양-백스터 방정식

1. 개요

양-백스터 방정식은 1960년대 후반과 1970년대 초에 양전닝과 로드니 백스터에 의해 독립적으로 발견되었다. 이 방정식은 2차원 양자장론, 통계역학, 땋임 이론 등 다양한 분야에서 나타나며, 특히 양자 적분가능계에서 중요한 역할을 한다. 양-백스터 방정식은 다체 산란 행렬이 2체 산란 행렬로 인수분해될 때 나타나는 일관성 조건으로, 2입자 산란 행렬 간의 관계를 나타낸다. 이 방정식은 일반적인 형태, 매개변수 독립 형태, 기저 및 땋임군 표현 등 다양한 형태로 표현되며, 해는 유리형, 삼각함수형, 타원형으로 분류된다. 집합론적 양-백스터 방정식과 고전적 양-백스터 방정식과 같은 관련 개념도 존재한다.

2. 역사

양전닝이 1968년에, 로드니 백스터(Rodney J. Baxter)가 1971년에 독자적으로 양-백스터 방정식을 발견하였다.

진보에 따르면, 양-백스터 방정식은 1964년 J. B. 맥과이어와 1967년 양전닝의 연구에서 처음 나타났다. 이들은 1차원 양자역학적 다체 문제를 연구하면서 산란 행렬이 2체 문제의 산란 행렬로 인수분해됨을 보였고, 양-백스터 방정식은 이 인수분해의 일관성 조건으로 나타났다.

통계역학에서 양-백스터 방정식의 기원은 1944년 라르스 온사거(Lars Onsager)의 아이징 모형(Ising model) 해법에서 언급된 스타-삼각 관계(star-triangle relation)에서 비롯되었을 것으로 추정된다. 1972년 로드니 백스터는 8-꼭짓점 모형(eight-vertex model)을 해결하면서 양-백스터 방정식을 명시적으로 사용하였다.

2차원 양자장론의 인수분해 S-행렬 이론에서도 양-백스터 방정식이 나타났으며, 알렉산드르 자몰로치코프(Alexander Zamolodchikov)는 이 이론의 대수적 역학이 백스터 등의 연구와 동일함을 지적했다.

1966년 알기만타스 아돌파스 주시스(Algimantas Adolfas Jucys)의 연구에서 영 연산자(Young operator)가 대칭군의 군환에 나타났는데, 여기서도 양-백스터 방정식이 발견되었다.

3. 정의

양자 적분가능계에서는 모든 다입자 산란 행렬이 2입자 (2→2) 산란 행렬로 인수분해된다. 이 경우, 2입자 산란 행렬은 두 입자 사이의 상대 신속도 및 두 입자의 양자역학적 상태들로 결정된다.

이 경우, 2입자 산란 행렬들은 다음과 같은 관계를 만족시킨다. 이를 양-백스터 방정식이라고 한다. 세 계의 입자 1,2,3의 산란 행렬에 대해서,

:$R\_\{12\}(\backslash gamma\_1-\backslash gamma\_2)R\_\{13\}(\backslash gamma\_1-\backslash gamma\_3)R\_\{23\}(\backslash gamma\_2-\backslash gamma\_3)=R\_\{23\}(\backslash gamma\_2-\backslash gamma\_3)R\_\{13\}(\backslash gamma\_1-\backslash gamma\_3)R\_\{12\}(\backslash gamma\_1-\backslash gamma\_2)$

이다.

3.1. 일반적인 형태

$A$를 단위적 결합 대수라고 할 때, 가장 일반적인 형태의 양-백스터 방정식은 $A\; \backslash otimes\; A$의 텐서 곱의 매개변수 의존 원소인 $R(u,u\text{'})$에 대한 방정식이다. 여기서 $u$와 $u\text{'}$는 매개변수이며, 덧셈 매개변수의 경우 일반적으로 실수 ℝ를, 곱셈 매개변수의 경우 양의 실수 ℝ⁺를 범위로 한다.

