베리의 역설
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1. 개요
베리의 역설은 "정의될 수 없음"이라는 표현의 모호성으로 인해 발생하는 역설이다. 예를 들어, "60자 미만으로 정의할 수 없는 가장 작은 양의 정수"라는 표현을 생각할 때, 이 표현 자체는 60자 미만으로 정의되므로 모순에 빠진다. 이 역설은 언어의 모호성, 특히 "정의 가능하다"는 개념의 모호성 때문에 발생하며, 알프레드 타르스키는 이러한 역설이 의미론적으로 닫힌 언어에서 발생한다고 보았다. 이 문제를 해결하기 위해 언어에 의미의 계층화를 도입하거나, 형식적인 수학적 언어에서 베리 표현의 유사물을 구성하는 방법 등이 제시되었다. 베리의 역설은 콜모고로프 복잡도와도 관련이 있는데, 이는 주어진 문자열을 설명하는 데 필요한 최소 기호 수를 모호하지 않게 정의하는 것이 불가능하다는 점을 보여준다.
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| 베리의 역설 | |
|---|---|
| 역설 정보 | |
| 이름 | 베리의 역설 |
| 유형 | 자기 참조적 역설, 의미론적 역설 |
| 발견자 | 버트런드 러셀 (길레스 베리에 의해 제안됨) |
| 관련 개념 | 정의 불가능성, 괴델의 불완전성 정리, 리처드 역설, 쿠르트 괴델 |
| 설명 | |
| 핵심 내용 | "이 문장에서 설명될 수 없는 가장 작은 정수는 무엇일까?" 라는 질문에서 발생하는 역설. 만약 답이 존재한다면, 그것은 문장으로 설명될 수 있게 되므로 모순이 발생함. |
| 상세 설명 | 베리의 역설은 자연수의 성질을 언급하는 짧은 문구로 정의할 수 없는 가장 작은 자연수가 존재한다는 주장에서 비롯됨. 모든 자연수는 유한한 수의 문자로 표현 가능하므로, 정의 가능한 자연수의 집합은 유한해야 함. 따라서 정의할 수 없는 자연수도 존재하며, 그중 가장 작은 자연수가 존재해야 함. 그러나 "정의할 수 없는 가장 작은 자연수"라는 문구 자체가 그 수를 정의하므로 모순이 발생함. |
| 문제점 | 이 역설은 "정의가능성"이라는 개념의 모호성에서 비롯됨. 어떤 문구가 자연수를 정의하는지 명확하게 정의하기 어렵기 때문에 역설이 발생함. |
| 같이 보기 | |
| 관련 역설 | 정의 불가능성 괴델의 불완전성 정리 리처드 역설 |
| 관련 인물 | 쿠르트 괴델 |
2. 역설의 내용
베리 역설은 "특정 자릿수 미만의 단어로 정의할 수 없는 가장 작은 양의 정수"와 같이, 특정 조건을 만족하는 수에 대한 정의가 모순을 일으키는 상황을 보여준다.
2. 1. 구체적인 예시
"60자 미만으로 정의할 수 없는 가장 작은 양의 정수"라는 표현을 생각해 보자.영어 알파벳에는 26개의 문자만 있으므로, 60자 미만의 구절은 유한하며, 따라서 60자 미만의 구절로 정의되는 양의 정수는 유한하다. 양의 정수는 무한히 많으므로, 60자 미만의 구절로 정의할 수 없는 양의 정수가 있음을 의미한다. 주어진 속성을 만족하는 양의 정수가 있다면, 그 속성을 만족하는 '가장 작은' 양의 정수가 존재한다. 따라서 "60자 미만으로 정의할 수 없음"이라는 속성을 만족하는 가장 작은 양의 정수가 있다. 이것이 위의 표현이 가리키는 정수이다. 그러나 위의 표현은 길이가 57자이므로, 60자 미만으로 '정의'할 수 있으며, 60자 미만으로 정의할 수 없는 가장 작은 양의 정수가 '아니'며, 이 표현에 의해 '정의되지' 않는다. 이것이 역설이다. 이 표현에 의해 정의되는 정수가 있어야 하지만, 이 표현은 자기 모순적이므로(이 표현이 정의하는 정수는 60자 미만으로 정의할 수 있음), 이 표현에 의해 정의되는 정수는 있을 수 없다.
