산란 행렬

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1. 개요

산란 행렬(S-행렬)은 양자역학에서 입자 간의 산란 과정을 설명하는 데 사용되는 연산자이다. 1927년 폴 디랙의 연구에서 개념의 초기 요소가 나타났으며, 1937년 존 아치볼드 휠러가 처음 도입했으나, 1940년대 베르너 하이젠베르크가 양자장론의 발산 문제를 해결하기 위해 S-행렬을 발전시켰다. S-행렬은 복소 힐베르트 공간에서 정의되며, 파동 연산자와 산란 연산자를 통해 표현된다. 1차원 양자 역학에서는 전위 장벽에 입사하는 입자의 산란을, 양자장론에서는 상호작용 그림을 사용하여 정의할 수 있다. S-행렬은 유니타리 연산자이며, 로렌츠 불변성을 만족하며, 시간 반전 대칭성을 가질 경우 대칭 행렬이 된다. S-행렬은 다이슨 급수로 표현될 수 있으며, T 행렬, R 행렬과 같은 관련 개념들이 존재한다. S-행렬은 등각장론, 적분 가능 시스템, 끈 이론 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

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산란 행렬

2. 역사

S-행렬 이론의 초기 요소는 폴 디랙의 1927년 논문 "Über die Quantenmechanik der Stoßvorgänge"(충돌 과정의 양자역학에 관하여)에서 찾아볼 수 있다.^[1]^[2] 1937년 존 아치볼드 휠러가 S-행렬을 처음으로 소개하였지만,^[3]^[21] "임의의 특정 해[적분 방정식]의 점근적 거동과 표준 형태의 해의 점근적 거동을 연결하는 계수의 유니타리 행렬"인 '산란 행렬'을 도입했지만,^[4] 이를 완전히 발전시키지는 못했다. 1940년대에 베르너 하이젠베르크는 S-행렬의 아이디어를 독립적으로 발전시키고 구체화했다. 당시 양자장론에서 나타나는 문제적인 발산 때문에 하이젠베르크는 이론이 발전하면서 미래의 변화에 영향을 받지 않을 '이론의 본질적인 특징'을 분리하려는 동기를 부여받았다. 그렇게 하면서 그는 유니타리 "특성" S-행렬을 도입하게 되었다.^[1]

오늘날, 정확한 S-행렬 결과는 등각장론, 적분 가능 시스템 및 양자장론과 끈 이론의 여러 분야에서 중요하다. S-행렬은 장론적 처리를 대체하는 것이 아니라, 그러한 처리의 최종 결과를 보완하는 역할을 한다.

3. 정의

복소수 힐베르트 공간 $\mathcal H$ 와, 자유 해밀토니언 $H_0\colon\operatorname{dom}H_0\to \mathcal H$ , $\operatorname{dom}H_0\subseteq\mathcal H$ , 상호 작용 해밀토니언 $H\colon\operatorname{dom}H\to \mathcal H$ , $\operatorname{dom}H\subseteq\mathcal H$ 가 주어졌다고 하자.

$H_0$ 와 $H$ 에 대한 '''파동 연산자'''(波動演算子, wave operator^영어)는 다음과 같은 극한이다.^[20]

: $\operatorname W_\pm(H,H_0)\colon\mathcal H\to\mathcal H$

: $\operatorname W_\pm(H,H_0)=\lim_{t\to\infty}\exp(\pm\mathrm iHt)\exp(\mp\mathrm iH_0t)\operatorname{proj}_{\text{ac},H_0}$

여기서 극한은 점별 (노름) 수렴 위상에 대한 것이며, 사영 작용소 $\operatorname{proj}_{\text{ac},H_0}$ 는 $H_0$ 의 완전 연속 스펙트럼에 대응하는 부분 공간으로의 사영이다. 부호가 −인 경우는 들어오는 파동, +인 경우는 나가는 파동에 해당한다.

$H_0$ 와 $H$ 에 대한 '''산란 연산자'''(散亂演算子, scattering operator^영어) 또는 '''산란 행렬'''은 다음과 같다.^[20]

: $\operatorname S(H,H_0)\colon\mathcal H\to\mathcal H$

: $\operatorname S(H,H_0)=\operatorname W_+^*(H,H_0)\operatorname W_-(H,H_0)$

만약 ± 파동 연산자가 둘 다 완비 파동 연산자라면, 이는 전단사 유니터리 변환

: $(\operatorname S(H,H_0)\restriction\mathcal H_{\text{ac},H_0})\colon \mathcal H_{\text{ac},H_0}\to \mathcal H_{\text{ac},H}$

를 정의한다.

