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알고리즘 정보 이론

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목차

1. 개요

알고리즘 정보 이론은 1960년대 레이 솔로모노프에 의해 창시되었으며, 콜모고로프 복잡성을 핵심 개념으로 하여 객체의 정보량을 측정하는 척도를 제공한다. 최소 설명 길이 원리, 계산 복잡도 이론 증명, 보편 유사성 척도 정의 등에 응용되며, 한국의 정보 사회 발전에 기여할 수 있다.

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    콜모고로프 복잡도는 주어진 문자열을 생성하는 가장 짧은 프로그램의 길이로 정의되며, 문자열의 복잡성을 측정하고 데이터 압축, 정보 보안 등 다양한 분야에서 활용된다.
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알고리즘 정보 이론

2. 역사

레이 솔로모노프는 알고리즘 확률 개념을 통해 귀납적 추론의 일반 이론을 제시하며 알고리즘 정보 이론의 기초를 마련했다.[7] 그는 1960년 캘리포니아 공과대학(Caltech)에서 열린 컨퍼런스에서 처음으로 자신의 결과를 발표했고,[8] 1960년 2월 "귀납적 추론의 일반 이론에 대한 예비 보고서"에서 발표했다.[9] 이후 안드레이 콜모고로프는 1965년에, 그레고리 차이틴은 1966년경에 이 이론을 독립적으로 개발했다.

레오니트 레빈은 접두 부호를 기반으로 하는 콜모고로프 복잡성의 변형을 제시했으며, 페르 마틴-뢰프는 무한 수열의 정보 이론에 크게 기여했다. 블룸의 공리(블룸 공리)에 기초한 알고리즘 정보 이론에 대한 공리적 접근법은 마크 부르긴이 1982년 안드레이 콜모고로프의 저작에 대한 논문에서 제시했다. 이 접근법은 그 후 책으로 정리되었고(Burgin, 2005), 소프트웨어 측정법에 응용되고 있다(Burgin and Debnath, 2003; Debnath and Burgin, 2003).

3. 핵심 개념

알고리즘 정보 이론(AIT)은 컴퓨터 과학을 활용하여 개별 객체의 정보 이론을 다루며, 계산, 정보 및 무작위성의 관계를 연구한다.

AIT에서 객체의 정보 내용은 그 객체를 설명하는 가장 짧은 프로그램의 길이로 측정된다. 예를 들어,

"0101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101"

은 "01을 32번 반복"과 같이 짧게 설명할 수 있지만,

"1100100001100001110111101110110011111010010000100101011110010110"

는 문자열 자체를 쓰는 것 외에 더 간단한 표현이 어렵다.

이처럼 문자열 ''x''의 알고리즘 복잡도(AC)는 특정 보편 컴퓨터에서 ''x''를 계산하거나 출력하는 가장 짧은 프로그램의 길이로 정의된다. 이와 관련된 알고리즘 "솔로모노프" 확률(AP)은 임의의 프로그램이 주어졌을 때 보편 컴퓨터가 문자열 ''x''를 출력할 확률을 나타낸다. AP는 귀납법과 같은 철학적 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 한다.

AC와 AP는 계산 불가능하다는 단점이 있지만, "레빈" 복잡도는 실행 시간이 긴 프로그램에 벌점을 주어 계산 가능한 형태로 만든다.

AC와 AP는 비결정론이나 가능성에 대한 직관에 의존하지 않고 무작위성에 대한 엄밀한 정의를 제공한다.

3. 1. 콜모고로프 복잡성

객체의 콜모고로프 복잡성은 그 객체를 출력하는 가장 짧은 프로그램의 길이로 정의된다.[10] 이는 객체의 정보량을 측정하는 척도로 해석될 수 있다. 3000페이지 분량의 백과사전과 3000페이지 분량의 무작위 문자열을 비교했을 때, 백과사전이 훨씬 유용하지만 콜모고로프 복잡성 관점에서는 정보량의 차이가 크지 않다. 무작위 문자열은 각 글자를 모두 알아야 재생성할 수 있지만, 백과사전은 모음을 제거해도 영어에 대한 지식이 있는 사람은 내용을 복원할 수 있기 때문이다.

콜모고로프 복잡성은 보편 튜링 기계의 선택에 의존하지만, 그 차이는 상수 범위 내에 있다. 따라서 무작위 문자열의 집합은 보편 튜링 기계에 따라 달라지지만, 전체적인 속성은 유사하므로 일반적으로 보편 튜링 기계를 명시하지 않고 무작위 문자열의 속성을 논할 수 있다.

이진 문자열의 콜모고로프 복잡성이 문자열의 길이보다 크거나 같으면 해당 문자열은 무작위하다고 정의한다.