$R\_\{ij\}(u,u\text{'})\; =\; \backslash phi\_\{ij\}(R(u,u\text{'}))$이고 라고 하자. 여기서 대수 준동형 사상 $\backslash phi\_\{ij\}\; :\; A\; \backslash otimes\; A\; \backslash to\; A\; \backslash otimes\; A\; \backslash otimes\; A$는 다음과 같이 결정된다.

:$\backslash phi\_\{12\}(a\; \backslash otimes\; b)\; =\; a\; \backslash otimes\; b\; \backslash otimes\; 1,$

:$\backslash phi\_\{13\}(a\; \backslash otimes\; b)\; =\; a\; \backslash otimes\; 1\; \backslash otimes\; b,$

:$\backslash phi\_\{23\}(a\; \backslash otimes\; b)\; =\; 1\; \backslash otimes\; a\; \backslash otimes\; b.$

일반적인 형태의 양-백스터 방정식은 다음과 같다.

:$R\_\{12\}(u\_1,u\_2)\; \backslash \; R\_\{13\}(u\_1,u\_3)\; \backslash \; R\_\{23\}(u\_2,u\_3)\; =\; R\_\{23\}(u\_2,u\_3)\; \backslash \; R\_\{13\}(u\_1,u\_3)\; \backslash \; R\_\{12\}(u\_1,u\_2),$

이는 모든 $u\_1$, $u\_2$ 및 $u\_3$ 값에 대해 성립한다.

3.2. 매개변수 독립 형태

단위 결합 대수 $A$가 주어졌을 때, 매개변수 독립 양-백스터 방정식은 텐서 곱 $A\; \backslash otimes\; A$의 가역 원소 $R$에 대한 방정식이다. 양-백스터 방정식은 다음과 같다.

:$R\_\{12\}\; \backslash \; R\_\{13\}\; \backslash \; R\_\{23\}\; =\; R\_\{23\}\; \backslash \; R\_\{13\}\; \backslash \; R\_\{12\},$

여기서 $R\_\{12\}\; =\; \backslash phi\_\{12\}(R)$, $R\_\{13\}\; =\; \backslash phi\_\{13\}(R)$, $R\_\{23\}\; =\; \backslash phi\_\{23\}(R)$이다.

3.3. 기저에 대한 표현

일반적으로 단위 결합 대수는 벡터 공간 $V$ 위의 체 $k$에 대한 자기 준동형 사상 대수$A\; =\; \backslash text\{End\}(V)$이다. $V$의 기저 $\backslash \{e\_i\backslash \}$에 관하여, 행렬 $R\backslash in\; \backslash text\{End\}(V)\backslash otimes\backslash text\{End\}(V)\; \backslash cong\; \backslash text\{End\}(V\backslash otimes\; V)$의 성분은 $R\_\{ij\}^\{kl\}$로 표기되는데, 이는 사상 $e\_i\backslash otimes\; e\_j\; \backslash mapsto\; e\_k\backslash otimes\; e\_l$에 대응하는 성분이다. 매개변수 의존성을 생략하면, 사상 $e\_a\backslash otimes\; e\_b\backslash otimes\; e\_c\; \backslash mapsto\; e\_d\; \backslash otimes\; e\_e\; \backslash otimes\; e\_f$에 대응하는 양-백스터 방정식의 성분은 다음과 같다.

