산란 행렬

1. 개요

산란 행렬(S-행렬)은 양자역학에서 입자 간의 산란 과정을 설명하는 데 사용되는 연산자이다. 1927년 폴 디랙의 연구에서 개념의 초기 요소가 나타났으며, 1937년 존 아치볼드 휠러가 처음 도입했으나, 1940년대 베르너 하이젠베르크가 양자장론의 발산 문제를 해결하기 위해 S-행렬을 발전시켰다. S-행렬은 복소 힐베르트 공간에서 정의되며, 파동 연산자와 산란 연산자를 통해 표현된다. 1차원 양자 역학에서는 전위 장벽에 입사하는 입자의 산란을, 양자장론에서는 상호작용 그림을 사용하여 정의할 수 있다. S-행렬은 유니타리 연산자이며, 로렌츠 불변성을 만족하며, 시간 반전 대칭성을 가질 경우 대칭 행렬이 된다. S-행렬은 다이슨 급수로 표현될 수 있으며, T 행렬, R 행렬과 같은 관련 개념들이 존재한다. S-행렬은 등각장론, 적분 가능 시스템, 끈 이론 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

2. 역사

S-행렬 이론의 초기 요소는 폴 디랙의 1927년 논문 "Über die Quantenmechanik der Stoßvorgänge"(충돌 과정의 양자역학에 관하여)에서 찾아볼 수 있다. 1937년 존 아치볼드 휠러가 S-행렬을 처음으로 소개하였지만, "임의의 특정 해[적분 방정식]의 점근적 거동과 표준 형태의 해의 점근적 거동을 연결하는 계수의 유니타리 행렬"인 '산란 행렬'을 도입했지만, 이를 완전히 발전시키지는 못했다. 1940년대에 베르너 하이젠베르크는 S-행렬의 아이디어를 독립적으로 발전시키고 구체화했다. 당시 양자장론에서 나타나는 문제적인 발산 때문에 하이젠베르크는 이론이 발전하면서 미래의 변화에 영향을 받지 않을 '이론의 본질적인 특징'을 분리하려는 동기를 부여받았다. 그렇게 하면서 그는 유니타리 "특성" S-행렬을 도입하게 되었다.

오늘날, 정확한 S-행렬 결과는 등각장론, 적분 가능 시스템 및 양자장론과 끈 이론의 여러 분야에서 중요하다. S-행렬은 장론적 처리를 대체하는 것이 아니라, 그러한 처리의 최종 결과를 보완하는 역할을 한다.

3. 정의

복소수 힐베르트 공간 $\backslash mathcal\; H$와, 자유 해밀토니언 $H\_0\backslash colon\backslash operatorname\{dom\}H\_0\backslash to\; \backslash mathcal\; H$, $\backslash operatorname\{dom\}H\_0\backslash subseteq\backslash mathcal\; H$, 상호 작용 해밀토니언 $H\backslash colon\backslash operatorname\{dom\}H\backslash to\; \backslash mathcal\; H$, $\backslash operatorname\{dom\}H\backslash subseteq\backslash mathcal\; H$가 주어졌다고 하자.

$H\_0$와 $H$에 대한 파동 연산자(波動演算子, wave operator^영어)는 다음과 같은 극한이다.
:$\backslash operatorname\; W\_\backslash pm(H,H\_0)\backslash colon\backslash mathcal\; H\backslash to\backslash mathcal\; H$
:$\backslash operatorname\; W\_\backslash pm(H,H\_0)=\backslash lim\_\{t\backslash to\backslash infty\}\backslash exp(\backslash pm\backslash mathrm\; iHt)\backslash exp(\backslash mp\backslash mathrm\; iH\_0t)\backslash operatorname\{proj\}\_\{\backslash text\{ac\},H\_0\}$
여기서 극한은 점별 (노름) 수렴 위상에 대한 것이며, 사영 작용소 $\backslash operatorname\{proj\}\_\{\backslash text\{ac\},H\_0\}$는 $H\_0$의 완전 연속 스펙트럼에 대응하는 부분 공간으로의 사영이다. 부호가 −인 경우는 들어오는 파동, +인 경우는 나가는 파동에 해당한다.

