수열의 극한

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1. 개요

수열의 극한은 수열의 항들이 특정 값에 무한히 가까워지는 개념을 다룬다. 제논의 역설에서 시작하여 아르키메데스, 뉴턴 등을 거쳐 19세기 볼차노와 바이어슈트라스에 의해 현대적인 정의가 확립되었다. 실수 수열의 극한은 수열의 항들이 특정 실수 L에 임의로 가까워지는 것을 의미하며, 이러한 수열은 수렴한다고 한다. 극한은 유일하며, 유계 수열, 샌드위치 정리, 단조 수렴 정리 등의 성질을 갖는다. 무한대 극한은 수열이 양 또는 음의 무한대로 발산하는 경우를 나타낸다. 거리 공간, 위상 공간에서도 극한 개념이 확장되며, 초실수를 사용한 직관적인 정의도 가능하다. 다중 수열의 극한은 여러 인덱스를 가진 수열의 극한을, 점별 극한과 균등 극한은 이중 수열의 극한에 대한 개념을, 반복 극한은 다중 수열의 극한을 취하는 순서에 따른 결과를 설명한다.

수열의 극한

정의	수열의 항이 무한히 가까워지는 값

발산	수열이 특정한 값으로 수렴하지 않고 무한히 커지거나 진동하는 현상
수렴	수열의 항이 일정한 값에 한없이 가까워지는 현상
극한	함수 또는 수열에서 입력 또는 index가 특정 값에 가까워질 때 함수 또는 수열의 값이 가까워지는 값

n sin(1/n) (n이 무한대로 갈 때)	1
n 값	결과 값
1	0.841471
2	0.958851
10	0.998334
100	0.999983

2. 역사

엘레아의 제논은 극한과 관련된 제논의 역설로 유명하다.

레우키포스, 데모크리토스, 안티폰, 에우독소스, 아르키메데스는 실진법을 통해 넓이나 부피를 구하는 방법을 연구했다. 아르키메데스는 지금은 기하 급수라고 불리는 것의 합을 구하는 데 성공했다.

아이작 뉴턴은 《무한 급수 해석》(1669년 작성, 1711년 원고 출판), 《유율법과 무한 급수》(1671년 작성, 1736년 영어 번역본 출판), 《곡선 구적법 논문》(1693년 작성, 1704년 그의 《광학》의 부록에 출판)에서 급수를 다루면서 극한 개념을 발전시켰다.

18세기에는 레온하르트 오일러 등이 발산 급수의 합을 계산하는 방법을 연구했다. 조제프루이 라그랑주와 카를 프리드리히 가우스는 극한의 엄밀한 정의를 제시하며 미적분학 발전에 기여했다.

베르나르트 볼차노와 카를 바이어슈트라스는 수열의 극한에 대한 현대적 정의를 확립했다.

3. 실수 수열

실수에서 수 이 수열 의 극한이라는 것은 수열의 항이 에 점점 가까워지고, 다른 수에는 가까워지지 않는다는 것을 의미한다.

수렴하는 수열 의 그래프가 파란색으로 표시되어 있다. 여기서, 수열이 이 증가함에 따라 극한 0으로 수렴하는 것을 볼 수 있다.

3.1. 정의

실수 수열 $(a_n)_{n=0}^\infty\in\mathbb R^\mathbb N$ 의 극한은 다음 조건을 만족시키는 실수 $a\in\mathbb R$ 이다.

* 임의의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 모든 $n>N$ 에 대하여 $|a_n-a|<\epsilon$ 이게 되는 자연수 $N\in\N$ 이 존재한다.

이를

: $a_n\to a\qquad(n\to\infty)$

또는

: $\lim_{n\to\infty}a_n=a$

와 같이 표기한다. 즉, 실수 수열의 극한은 항이 궁극적으로 임의 오차 범위 이내로 근접하는 값이다.

--

다음 조건이 성립한다면:

: 각 실수 $\varepsilon > 0$ 에 대해, 모든 자연수 $n \geq N$ 에 대하여 $|x_n - x| < \varepsilon$ 을 만족하는 자연수 $N$ 이 존재한다.