:$(R\_\{12\})\_\{ij\}^\{de\}(R\_\{13\})\_\{ak\}^\{if\}(R\_\{23\})\_\{bc\}^\{jk\}\; =\; (R\_\{23\})\_\{jk\}^\{ef\}\; (R\_\{13\})\_\{ic\}^\{dk\}\; (R\_\{12\})\_\{ab\}^\{ij\}.$

3.4. 땋임군 표현

$V$를 $A$의 가군으로 하고, $P\_\{ij\}\; =\; \backslash phi\_\{ij\}(P)$라고 하자. $P\; :\; V\; \backslash otimes\; V\; \backslash to\; V\; \backslash otimes\; V$를 모든 $x,\; y\; \backslash in\; V$에 대해 $P(x\; \backslash otimes\; y)\; =\; y\; \backslash otimes\; x$를 만족하는 선형 사상이라고 하자. 그러면 양-백스터 방정식은 $\backslash check\{R\}(u,u\text{'})\; =\; P\; \backslash circ\; R(u,u\text{'})$에 대해 $V\; \backslash otimes\; V$상에서 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

:$(\backslash mathbf\{1\}\; \backslash otimes\; \backslash check\{R\}(u\_1,u\_2))\; (\backslash check\{R\}(u\_1,u\_3)\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{1\})(\backslash mathbf\{1\}\backslash otimes\; \backslash check\{R\}(u\_2,u\_3))\; =\; (\backslash check\{R\}(u\_2,u\_3)\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{1\})\; (\; \backslash mathbf\{1\}\backslash otimes\; \backslash check\{R\}(u\_1,u\_3)\; )\; (\; \backslash check\{R\}(u\_1,u\_2)\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{1\})$.

또는, 위와 동일한 표기법을 사용하여 $\backslash check\{R\}\_\{ij\}(u,u\text{'})\; =\; \backslash phi\_\{ij\}(\backslash check\{R\}(u,u\text{'}))$로 정의하면, 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

:$\backslash check\{R\}\_\{23\}(u\_1,u\_2)\; \backslash \; \backslash check\{R\}\_\{12\}(u\_1,u\_3)\; \backslash \; \backslash check\{R\}\_\{23\}(u\_2,u\_3)\; =\; \backslash check\{R\}\_\{12\}(u\_2,u\_3)\; \backslash \; \backslash check\{R\}\_\{23\}(u\_1,u\_3)\; \backslash \; \backslash check\{R\}\_\{12\}(u\_1,u\_2).$

$\backslash check\{R\}$이 매개변수에 의존하지 않는 매개변수 독립 특수한 경우, 이 방정식은

:$(\backslash mathbf\{1\}\backslash otimes\; \backslash check\{R\})(\backslash check\{R\}\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{1\})(\backslash mathbf\{1\}\backslash otimes\; \backslash check\{R\})\; =\; (\backslash check\{R\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\{1\})(\backslash mathbf\{1\}\backslash otimes\; \backslash check\{R\})(\backslash check\{R\}\backslash otimes\; \backslash mathbf\{1\})$

로 축소되며, (만약 $R$가 가역적이라면) $i\; =\; 1,\backslash dots,n-1$에 대해 $\backslash sigma\_i\; =\; 1^\{\backslash otimes\; i-1\}\; \backslash otimes\; \backslash check\{R\}\; \backslash otimes\; 1^\{\backslash otimes\; n-i-1\}$으로 $V^\{\backslash otimes\; n\}$상에 표현 $B\_n$을 구성할 수 있다. 이 표현은 땋임, 매듭 및 고리의 준불변량을 결정하는 데 사용될 수 있다.

4. 대칭성

양-백스터 방정식의 해는 리 군 $G$의 작용 하에서 불변성을 갖도록 요구함으로써 종종 제한된다. 예를 들어, $G\; =\; GL(V)$이고 $R(u,u\text{'})\backslash in\; \backslash text\{End\}(V\backslash otimes\; V)$인 경우, $\backslash text\{End\}(V\backslash otimes\; V)$에서 유일한 $G$-불변 사상은 항등 사상 $I$와 순열 사상 $P$이다. 그러면 $R$ 행렬의 일반적인 형태는 $R(u,\; u\text{'})\; =\; A(u,u\text{'})I\; +\; B(u,\; u\text{'})P$이며, 여기서 $A,\; B$는 스칼라 함수이다.

