스튜어트 정리

3. 증명

삼각형 $ABC$와 $AXC$에 코사인 법칙을 적용하면^[5] 다음을 얻는다.

:$c^2=a^2+b^2-2ab\backslash cos\; C$

:$d^2=b^2+n^2-2bn\backslash cos\; C$

두 등식에서 $\backslash cos\; C$를 소거하면 다음을 얻는다.

:$\backslash begin\{align\}c^2n-ad^2$

&=n(a^2+b^2)-a(b^2+n^2)\\

&=an(a-n)-b^2(a-n)\\

&=amn-b^2m

\end{align}

이를 정리하면 스튜어트 정리가 된다.

이 정리는 코사인 법칙의 응용으로 증명할 수 있다.^[3]

$m$과 $d$ 사이의 각을 $\backslash theta$, $n$과 $d$ 사이의 각을 $\backslash theta\text{'}$라고 하자. 그러면 $\backslash theta\text{'}$는 $\backslash theta$의 보각이므로, $\backslash cos\; \backslash theta\text{'}\; =\; -\backslash cos\; \backslash theta$이다. 각 $\backslash theta$와 $\backslash theta\text{'}$를 사용하여 두 개의 작은 삼각형에 코사인 법칙을 적용하면 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta, \\

b^2 &= n^2 + d^2 - 2dn\cos\theta' \\

&= n^2 + d^2 + 2dn\cos\theta.

\end{align}

첫 번째 방정식에 $n$을 곱하고 세 번째 방정식에 $m$을 곱하여 더하면 $\backslash cos\; \backslash theta$가 제거된다. 다음을 얻는다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

b^2m + c^2n &= nm^2 + n^2m + (m+n)d^2 \\

&= (m+n)(mn + d^2) \\

&= a(mn + d^2), \\

\end{align}

이것이 필요한 방정식이다.

또는, 삼각형의 꼭지점에서 밑변에 수선을 긋고 피타고라스 정리를 사용하여 거리 $b$, $c$, $d$를 고도에 대한 식으로 나타내어 정리를 증명할 수도 있다. 그러면 방정식의 좌변과 우변이 대수적으로 같은 식으로 줄어든다.^[2]

코사인 법칙에 의해 다음 식이 성립한다.

:$$

\begin{align}

b^2 &= x^2 + d^2 - 2dx\cos\theta \\

a^2 &= y^2 + d^2 - 2dy\cos\theta' \\

&= y^2 + d^2 + 2dy\cos\theta.\, \end{align}



위 식에 $y$를 곱하고, 아래 식에 $x$를 곱하여 합하면, $\backslash cos\; \backslash theta$의 항이 소거된다.

:$$

\begin{align}

&b^2y + a^2x \\

&= x^2y + y^2x + (x + y)d^2 \\

&= (x + y)(xy + d^2) \\

&= c(xy + d^2) \\

\end{align}

4. 역사

이 정리는 스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트의 이름을 따서 지어졌다. Hutton과 Gregory에 따르면,^[1] 스튜어트는 1746년 콜린 매클로린의 후임으로 에든버러 대학교 수학과 교수로 임명되려 할 때 이 결과를 발표했다고 한다. Coxeter와 Greitzer는 이 결과가 기원전 300년경 아르키메데스에게 이미 알려졌을 것이라고 언급한다.^[2] 이들은 이어서 최초로 알려진 증명이 R. 심슨에 의해 1751년에 제공되었다고 잘못 말하고 있다. Hutton과 Gregory는 이 결과가 심슨에 의해 1748년에, 심프슨에 의해 1752년에 사용되었으며, 유럽에서 최초로 나타난 것은 라자르 카르노에 의해 1803년에 제시되었다고 언급한다.^[1]

5. 다른 표현

스튜어트 정리는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$b^2m+c^2n=a(d^2+mn)$

이 방정식을 쉽게 기억하기 위해 다음과 같은 기억술을 사용하기도 한다(항을 재정렬한 후).

:$\backslash underset\{\backslash text\{남자\; \}한명\backslash text\{\; 과\; 그의\; \}아빠\}\{남자\backslash \; +\backslash \; 아빠\}\; =\; \backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\; \backslash underset\{\backslash text\{싱크대에\; \}폭탄\backslash text\{을\; 넣어라\}\}\{bmb\backslash \; +\backslash \; cnc\}$

또한, 선분의 부호 있는 길이를 사용하면 다음과 같이 대칭적으로 표현할 수 있다. 즉, 선분의 길이는 선의 고정된 방향에서 해당 점이 기준점의 왼쪽에 있는지 오른쪽에 있는지에 따라 양수 또는 음수로 간주한다. 공선점 A, B, C와 임의의 점 P에 대해 다음이 성립한다.^[2]

:$\backslash left(\backslash overline\{PA\}^2\backslash cdot\; \backslash overline\{BC\}\backslash right)\; +\; \backslash left(\backslash overline\{PB\}^2\backslash cdot\; \backslash overline\{CA\}\backslash right)\; +\; \backslash left(\backslash overline\{PC\}^2\backslash cdot\; \backslash overline\{AB\}\backslash right)\; +\; \backslash left(\backslash overline\{AB\}\backslash cdot\; \backslash overline\{BC\}\backslash cdot\; \backslash overline\{CA\}\backslash right)\; =0.$

삼각형의 변 BC, CA, AB의 길이를 각각 a, b, c라고 하고, 변 AB 위에 점 M을 잡고, C와의 거리를 d, AM, BM의 길이를 각각 x, y라고 하면 다음 식이 성립한다.

:$a^2x\; +\; b^2y\; =\; c(d^2\; +\; xy)$

6. 같이 보기

• 중선 정리
• 코사인 법칙

참조

_[1] 서적 Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics Sands, Murray and Cochran
_[2] 기타
_[3] 웹사이트 Proof of Stewart's Theorem ProofOfStewartsTheor[...] PlanetMath
_[4] 문서 Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics
_[5] 서적 Geometry for College Students Brooks/Cole 2001