다시 말해, 임의의 근접성 척도 $\varepsilon$ 에 대해, 수열의 항들은 결국 극한에 그만큼 가까워진다.

기호로 나타내면 다음과 같다.

: $\forall \varepsilon > 0 \left(\exists N \in \N \left(\forall n \in \N \left(n \geq N \implies |x_n - x| < \varepsilon \right)\right)\right)$ .

수열 $(x_n)$ 이 어떤 극한 $x$ 로 수렴하면, 이 수열은 수렴한다고 하며, $x$ 는 유일한 극한이다. 그렇지 않으면 $(x_n)$ 은 발산한다고 한다. 극한이 0인 수열을 때때로 영수열이라고 부른다.

실수열 $(x_n)$ 이 수렴하는 것은 상극한 $\limsup_{n \to \infty} x_n$ 과 하극한 $\liminf_{n \to \infty} x_n$ 이 존재하고, 또한 일치하는 것과 동치이다. 반대로 $\limsup_{n \to \infty} x_n$ 과 $\liminf_{n \to \infty} x_n$ 이 존재하더라도 일치하지 않거나, 또는 어느 한쪽이 존재하지 않을 때( $x_n = \pm\infty$ ), $(x_n)$ 은 발산한다.

3.2. 성질

* 수렴하는 수열의 극한은 유일하다.
* 수렴하는 수열은 유계 수열이다.
* 두 수열 $(a_n)_{n=0}^\infty$ , $(b_n)_{n=0}^\infty$ 이 모든 $n>N$ 에 대하여 $a_n\le b_n$ 을 만족하는 $N$ 이 존재하고, $\lim_{n\to\infty}a_n$ 과 $\lim_{n\to\infty}b_n$ 이 존재하면, $\lim_{n\to\infty}a_n\le\lim_{n\to\infty}b_n$ 이다.
* (샌드위치 정리) 세 수열 $(a_n)_{n=0}^\infty$ , $(b_n)_{n=0}^\infty$ , $(c_n)_{n=0}^\infty$ 이 모든 $n>N$ 에 대하여 $a_n\le b_n\le c_n$ 을 만족하는 $N$ 이 존재하고, $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L$ 이면, $\lim_{n\to\infty}b_n=L$ 이다.
* (단조 수렴 정리) 단조 유계 수열은 수렴한다.
* (실수의 완비성) 모든 실수 코시 수열은 수렴한다.
* 수렴 수열의 모든 부분 수열은 같은 극한으로 수렴한다.
* (볼차노-바이어슈트라스 정리) 유계 수열은 항상 수렴하는 부분 수열을 갖는다.
* 실수열에 대한 사칙 연산과 극한 연산은 교환 가능하다. 즉, 두 수렴 수열 $(a_n)_{n=0}^\infty$ , $(b_n)_{n=0}^\infty$ 의 극한이 $\lim_{n\to\infty}a_n=a$ , $\lim_{n\to\infty}b_n=b$ 이면, 다음이 성립한다.
$\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=a+b$
$\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=a-b$
$\lim_{n\to\infty}a_nb_n=ab$
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac ab$ (단, 모든 $n\in\N$ 에 대해 $b_n\ne0$ 이고, $b\ne0$ )
* 모든 연속 함수 $f$ 에 대해, $\lim_{n\to\infty}x_n$ 이 존재한다면, $\lim_{n\to\infty} f \left(x_n \right)$ 역시 존재한다.