차이틴의 불완전성 정리와 같은 알고리즘 정보 이론의 일부 결과는 일반적인 수학적 및 철학적 직관에 도전하는 것처럼 보인다. 특히, 차이틴 상수 '''Ω'''는 자체 경계가 있는 보편 튜링 기계가 공정한 동전 던지기로 입력을 제공받을 때 정지할 확률을 나타내는 실수인데, 이는 쉽게 정의되지만, 모든 일관적인 공리화 가능한 이론에서 '''Ω'''의 유한한 자릿수만 계산할 수 있다는 점에서 ''알 수 없는'' 것으로, 괴델의 불완전성 정리를 연상시키는 지식에 대한 절대적인 한계를 제공한다.

3. 2. 알고리즘적 무작위 수열

무한 이진 수열은 어떤 상수 ''c''에 대해, 모든 ''n''에 대해, 수열의 길이 ''n''인 초기 부분 수열의 콜모고로프 복잡도가 ''n'' − ''c'' 이상이면 무작위하다고 정의된다.[10] 거의 모든 수열(무한 이진 수열 공간에 대한 표준 측도—"공정한 동전" 또는 르베그 측도)은 무작위임이 밝혀질 수 있다. 또한, 서로 다른 두 개의 범용 기계에 대한 콜모고로프 복잡도는 최대 상수로 다르다는 것을 보일 수 있으므로, 무작위 무한 수열의 집합은 범용 기계의 선택에 의존하지 않는다(유한 문자열과 대조적으로).[10] 이러한 무작위성 정의는 페르 마틴-뢰프의 이름을 따서 일반적으로 ''마틴-뢰프'' 무작위성이라고 불린다.[10] 또한 다른 더 강력한 무작위성 개념(2-무작위성, 3-무작위성 등)과 구별하기 위해 때때로 ''1-무작위성''이라고도 불린다. 마틴-뢰프 무작위성 개념 외에도, 재귀 무작위성, 슈노르 무작위성, 커츠 무작위성 등이 있다. 왕용거는 이러한 모든 무작위성 개념이 서로 다르다는 것을 보였다.[10]

3. 3. 알고리즘 확률

알고리즘 "솔로모노프" 확률(AP)은 임의로 선택된 프로그램이 주어졌을 때 보편 컴퓨터가 어떤 문자열 ''x''를 출력할 확률이다. 솔로모노프는 이를 통해 오래된 철학적 문제인 귀납법을 형식적으로 해결하고자 했다.

알고리즘 확률의 주요 단점은 계산 불가능하다는 것이다. 그러나 시간 제한 "레빈" 복잡도는 실행 시간이 긴 프로그램에 길이의 로그를 더하여 벌칙을 부과함으로써, 알고리즘 확률의 계산 가능한 변형을 제시한다.

4. 주요 정리 및 결과

알고리즘 정보 이론의 주요 결과는 다음과 같다.


  • 문자열 복잡도 연구: 알고리즘 정보 이론은 주로 문자열 (또는 다른 자료 구조)의 복잡도를 연구한다. 대부분의 수학적 객체는 문자열 또는 문자열 수열의 극한으로 표현될 수 있기 때문에, 정수를 포함한 다양한 수학적 객체를 연구하는 데 사용될 수 있다.
  • 정보 내용과 압축: 문자열의 정보 내용은 해당 문자열의 가장 압축된 자체 포함 표현의 길이에 해당한다. 자체 포함 표현은 실행 시 원래 문자열을 출력하는 프로그램이다.
  • 무작위 문자열과 정보량: 3000페이지 분량의 백과사전은 3000페이지 분량의 무작위적인 글자보다 정보가 적다. 무작위적인 글자는 모든 글자를 알아야 재구성할 수 있지만, 백과사전은 일부 정보(모음)가 제거되어도 영어에 대한 지식을 통해 재구성할 수 있기 때문이다.
  • 형식적 정의: 고전적인 정보 이론과 달리, 알고리즘 정보 이론은 무작위 문자열과 무작위 무한 시퀀스에 대해 형식적인 정의를 제공하며, 이는 비결정론 또는 가능성에 대한 직관에 의존하지 않는다.
  • 차이틴의 불완전성 정리: 차이틴의 불완전성 정리는 일반적인 직관에 도전하는 결과 중 하나이다.
  • 차이틴 상수 Ω: 차이틴 상수 '''Ω'''는 자체 경계가 있는 보편 튜링 기계가 무작위 입력을 받을 때 정지할 확률을 나타내는 실수이다. '''Ω'''는 쉽게 정의되지만, 그 값을 완전히 계산하는 것은 불가능하며, 이는 괴델의 불완전성 정리를 연상시킨다.