$H\_0$와 $H$에 대한 산란 연산자(散亂演算子, scattering operator^영어) 또는 산란 행렬은 다음과 같다.
:$\backslash operatorname\; S(H,H\_0)\backslash colon\backslash mathcal\; H\backslash to\backslash mathcal\; H$
:$\backslash operatorname\; S(H,H\_0)=\backslash operatorname\; W\_+^*(H,H\_0)\backslash operatorname\; W\_-(H,H\_0)$

만약 ± 파동 연산자가 둘 다 완비 파동 연산자라면, 이는 전단사 유니터리 변환
:$(\backslash operatorname\; S(H,H\_0)\backslash restriction\backslash mathcal\; H\_\{\backslash text\{ac\},H\_0\})\backslash colon\; \backslash mathcal\; H\_\{\backslash text\{ac\},H\_0\}\backslash to\; \backslash mathcal\; H\_\{\backslash text\{ac\},H\}$
를 정의한다.

간혹 T 연산자를
:$\backslash operatorname\; T(H,H\_0)=-\backslash mathrm\; i(\backslash operatorname\; S(H,H\_0)-\backslash operatorname\{proj\}\_\{\backslash text\{ac\},H\_0\})$
로 정의한다. 즉, $\backslash mathcal\; H\_\{\backslash text\{ac\},H\_0\}$에 제한하면, $\backslash operatorname\; S=\backslash mathrm\; iT$이다. 이는 산란 과정 가운데 관측할 수 있는 부분 (초기 상태와 다른 부분)을 나타낸다.

하이젠베르크 묘사에서, S-행렬은 자유 입자 입자 상태를 자유 입자 출력 상태 (산란 채널)에 매핑하는 연산자이다. S-연산자는 초기 in 상태에서 최종 out 상태로의 양자 정준 변환을 나타낸다.

3.1. 1차원 양자 역학에서의 정의

1차원 양자 역학에서, 국소화된 전위 장벽 V(x)^영어에 에너지 E^영어를 가진 양자 입자 빔이 산란되는 상황을 고려한다. 이 입자들은 전위 장벽에 왼쪽에서 오른쪽으로 입사한다.

전위 장벽 밖에서의 슈뢰딩거 방정식의 해는 평면파로 주어지며, 다음과 같다.
* 전위 장벽의 왼쪽 영역: \(\psi_{\rm L}(x)= A e^{ikx} + B e^{-ikx}\)
* 전위 장벽의 오른쪽 영역: \(\psi_{\rm R}(x)= C e^{ikx} + D e^{-ikx}\)

여기서 \(k=\sqrt{2m E/\hbar^{2}}\)는 파수 벡터이다. \(A\) 항은 입사파, \(B\) 항은 반사파, \(C\) 항은 출사파를 나타낸다. 입사파가 양의 방향(왼쪽)에서 오므로, \(D\)는 0으로 생략할 수 있다.

"산란 진폭", 즉, 출사파와 입사파의 전이 중첩은 S-행렬을 정의하는 선형 관계이다.
\(\begin{pmatrix} B \\ C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ D \end{pmatrix}\)

이 관계는 \(\Psi_{\rm out}=S \Psi_{\rm in}\)으로 쓸 수 있으며, 여기서
\(\Psi_{\rm out}=\begin{pmatrix}B \\ C \end{pmatrix}, \quad \Psi_{\rm in}=\begin{pmatrix}A \\ D \end{pmatrix}, \qquad S=\begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix}\)이다.

S^영어의 원소는 전위 장벽 V(x)^영어의 산란 특성을 완전히 특징짓는다.

산란 이론에서는 산란 과정을 시초 상태에서 종착 상태로의 전이로 간주하며, 그 전이 확률은 시간 의존 슈뢰딩거 방정식을 사용하여 구한다. 이 방법은 양자역학의 사고방식에 따른 방법이며, 비탄성 산란 등도 다룰 수 있기 때문에 일반성이 있다.

S 행렬은, 시각 t'=-∞ 에서 H0의 고유상태에 있던 계가 상호작용에 의해 t'=+∞ 에서 H0 의 고유상태로 전이하는 확률 진폭을 준다. S 행렬을 구하면, 그 절댓값의 제곱을 취해 전이 확률을 구할 수 있고, 이를 통해 산란 단면적을 계산할 수 있다.