3.3. 예

* 상수 c^영어에 대해, $\lim_{n\to\infty}c=c$ 이다.
* $p>0$ 이면, $\lim_{n\to\infty}\frac1{n^p}=0$ 이다.
* $|a|<1$ 이면, $\lim_{n\to\infty}a^n=0$ 이다.
* $a>0$ 이면, $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]a=1$ 이다.
* $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1$ 이다.
* 십진법에 의한 내림 근사를 통해, 임의의 실수로 수렴하는 수열을 만들 수 있다. 예를 들어 수열 (0.3, 0.33, 0.333, ...)은 1/3로 수렴하고, 수열 (1.4, 1.41, 1.414, ...)은 √2로 수렴한다.
* $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e=2.71828\cdots$ (자연로그의 밑)
* $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x$
* $x>0$ 이면, $\lim_{n\to\infty}n\left(x^{\frac1n}-1\right)=\ln x$ 이다.
* $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n-\ln{n}\right)=\gamma=0.57721\cdots$ (오일러-마스케로니 상수)
* 산술 평균과 기하 평균에 의한 두 점화 수열은 모두 산술 기하 평균으로 수렴한다.
* 수열이 무한대로 발산하는 속도 비교:
* $p>0$ 이면, $\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^p}=0$
* $\lim_{n\to\infty}\frac n\sqrt[n]{n!}=e$
* $a>1$ 이면, $\lim_{n\to\infty}\frac{n^p}{a^n}=0$
* $a>1$ 이면, $\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0$
* $\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}=0$
* 조임 정리는 극한을 설정하는 데 유용하다.

3.4. 무한대 극한

실수 수열 $(a_n)_{n=0}^\infty\in\R^\N$ 의 무한대 극한은 다음과 같은 두 가지 경우로 정의된다. 극한이 무한대인 수열은 일반적으로 수렴 수열로 간주되지 않는다.

* 임의의 실수 $K\in\R$ 에 대하여, 모든 $n>N$ 에 대하여 $a_n>K$ 이게 되는 자연수 $N\in\N$ 이 존재한다면, $(a_n)_{n=0}^\infty$ 이 양의 무한대로 수렴(또는 발산)한다고 하고, $a_n\to\infty\,(n\to\infty)$ 또는 $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ 와 같이 표기한다.
* 임의의 실수 $K\in\R$ 에 대하여, 모든 $n>N$ 에 대하여 $a_n 이게 되는 자연수 N\in\N 이 존재한다면, (a_n)_{n=0}^\infty 이 음의 무한대로 수렴(또는 발산)한다고 하고, a_n\to-\infty\,(n\to\infty) 또는 \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty 와 같이 표기한다.$

예를 들어,

* $\lim_{n\to\infty}n=\infty$
* $\lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty$

무한대 발산은 발산과 다른 개념인데 주의해야 한다. 예를 들어,

* 수열 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... 은 발산 수열이나, 양이나 음의 무한대로 발산하지 않는다.
* 수열 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ... 은 발산 수열이자 무계 수열이나, 양이나 음의 무한대로 발산하지 않는다.

수열 $(x_n)$ 이 무한대로 발산한다는 것은 다음과 같이 표기하며,

: $x_n \to \infty$ , 또는
: $\lim_{n\to\infty}x_n = \infty$ ,

다음 조건을 만족하는 경우를 말한다.

:모든 실수 $K$ 에 대해, 자연수 $N$ 이 존재하여 모든 자연수 $n \geq N$ 에 대해 $x_n > K$ 가 성립한다. 즉, 수열의 항들이 결국 어떤 고정된 $K$ 보다 커지는 경우를 의미한다.

기호로 나타내면 다음과 같다.

: $\forall K \in \mathbb{R} \left(\exists N \in \N \left(\forall n \in \N \left(n \geq N \implies x_n > K \right)\right)\right)$ .

마찬가지로, 수열이 마이너스 무한대로 발산한다는 것은 다음과 같이 표기하며,

: $x_n \to -\infty$ , 또는
: $\lim_{n\to\infty}x_n = -\infty$ ,

다음 조건을 만족하는 경우를 말한다.

:모든 실수 $K$ 에 대해, 자연수 $N$ 이 존재하여 모든 자연수 $n \geq N$ 에 대해 $x_n < K$ 가 성립한다. 즉, 수열의 항들이 결국 어떤 고정된 $K$ 보다 작아지는 경우를 의미한다.

기호로 나타내면 다음과 같다.

: $\forall K \in \mathbb{R} \left(\exists N \in \N \left(\forall n \in \N \left(n \geq N \implies x_n < K \right)\right)\right)$ .

수열이 무한대 또는 마이너스 무한대로 발산하면, 이는 발산하는 수열이다. 그러나 발산하는 수열이 반드시 플러스 또는 마이너스 무한대로 발산하는 것은 아니며, 수열 $x_n=(-1)^n$ 이 그러한 예시를 제공한다.

