평행사변형

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1. 개요
2. 평행사변형의 성질
3. 평행사변형의 넓이
4. 평행사변형의 판별
5. 다른 도형과의 관계
- 5.1. 특수한 경우
- 5.2. 다른 평행사변형의 유도
6. 활용
참조

1. 개요

평행사변형은 두 쌍의 대변이 평행한 사각형이다. 평행사변형은 사다리꼴의 일종이며, 마름모, 직사각형, 정사각형을 포함한다. 평행사변형은 두 벡터의 합을 구할 때 사용되며, 두 쌍의 대변이 평행하거나 길이가 같으면 평행사변형으로 정의된다. 평행사변형은 마주보는 변의 길이와 각의 크기가 같고, 대각선은 서로를 이등분하며, 점대칭 도형이다. 평행사변형의 넓이는 밑변과 높이의 곱으로 계산하며, 인접한 두 변의 벡터 외적의 크기와 같다. 평행사변형은 평면을 채울 수 있으며, 직사각형, 마름모, 정사각형과 같은 특수한 형태를 갖는다.

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평행사변형
개요
이 평행사변형은 길이가 같지 않고 직각이 없는 능형이다.
종류	사변형, 사다리꼴
변의 수	4
대칭성	C₂, [2]⁺
넓이	bh (밑변 × 높이); ab sin θ (인접한 변과 그 사이각의 사인값의 곱)
속성	볼록 다각형
정의
정의	두 쌍의 대변이 평행한 사각형
종류
종류	직사각형: 모든 각이 직각인 평행사변형 마름모: 모든 변의 길이가 같은 평행사변형 정사각형: 모든 각이 직각이고 모든 변의 길이가 같은 평행사변형 능형: 이웃하는 변의 길이가 같지 않고, 각이 직각이 아닌 평행사변형

2. 평행사변형의 성질

평행사변형은 다음과 같은 다양한 기하학적 성질을 갖는다.

평행사변형의 마주보는 변은 평행하므로 절대 교차하지 않는다.
평행사변형의 넓이는 두 인접 변의 벡터 외적의 크기와 같다.
모든 비퇴화 아핀 변환은 평행사변형을 다른 평행사변형으로 변환한다.
정확히 두 개의 반사 대칭 선을 갖는 평행사변형은 마름모 또는 직사각형(정사각형이 아닌 직사각형)이다. 네 개의 반사 대칭 선을 갖는 평행사변형은 정사각형이다.
다른 볼록 다각형과 달리, 평행사변형은 면적이 두 배 미만인 삼각형에 내접할 수 없다.^[7]
평행사변형의 변 위에 내부 또는 외부에 구성된 네 개의 정사각형의 중심은 정사각형의 꼭짓점이다.^[8]
평행사변형도 사다리꼴과 마찬가지로 평면을 채울 수 있다.
4개의 변이 모두 같은 평행사변형은 마름모, 4개의 각이 모두 같은 평행사변형은 직사각형이며, 그 두 가지 성질을 모두 갖는 평행사변형이 정사각형이다.
삼각형의 넓이는 '밑변 × 높이 ÷ 2'로 나타낼 수 있는데, 이는 평행사변형의 넓이를 2등분하여 구한 결과이기 때문이다.

2. 1. 두 쌍의 대변의 관계

\triangle ABC

와

\triangle CDA

에서

\overline{AB} \parallel \overline{DC}

이고

\overline{AD} \parallel \overline{BC}

이므로

:

\angle BAC =  \angle DCA

(엇각) ……(1)

:

\angle ACB =  \angle CAD

(엇각) ……(2)

:

\overline{AC}

는 공통인 변이다. ……(3)

(1), (2), (3)에 의해 한 변의 길이가 서로 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 서로 같으므로

:

\triangle ABC \equiv \triangle DCA

따라서

:

\overline{AB} =  \overline{DC}, \overline{AD} =  \overline{BC}

이다.