간혹 '''T 연산자'''를

: $\operatorname T(H,H_0)=-\mathrm i(\operatorname S(H,H_0)-\operatorname{proj}_{\text{ac},H_0})$

로 정의한다. 즉, $\mathcal H_{\text{ac},H_0}$ 에 제한하면, $\operatorname S=\mathrm iT$ 이다. 이는 산란 과정 가운데 관측할 수 있는 부분 (초기 상태와 다른 부분)을 나타낸다.

하이젠베르크 묘사에서, ''S''-행렬은 자유 입자 ''입자 상태''를 자유 입자 ''출력 상태'' (산란 채널)에 매핑하는 연산자이다.^[13] S-연산자는 초기 ''in'' 상태에서 최종 ''out'' 상태로의 양자 정준 변환을 나타낸다.^[13]^[16]

3. 1. 1차원 양자 역학에서의 정의

1차원 양자 역학에서, 국소화된 전위 장벽 ''V''(''x'')^영어에 에너지 ''E''}}를 가진 양자 입자 빔이 산란되는 상황을 고려한다. 이 입자들은 전위 장벽에 왼쪽에서 오른쪽으로 입사한다.

전위 장벽 밖에서의 슈뢰딩거 방정식의 해는 평면파로 주어지며, 다음과 같다.

전위 장벽의 왼쪽 영역: $\psi_{\rm L}(x)= A e^{ikx} + B e^{-ikx}$
전위 장벽의 오른쪽 영역: $\psi_{\rm R}(x)= C e^{ikx} + D e^{-ikx}$

여기서 $k=\sqrt{2m E/\hbar^{2^영어$는 파수 벡터이다. $A$ 항은 입사파, $B$ 항은 반사파, $C$ 항은 출사파를 나타낸다. 입사파가 양의 방향(왼쪽)에서 오므로, $D$는 0으로 생략할 수 있다.

"산란 진폭", 즉, 출사파와 입사파의 전이 중첩은 ''S''-행렬을 정의하는 선형 관계이다.

$\begin{pmatrix} B \\ C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ D \end{pmatrix}$

이 관계는 $\Psi_{\rm out}=S \Psi_{\rm in}$으로 쓸 수 있으며, 여기서

$\Psi_{\rm out}=\begin{pmatrix}B \\ C \end{pmatrix}, \quad \Psi_{\rm in}=\begin{pmatrix}A \\ D \end{pmatrix}, \qquad S=\begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix}$이다.

''S''^영어의 원소는 전위 장벽 ''V''(''x'')^영어의 산란 특성을 완전히 특징짓는다.

산란 이론에서는 산란 과정을 시초 상태에서 종착 상태로의 전이로 간주하며, 그 전이 확률은 시간 의존 슈뢰딩거 방정식을 사용하여 구한다. 이 방법은 양자역학의 사고방식에 따른 방법이며, 비탄성 산란 등도 다룰 수 있기 때문에 일반성이 있다.

S 행렬은, 시각 t'=-∞ 에서 H0의 고유상태에 있던 계가 상호작용에 의해 t'=+∞ 에서 H0 의 고유상태로 전이하는 확률 진폭을 준다. S 행렬을 구하면, 그 절댓값의 제곱을 취해 전이 확률을 구할 수 있고, 이를 통해 산란 단면적을 계산할 수 있다.

3. 2. 양자장론에서의 정의

''S''-행렬을 정의하는 간단한 방법은 상호작용 그림을 고려하는 것이다.^[9] 해밀토니안

H

를 자유 부분

H_0

와 상호작용

V

로 분리하면(

H = H_0 + V

), 이 그림에서 연산자는 자유 장 연산자처럼 작동하고 상태 벡터는 상호작용

V

에 따라 동역학을 갖는다.

자유 초기 상태에서 진화한 상태를

\left|\Psi(t)\right\rangle

, ''S''-행렬 요소는 최종 상태에 대한 이 상태의 투영

\left\langle\Phi_{\rm f}\right|

으로 정의된다. 따라서,

S_{\rm fi} \equiv \lim_{t \rightarrow +\infty} \left\langle\Phi_{\rm f}|\Psi(t)\right\rangle \equiv \left\langle\Phi_{\rm f}\right|S\left|\Phi_{\rm i}\right\rangle,

여기서

S

는 '''S-연산자'''이다. 상호작용 그림에서 상태를 진화시키는 '''시간 진화 연산자'''

U

는 형식적으로 다음과 같이 알려져 있다.^[10]

U(t, t_0) = Te^{-i\int_{t_0}^t d\tau V(\tau)},

여기서

T

는 시간 정렬 곱을 나타낸다. 이 연산자로 표현하면,

S_{\rm fi} = \lim_{t_2 \rightarrow +\infty}\lim_{t_1 \rightarrow -\infty}\left\langle\Phi_{\rm f}\right|U(t_2, t_1)\left|\Phi_{\rm i}\right\rangle,

으로부터

S = U(\infty, -\infty).