양-백스터 방정식은 매개변수 의존성에 대해 동차성을 가지며, 이는 $R\text{'}(u\_i,\; u\_j)\; =\; f(u\_i,\; u\_j)R(u\_i,u\_j)$로 정의하면, 여기서 $f$는 스칼라 함수이며, $R\text{'}$ 역시 양-백스터 방정식을 만족한다는 의미이다.

인수 공간 자체도 대칭성을 가질 수 있다. 예를 들어, 병진 불변성은 인수 $(u,\; u\text{'})$에 대한 의존성이 병진 불변 차이 $u-u\text{'}$에만 의존하도록 하며, 스케일 불변성은 $R$이 스케일 불변 비율 $u/u\text{'}$의 함수가 되도록 한다.

5. 매개변수화와 해

양-백스터 방정식의 해를 계산하기 위한 일반적인 가정은 차이 속성 $R(u,u\text{'})\; =\; R(u\; -\; u\text{'})$이며, 여기서 R은 단일 (가산) 매개변수에만 의존한다. 동등하게, 로그를 취하면 매개변수화 $R(u,u\text{'})\; =\; R(u/u\text{'})$를 선택할 수 있으며, 이 경우 R은 곱셈 매개변수에 의존한다고 한다. 이러한 경우, 계산을 용이하게 하는 형태로 양-백스터 방정식을 두 개의 자유 매개변수로 줄일 수 있다.

덧셈 매개변수의 경우, 양-백스터 방정식은 다음과 같다.

:$R\_\{12\}(u)\; \backslash \; R\_\{13\}(u+v)\; \backslash \; R\_\{23\}(v)\; =\; R\_\{23\}(v)\; \backslash \; R\_\{13\}(u+v)\; \backslash \; R\_\{12\}(u),$

는 모든 $u$ 및 $v$ 값에 대해 성립한다. 곱셈 매개변수의 경우, 양-백스터 방정식은 다음과 같다.

:$R\_\{12\}(u)\; \backslash \; R\_\{13\}(uv)\; \backslash \; R\_\{23\}(v)\; =\; R\_\{23\}(v)\; \backslash \; R\_\{13\}(uv)\; \backslash \; R\_\{12\}(u),$

는 모든 $u$ 및 $v$ 값에 대해 성립한다.

브레이디드 형태는 다음과 같다.

:$(\backslash mathbf\{1\}\backslash otimes\; \backslash check\{R\}(u))\; (\backslash check\{R\}(u\; +\; v)\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{1\})\; (\backslash mathbf\{1\}\backslash otimes\; \backslash check\{R\}(v))\; =\; (\backslash check\{R\}(v)\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{1\})\; (\backslash mathbf\{1\}\backslash otimes\; \backslash check\{R\}(u\; +\; v))(\backslash check\{R\}(u)\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{1\}\; )$
:$(\backslash mathbf\{1\}\backslash otimes\; \backslash check\{R\}(u))\; (\backslash check\{R\}(uv)\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{1\})\; (\backslash mathbf\{1\}\backslash otimes\; \backslash check\{R\}(v))\; =\; (\backslash check\{R\}(v)\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{1\})\; (\backslash mathbf\{1\}\backslash otimes\; \backslash check\{R\}(uv))(\backslash check\{R\}(u)\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{1\}\; )$

경우에 따라 $R\; (u)$의 행렬식은 스펙트럼 매개변수 $u=u\_\{0\}$의 특정 값에서 0이 될 수 있다. 일부 $R$ 행렬은 $u=u\_\{0\}$에서 1차원 투영 연산자로 변환된다.

5.1. 해의 예시

$\backslash check\{R\}^2\; =\; \backslash mathbf\{1\}$을 만족하는 매개변수 독립 양-백스터 방정식의 해로부터 매개변수 의존적 해를 얻을 수 있다. 이 경우, $\backslash check\{R\}(u)\; =\; \backslash mathbf\{1\}\; +\; u\; \backslash check\{R\}$는 매개변수 의존적 양-백스터 방정식의 해이다. $\backslash check\{R\}\; =\; P$인 경우, 이는 하이젠베르크 XXX 스핀 체인의 산란 행렬을 제공한다.