3.2. 양자장론에서의 정의

S-행렬을 정의하는 간단한 방법은 상호작용 그림을 고려하는 것이다. 해밀토니안 $H$를 자유 부분 $H\_0$와 상호작용 $V$로 분리하면($H\; =\; H\_0\; +\; V$), 이 그림에서 연산자는 자유 장 연산자처럼 작동하고 상태 벡터는 상호작용 $V$에 따라 동역학을 갖는다.

자유 초기 상태에서 진화한 상태를 $\backslash left|\backslash Psi(t)\backslash right\backslash rangle$, S-행렬 요소는 최종 상태에 대한 이 상태의 투영 $\backslash left\backslash langle\backslash Phi\_\{\backslash rm\; f\}\backslash right|$으로 정의된다. 따라서,

$S\_\{\backslash rm\; fi\}\; \backslash equiv\; \backslash lim\_\{t\; \backslash rightarrow\; +\backslash infty\}\; \backslash left\backslash langle\backslash Phi\_\{\backslash rm\; f\}|\backslash Psi(t)\backslash right\backslash rangle\; \backslash equiv\; \backslash left\backslash langle\backslash Phi\_\{\backslash rm\; f\}\backslash right|S\backslash left|\backslash Phi\_\{\backslash rm\; i\}\backslash right\backslash rangle,$

여기서 $S$는 S-연산자이다. 상호작용 그림에서 상태를 진화시키는 시간 진화 연산자 $U$는 형식적으로 다음과 같이 알려져 있다.

$U(t,\; t\_0)\; =\; Te^\{-i\backslash int\_\{t\_0\}^t\; d\backslash tau\; V(\backslash tau)\},$

여기서 $T$는 시간 정렬 곱을 나타낸다. 이 연산자로 표현하면,

$S\_\{\backslash rm\; fi\}\; =\; \backslash lim\_\{t\_2\; \backslash rightarrow\; +\backslash infty\}\backslash lim\_\{t\_1\; \backslash rightarrow\; -\backslash infty\}\backslash left\backslash langle\backslash Phi\_\{\backslash rm\; f\}\backslash right|U(t\_2,\; t\_1)\backslash left|\backslash Phi\_\{\backslash rm\; i\}\backslash right\backslash rangle,$

으로부터

$S\; =\; U(\backslash infty,\; -\backslash infty).$

를 얻는다. 전개 $U$에 대한 지식을 사용하면 다이슨 급수가 얻어진다.

$S\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-i)^n\}\{n!\}\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dt\_1\backslash cdots\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dt\_n\; T\backslash left[V(t\_1)\backslash cdots\; V(t\_n)\backslash right],$

또는 $V$가 해밀토니안 밀도 $\backslash mathcal\{H\}$로 주어지면,

$S\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-i)^n\}\{n!\}\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dx\_1^4\backslash cdots\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dx\_n^4\; T\backslash left[\backslash mathcal\{H\}(x\_1)\backslash cdots\; \backslash mathcal\{H\}(x\_n)\backslash right].$

시간 진화 연산자의 특별한 유형인 $S$는 유니타리 연산자이다. 임의의 초기 상태와 임의의 최종 상태에 대해 다음을 얻는다.

$S\_\{\backslash rm\; fi\}\; =\; \backslash left\backslash langle\backslash Phi\_\{\backslash rm\; f\}|S|\backslash Phi\_\{\backslash rm\; i\}\backslash right\backslash rangle\; =\; \backslash left\backslash langle\backslash Phi\_\{\backslash rm\; f\}\; \backslash left|\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-i)^n\}\{n!\}\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dx\_1^4\backslash cdots\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dx\_n^4\; T\backslash left[\backslash mathcal\{H\}(x\_1)\backslash cdots\; \backslash mathcal\{H\}(x\_n)\backslash right]\backslash right|\; \backslash Phi\_\{\backslash rm\; i\}\backslash right\backslash rangle\; .$

산란 과정을 시초 상태에서 종착 상태로의 전이로 간주하는 산란 이론에서는, 그 전이 확률을 시간 의존 슈뢰딩거 방정식을 사용하여 구한다([시간 발전]에 대해서는 [슈뢰딩거 묘사]에서 [상호작용 묘사]로 바꿔 계산하는 경우도 있다). 이 방법은 양자역학의 사고방식에 따른 방법이며, 비탄성 산란 등도 다룰 수 있기 때문에 일반성이 있다.

계의 [시간 발전]은 [상호작용 묘사]로 한다. 즉, 상태의 시간 발전은 "토모나가-슈윙거 방정식"으로 나타낸다.