4. 거리 공간

거리 공간 (X, d)에서 수열 (x)의 극한은, 임의의 ε > 0에 대하여, 어떤 N이 존재하여, 임의의 n ≥ N에 대하여, d(x, x) < ε가 되는 것을 말한다. 이는 X = R, d(x, y) = |x - y|일 때 실수에 대해 주어진 정의와 일치한다.

4.1. 정의

거리 공간 $(X,d)$ ( $X$ 는 집합, $d)$ 는 거리 함수)의 점렬 $(x_n)_{n=0}^\infty\in X^\N$ 의 극한은 다음 두 조건을 만족시키는 거리 공간의 원소 $x\in X$ 이다.
* 모든 $\epsilon>0$ 에 대하여, 모든 $n>N$ 에 대하여 $d(x_n,x)<\epsilon$ 이게 되는 자연수 $N\in\N$ 이 존재한다.
* $\lim_{n\to\infty}d(x_n,x)=0$
이를 $x_n\to x\,(n\to\infty)$ 또는 $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ 와 같이 표기한다. 즉, 거리 공간 속 점렬의 극한 역시 점렬이 궁극적으로 임의의 오차 범위 이내로 접근하는 값이다. 오차에 대한 척도는 주어진 거리 함수이다. 만약 실수의 표준적인 거리 $(X,d)=(\R,|x-y|)$ 를 사용하면, 실수 수열에 대한 정의는 거리 공간에 대한 정의에 포함된다.

일계 술어 논리를 사용하여 형식적으로 나타내면 다음과 같다.
: $(\forall \varepsilon >0) (\exist N \in \mathbb{N}) (\forall n \in \mathbb{N}) [ n>N \implies |x_n-x|<\varepsilon ]$
바꿔 말하면, 임의의 근접성의 정도에 대하여, 수열의 항은 이윽고 극한에 그만큼 가까워진다. 수열 $(x_n)$ 는 극한 $x$ 에 수렴한다고 하며, $x_n \to x$ 또는 $\lim_{n\to\infty}x_n = x$ 로 표기한다.

수열이 어떤 극한에 존재하면, 그것은 수렴 수열이며, 그렇지 않으면 발산 수열이다.

4.2. 성질

수렴하는 점렬의 극한은 유일하다. 서로 다른 두 점은 어떤 양의 거리만큼 떨어져 있으므로, 이 거리의 절반보다 작은 $\varepsilon$ 에 대해, 수열의 항들은 두 점 모두로부터 거리 $\varepsilon$ 이내에 있을 수 없다.

수렴하는 점렬은 항상 유계 점렬이다.

코시 수열은 충분히 많은 초기 항들을 버린 후, 그 항들이 궁극적으로 임의로 서로 가까워지는 수열이다. 코시 수열의 개념은 거리 공간에서의 수열, 특히 실해석학에서 중요하다. 실수열은 코시 수열인 경우에만 수렴한다. 이는 다른 완비 거리 공간에서도 마찬가지이다.

연속 함수는 점렬의 극한을 보존한다. 즉, 임의의 연속 함수 f에 대해, $\lim_{n \to \infty} x_n$ 이 존재한다면, $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f\left(\lim_{n \to \infty}x_n \right)$ 이다.

5. 위상 공간

위상 공간에서 수열의 극한은 근방 또는 열린 집합을 사용하여 정의된다. 위상 공간에서 점렬의 극한은 그 점의 임의의 근방에 대해, 충분히 큰 모든 항들이 그 근방에 포함되는 점을 의미한다. 이는 함수의 극한의 특수한 경우이다.

하우스도르프 공간에서 수열의 극한은 존재하면 유일하다. 비 하우스도르프 공간에서는 여러 극한이 존재할 수 있는데, 두 점이 위상적으로 구별 불가능한 경우, 한 점으로 수렴하는 모든 수열은 다른 점으로도 수렴한다. 연속 함수는 점렬의 극한을 보존한다.