수학자이자 컴퓨터 과학자인 그레고리 차이틴은 1999년 저서 『알 수 없는 것(The Unknowable)』에서 다음과 같이 덧붙였다. "글쎄, 멕시코 수학사학자 알레한드로 가르시디에고는 러셀이 그의 발언을 썼던 베리의 편지를 찾아내는 데 수고를 아끼지 않았는데, 그것은 상당히 다른 역설이다. 베리의 편지는 실제로 유한한 수의 단어로 이름을 지을 수 없는 최초의 서수에 대해 이야기한다. 칸토어의 이론에 따르면 그러한 서수는 존재해야 하지만, 우리는 그것을 유한한 수의 단어로 방금 이름을 지었는데, 이것이 모순이다."
2. 2. 추가 설명
그레고리 차이틴은 1999년 저서 《알 수 없는 것(The Unknowable)》에서 다음과 같이 덧붙였다. "멕시코 수학사학자 알레한드로 가르시디에고는 러셀이 그의 발언을 썼던 베리의 편지를 찾아내는 데 수고를 아끼지 않았는데, 그것은 상당히 다른 역설이다. 베리의 편지는 실제로 유한한 수의 단어로 이름을 지을 수 없는 최초의 서수에 대해 이야기한다. 칸토어의 이론에 따르면 그러한 서수는 존재해야 하지만, 우리는 그것을 유한한 수의 단어로 방금 이름을 지었는데, 이것이 모순이다."3. 해법
베리 역설은 "정의 가능하다"는 표현의 체계적인 모호성 때문에 발생한다. "아홉 어절 이내로 정의할 수 있는 자연수의 집합"이 유한집합이라는 전제는, 아홉 어절 이내로 구성된 정의가 모두 유한개의 자연수를 특정한다는 전제에 의존한다. 그러나 "아홉 어절 이내로 정의할 수 없는 가장 작은 자연수"는 분명히 아홉 어절 이내로 정의한 자연수이지만, 그 자연수가 무엇인지 모호하다. 즉, 아홉 어절 이내의 문구가 특정 자연수를 지칭하는 듯 보이지만, 그렇지 않은 경우도 많다는 사실을 덮어버린 것이다.[1]
3. 1. 악순환의 오류
"정의할 수 있다" 또는 "정의할 수 없다"와 같은 개념이 체계적으로 모호하기 때문에 이런 부류의 역설이 발생한다고 볼 수 있다. 이러한 체계적 모호성은 악순환의 오류를 초래한다. 만족하는, 참인, 거짓인, 함수관계, 속성, 계급, 관계, 기수, 서수 등의 단어들도 체계적으로 모호한 방식으로 사용되기 쉽다.[1]3. 2. 의미 계층화
이러한 역설은 언어에 의미의 계층화를 도입함으로써 해결할 수 있다. "열한 단어 미만으로 nameable0하지 않은 숫자"는 이 체계에서 열한 단어 미만으로 nameable1할 수 있다.[1]3. 3. 알프레드 타르스키의 접근
알프레드 타르스키는 거짓말쟁이의 역설을 해결하기 위해 "의미론적으로 닫힌" 언어의 문제를 지적했다. 의미론적으로 닫힌 언어란, 동일한 언어 내에서 한 문장이 다른 문장(또는 자기 자신)의 참 또는 거짓을 서술할 수 있는 언어를 의미한다.[1]타르스키는 자기 모순을 피하기 위해 언어 수준의 개념을 도입했다. 즉, 어떤 언어가 하위 수준의 언어에 대해서만 참 또는 거짓을 서술할 수 있도록 위계를 설정한 것이다. 예를 들어, 한 문장이 다른 문장의 참/거짓 여부를 언급할 때, 언급하는 문장은 의미론적으로 더 높은 수준에 있게 된다. 언급된 문장은 "대상 언어"의 일부이고, 언급하는 문장은 대상 언어에 대한 "메타 언어"의 일부로 간주된다. 의미론적 계층 구조에서 더 높은 "언어"의 문장은 더 낮은 "언어"의 문장을 언급할 수 있지만, 그 반대는 불가능하다. 이를 통해 시스템이 자기 지시적이 되는 것을 방지할 수 있다.[1]