단순(자기 교차하지 않는) 다각형 사변형은 다음 명제 중 하나라도 참일 경우 평행사변형이다:^[2]^[3]

두 쌍의 마주보는 변이 평행하다 (정의에 따라).
두 쌍의 마주보는 변의 길이가 같다.
두 쌍의 마주보는 각의 크기가 같다.
대각선이 서로를 이등분한다.
한 쌍의 마주보는 변이 평행하고 길이가 같다.
인접각이 보각이다.
각 대각선이 사변형을 두 개의 합동 삼각형으로 나눈다.
변의 제곱수의 합이 대각선의 제곱의 합과 같다. (이것은 평행사변형 법칙이다.)
차수 2의 회전 대칭을 가진다.
임의의 내부 점으로부터 변까지의 거리의 합은 점의 위치에 관계없이 일정하다.^[4] (이것은 비비아니의 정리의 확장이다.)
사변형의 평면 내에 점 ''X''가 존재하여, ''X''를 지나는 모든 직선이 사변형을 동일한 면적의 두 영역으로 나눈다.^[5]

따라서 모든 평행사변형은 위에 나열된 모든 속성을 가지며, 역으로, 단순 사변형에서 이러한 명제 중 하나라도 참이면 평행사변형으로 간주된다.

평행사변형은 마주보는 변의 길이가 같다(마주보는 변은 2쌍이 있으며, 모두 이 성질을 만족한다).

평행사변형 ABCD의 대각선의 교점을 E라고 하면,

AB=CD

,

BC=DA

이다.

2. 2. 두 쌍의 대각의 관계

\overline{BC}

를 C 방향으로 연장해서 그 위의 임의의 점을 E라고 하면,

\angle D = \angle DCE = \angle B

(동위각, 엇각)이다. 같은 방법으로

\angle A = \angle C

이다.^[2]^[3]

따라서 평행사변형은 마주보는 각의 크기가 같다. (마주보는 각은 2쌍이 있으며, 모두 이 성질을 만족한다).

2. 3. 대각선의 관계

평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다. 즉, 두 대각선의 교점은 각 대각선의 중점이다.^[2]^[3]

이를 증명하면 다음과 같다. 평행사변형 ABCD에서 대각선의 교점을 E라 하자. 삼각형 EAB와 삼각형 ECD에서,

\overline{AB} \parallel \overline{DC}

이므로 엇각에 의해

\angle EAB =  \angle ECD

,

\angle EBA =  \angle EDC

이다. 또한, 평행사변형의 대변의 길이는 같으므로

\overline{AB} = \overline{DC}

이다. 따라서 한 변의 길이가 서로 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 서로 같으므로

\triangle EAB \equiv \triangle ECD

이다. 그러므로

\overline{EA} = \overline{EC},  \overline{EB} = \overline{ED}

이다.

평행사변형의 대각선에 의해, 평행사변형을 서로 합동인 2개의 삼각형으로 나눌 수 있다.

2. 4. 기타 성질

평행사변형은 점대칭 도형이며, 대칭의 중심은 두 대각선의 교점이다.^[6]
평행사변형의 넓이는 대각선 중 하나에 의해 생성된 삼각형의 넓이의 두 배이다.
평행사변형의 중점을 지나는 모든 선은 넓이를 이등분한다.^[6]
평행사변형은 2차 회전 대칭(180°)을 갖는다.^[6]
평행사변형의 둘레는 2(''a'' + ''b'')이며, 여기서 ''a''와 ''b''는 인접 변의 길이이다.
평행사변형의 변에 평행한 두 선이 대각선과 공점으로 구성되면, 해당 대각선의 반대쪽에 형성된 평행사변형은 넓이가 같다.^[8]
평행사변형의 대각선은 이를 넓이가 같은 네 개의 삼각형으로 나눈다.
평행사변형 ABCD의 대각선의 교점을 E라고 하면, $AB=CD$ , $BC=DA$ , $AE=CE$ , $BE=DE$ 이지만, 이 4종류의 선분 길이에는 다음 관계식(중선 정리)이 성립한다.

:

AB^2+BC^2=2\left(AE^2+BE^2\right)

3. 평행사변형의 넓이

평행사변형의 넓이는 밑변과 높이의 곱으로 계산할 수 있다. 이는 평행사변형을 사다리꼴과 직각 삼각형으로 나누어 직사각형으로 재배열할 수 있기 때문이다. 따라서 평행사변형의 넓이는 같은 밑변과 높이를 가진 직사각형의 넓이와 같다.^[10]

: $K = bh.$

평행사변형의 면적은 파란색 영역의 면적이며, 이는 평행사변형의 내부입니다.

평행사변형을 직사각형 모양으로 재배열할 수 있음을 보여주는 그림 — 평행사변형은 같은 면적을 가진 직사각형으로 재배열될 수 있습니다.