5.1. 정의

위상 공간 $(X,\tau)$ ( $X$ 는 집합, $\tau$ 는 위상)의 점렬 $(x_n)_{n=0}^\infty\in X^\N$ 의 극한은 서로 동치인 다음 두 조건을 만족시키는, 위상 공간의 원소 $x\in X$ 이다.
* $x$ 의 임의의 근방 $U$ 에 대하여, 모든 $n>N$ 에 대하여 $x_n\in U$ 이게 되는 자연수 $N\in\N$ 이 존재한다.
* $x$ 를 포함하는 임의의 열린 집합 $O$ 에 대하여, 모든 $n>N$ 에 대하여 $x_n\in O$ 이게 되는 자연수 $N\in\N$ 이 존재한다.
이를 $x_n\to x\,(n\to\infty)$ 또는 $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ 와 같이 표기한다.

위상 공간 $(X, \tau)$ 의 점 $x \in X$ 는 수열 $\left(x_n\right)_{n \in \N}$ 의 극한 또는 극한점이다.

: $x$ 의 모든 근방 $U$ 에 대해, 어떤 $N \in \N$ 이 존재하여 모든 $n \geq N$ 에 대해 $x_n \in U$ 이다.

이것은 $(X, d)$ 가 거리 공간이고 $\tau$ 가 $d$ 에 의해 생성된 위상인 경우, 거리 공간에 대해 주어진 정의와 일치한다.

위상 공간 $T$ 에서 점의 수열 $\left(x_n\right)_{n \in \N}$ 의 극한은 함수의 극한의 특수한 경우이다. 여기서 정의역은 공간 $\N \cup \lbrace + \infty \rbrace$ 에서 $\N$ 이고, 유도된 위상은 확장된 실수 체계이며, 치역은 $T$ 이고, 함수 인수 $n$ 은 $+\infty$ 로 향하며, 이 공간에서 $+\infty$ 는 $\N$ 의 극한점이다.

위상 공간의 점 $x$ 가 수열 $(x_n)$ 의 극한이라는 것은, $x$ 의 임의의 근방 $U$ 에 대해, 어떤 $N$ 이 존재하여, 임의의 $n \ge N$ 에 대해, $x_n \in U$ 가 성립하는 것을 말한다. 이는, $(X, d)$ 가 거리 공간이고 $\tau$ 가 $d$ 로부터 생성되는 위상일 때, 거리 공간에 대해 주어진 정의와 일치한다.

위상 공간 $X$ 의 점렬 $(x_n : n\in \mathbb{N})$ 의 극한은 함수의 극한의 특별한 경우이다. 정의역은 확대 실수의 상대 위상에 의한 부분 공간 $\N$ 이며, 공역은 $X$ 이고, 함수의 인자 $n$ 은 $+\infty$ 로 향한다 (이 공간에서 $+\infty$ 는 $\N$ 의 점근점이다).

5.2. 성질

하우스도르프 공간에서 수열의 극한은 존재할 경우 유일하다. 이는 비 하우스도르프 공간에서는 성립하지 않을 수 있다. 특히, 두 점 $x$ 와 $y$ 가 위상적으로 구별되지 않는 경우, $x$ 로 수렴하는 모든 수열은 $y$ 로 수렴해야 하고, 그 반대도 성립한다. 연속 함수는 점렬의 극한을 보존하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

6. 초실수

초실수를 사용한 극한의 정의는 지수가 "매우 큰" 값일 때 해당 항이 극한에 "매우 가깝다"는 직관을 공식화한다. 더 정확하게는, 실수 수열 (x_n)이 L로 수렴한다는 것은 모든 무한 초자연수 H에 대해 항 x_H가 L에 무한히 가깝다는 것을 의미한다(즉, 차이 x_H - L이 무한소이다). 바꿔 말하면, L은 x_H의 표준 부분이다.

: L = st(x_H)

따라서 극한은 다음 공식으로 정의될 수 있다.

: lim_n→∞ x_n = st(x_H)

여기서 극한은 우변이 무한 H의 선택에 관계없이 존재할 때만 존재한다.

