심슨에 의해 1748년에, 심프슨에 의해 1752년에 사용되었으며, 유럽에서 최초로 나타난 것은 라자르 카르노에 의해 1803년에 제시되었다고 언급한다.

5. 다른 표현

스튜어트 정리는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$b^2m+c^2n=a(d^2+mn)$

이 방정식을 쉽게 기억하기 위해 다음과 같은 기억술을 사용하기도 한다(항을 재정렬한 후).

:$\backslash underset\{\backslash text\{남자\; \}한명\backslash text\{\; 과\; 그의\; \}아빠\}\{남자\backslash \; +\backslash \; 아빠\}\; =\; \backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\; \backslash underset\{\backslash text\{싱크대에\; \}폭탄\backslash text\{을\; 넣어라\}\}\{bmb\backslash \; +\backslash \; cnc\}$

또한, 선분의 부호 있는 길이를 사용하면 다음과 같이 대칭적으로 표현할 수 있다. 즉, 선분의 길이는 선의 고정된 방향에서 해당 점이 기준점의 왼쪽에 있는지 오른쪽에 있는지에 따라 양수 또는 음수로 간주한다. 공선점 A, B, C와 임의의 점 P에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash left(\backslash overline\{PA\}^2\backslash cdot\; \backslash overline\{BC\}\backslash right)\; +\; \backslash left(\backslash overline\{PB\}^2\backslash cdot\; \backslash overline\{CA\}\backslash right)\; +\; \backslash left(\backslash overline\{PC\}^2\backslash cdot\; \backslash overline\{AB\}\backslash right)\; +\; \backslash left(\backslash overline\{AB\}\backslash cdot\; \backslash overline\{BC\}\backslash cdot\; \backslash overline\{CA\}\backslash right)\; =0.$

삼각형의 변 BC, CA, AB의 길이를 각각 a, b, c라고 하고, 변 AB 위에 점 M을 잡고, C와의 거리를 d, AM, BM의 길이를 각각 x, y라고 하면 다음 식이 성립한다.

:$a^2x\; +\; b^2y\; =\; c(d^2\; +\; xy)$

6. 같이 보기

* 중선 정리
* 코사인 법칙