압밀

3. 테르자기의 1차원 압밀 이론

포화된 점토층에 하중이 가해지면 순간적으로 과잉 간극수압이 발생한다. 이는 자연 상태의 포화 점토 간극수압(정수압)을 초과하는 수압으로, 이로 인해 점토층 배수면에 수두차가 발생하여 간극수가 흘러나가 침하가 일어난다. 과잉간극수압이 소산되면서 흙 입자에 작용하는 유효응력이 증가한다. 여기서 '소산된다'는 것은 간극수압이 자연 상태의 간극수압으로 돌아간다는 의미이다. 투수계수가 낮은 점토층에서는 간극수 유속이 느려 이러한 침하가 오랜 시간에 걸쳐 발생한다.

하중과 배수 조건에 따라 흙의 전응력, 유효응력, 과잉간극수압의 변화 양상이 달라진다. 예를 들어 가운데 점토층이 있고 위아래가 모래층인 포화 점토층에 무한 등분포하중이 작용하면, 점토층의 횡방향 변위는 없고(즉시침하가 없음) 압밀침하만 일어난다.

하중 작용 순간(t=0)에는 물이 모든 응력을 받으므로 유효응력은 0이다. 시간이 지나면서(0 < t < ∞) 과잉간극수압이 소산되고 흙이 응력을 받기 시작한다. 점토층 위아래가 모래이므로 물은 양방향으로 배수된다. 따라서 점토층 위아랫면부터 과잉간극수압이 소산되어 u=0이 되고, 점토층 중앙은 상대적으로 과잉간극수압이 천천히 빠진다. 전응력은 항상 일정하며 과잉간극수압과 유효응력의 합과 같다. 압밀이 완료되면(t=∞) 과잉간극수압은 모두 소산되어 u=0이고 모든 응력은 흙 입자가 받아 유효응력이 전응력과 같게 된다.(σ'=σ)^[1]

테르자기는 필룽거와 함께 1920년대에 흙의 압밀에 대한 현대적인 이론 모델을 제시했다.^[1] 테르자기는 공학적 접근 방식으로 단순화된 모델을 제공하여 오늘날 널리 사용되는 반면, 필룽거는 엄격한 수학적 모델을 제시했으나 실제 적용은 어려웠다. 필룽거의 이론은 비극적인 결말 이후 잊혀졌지만, 테르자기는 비오에 의해 3차원 흙 압밀 이론으로 확장되었다. 오늘날 테르자기의 1차원 모델은 개념적 단순성과 압밀 시험 데이터 기반으로 널리 사용된다.^[2]

3. 1. 테르자기 이론의 가정 사항

3. 2. 기본 미분 방정식

:$\backslash frac\{\backslash partial\; u\_e\}\{\backslash partial\; t\}=\; c\_v\; \backslash frac\{\backslash partial\; \{\}^2\; u\_e\}\{\backslash partial\; z\; ^2\}$

여기서

• $u\_e$: 과잉 간극수압
• $t$: 시간
• $z$: 흐름과 압축이 일어나는 방향
• $c\_v$: 압밀계수(coefficient of consolidation)로 차원은 [길이]²[시간]^-1
• $k$: 투수 계수
• $m\_v$: 체적압축계수
• $\backslash gamma\_w$: 물의 단위중량

이 미분 방정식은 과잉 간극수압($u\_e$)의 변화를 시간에 따라 예측하는 데 사용된다.

3. 3. 미분 방정식의 해

상하면에 모래층이 있어 양면 배수가 되는 점토층의 두께가 2H이고, 초기 과잉 간극수압의 분포는 깊이에 따라 일정하며, 다음과 같은 초기 조건과 경계 조건을 만족한다고 가정한다.

• $t=0$ 일 때 $u\_e\; =\; u\_i$ (여기서 $u\_i$는 초기 과잉간극 수압)
• $z=0$ 및 $z=2H$에서 $u\_e\; =\; 0$

이때, 미분방정식의 해는 다음과 같다.