를 얻는다. 전개

U

에 대한 지식을 사용하면 다이슨 급수가 얻어진다.

S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-i)^n}{n!}\int_{-\infty}^\infty dt_1\cdots \int_{-\infty}^\infty dt_n T\left[V(t_1)\cdots V(t_n)\right],

또는

V

가 해밀토니안 밀도

\mathcal{H}

로 주어지면,

S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-i)^n}{n!}\int_{-\infty}^\infty dx_1^4\cdots \int_{-\infty}^\infty dx_n^4 T\left[\mathcal{H}(x_1)\cdots \mathcal{H}(x_n)\right].

시간 진화 연산자의 특별한 유형인

S

는 유니타리 연산자이다. 임의의 초기 상태와 임의의 최종 상태에 대해 다음을 얻는다.

S_{\rm fi} = \left\langle\Phi_{\rm f}|S|\Phi_{\rm i}\right\rangle = \left\langle\Phi_{\rm f} \left|\sum_{n=0}^\infty \frac{(-i)^n}{n!}\int_{-\infty}^\infty dx_1^4\cdots \int_{-\infty}^\infty dx_n^4 T\left[\mathcal{H}(x_1)\cdots \mathcal{H}(x_n)\right]\right| \Phi_{\rm i}\right\rangle .

산란 과정을 시초 상태에서 종착 상태로의 전이로 간주하는 산란 이론에서는, 그 전이 확률을 시간 의존 슈뢰딩거 방정식을 사용하여 구한다([시간 발전]에 대해서는 [슈뢰딩거 묘사]에서 [상호작용 묘사]로 바꿔 계산하는 경우도 있다). 이 방법은 양자역학의 사고방식에 따른 방법이며, 비탄성 산란 등도 다룰 수 있기 때문에 일반성이 있다.

계의 [시간 발전]은 [상호작용 묘사]로 한다. 즉, 상태의 시간 발전은 "토모나가-슈윙거 방정식"으로 나타낸다.

충돌 전의 시초 상태의 시각으로는, 사실상 무한한 과거의 시각 $t'=-\infty$ 를 취할 수 있다.
$t'=-\infty$ 에는, 2개의 입사 입자는 충분히 멀리 떨어져 있어, 그 사이에 상호작용은 없다고 생각할 수 있다.
단, 입자 간의 상호작용은, 입자 간 거리 $r$ 의 역수 $1/r$ 보다 빨리 사라지는 것으로 한다(따라서 입자 사이에 쿨롱력이 작용하는 경우에는, 이하의 이론은 그대로는 적용할 수 없다). 이 조건을 만족하는 한, $t'=-\infty$ 에서의 상태로서, 자유 해밀토니안 $\hat{H}_0$ 의 고유 상태를 선택할 수 있다. 즉 $t'=-\infty$ 에서 계의 상태 벡터 $|\psi_I(t'=-\infty)\rangle$ 를 다음과 같이 설정해 둔다.

:

|\psi_I(t'=-\infty)\rangle = |\Phi_i\rangle

:

\hat{H}_0 |\Phi_i\rangle = E_i |\Phi_i\rangle

:

\langle\Phi_i|\Phi_j\rangle = \delta_{i,j}

이 때 상태의 시간 변화는 시간 발전 연산자를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

|\psi_I(t)\rangle=\hat{U}(t,-\infty)|\psi_I(-\infty)\rangle=\hat{U}(t,-\infty)|\Phi_i\rangle

이 표기는, 처음 시각

t'=-\infty

에서 상태

|\Phi_i\rangle

에 있던 계가, 시각

t

에서는 상호작용의 영향에 의해 상태

|\psi_I(t)\rangle

로 바뀌어 있음을 나타낸다.

2개의 입자의 충돌이 끝나고, 그 입자들이 서로 멀리 떨어진 시각을

t=+\infty

라고 하면, 그 상태는

:

|\psi_I(t'=+\infty)\rangle=\hat{U}(+\infty,-\infty ) | \Phi_i \rangle

로 주어진다. 이 식에 의해 형성된 상태 벡터

|\psi_I(t'=+\infty)\rangle

를,

\hat{H_0}

의 고유 벡터의 완전계

| \Phi_i \rangle

로 전개하고, 그 전개 계수를

S_{j,i}

라고 쓰면,

:

\langle \Phi_f|\psi_I(+\infty)\rangle = \langle \Phi_f|\hat{U}(+\infty,-\infty )| \Phi_i \rangle = \sum_j \langle \Phi_f| \Phi_j \rangle S_{j,i} = \sum_j \delta_{f,j}S_{j,i}=S_{f,i}

이다. 즉,

:

S_{f,i} = \langle \Phi_f|\hat{U}(+\infty,-\infty )| \Phi_i \rangle

는, 시각

t'=-\infty

에

\hat{H_0}

의 고유 상태

| \Phi_i \rangle

에 있던 계가, 상호작용

\hat{V}_I

에 의해, 시각 시각

t'=+\infty

에서

\hat{H_0}

의 고유 상태

| \Phi_f \rangle

로 전이하는 확률 진폭을 준다. 이

S_{f,i}

를 '''S 행렬'''이라고 부르고,

\hat{S}=\hat{U}(+\infty,-\infty )

를 '''S 연산자'''라고 부른다.