* 충돌 전의 시초 상태의 시각으로는, 사실상 무한한 과거의 시각 $t\text{'}=-\backslash infty$를 취할 수 있다.
* $t\text{'}=-\backslash infty$에는, 2개의 입사 입자는 충분히 멀리 떨어져 있어, 그 사이에 상호작용은 없다고 생각할 수 있다.
* 단, 입자 간의 상호작용은, 입자 간 거리 $r$의 역수 $1/r$보다 빨리 사라지는 것으로 한다(따라서 입자 사이에 쿨롱력이 작용하는 경우에는, 이하의 이론은 그대로는 적용할 수 없다). 이 조건을 만족하는 한, $t\text{'}=-\backslash infty$에서의 상태로서, 자유 해밀토니안 $\backslash hat\{H\}\_0$의 고유 상태를 선택할 수 있다. 즉 $t\text{'}=-\backslash infty$에서 계의 상태 벡터 $|\backslash psi\_I(t\text{'}=-\backslash infty)\backslash rangle$를 다음과 같이 설정해 둔다.

:$|\backslash psi\_I(t\text{'}=-\backslash infty)\backslash rangle\; =\; |\backslash Phi\_i\backslash rangle$
:$\backslash hat\{H\}\_0\; |\backslash Phi\_i\backslash rangle\; =\; E\_i\; |\backslash Phi\_i\backslash rangle$
:$\backslash langle\backslash Phi\_i|\backslash Phi\_j\backslash rangle\; =\; \backslash delta\_\{i,j\}$

이 때 상태의 시간 변화는 시간 발전 연산자를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$|\backslash psi\_I(t)\backslash rangle=\backslash hat\{U\}(t,-\backslash infty)|\backslash psi\_I(-\backslash infty)\backslash rangle=\backslash hat\{U\}(t,-\backslash infty)|\backslash Phi\_i\backslash rangle$

이 표기는, 처음 시각 $t\text{'}=-\backslash infty$에서 상태 $|\backslash Phi\_i\backslash rangle$에 있던 계가, 시각 $t$에서는 상호작용의 영향에 의해 상태 $|\backslash psi\_I(t)\backslash rangle$로 바뀌어 있음을 나타낸다.

2개의 입자의 충돌이 끝나고, 그 입자들이 서로 멀리 떨어진 시각을 $t=+\backslash infty$라고 하면, 그 상태는

:$|\backslash psi\_I(t\text{'}=+\backslash infty)\backslash rangle=\backslash hat\{U\}(+\backslash infty,-\backslash infty\; )\; |\; \backslash Phi\_i\; \backslash rangle$

로 주어진다. 이 식에 의해 형성된 상태 벡터 $|\backslash psi\_I(t\text{'}=+\backslash infty)\backslash rangle$를, $\backslash hat\{H\_0\}$의 고유 벡터의 완전계 $|\; \backslash Phi\_i\; \backslash rangle$로 전개하고, 그 전개 계수를 $S\_\{j,i\}$라고 쓰면,

:$\backslash langle\; \backslash Phi\_f|\backslash psi\_I(+\backslash infty)\backslash rangle\; =\; \backslash langle\; \backslash Phi\_f|\backslash hat\{U\}(+\backslash infty,-\backslash infty\; )|\; \backslash Phi\_i\; \backslash rangle\; =\; \backslash sum\_j\; \backslash langle\; \backslash Phi\_f|\; \backslash Phi\_j\; \backslash rangle\; S\_\{j,i\}\; =\; \backslash sum\_j\; \backslash delta\_\{f,j\}S\_\{j,i\}=S\_\{f,i\}$

이다. 즉,

:$S\_\{f,i\}\; =\; \backslash langle\; \backslash Phi\_f|\backslash hat\{U\}(+\backslash infty,-\backslash infty\; )|\; \backslash Phi\_i\; \backslash rangle$

는, 시각 $t\text{'}=-\backslash infty$에 $\backslash hat\{H\_0\}$의 고유 상태 $|\; \backslash Phi\_i\; \backslash rangle$에 있던 계가, 상호작용 $\backslash hat\{V\}\_I$에 의해, 시각 시각 $t\text{'}=+\backslash infty$에서 $\backslash hat\{H\_0\}$의 고유 상태 $|\; \backslash Phi\_f\; \backslash rangle$로 전이하는 확률 진폭을 준다. 이 $S\_\{f,i\}$를 S 행렬이라고 부르고, $\backslash hat\{S\}=\backslash hat\{U\}(+\backslash infty,-\backslash infty\; )$를 S 연산자라고 부른다.