하지만 이러한 시스템은 불완전하다. 예를 들어, "계층의 ''α'' 수준의 모든 명제에 대해, 첫 번째 명제가 거짓이라고 주장하는 ''α''+1 수준의 명제가 있다."와 같은 진술은 타르스키가 정의한 계층에 대한 참되고 의미 있는 진술이지만, 계층의 모든 수준의 명제를 언급하므로 모든 수준 위에 있어야 한다. 따라서 계층 내에서는 불가능하다 (그러나 문장의 제한된 버전은 가능하다).[1] 사울 크립키는 그의 논문 "진리 이론의 개요"에서 타르스키의 계층 구조의 이러한 불완전성을 지적했으며,[1] 이는 계층적 언어에서 일반적인 문제로 인식된다.[1]
4. 형식적 유사성
그레고리 차이틴은 프로그램이나 제한된 길이의 증명을 사용하여 형식적인 수학적 언어에서 베리 표현의 유사물을 구성했다.[1] 형식적 유사물은 논리적 모순으로 이어지지는 않지만, 특정 불가능성 결과를 증명한다.
조지 불로스는 베리의 역설을 형식화한 버전을 기반으로 괴델의 불완전성 정리를 새롭고 더 간단한 방식으로 증명했다.[2]
4. 1. 그레고리 차이틴의 형식화
그레고리 차이틴은 프로그램이나 제한된 길이의 증명을 사용하여 형식적인 수학적 언어에서 베리 표현의 유사물을 구성했다. 형식적 유사물은 논리적 모순으로 이어지지는 않지만, 특정 불가능성 결과를 증명한다.[1]조지 불로스(George Boolos)는 베리의 역설을 형식화한 버전을 기반으로 하여 괴델의 불완전성 정리를 새롭고 더 간단한 방식으로 증명했다. 그의 증명은, 어떤 자연수 ''n''에 대해 ''x'' = ''n''일 때만 ''x''가 성립하는 명제를 ''n''에 대한 '정의'라고 부를 수 있으며, {(''n'', ''k''): ''n''은 ''k''개의 기호 길이의 정의를 가진다}는 집합이 (괴델 수를 사용하여) 표현 가능하다는 것을 보여주는 방식으로 이루어진다. 그런 다음 "''m''은 ''k''개 미만의 기호로 정의할 수 없는 첫 번째 숫자이다"라는 명제를 형식화하여 정의임을 보일 수 있다.[2]
4. 2. 조지 불로스의 괴델 불완전성 정리 증명
조지 불로스(George Boolos)는 베리의 역설을 형식화한 버전을 기반으로 괴델의 불완전성 정리를 훨씬 더 간단한 방식으로 증명했다.[1] 그의 증명은, 어떤 자연수 ''n''에 대해 ''x'' = ''n''일 때만 ''x''가 성립하는 명제를 ''n''에 대한 '정의'라고 부를 때, {(''n'', ''k''): ''n''은 ''k''개의 기호 길이의 정의를 가진다}는 집합이 (괴델 수를 사용하여) 표현 가능하다는 것을 보여준다. 그런 다음 "''m''은 ''k''개 미만의 기호로 정의할 수 없는 첫 번째 숫자이다"라는 명제를 형식화하여, 이것이 정의임을 보일 수 있다.[1]5. 콜모고로프 복잡도와의 관계
콜모고로프 복잡도는 주어진 설명을 통해 어떤 문자열이 생성되는지에 대한 모호성을 피하기 위해 형식 언어나 튜링 기계를 사용하여 정의된다. 콜모고로프 복잡도는 계산할 수 없는 것으로 증명될 수 있는데, 이는 귀류법을 통해 증명된다. 만약 콜모고로프 복잡도를 계산하는 것이 가능하다면, 베리 역설과 유사하게, 설명된 문자열의 복잡성이 의미하는 것보다 더 짧은 설명을 체계적으로 생성하는 것이 가능해진다.