산란 현상에 관한 모든 지식은 S 행렬에 의해 기술된다. 즉, S 행렬을 구할 수 있으면 산란 문제는 풀린 셈이 된다. S 행렬을 구하면, 그 절댓값의 2제곱을 취함으로써, 시초 상태

\psi_i\rangle

에서 종착 상태

\psi_f\rangle

로의 전이 확률

W_{f,i}

를 구할 수 있다.

:

W_{f,i}=|S_{f,i}|^2

이것으로부터 산란 단면적을 계산할 수 있다. 따라서, 산란 현상을 상태의 전이로 간주하는 입장에서, S 행렬은 그 중심적인 역할을 하는 중요한 물리량이 된다.

4. 성질

파동 연산자는 다음 성질을 만족시킨다.

: $\operatorname W_\pm(H,H_0)H_0=H\operatorname W_\pm(H,H_0)$

산란 연산자는 자유 해밀토니언 연산자와 가환한다.

: $\operatorname S(H,H_0)H_0=H_0\operatorname S(H,H_0)$

위그너 정리에 따라, 파동 연산자가 완비라면, 산란 연산자는 유니터리 작용소이다.

: $\operatorname S(H,H_0)\restriction\mathcal H_{\text{ac},H_0}$

는 $\mathcal H_{\text{ac},H_0}\to \mathcal H_{\text{ac},H_0}$ 유니터리 작용소이다.

''S''-행렬은 다음과 같이 정의된다.^[13]

$S_{\beta\alpha} = \langle\Psi_\beta^-|\Psi_\alpha^+\rangle = \langle \mathrm{f},\beta| \mathrm{i},\alpha\rangle, \qquad |\mathrm{f}, \beta\rangle \in \mathcal H_{\rm f}, \quad |\mathrm{i}, \alpha\rangle \in \mathcal H_{\rm i}.$

여기서 와 는 입자 내용을 나타내는 약어이지만, 개별 레이블은 생략한다. ''S''-행렬과 관련된 것은 다음과 같이 정의되는 '''S-연산자''' 이다.^[13]

$\langle\Phi_\beta|S|\Phi_\alpha\rangle \equiv S_{\beta\alpha},$

여기서 는 자유 입자 상태이다.^[13]^[15] 이 정의는 상호작용 그림에서 사용된 직접적인 접근 방식과 일치한다. 또한, 단위 동등성으로 인해,

$\langle\Psi_\beta^+|S|\Psi_\alpha^+\rangle = S_{\beta\alpha} = \langle\Psi_\beta^-|S|\Psi_\alpha^-\rangle.$

물리적 요구 사항으로 는 유니타리 연산자여야 한다. 이것은 양자장론에서 확률 보존의 진술이다. 그러나

$\langle\Psi_\beta^-|S|\Psi_\alpha^-\rangle = S_{\beta\alpha} = \langle\Psi_\beta^-|\Psi_\alpha^+\rangle.$

완전성에 의해,

$S|\Psi_\alpha^-\rangle = |\Psi_\alpha^+\rangle,$

따라서 ''S''는 in 상태에서 out 상태로의 유니타리 변환이다.

로렌츠 불변성은 ''S''-행렬에 대한 또 다른 중요한 요구 사항이다.^[13]^[16] S-연산자는 초기 ''in'' 상태에서 최종 ''out'' 상태로의 양자 정준 변환을 나타낸다. 더욱이, 는 진공 상태를 불변으로 유지하고 ''in''-공간 장을 ''out''-공간 장으로 변환한다.^[17]

$S\left|0\right\rangle = \left|0\right\rangle$

$\phi_\mathrm{f}=S\phi_\mathrm{i} S^{-1} ~.$

생성 및 소멸 연산자를 사용하면 다음과 같다.