$u\_e\; =\; \backslash sum^\{\backslash infin\}\_\{m=0\}\{\backslash frac\{4u\_i\}\{\; \backslash pi\; \backslash left(\; 2m+1\; \backslash right)\; \}\; \backslash sin\; \backslash left(\; \{\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash left(\; 2m+1\; \backslash right)\; \backslash frac\{z\}\{H\}\}\; \backslash right)\; e^\{-\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash left(\; 2m+1\; \backslash right)^2\; T\_v\}\; \}$

여기서,

• $u\_e$: 과잉 간극수압, $u\_i$: 초기 과잉 간극수압
• $m$: 정수
• $H$: 배수 거리
• $z$: 점토층 하단으로부터의 수직 거리
• $T\_v\; =\; \backslash frac\{c\_v\; t\}\{H^2\}$: 시간 계수

특정한 점에서, 특정 시간의 압밀 정도를 무차원(혹은 백분율)의 압밀도(U)로 나타낸다. 압밀도는 다음과 같다.

$U\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{u\_e\}\{u\_i\}$

• t : 압밀 소요 시간
• $u\_i$ : 초기의 공극 수압
• $u\_e$ : 임의의 경과 시간 t에 있어서의 공극 수압

위 조건의 점토층에 대해서 압밀도는 다음과 같이 표현된다.

$U\; =\; 1\; -\; \backslash sum^\{\backslash infin\}\_\{m=0\}\{\backslash frac\{4\; e^\{-\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{4\}\; \backslash left(\; 2m+1\; \backslash right)^2\; T\_v\}\}\{\; \backslash pi\; \backslash left(\; 2m+1\; \backslash right)\; \}\; \backslash sin\; \{\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash left(\; 2m+1\; \backslash right)\; \backslash frac\{z\}\{H\}\}\}$

전체 점토층의 압밀 진행 정도를 평균압밀도로 나타낸다. 평균 압밀도는 다음과 같이 정의된다.

$\backslash overline\; U\; =\; 1-\; \backslash frac\{\; \backslash int^\{2H\}\_\{0\}\; u\_e\; dz\}\{\; \backslash int^\{2H\}\_\{0\}\; u\_i\; dz\}$

위 조건의 점토층에 대해서 평균 압밀도는 다음과 같다.

$\backslash overline\; U\; =\; 1\; -\; \backslash sum^\{\backslash infin\}\_\{m=0\}\; \backslash frac\{8\}\{\backslash pi^2\; \backslash left(\; 2m+1\; \backslash right)^2\}\; e^\{-\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{4\}\; \backslash left(\; 2m+1\; \backslash right)^2\; T\_v\}$

압밀 침하량을 이용해 평균 압밀도를 나타내면 다음과 같다.

$\backslash overline\; U=\backslash frac\{\backslash Delta\; H\_t\}\{\backslash Delta\; H\}$

• $\backslash Delta\; H\_t$ : t 시간 후의 압밀 침하량
• $\backslash Delta\; H$ : 1차 압밀에 의한 최종 침하량

평균압밀도는 시간계수 T의 함수로 나타난다.

• 빨강: 하단 일면 배수
• 파랑: 양면 배수
• 노랑: 하단 일면 배수

3. 3. 1. 압밀계수의 결정

압밀계수($c\_v$)는 1차원 압밀 기본 미분방정식에 포함되어 있으며, 압밀 시험의 각 하중 단계에서 시간에 따른 토층의 압축량으로부터 계산한다.^[1]

:$c\_v=\backslash frac\{k\}\{m\_v\backslash gamma\_w\}=\backslash frac\{k(1+e\_0)\}\{a\_v\backslash gamma\_w\}=\backslash frac\{T\_v\backslash cdot\; H^2\}\{t\}$

• k : 투수 계수
• $T\_v$: 시간 계수
• $a\_v$ : 압축 계수
• t : 압밀 시간
• $m\_v$ : 체적 변화 계수
• e₀ : 초기 간극비

대한민국 국가 표준에는 $\backslash log\; t$ 방법 또는 $\backslash sqrt\; t$ 방법을 사용하도록 되어 있다.^[2] 압밀 완료 시간을 예측하는 데 사용되는 압밀계수는 로그 방법을 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$C\_v=\backslash frac\{T\_\{50\}H\_\{dr\}^2\}\{t\_\{50\}\}$

루트 방법을 사용하면 다음과 같다.

:$C\_v=\backslash frac\{T\_\{95\}H\_\{dr\}^2\}\{t\_\{95\}\}$

t₅₀은 50% 변형(압밀)에 걸리는 시간이고, t₉₅는 95% 변형에 걸리는 시간이다. 여기서 T₉₅=1.129, T₅₀=0.197이다.

3. 4. 압밀도와 평균 압밀도

압밀도(degree of consolidation; U)는 특정 시점에서 흙의 압밀 정도를 무차원 또는 백분율로 나타내는 지표이다. 압밀도는 다음과 같이 정의된다.