4. 1. 차이틴 불완전성 정리

콜모고로프 복잡성과 관련된 알고리즘 정보 이론의 중요한 결과 중 하나는 차이틴의 불완전성 정리이다. 이 정리는 일반적인 수학적 및 철학적 직관에 도전하는 것처럼 보인다. 차이틴 상수 '''Ω'''는 특히 주목할 만하다. 이 상수는 자체 경계가 있는 보편 튜링 기계가 공정한 동전 던지기로 입력을 제공받을 때 정지할 확률을 나타내는 실수이다. '''Ω'''는 무작위 컴퓨터 프로그램이 결국 정지할 확률이라고 생각할 수도 있다.

'''Ω'''는 쉽게 정의되지만, 모든 일관적인 공리화 가능한 이론에서 '''Ω'''의 유한한 자릿수만 계산할 수 있다. 이러한 특성은 '''Ω'''를 어떤 의미에서 '알 수 없는' 것으로 만들며, 괴델의 불완전성 정리를 연상시키는 지식에 대한 절대적인 한계를 제공한다. '''Ω'''의 자릿수를 결정할 수는 없지만, '''Ω'''의 많은 속성은 알려져 있다. 예를 들어, '''Ω'''는 알고리즘적 무작위 시퀀스이며, 따라서 이진 자릿수는 균등하게 분포되어 있고, 정규수이다.

4. 2. 차이틴 상수 Ω

차이틴 상수 '''Ω'''는 자체 경계가 있는 보편 튜링 기계가 공정한 동전 던지기로 입력을 제공받을 때 정지할 확률을 나타내는 실수이다. 이는 무작위 컴퓨터 프로그램이 결국 정지할 확률이라고 생각할 수도 있다. '''Ω'''는 쉽게 정의되지만, 모든 일관적인 공리화 가능한 이론에서 '''Ω'''의 유한한 자릿수만 계산할 수 있으므로, 어떤 의미에서 ''알 수 없는'' 것으로, 괴델의 불완전성 정리를 연상시키는 지식에 대한 절대적인 한계를 제공한다. '''Ω'''의 자릿수는 결정할 수 없지만, '''Ω'''의 많은 속성이 알려져 있다. 예를 들어, 이는 알고리즘적 무작위 시퀀스이며 따라서 이진 자릿수는 균등하게 분포되어 있다(사실 정규수이다).

5. 응용

알고리즘 정보 이론(AIT)은 최소 설명 길이(MDL) 원리의 기초가 되며, 계산 복잡도 이론의 증명을 단순화하고, 객체 간의 보편적인 유사성 척도를 정의하는 데 사용된다. 또한 맥스웰의 악마 문제를 해결하는 등 다양한 분야에 기여한다.

5. 1. 최소 설명 길이 (MDL) 원리

최소 설명 길이(Minimum description length영어, MDL) 원리는 데이터 압축과 모델 선택에 사용되는 중요한 원리이다. 이는 알고리즘 정보 이론의 핵심 하위 분야 중 하나로, 최소 설명 길이(MDL) 원리의 기초가 된다.

5. 2. 계산 복잡도 이론

알고리즘 정보 이론은 계산 복잡도 이론의 증명을 단순화하는 데 사용되었다.

5. 3. 보편 유사성 척도

AC와 AP는 객체 간의 보편적인 유사성 척도를 정의하는 데 사용되었다.[1]

5. 4. 기타 응용

알고리즘 정보 이론(AIT)은 최소 설명 길이(MDL) 원리의 기초가 되며, 계산 복잡도 이론의 증명을 단순화하고, 객체 간의 보편적인 유사성 척도를 정의하는 데 사용되었다. 또한, 맥스웰의 악마 문제를 해결하는 등 다양한 분야에 기여한다.

참조

[1] 서적
[2] 웹사이트 Algorithmic Information Theory https://web.archive.[...] 2010-05-03
[3] 문서
[4] 서적
[5] 서적 Algorithmic Randomness and Complexity https://books.google[...] Springer 2010
[6] 서적
[7] 뉴스 Obituary: Ray Solomonoff, Founding Father of Algorithmic Information Theory http://homepages.cwi[...]
[8] 간행물 Paper from conference on "Cerebral Systems and Computers" California Institute of Technology 1960-02-08
[9] 간행물 A Preliminary Report on a General Theory of Inductive Inference Zator Co. 1960-02-04
[10] 논문 Randomness and Complexity http://webpages.uncc[...] University of Heidelberg
[11] 웹사이트 Algorithmic Information Theory http://www.cs.auckla[...]


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