$a_{\rm f}(p)=Sa_{\rm i}(p)S^{-1}, a_{\rm f}^\dagger(p)=Sa_{\rm i}^\dagger(p)S^{-1},$

따라서

$\begin{align}S|\mathrm{i}, k_1, k_2, \ldots, k_n\rangle&= Sa_{\rm i}^\dagger(k_1)a_{\rm i}^\dagger(k_2) \cdots a_{\rm i}^\dagger(k_n)|0\rangle =Sa_{\rm i}^\dagger(k_1)S^{-1}Sa_{\rm i}^\dagger(k_2)S^{-1} \cdots Sa_{\rm i}^\dagger(k_n)S^{-1}S|0\rangle \\[1ex]&=a_{\rm o}^\dagger(k_1)a_{\rm o}^\dagger(k_2) \cdots a_{\rm o}^\dagger(k_n)S|0\rangle=a_{\rm o}^\dagger(k_1)a_{\rm o}^\dagger(k_2) \cdots a_{\rm o}^\dagger(k_n)|0\rangle=|\mathrm{o}, k_1, k_2, \ldots, k_n\rangle.\end{align}$

가 out 상태에 왼쪽에 작용할 때 유사한 표현식이 유지된다. 즉, ''S''-행렬은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$S_{\beta\alpha} = \langle \mathrm{o}, \beta|\mathrm{i}, \alpha \rangle = \langle \mathrm{i}, \beta|S|\mathrm{i}, \alpha \rangle = \langle \mathrm{o}, \beta|S|\mathrm{o}, \alpha \rangle.$

가 상호작용을 올바르게 설명한다면, 이러한 속성도 참이어야 한다.

시스템이 운동량 고유 상태 ''k''⟩}}의 ''단일 입자''로 구성된 경우, ''k''⟩ = ''k''⟩}}이다. 이것은 위의 계산에서 특수한 경우로 따른다.
''S''-행렬 요소는 출력 상태가 입력 상태와 동일한 총 운동량을 갖는 경우에만 0이 아닐 수 있다. 이것은 ''S''-행렬의 필요한 로렌츠 불변성에서 따른다.

4. 1. 유니타리 성질

''S''-행렬의 유니타리 성질은 양자역학에서 확률 전류의 보존과 직접적으로 관련이 있다.

파동 함수 ψ(''x'')의 확률 전류 밀도 J는 다음과 같이 정의된다.

J = \frac{\hbar}{2mi}\left(\psi^* \frac{\partial \psi }{\partial x}- \psi \frac{\partial \psi^* }{\partial x} \right) .

장벽의 왼쪽에 있는

\psi_{\rm L}(x)

의 확률 전류 밀도

J_{\rm L}(x)

는

J_{\rm L}(x)=\frac{\hbar k}{m}\left(|A|^2-|B|^2\right),

이며, 장벽의 오른쪽에 있는

\psi_{\rm R}(x)

의 확률 전류 밀도

J_{\rm R}(x)

는

J_{\rm R}(x)=\frac{\hbar k}{m}\left(|C|^2-|D|^2\right).

확률 전류의 보존을 위해 이다. 이는 ''S''-행렬이 유니타리 행렬임을 의미한다.

\begin{align}& J_{\rm L} = J_{\rm R} \\& |A|^2-|B|^2=|C|^2-|D|^2 \\& |B|^2+|C|^2=|A|^2+|D|^2 \\& \Psi_\text{out}^\dagger \Psi_\text{out}=\Psi_\text{in}^\dagger \Psi_\text{in} \\& \Psi_\text{in}^\dagger S^\dagger S \Psi_\text{in}=\Psi_\text{in}^\dagger \Psi_\text{in} \\& S^\dagger S = I\\\end{align}

4. 2. 시간 반전 대칭성

만약 포텐셜 ''V''(''x'')가 실수라면, 그 시스템은 시간 반전 대칭성을 갖는다. 이러한 조건 하에서, 만약 ψ(''x'')가 슈뢰딩거 방정식의 해라면, ψ*(''x'') 또한 해가 된다.

시간 반전된 해는 다음과 같다.

:ψ_L*(''x'') = ''A''^*''e''^-''ikx'' + ''B''^*''e''^''ikx''

포텐셜 장벽의 왼편 영역에 대해, 그리고

:ψ_R*(''x'') = ''C''^*''e''^-''ikx'' + ''D''^*''e''^''ikx''

포텐셜 장벽의 오른편 영역에 대해,

여기서 계수 ''B''^*, ''C''^*를 가진 항들은 입사파를 나타내고, 계수 ''A''^*, ''D''^*를 가진 항들은 출사파를 나타낸다.

이들은 다시 ''S''-행렬에 의해 연관된다.

:(A^* D^*) = ( S₁₁ S₁₂ S₂₁ S₂₂ )(B^* C^*)

즉,

:Ψ^*_in = S Ψ^*_out.

이제, 관계식

:Ψ^*_in = S Ψ^*_out, Ψ_out = S Ψ_in

을 함께 사용하면 다음과 같은 조건을 얻는다.