밑변 × 높이 공식은 오른쪽 그림을 사용하여 유도할 수도 있다. 오른쪽 평행사변형(파란색 영역)의 면적 ''K''는 직사각형의 총 면적에서 두 개의 주황색 삼각형의 면적을 뺀 값이다. 직사각형의 면적은

:

K_\text{rect} = (B+A) \times H\,

이고 단일 삼각형의 면적은

:

K_\text{tri} = \frac{A}{2} \times H. \,

따라서 평행사변형의 면적은

:

K = K_\text{rect} - 2 \times K_\text{tri} = ( (B+A) \times H) - ( A \times H) = B \times H.

이웃하는 두 변의 길이를 각각

a

,

b

, 그 끼인각의 크기를

\theta

라 하면, 평행사변형의 넓이는 다음과 같다.

:

S=ab \sin \theta

평행사변형이 마름모가 아닌 경우, 면적은 변 ''B''와 ''C'', 그리고 대각선이 교차하는 각

\gamma

를 사용하여 표현할 수 있다.^[9]

:

K = \frac

{2} \cdot \left| B^2 - C^2 \right|.

평행사변형이 두 인접 변의 길이 ''B''와 ''C''와 두 대각선 중 하나의 길이 ''D''₁으로 지정된 경우, 헤론의 공식을 이용해 면적을 구할 수 있다.

:

K=2\sqrt{S(S-B)(S-C)(S-D_1)}=\frac{1}{2}\sqrt{(B+C+D_1)(-B+C+D_1)(B-C+D_1)(B+C-D_1)},

여기서

S=(B+C+D_1)/2

이다.

벡터

\mathbf{a},\mathbf{b}\in\R^2

가 주어지고,

V = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix} \in\R^{2 \times 2}

를 '''a'''와 '''b'''의 성분으로 구성된 행렬이라고 할 때, '''a'''와 '''b'''에 의해 생성된 평행사변형의 넓이는

|\det(V)| = |a_1b_2 - a_2b_1|\,

과 같다.

벡터

\mathbf{a},\mathbf{b}\in\R^n

가 주어지고,

V = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ b_1 & b_2 & \dots & b_n \end{bmatrix} \in\R^{2 \times n}

이라고 할 때, '''a'''와 '''b'''에 의해 생성된 평행사변형의 넓이는

\sqrt{\det(V V^\mathrm{T})}

와 같다.

점

a,b,c\in\R^2

가 주어질 때, ''a'', ''b'' 및 ''c''를 꼭짓점으로 갖는 평행사변형의 유향 면적은 ''a'', ''b'' 및 ''c''를 행으로 하고 마지막 열을 1로 채운 행렬의 행렬식과 같다.

:

K = \left| \begin{matrix}a_1 & a_2 & 1 \\b_1 & b_2 & 1 \\c_1 & c_2 & 1\end{matrix} \right|.

4. 평행사변형의 판별

어떤 사각형이 평행사변형이 되기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.^[2]^[3]

조건	설명
두 쌍의 대변이 평행하다.	기본 정의이며, 공간에서도 평행사변형이 된다.
한 쌍의 대변이 평행하며, 그 길이가 같다.	공간에서도 평행사변형이 된다.
두 쌍의 대변이 각각 같다.	공간에서는 평행사변형이 되지 않을 수 있다. (예: 정사면체의 교차하는 두 면으로 이루어진 사각형)
두 쌍의 대각이 각각 같다.	공간에서는 평행사변형이 되지 않을 수 있다. (예: 정사면체의 교차하는 두 면으로 이루어진 사각형)
두 대각선이 모두 서로의 중점에서 교차한다.	공간에서도 평행사변형이 된다.

단순(자기 교차하지 않는) 다각형 사변형은 다음 중 하나라도 참이면 평행사변형이다.^[2]^[3]

두 쌍의 마주보는 변이 평행하다 (정의).
두 쌍의 마주보는 변의 길이가 같다.
두 쌍의 마주보는 각의 크기가 같다.
대각선이 서로를 이등분한다.
한 쌍의 마주보는 변이 평행하고 길이가 같다.
인접각이 보각이다.
각 대각선이 사변형을 두 개의 합동 삼각형으로 나눈다.
변의 제곱수의 합이 대각선의 제곱의 합과 같다. (이것은 평행사변형 법칙이다.)
차수 2의 회전 대칭을 가진다.
임의의 내부 점으로부터 변까지의 거리의 합은 점의 위치에 관계없이 일정하다.^[4] (이것은 비비아니의 정리의 확장이다.)
사변형의 평면 내에 점 ''X''가 존재하여, ''X''를 지나는 모든 직선이 사변형을 동일한 면적의 두 영역으로 나눈다.^[5]

따라서 모든 평행사변형은 위에 나열된 모든 속성을 가지며, 역으로, 단순 사변형에서 이러한 명제 중 하나라도 참이면 평행사변형으로 간주된다.