$\backslash begin\{align\}$

U & = \frac{u_i - u_e}{u_i} = 1 - \frac{u_e}{u_i}

\end{align}

• $u\_i$ : 초기의 공극 수압
• $u\_e$ : 임의의 경과 시간 t에 있어서의 공극 수압

상하면에 모래층이 있어 양면 배수가 되는 점토층의 두께가 2H이고, 초기 과잉 간극수압의 분포가 깊이에 따라 일정하며, 다음과 같은 초기 조건과 경계 조건을 만족한다고 가정하면,

• $t=0$ 일 때 $u\_e\; =\; u\_i$ (여기서 $u\_i$는 초기 과잉간극 수압)
• $z=0$ 및 $z=2H$에서 $u\_e\; =\; 0$

압밀도는 다음 식으로 나타낼 수 있다.

$U\; =\; 1\; -\; \backslash sum^\{\backslash infin\}\_\{m=0\}\{\backslash frac\{4\; e^\{-\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{4\}\; \backslash left(\; 2m+1\; \backslash right)^2\; T\_v\}\}\{\; \backslash pi\; \backslash left(\; 2m+1\; \backslash right)\; \}\; \backslash sin\; \{\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash left(\; 2m+1\; \backslash right)\; \backslash frac\{z\}\{H\}\}\}$

한편, 전체 점토층의 압밀 진행 정도를 평균 압밀도로 나타낸다. 평균 압밀도는 다음과 같이 정의된다.^[1]

$\backslash overline\; U\; =\; 1-\; \backslash frac\{\; \backslash int^\{2H\}\_\{0\}\; u\_e\; dz\}\{\; \backslash int^\{2H\}\_\{0\}\; u\_i\; dz\}$

위와 같은 조건의 점토층에 대해서 평균 압밀도는 다음 식으로 나타낼 수 있다.

$\backslash overline\; U\; =\; 1\; -\; \backslash sum^\{\backslash infin\}\_\{m=0\}\; \backslash frac\{8\}\{\backslash pi^2\; \backslash left(\; 2m+1\; \backslash right)^2\}\; e^\{-\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{4\}\; \backslash left(\; 2m+1\; \backslash right)^2\; T\_v\}$

압밀 침하량을 이용해 평균 압밀도를 나타내면 다음과 같다.^[2]

$\backslash overline\; U=\backslash frac\{\backslash Delta\; H\_t\}\{\backslash Delta\; H\}$

• $\backslash Delta\; H\_t$ : t 시간 후의 압밀 침하량
• $\backslash Delta\; H$ : 1차 압밀에 의한 최종 침하량

평균압밀도는 시간계수 T의 함수로 나타난다.

4. 압밀 시험

압밀 시험은 흙의 압밀 특성을 파악하기 위한 실험으로, 대한민국에서는 KS F 2316 표준에 따라 수행한다.^[1] 이 시험을 통해 흙 시료에 가해지는 하중과 두께 변화량을 측정하여 시간에 따른 변화를 직접적으로 얻는다.

4. 1. 압밀 시험 장치

4. 2. 시험 절차

4. 3. 간극비-압력 곡선(e―log p) 그리는 과정

• 공극을 제외한 흙 시료 높이(H_s) 계산

• 공극만의 초기 높이(H_v) 계산

• 시료 초기 간극비(e₀) 계산

• 각 하중 단계에서 간극비 변화(Δe)와 간극비(e) 계산

4. 3. 1. 압축 지수

• $e\_1$: $\backslash sigma\_1$'일 때의 공극비
• $e\_2$: $\backslash sigma\_2$'일 때의 공극비

• 교란 점토 시료: $C\_c=0.007(w\_L-10)$
• 불교란 점토 시료: $C\_c=0.009(w\_L-10)$

4. 4. 추가 하중과 간극비

4. 5. 정규 압밀과 과압밀

• 정규압밀(NC; Normal Consolidation): 초기유효상재하중과 선행압밀하중이 같은 경우이다. 정규압밀점토는 과거에 초기유효상재하중보다 큰 하중을 받은 적이 없다.

• 과압밀(OC; overconsolidation): 초기유효상재하중보다 선행압밀하중이 큰 경우이다. 과압밀점토는 현재 하중과 추가된 하중의 합이 선행압밀하중보다 작으면 압밀침하가 거의 발생하지 않는다.