:''S''^*''S'' = I

이 조건은 유니타리티 관계와 함께 시간 반전 대칭성의 결과로서 ''S''-행렬이 대칭임을 의미한다.

:''S''^T = S.

대칭성과 유니타리티를 결합하여, S-행렬은 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.

:( S₁₁ S₁₂ S₂₁ S₂₂ ) = ( e^iφe^iδ · r e^iφ√(1-r²) e^iφ√(1-r²) -e^iφe^-iδ · r ) = e^iφ( e^iδ · r √(1-r²) √(1-r²) -e^-iδ · r )

여기서 δ,φ∈[0;2π] 그리고 r∈[0;1]이다. 따라서 S-행렬은 세 개의 실수 매개변수에 의해 결정된다.

4. 3. 존재 조건

르베그 공간

\mathcal H=\operatorname L^2(\mathbb R^n;\mathbb C)

위의 두 자기 수반 작용소를 고려한다.^[20]

:

H_0=\Delta+V_0(x)

:

H_0=\Delta+V_0(x)+V(x)

:

V_0,V\in\operatorname L^\infty(\mathbb R^n;\mathbb R)

:

\sup_{x\in\mathbb R^n}V(x)(1+x^2)^{k/2}<\infty

여기서

k\in\mathbb R

는 실수이고,

\textstyle\Delta=-\sum_{i=1}^n\partial^2/\partial x_i^2

는 라플라스 연산자이다.

이 경우, 특정 조건에서 완비 과거·미래 파동 연산자와 산란 연산자가 존재한다.^[20]

$k>n$ 인 경우^[20]
$V_0=0$ 이고, $k>1$ 인 경우^[20]

하지만,

V_0=0

이고

V(x)=(1+x^2)^{-2}

인 경우에는 파동 연산자가 존재하지 않는다.^[20]

4. 4. 전달 행렬

전달 행렬

M

은 산란 퍼텐셜의 "오른쪽" 측면의 평면파

C e^{ikx}

와

D e^{-ikx}

를 "왼쪽" 측면의 평면파

A e^{ikx}

와

B e^{-ikx}

에 연결한다.^[5]

:

\begin{pmatrix}C \\ D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}

그리고 그 구성 요소는 S-행렬의 구성 요소에서 다음과 같이 파생될 수 있다:^[6]

:

M_{11}=1/S_{12}^*= 1/S_{21} ^* {,}\  M_{22}= M_{11}^*

,

M_{12}=-S_{11}^*/S_{12}^* = S_{22}/S_{12} {,}\ M_{21} = M_{12}^*

, 여기서 시간 반전 대칭이 가정된다.

시간 반전 대칭의 경우, 전달 행렬

\mathbf{M}

은 세 개의 실수 매개변수로 표현할 수 있다.

:

M = \frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\varphi} & -r\cdot e^{-i\delta} \\ -r\cdot e^{i\delta} & e^{-i\varphi} \end{pmatrix}

:

\delta,\varphi \in [0;2\pi]

및

r\in [0;1]

(인 경우 왼쪽과 오른쪽 사이에는 연결이 없다)

4. 5. 유한 사각 우물

질량 m인 입자가 유한 사각 우물에 접근하는 경우, 1차원 비상대론적 산란 문제는 다음과 같은 퍼텐셜 함수 로 나타낼 수 있다.^[6]

:

V(x) = \begin{cases}

V_0 & \text{for}~~ |x| \le a ~~ (V_0 > 0) \quad\text{and}\\[1ex]

0 & \text{for}~~ |x|>a\end{cases}

이 문제에서 산란은 자유 입자의 파동 묶음을 파수

k>0

인 평면파

A_k\exp(ikx)

로 분해하여 해결할 수 있다. 이는 왼쪽에서 오는 평면파 또는 오른쪽에서 오는 평면파

D_k\exp(-ikx)

에 해당한다.

파수 를 갖는 평면파에 대한 S 행렬은 다음과 같다.^[6]

:

S_{12}=S_{21}=\frac{\exp(-2ika)}{\cos(2la)-i\sin(2la)\frac{l^2+k^2}{2kl}}

그리고

S_{11}=S_{12}\cdot i\sin(2la)\frac{l^2-k^2}{2kl}

이다. 여기서

l = \sqrt{k^2+\frac{2mV_0}{\hbar^2}}

은 사각 우물 내부의 평면파의 파수이다. 에너지 고유값

E_k

는

E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\frac{\hbar^2 l^2}{2m}-V_0

로 일정하게 유지된다.