5. 1. 콜모고로프 복잡도
일반적으로 주어진 문자열을 설명하는 데 필요한 최소 기호 수를 모호하지 않게 정의하는 것은 불가능하다(특정 설명 메커니즘이 주어졌을 때). 이 맥락에서 "문자열"과 "숫자"라는 용어는 상호 교환적으로 사용될 수 있는데, 숫자는 실제로 기호의 문자열이기 때문이다. 예를 들어 영어 단어(역설에 사용된 "열하나"라는 단어처럼)이고, 다른 한편으로는 주어진 사전에서 해당 단어의 위치 번호나 적절한 인코딩을 통해 모든 단어를 숫자로 참조하는 것이 가능하다. 일부 긴 문자열은 데이터 압축을 사용하여 달성되는 것처럼, 전체 표현에 필요한 것보다 적은 기호로 정확하게 설명할 수 있다. 따라서 주어진 문자열의 복잡성은 해당 문자열의 전체 표현을 (모호하지 않게) 참조하기 위해 설명에 필요한 최소 길이로 정의된다.콜모고로프 복잡도는 주어진 설명에서 어떤 문자열이 생성되는지에 대한 모호성을 피하기 위해 형식 언어 또는 튜링 기계를 사용하여 정의된다. 콜모고로프 복잡도는 계산할 수 없다는 것이 증명될 수 있다. 귀류법에 의한 증명은 콜모고로프 복잡도를 계산하는 것이 가능하다면, 이와 유사한 역설, 즉 설명된 문자열의 복잡성이 의미하는 것보다 더 짧은 설명을 체계적으로 생성하는 것도 가능할 것임을 보여준다. 다시 말해, 베리 수의 정의는 숫자를 정의하는 데 필요한 단어 수를 실제로 계산하는 것이 불가능하기 때문에 역설적이며, 그러한 계산이 역설 때문에 불가능하다는 것을 알고 있다.
5. 2. 베리 역설과의 연결
주어진 문자열을 설명하는 데 필요한 최소 기호 수를 모호하지 않게 정의하는 것은 일반적으로 불가능하다(특정 설명 메커니즘이 주어졌을 때). 이 맥락에서 "문자열"과 "숫자"라는 용어는 상호 교환적으로 사용될 수 있는데, 숫자는 실제로 기호의 문자열이기 때문이다. 예를 들어 영어 단어(역설에 사용된 "열하나"라는 단어처럼)이고, 다른 한편으로는 주어진 사전에서 해당 단어의 위치 번호나 적절한 인코딩을 통해 모든 단어를 숫자로 참조하는 것이 가능하다. 일부 긴 문자열은 데이터 압축을 사용하여 달성되는 것처럼, 전체 표현에 필요한 것보다 적은 기호로 정확하게 설명할 수 있다. 따라서 주어진 문자열의 복잡성은 해당 문자열의 전체 표현을 (모호하지 않게) 참조하기 위해 설명에 필요한 최소 길이로 정의된다.콜모고로프 복잡도는 주어진 설명에서 어떤 문자열이 생성되는지에 대한 모호성을 피하기 위해 형식 언어 또는 튜링 기계를 사용하여 정의된다. 콜모고로프 복잡도는 계산할 수 없다는 것이 증명될 수 있다. 귀류법에 의한 증명은 만약 콜모고로프 복잡도를 계산하는 것이 가능하다면, 설명된 문자열의 복잡성이 의미하는 것보다 더 짧은 설명을 체계적으로 생성하는 것도 가능할 것이라는 유사한 역설을 보여준다. 다시 말해, 베리 수의 정의는 숫자를 정의하는 데 필요한 단어 수를 실제로 계산하는 것이 불가능하기 때문에 역설적이며, 그러한 계산이 역설 때문에 불가능하다는 것을 알고 있다.
참조
[1]
서적
[2]
서적
ゲーデル・不完全性定理―"理性の限界"の発見
講談社
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