• 과소압밀: 초기유효상재하중보다 선행압밀하중이 작은 경우이다. 과소압밀점토는 준설토 매립지나 강 하구처럼 느슨하게 퇴적된 점토층에서 나타나며, 추가 하중 없이도 압밀이 발생할 수 있다.

4. 6. 표준압밀시험의 문제점 및 보완대책

4. 7. 현장 압밀곡선

5. 압밀 침하량의 계산

압밀 침하량은 1차 압밀 침하량과 2차 압밀 침하량으로 구분하여 계산한다. 1차 압밀 침하는 과잉간극수압의 소산으로 인해 발생하며, 2차 압밀 침하는 흙 구조의 소성적 변형으로 인해 발생한다.

5. 1. 1차 압밀 침하량

5. 2. 2차 압밀 침하량

• H₀는 압밀 매체의 높이
• e₀는 초기 공극비
• C_a는 2차 압축 지수
• t는 압밀 후 고려되는 시간
• t₉₅는 95% 압밀 달성에 걸리는 시간

6. 역사와 용어

테르자기와 필룽거는 1920년대에 흙의 압밀에 대한 최초의 현대적인 이론 모델을 제안했다.^[1] 테르자기는 공학적 접근을 통해 실용적인 모델을 제시하여 현재까지 널리 사용되고 있다. 반면 필룽거는 엄밀한 수학적 모델을 제시했지만, 내용이 난해하여 널리 사용되지 못했다. 이후 비오는 3차원 흙 압밀 이론을 개발하여 테르자기의 이론을 확장했다.

"토질역학의 아버지"로 불리는 카를 폰 테르자기는 압밀을 "공기로 물을 대체하지 않고 포화된 흙의 함수량 감소를 수반하는 모든 과정"으로 정의했다.^[2] 더 일반적으로, 압밀은 흙이 압력 변화에 반응하여 부피가 변하는 과정을 의미하며, 압축과 팽창을 모두 포함한다.^[2]

7. 변형 특성

응력이 토양에 가해지면 토양 입자가 더 조밀하게 뭉치게 된다. 물로 포화된 토양에서 이 현상이 발생하면 토양에서 물이 빠져나간다. Terzaghi가 개발한 고전적인 방법에서 토양은 압밀 시험으로 테스트하여 압축성을 결정한다. 대부분의 이론적 공식에서 토양 시료의 부피와 토양 입자가 받는 유효 응력 사이에는 로그 관계가 있다고 가정한다. 비례 상수(유효 응력의 크기 변화당 공극비의 변화)는 압축 지수라고 하며, 자연 로그로 계산할 때는 기호 $\backslash lambda$를 사용하고 밑수 10 로그로 계산할 때는 $C\_C$를 사용한다.^[3][4]

토층의 부피 변화를 추정하는 데 사용되는 방정식은 다음과 같다.

$\backslash delta\_c\; =\; \backslash frac\{\; C\_c\; \}\{\; 1\; +\; e\_0\; \}\; H\; \backslash log\; \backslash left(\; \backslash frac\{\; \backslash sigma\_\{zf\}\text{'}\; \}\{\; \backslash sigma\_\{z0\}\text{'}\; \}\; \backslash right)\; \backslash$

여기서

:δ_c는 압밀로 인한 침하량이다.

:C_c는 압축 지수이다.

:e₀는 초기 공극비이다.

:H는 압축성 토층의 높이이다.

:σ_zf는 최종 수직 응력이다.

:σ_z0는 초기 수직 응력이다.

압밀된 토양에서 응력이 제거되면 토양은 반등하여 압밀 과정에서 손실된 부피의 일부를 되찾게 된다. 응력이 다시 가해지면 토양은 재압축 지수로 정의되는 재압축 곡선을 따라 다시 압밀된다. 유효 응력의 로그에 대한 공극비의 플롯에서 팽윤선과 재압축선의 기울기는 종종 "팽윤 지수"로 알려진 동일한 값을 갖는 것으로 이상화된다(자연 로그로 계산할 때는 기호 $\backslash kappa$를 사용하고 밑수 10 로그로 계산할 때는 $C\_S$를 사용한다).

C_c는 최종 유효 응력이 압밀 응력보다 작은 과압밀 토양에 사용하기 위해 C_r(재압축 지수)로 대체될 수 있다. 최종 유효 응력이 압밀 응력보다 큰 경우, 다음과 같이 압밀 과정의 재압축 부분과 처녀 압축 부분을 모두 모델링하기 위해 두 방정식을 함께 사용해야 한다.