투과율은

T_k = |S_{21}|^2=|S_{12}|^2

이며, 다음과 같이 계산된다.^[6]

:

T_k = \frac{1}{(\cos(2la))^2+(\sin(2la))^2\frac{(l^2+k^2)^2}{4k^2l^2}}=\frac{1}{1+(\sin(2la))^2\frac{(l^2-k^2)^2}{4 k^2 l^2}}

만약

\sin(2la)=0

이면,

\cos(2la)=\pm 1

이고

S_{11} = S_{22} = 0

이며

|S_{21}| = |S_{12}| = 1

이 된다. 즉, 파수 k를 갖는 평면파는

k^2+\frac{2mV_0}{\hbar^2}=\frac{n^2 \pi^2}{4a^2}

(

n\in\mathbb{N}

) 이면 반사 없이 우물을 통과한다.^[6]

4. 6. 유한 사각 장벽

정사각형 ''장벽''은

|x|\le a

에 대해

V(x)=+V_0 > 0

라는 차이점을 제외하고 정사각형 우물과 유사하다.

장벽에서 멀리 떨어진 평면파의 에너지 고유값

E_k=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}

에 따라 세 가지 다른 경우가 있다(파수 및 ).

$E_k > V_0$ : 이 경우 $l = \sqrt{k^2-\frac{2mV_0}{\hbar^2}}$ 이고 $S_{ij}$ 에 대한 공식은 정사각형 우물의 경우와 동일한 형식을 가지며 투과율은 $T_k = |S_{21}|^2 = |S_{12}|^2 = \frac{1}{1+(\sin(2la))^2 \frac{(l^2 - k^2)^2}{4 k^2 l^2}}$ 이다.

$E_k = V_0$ : 이 경우 $\sqrt{k^2-\frac{2mV_0}{\hbar^2}} = 0$ 이고 파동 함수 $\psi(x)$ 는 장벽 내부에서 $\psi''(x)=0$ 이라는 속성을 가지며, $S_{12}=S_{21}=\frac{\exp(-2ika)}{1-ika}$ 이고 $S_{11} = S_{22} = \frac{-ika\cdot\exp(-2ika)}{1-ika}$ 이다. 투과율은: $T_k=\frac{1}{1+k^2 a^2}$ 이다. 이 중간 경우는 특이점이 아니며 양쪽에서 극한( $l \to 0$ 또는 $\kappa \to 0$ )이다.

$E_k < V_0$ : 이 경우 $\sqrt{k^2-\frac{2mV_0}{\hbar^2}}$ 는 허수이다. 따라서 장벽 내부의 파동 함수는 $\kappa = \sqrt{\frac{2mV_0}{\hbar^2}-k^2}$ 를 갖는 $e^{\kappa x}$ 와 $e^{-\kappa x}$ 성분을 가진다. S-행렬의 해는^[7] $S_{12} = S_{21} = \frac{\exp(-2ika)}{\cosh(2\kappa a)-i\sinh(2\kappa a)\frac{k^2-{\kappa}^2}{2k\kappa}}$ 이다. 마찬가지로 $S_{11}=-i\frac{k^2+\kappa^2}{2k\kappa}\sinh(2\kappa a)\cdot S_{12}$ 이고 이 경우에도 $S_{22}=S_{11}$ 이다. 투과율은 $T_k=|S_{21}|^2=|S_{12}|^2=\frac{1}{1+(\sinh(2\kappa a))^2\frac{(k^2+\kappa^2)^2}{4k^2\kappa^2}}$ 이다.

4. 7. 전송 계수와 반사 계수

전송 계수는 잠재적 장벽의 왼쪽에서, ''D'' = 0일 때 다음과 같다.

:

T_{\rm L}=\frac{|C|^2}{|A|^2} = |S_{21}|^2.

반사 계수는 잠재적 장벽의 왼쪽에서, ''D'' = 0일 때 다음과 같다.

:

R_{\rm L}=\frac{|B|^2}{|A|^2}=|S_{11}|^2.

마찬가지로, 잠재적 장벽의 오른쪽에서 전송 계수는, ''A'' = 0일 때 다음과 같다.

:

T_{\rm R}=\frac{|B|^2}{|D|^2}=|S_{12}|^2.

잠재적 장벽의 오른쪽에서 반사 계수는, ''A'' = 0일 때 다음과 같다.

:

R_{\rm R}=\frac{|C|^2}

4. 8. 1차원 광학 정리

자유 입자의 경우 ''S''-행렬은 특정한 형태를 갖는다.^[8] 0이 아닌 포텐셜의 경우, ''S''-행렬은 에너지의 두 복소 함수 ''r''과 ''t''로 매개변수화된다. 유니타리티로부터 이 함수들 사이의 관계가 유도되며, |r|²+|t|² = Im(t) 와 같다. 이 항등식의 3차원 유사성은 광학 정리로 알려져 있다.