양자군 $U\_q(\backslash widehat\{sl\}(2))$의 평가 모듈의 $R$-행렬은 다음과 같이 주어진다.
:$$
\check{R}(z) = \begin{pmatrix}
q z - q^{-1}z^{-1} & & & \\
& q-q^{-1} & z-z^{-1} &\\
& z-z^{-1} & q-q^{-1} &\\
& & & q z - q^{-1}z^{-1}
\end{pmatrix}.

그런 다음 승법 매개변수를 갖는 매개변수화된 양-백스터 방정식(땋임 형식)이 만족된다.
:$(\backslash mathbf\{1\}\backslash otimes\backslash check\{R\}(z))\; (\backslash check\{R\}(zz\text{'})\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{1\})\; (\backslash mathbf\{1\}\backslash otimes\; \backslash check\{R\}(z\text{'}))\; =\; (\backslash check\{R\}(z\text{'})\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{1\})\; (\backslash mathbf\{1\}\backslash otimes\; \backslash check\{R\}(zz\text{'}))(\backslash check\{R\}(z)\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{1\}\; )$

5.2. 해의 분류

양-백스터 방정식의 해는 크게 세 가지 부류로 나뉜다. 이들은 유리형, 삼각함수형, 타원형이다. 이들은 각각 얀기안, 아핀 양자군, 타원 대수와 같은 양자군과 관련이 있다.

6. 집합론적 양-백스터 방정식

드린펠트는 집합론적 해를 연구했다. 이 경우, $R$-행렬이 $V\backslash otimes\; V$ 위에 유도된 기저를 자체적으로 맵핑한다는 의미에서 벡터 공간 $V$에 대한 $R$-행렬 불변 기저 $X$가 존재한다. 이것은 $R$-행렬을 기저로 제한하여 $r:\; X\backslash times\; X\; \backslash rightarrow\; X\backslash times\; X$의 맵을 유도한다. 그런 다음, 집합론적 양-백스터 방정식은 위의 '꼬인' 대체 형식을 사용하여 다음과 같이 정의된다.
$$(id\backslash times\; r)(r\backslash times\; id)(id\backslash times\; r)\; =\; (r\backslash times\; id)(id\backslash times\; r)(r\; \backslash times\; id)$$
는 $X\backslash times\; X\backslash times\; X$에 대한 맵으로 정의된다. 이 방정식은 순수하게 집합의 범주의 방정식으로 간주될 수 있다.

6.1. 집합론적 해의 예시

* $R\; =\; id$
* $R\; =\; \backslash tau$ 여기서 $\backslash tau(u\backslash otimes\; v)\; =\; v\backslash otimes\; u$는 전치 맵이다.
* 만약 $(X,\; \backslash triangleleft)$가 (우) 선반이면, $r(x,y)\; =\; (y,\; x\; \backslash triangleleft\; y)$는 양-백스터 방정식에 대한 집합론적 해이다.

7. 고전적 양-백스터 방정식

고전적 양-백스터 방정식은 다음과 같다.

:$$[r\_\{12\},\; r\_\{13\}]\; +\; [r\_\{12\},\; r\_\{23\}]\; +\; [r\_\{13\},\; r\_\{23\}]\; =\; 0.$$

이 방정식은 양자 양-백스터 방정식의 준고전적 해에서 나타나며, 여기서 $R$-행렬은 전개 매개변수 $\backslash hbar$에 대한 점근적 전개를 허용한다.

:$$R\_\backslash hbar\; =\; I\; +\; \backslash hbar\; r\; +\; \backslash mathcal\{O\}(\backslash hbar^2).$$

고전적 양-백스터 방정식은 양자 양-백스터 방정식의 $\backslash hbar^2$ 계수를 읽어냄으로써 얻어진다.