7. 다중 수열

다중 수열은 둘 이상의 인덱스를 가지는 수열이다. 예를 들어 이중 수열 $(x_{n, m})$ 을 생각할 수 있다. 이 수열은 n과 m이 모두 매우 커질 때 $L$ 에 점점 더 가까워지면 극한 $L$ 을 갖는다.

7.1. 정의

둘 이상의 인덱스를 가진 수열, 예를 들어 이중 수열 $(x_{n, m})$ 을 생각해 보자. 이 수열은 n과 m이 모두 매우 커질 때 $L$ 에 점점 더 가까워지면 극한 $L$ 을 갖는다.

$x$ 를 수열 $(x_{n, m})$ 의 이중 극한이라고 부르며, 다음과 같이 표기한다.

: $x_{n, m} \to x$ , 또는
: $\lim_{\begin{smallmatrix}n \to \infty \\ m \to \infty\end{smallmatrix}} x_{n, m} = x$

다음 조건을 만족하는 경우이다.

:각 실수 $\varepsilon > 0$ 에 대해, 모든 자연수 쌍 $n, m \geq N$ 에 대해 $|x_{n, m} - x| < \varepsilon$ 를 만족하는 자연수 $N$ 이 존재한다.

다시 말해, 임의의 근접성 척도 $\varepsilon$ 에 대해, 수열의 항들은 결국 극한에 충분히 가까워진다. 수열 $(x_{n, m})$ 은 극한 $x$ 에 수렴한다 또는 경향을 보인다라고 말한다.

기호로 나타내면 다음과 같다.

: $\forall \varepsilon > 0 \left(\exists N \in \N \left(\forall n, m \in \N \left(n, m \geq N \implies |x_{n, m} - x| < \varepsilon \right)\right)\right)$ .

이중 극한은 먼저 n에 대한 극한을 취하고, 그 다음 m에 대한 극한을 취하는 것과 다르다. 후자는 반복 극한이라고 알려져 있다. 이중 극한과 반복 극한이 모두 존재하면, 그 값은 같다. 그러나 그 중 하나는 존재하지만 다른 하나는 존재하지 않을 수 있다.

수열 $(x_{n,m})$ 이 무한대로 발산한다는 것은 다음과 같이 표기한다.

: $x_{n,m} \to \infty$ , 또는
: $\lim_{\begin{smallmatrix}n \to \infty \\ m \to \infty\end{smallmatrix}}x_{n,m} = \infty$

다음과 같은 조건을 만족하는 경우를 말한다.

:모든 실수 $K$ 에 대해, 모든 자연수 쌍 $n,m \geq N$ 에 대해 $x_{n,m} > K$ 가 성립하는 자연수 $N$ 이 존재한다. 즉, 수열의 항들이 결국 어떤 고정된 $K$ 보다 커진다.

기호로 나타내면 다음과 같다.

: $\forall K \in \mathbb{R} \left(\exists N \in \N \left(\forall n, m \in \N \left(n, m \geq N \implies x_{n, m} > K \right)\right)\right)$ .

유사하게, 수열 $(x_{n,m})$ 이 마이너스 무한대로 발산한다는 것은 다음과 같이 표기한다.

: $x_{n,m} \to -\infty$ , 또는
: $\lim_{\begin{smallmatrix}n \to \infty \\ m \to \infty\end{smallmatrix}}x_{n,m} = -\infty$

다음과 같은 조건을 만족하는 경우를 말한다.

:모든 실수 $K$ 에 대해, 모든 자연수 쌍 $n,m \geq N$ 에 대해 $x_{n,m} < K$ 가 성립하는 자연수 $N$ 이 존재한다. 즉, 수열의 항들이 결국 어떤 고정된 $K$ 보다 작아진다.

기호로 나타내면 다음과 같다.

: $\forall K \in \mathbb{R} \left(\exists N \in \N \left(\forall n, m \in \N \left(n, m \geq N \implies x_{n, m} < K \right)\right)\right)$ .

수열이 무한대 또는 마이너스 무한대로 발산하면, 이는 발산한다라고 말한다. 그러나 발산하는 수열이 반드시 플러스 무한대 또는 마이너스 무한대로 발산하는 것은 아니며, 수열 $x_{n,m}=(-1)^{n+m}$ 이 그러한 예시를 제공한다.