5. 응용

하이젠베르크 묘사에서, 민코프스키 공간에서 질량 간극을 갖는 양자장론의 경우 점근적인 초기 및 나중 상태는 포크 공간을 이룬다. 따라서 초기 상태의 포크 공간과 나중 상태의 포크 공간을 정의할 수 있다. 이들은 자유 해밀토니언의 고유 벡터 기저를 정의한다.산란 연산자는 초기 상태와 나중 상태의 포크 공간 사이의 관계로 표현된다.양자장론에서는 산란 연산자를 보통 상관함수를 통한, LSZ 축약 공식이라는 점근적 급수로 나타낼 수 있다. 상관함수는 파인먼 도형으로 계산할 수 있다.또한, 양자장론에서 산란 연산자는 보통 다음 조건들을 만족시킨다.

진공에서의 항등성
단입자 상태에서의 항등성

이는 물리학적으로 하나의 입자만이 존재하면 산란이 일어나지 않음을 뜻한다.''S''-행렬은 다이슨 급수로 표현될 수 있다. 다이슨 급수는 ''S''-행렬 연산자를 상호작용 해밀토니언 밀도의 시간 정렬 곱의 급수로 표현한다.여기서,

$T[\cdots]$ 는 시간 순서를 나타낸다.
$\; \mathcal{H}_{\rm{int}}(x)$ 는 이론 내의 상호 작용을 설명하는 상호작용 해밀토니안 밀도를 나타낸다.

5. 1. 다이슨 급수

''S''-행렬은 다이슨 급수로 표현될 수 있다. 다이슨 급수는 ''S''-행렬 연산자를 상호작용 해밀토니언 밀도의 시간 정렬 곱의 급수로 표현한다.

S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-i)^n}{n!} \int \cdots \int d^4x_1 d^4x_2 \ldots d^4x_n T [ \mathcal{H}_{\rm{int}}(x_1) \mathcal{H}_{\rm{int}}(x_2) \cdots \mathcal{H}_{\rm{int}}(x_n)]

여기서,

$T[\cdots]$ 는 시간 순서를 나타낸다.
$\; \mathcal{H}_{\rm{int}}(x)$ 는 이론 내의 상호 작용을 설명하는 상호작용 해밀토니안 밀도를 나타낸다.

6. 추가 개념

6. 1. T 행렬

산란 문제를 풀 때 S 행렬 대신

:

\hat{S}=\hat{1}+2i\hat{T}

으로 정의되는 '''T 행렬'''을 사용하기도 한다. T 행렬은 산란 진폭과 직결되어 있어 편리하다.

또한 케일리 변환

:

\hat{S}=\frac{1+i\hat{R}}{1-i\hat{R}}

에 의해 에르미트 연산자

\hat{R}

을 도입하는 경우가 있는데, 이를 '''R 행렬''' 또는 '''리액턴스 행렬'''이라고 한다.

6. 2. 리액턴스 행렬 (R 행렬)

S 행렬 대신 T 행렬을 사용할 수 있다. T 행렬은 다음과 같이 정의된다.

:

\hat{S}=\hat{1}+2i\hat{T}

T 행렬은 산란 진폭과 직결되어 있어 편리하다.

또한 케일리 변환을 통해 에르미트 연산자인 R 행렬을 도입할 수 있다.

:

\hat{S}=\frac{1+i\hat{R}}{1-i\hat{R}}

R 행렬은 리액턴스 행렬이라고도 불린다.

참조

_[1] 논문 Über die Quantenmechanik der Stoßvorgänge https://doi.org/10.1[...] 1927-08-01
_[2] 논문 Dirac in 20th century physics: a centenary assessment https://ufn.ru/en/ar[...] 2003-09-01
_[3] 간행물 On the Mathematical Description of Light Nuclei by the Method of Resonating Group Structure http://link.aps.org/[...] John Archibald Wheeler 1937
_[4] 서적 The Historical Development of Quantum Theory Springer 2001
_[5] 웹사이트 Transfer Matrix Formulation of Scattering Theory in Arbitrary Dimensions https://gemma.ujf.ca[...] 2022-10-29
_[6] 웹사이트 EE201/MSE207 Lecture 6 https://intra.ece.uc[...] 2022-10-29
_[7] 웹사이트 The Potential Barrier https://quantummecha[...] 2022-11-01
_[8] 문서 1961
_[9] 문서 1996
_[10] 문서 1996
_[11] 문서 1996
_[12] 문서 2002
_[13] 문서 2002
_[14] 문서
_[15] 문서
_[16] 문서
_[17] 문서
_[18] 서적 Black Hole War
_[19] 웹인용 에스행렬이론(S-matrix theory)-사이언스피디아 http://www.scienceal[...] 2018-03-01
_[20] 저널 Lectures on scattering theory 2004
_[21] 저널 On the mathematical description of light nuclei by the method of resonating group structure https://archive.org/[...] 1937

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