$\backslash delta\_c\; =\; \backslash frac\{\; C\_r\; \}\{\; 1\; +\; e\_0\; \}\; H\; \backslash log\; \backslash left(\; \backslash frac\{\; \backslash sigma\_\{zc\}\text{'}\; \}\{\; \backslash sigma\_\{z0\}\text{'}\; \}\; \backslash right)\; +\; \backslash frac\{\; C\_c\; \}\{\; 1\; +\; e\_0\; \}\; H\; \backslash log\; \backslash left(\; \backslash frac\{\; \backslash sigma\_\{zf\}\text{'}\; \}\{\; \backslash sigma\_\{zc\}\text{'}\; \}\; \backslash right)\backslash$

여기서 σ_zc는 토양의 압밀 응력이다.

이 방법은 압밀이 단일 차원에서만 발생한다고 가정한다. 실험실 데이터를 사용하여 변형률 또는 공극비 대 유효 응력의 플롯을 구성하며, 유효 응력 축은 로그 눈금에 있다. 플롯의 기울기는 압축 지수 또는 재압축 지수이다.

하중이 제거된 토양은 "과압밀"된 것으로 간주된다. 이것은 이전에 빙하가 있었거나 지반 침하의 영향을 받은 토양의 경우이다.^[5] 토양이 받았던 가장 높은 응력을 "압밀 응력"이라고 한다. "과압밀비" (OCR)는 경험한 가장 높은 응력을 현재 응력으로 나눈 값으로 정의된다. 현재 가장 높은 응력을 경험하고 있는 토양은 "정규 압밀"이라고 하며 OCR은 1이다. 토양은 새로운 하중이 가해진 직후 과도한 간극 수압이 소산되기 전에는 "미압밀" 또는 "비압밀"로 간주될 수 있다.

압축 계수 $a\_v\; =\; \backslash frac\{\; \backslash Delta\; e\}\{\; \backslash Delta\; \backslash sigma\_\text{'}\}$이다.

점토 광물의 포화 시료의 압축성은 카올리나이트 < 일라이트 < 스멕타이트 순으로 증가한다. 압밀 압력의 10배 증가에 따른 공극비 변화로 정의되는 압축 지수 Cc는 카올리나이트의 경우 0.19~0.28, 일라이트의 경우 0.50~1.10, 몬모릴로나이트의 경우 1.0~2.6 범위에 있다(이온 형태에 따라 다름).^[7] 점토의 압축성이 클수록 양이온 유형과 전해질 농도가 압축성에 미치는 영향이 더 두드러진다.

체적 압축 계수 $m\_v\; =\; \backslash frac\{\; \backslash Delta\; V\; /\; V\}\{\; \backslash Delta\; \backslash sigma\_\text{'}\}=\backslash frac\{a\_v\}\{\; \backslash Delta\; \backslash sigma\_\text{'}\}$이다.

참조

_[1] 학술지 1923–2023: One Century since Formulation of the Effective Stress Principle, the Consolidation Theory and Fluid–Porous-Solid Interaction Models 2022-12
_[2] 서적 Critical State Soil Mechanics https://books.google[...] McGraw-Hill 1968
_[3] 서적 Soil mechanics https://books.google[...] Wiley 1969
_[4] 논문 Base slab heave in over-consolidated clay University of Cambridge 2016
_[5] 학술지 Preconsolidation stress in the Vega Baja and Media areas of the River Segura (SE Spain): Causes and relationship with piezometric level changes https://www.scienced[...] 2007-05-22
_[6] 학술지 On the compressibility and shear strength of natural clays https://www.icevirtu[...] 1990-09-01
_[7] 문서 Cornell University 1950
_[8] 서적 圧密沈下『新版 2級土木施工管理技士 受験用図解テキスト5 用語集』p27 1987
_[9] 학술지 1923–2023: One Century since Formulation of the Effective Stress Principle, the Consolidation Theory and Fluid–Porous-Solid Interaction Models https://www.mdpi.com[...] 2022-12
_[10] 문서 어떤 책에는 12.8 재하, 6.4 제하가 없는 경우도 있음. 이인모 토질역학의 원리 295쪽.
_[11] 웹인용 지반지질공학 및 실습 강의노트 http://elearning.koc[...] 2018-01-16
_[12] 서적 Foundation Engineering Handbook Springer Science & Business Media
_[13] 웹인용 6장 점토의 압밀 http://www.funttc.co[...] 2018-01-30