7.2. 점별 극한과 균등 극한

이중 수열 $(x_{n,m})$ 에 대해, 한 지수에서 극한을 취하여 단일 수열 $(y_m)$ 을 얻을 수 있다. (예: $n \to \infty$ ) 이 극한을 취할 때 두 가지 가능한 의미가 있는데, 첫 번째는 점별 극한이다.

: $x_{n, m} \to y_m\quad \text{점별}$ , 또는
: $\lim_{n \to \infty} x_{n, m} = y_m\quad \text{점별}$ ,

이는 다음을 의미한다.

:각 실수 $\varepsilon > 0$ 및 각 고정된 자연수 $m$ 에 대해, 모든 자연수 $n \geq N$ 에 대해 $|x_{n, m} - y_m| < \varepsilon$ 를 만족하는 자연수 $N(\varepsilon, m) > 0$ 가 존재한다.

기호로 나타내면 다음과 같다.
: $\forall \varepsilon > 0 \left( \forall m \in \mathbb{N} \left(\exists N \in \N \left(\forall n \in \N \left(n \geq N \implies |x_{n, m} - y_m| < \varepsilon \right)\right)\right)\right)$ .

이러한 극한이 존재할 때, 수열 $(x_{n, m})$ 이 $(y_m)$ 로 점별 수렴한다고 말한다.

두 번째는 균등 극한이며, 다음과 같이 표기한다.

: $x_{n, m} \to y_m \quad \text{균등}$ ,
: $\lim_{n \to \infty} x_{n, m} = y_m \quad \text{균등}$ ,
: $x_{n, m} \rightrightarrows y_m$ , 또는
: $\underset{n\to\infty}{\mathrm{unif} \lim} \; x_{n, m} = y_m$ ,

이는 다음을 의미한다.

:각 실수 $\varepsilon > 0$ 에 대해, 모든 자연수 $m$ 및 모든 자연수 $n \geq N$ 에 대해 $|x_{n, m} - y_m| < \varepsilon$ 를 만족하는 자연수 $N(\varepsilon) > 0$ 이 존재한다.

기호로 나타내면 다음과 같다.
: $\forall \varepsilon > 0 \left(\exists N \in \N \left( \forall m \in \mathbb{N} \left(\forall n \in \N \left(n \geq N \implies |x_{n, m} - y_m| < \varepsilon \right)\right)\right)\right)$ .

이 정의에서 $N$ 의 선택은 $m$ 에 독립적이다. 즉, $N$ 의 선택은 모든 자연수 $m$ 에 "균등하게 적용"할 수 있다. 따라서 균등 수렴은 점별 수렴보다 더 강력한 성질임을 쉽게 알 수 있다. 즉, 균등 극한의 존재는 점별 극한의 존재를 의미한다.

:만약 $x_{n, m} \to y_m$ 이 균등하게 성립한다면, $x_{n, m} \to y_m$ 은 점별로 성립한다.

이러한 극한이 존재할 때, 수열 $(x_{n, m})$ 이 $(y_m)$ 로 균등 수렴한다고 말한다.

7.3. 반복 극한

이중 수열 $(x_{n,m})$ 에 대해, 한 인덱스(예: $n \to \infty$ )에서 극한을 취해 단일 수열 $(y_m)$ 을 얻고, 다른 인덱스( $m \to \infty$ )에서 극한을 취해 $y$ 를 얻을 수 있다. 이를 기호로 나타내면 다음과 같다.

: $\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} x_{n, m} = \lim_{m \to \infty} y_m = y$

이 극한은 이중 수열의 반복 극한이라고 한다. 극한을 취하는 순서에 따라 결과가 달라질 수 있다. 즉, 일반적으로 다음이 성립한다.

: $\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} x_{n, m} \ne \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} x_{n, m}$

무어-오스굿 정리는 위 등식이 성립하기 위한 충분조건을 제시하는데, 이는 극한 $\lim_{n \to \infty}x_{n, m} = y_m$ 이 $m$ 에 대해 균등해야 함을 요구한다.