5. 다른 도형과의 관계

평행사변형은 사다리꼴의 일종이다.
마름모와 직사각형은 평행사변형의 특수한 경우이다.
정사각형은 마름모와 직사각형의 성질을 모두 갖는 평행사변형이다.
평행사변형은 평면을 빈틈없이 채울 수 있다.

타원에서, 두 개의 지름은 한 지름의 끝점에서 타원에 대한 접선이 다른 지름과 평행할 때 켤레 지름이라고 하며, 타원의 각 켤레 지름 쌍은 켤레 지름의 네 끝점에서 타원에 대한 접선으로 형성된 접선 평행사변형에 해당한다.
평행육면체는 여섯 개의 면이 평행사변형인 삼차원 도형이다.

5. 1. 특수한 경우

직사각형 – 네 각의 크기가 같은(직각) 평행사변형이다.^[1]
마름모 – 네 변의 길이가 같은 평행사변형이다.^[1]
정사각형 – 네 변의 길이가 같고, 네 각의 크기가 같은(직각) 평행사변형이다.^[1]

5. 2. 다른 평행사변형의 유도

자동중선 삼각형은 중선의 길이가 변의 길이와 같은 비율(단, 순서는 다름)을 갖는 삼각형이다. 만약 꼭짓점 ''A''가 변 ''a''의 맞은편에 있고, ''G''가 무게중심 (세 중선이 교차하는 점)이며, ''AL''이 ''ABC''의 외접원 위에 있는 ''L''을 갖는 연장된 중선 중 하나라면, ''BGCL''은 평행사변형이다.

바리뇽의 정리에 따르면 임의의 사각형의 변의 중점을 연결하면 '바리뇽 평행사변형'이라고 불리는 평행사변형이 만들어진다. 사각형이 볼록 다각형 또는 오목 다각형 (즉, 자기 교차하지 않는 경우)인 경우, 바리뇽 평행사변형의 면적은 사각형 면적의 절반이다.^[1]

그림 증명 (그림 참조):^[1]

1. 임의의 사각형과 그 대각선.^[1]

2. 닮은꼴 삼각형의 밑변은 파란색 대각선과 평행하다.^[1]

3. 빨간색 대각선도 마찬가지이다.^[1]

4. 밑변 쌍은 사각형의 면적의 절반인 평행사변형을 형성하며, ''A_q''는 네 개의 큰 삼각형의 면적의 합인 ''A_l''은 2 ''A_q'' (두 쌍 각각이 사각형을 재구성)이고, 작은 삼각형의 면적인 ''A_s''는 ''A_l''의 4분의 1 (선형 치수가 절반이면 면적은 4분의 1)이며, 평행사변형의 면적은 ''A_q''에서 ''A_s''를 뺀 것이다.^[1]

6. 활용

평행사변형은 두 벡터의 합을 구하는 평행사변형법에 사용된다. 오른쪽 그림에서 DC 벡터와 DA 벡터의 합벡터는 DB 벡터이다.^[1] 평행사변형의 성질은 다양한 기하학적 문제를 해결하는 데 활용된다.

참조

_[1] 웹사이트 CIMT - Page no longer available at Plymouth University servers http://www.cimt.plym[...] 2014-05-14
_[2] 서적 Methods for Euclidean Geometry Mathematical Association of America 2010
_[3] 서적 The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition Information Age Publishing 2008
_[4] 논문 The converse of Viviani's theorem 2006
_[5] 웹사이트 2006 British Mathematical Olympiad http://artofproblems[...]
_[6] 간행물 Halving a triangle 1972-05
_[7] 웹사이트 Triangle Circumscribing http://mathworld.wol[...]
_[8] 웹사이트 Parallelogram http://mathworld.wol[...]
_[9] 간행물 The area of a quadrilateral 2009-07
_[10] 문서 底辺はどの辺でも構わない。ある辺を底辺と決めたら、それと直角に交わる線分を底辺からその対辺まで引いたとき、その線分の長さが高さである。

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