산란 현상에 관한 모든 지식은 S 행렬에 의해 기술된다. 즉, S 행렬을 구할 수 있으면 산란 문제는 풀린 셈이 된다. S 행렬을 구하면, 그 절댓값의 2제곱을 취함으로써, 시초 상태 $\backslash psi\_i\backslash rangle$에서 종착 상태 $\backslash psi\_f\backslash rangle$로의 전이 확률 $W\_\{f,i\}$를 구할 수 있다.

:$W\_\{f,i\}=|S\_\{f,i\}|^2$

이것으로부터 산란 단면적을 계산할 수 있다. 따라서, 산란 현상을 상태의 전이로 간주하는 입장에서, S 행렬은 그 중심적인 역할을 하는 중요한 물리량이 된다.

4. 성질

파동 연산자는 다음 성질을 만족시킨다.
:$\backslash operatorname\; W\_\backslash pm(H,H\_0)H\_0=H\backslash operatorname\; W\_\backslash pm(H,H\_0)$
산란 연산자는 자유 해밀토니언 연산자와 가환한다.
:$\backslash operatorname\; S(H,H\_0)H\_0=H\_0\backslash operatorname\; S(H,H\_0)$

위그너 정리에 따라, 파동 연산자가 완비라면, 산란 연산자는 유니터리 작용소이다.
:$\backslash operatorname\; S(H,H\_0)\backslash restriction\backslash mathcal\; H\_\{\backslash text\{ac\},H\_0\}$
는 $\backslash mathcal\; H\_\{\backslash text\{ac\},H\_0\}\backslash to\; \backslash mathcal\; H\_\{\backslash text\{ac\},H\_0\}$ 유니터리 작용소이다.

S-행렬은 다음과 같이 정의된다.
$$S\_\{\backslash beta\backslash alpha\}\; =\; \backslash langle\backslash Psi\_\backslash beta^-|\backslash Psi\_\backslash alpha^+\backslash rangle\; =\; \backslash langle\; \backslash mathrm\{f\},\backslash beta|\; \backslash mathrm\{i\},\backslash alpha\backslash rangle,\; \backslash qquad\; |\backslash mathrm\{f\},\; \backslash beta\backslash rangle\; \backslash in\; \backslash mathcal\; H\_\{\backslash rm\; f\},\; \backslash quad\; |\backslash mathrm\{i\},\; \backslash alpha\backslash rangle\; \backslash in\; \backslash mathcal\; H\_\{\backslash rm\; i\}.$$

여기서 와 는 입자 내용을 나타내는 약어이지만, 개별 레이블은 생략한다. S-행렬과 관련된 것은 다음과 같이 정의되는 S-연산자 이다.
$$\backslash langle\backslash Phi\_\backslash beta|S|\backslash Phi\_\backslash alpha\backslash rangle\; \backslash equiv\; S\_\{\backslash beta\backslash alpha\},$$

여기서 는 자유 입자 상태이다. 이 정의는 상호작용 그림에서 사용된 직접적인 접근 방식과 일치한다. 또한, 단위 동등성으로 인해,
$$\backslash langle\backslash Psi\_\backslash beta^+|S|\backslash Psi\_\backslash alpha^+\backslash rangle\; =\; S\_\{\backslash beta\backslash alpha\}\; =\; \backslash langle\backslash Psi\_\backslash beta^-|S|\backslash Psi\_\backslash alpha^-\backslash rangle.$$

물리적 요구 사항으로 는 유니타리 연산자여야 한다. 이것은 양자장론에서 확률 보존의 진술이다. 그러나
$$\backslash langle\backslash Psi\_\backslash beta^-|S|\backslash Psi\_\backslash alpha^-\backslash rangle\; =\; S\_\{\backslash beta\backslash alpha\}\; =\; \backslash langle\backslash Psi\_\backslash beta^-|\backslash Psi\_\backslash alpha^+\backslash rangle.$$
완전성에 의해,
$$S|\backslash Psi\_\backslash alpha^-\backslash rangle\; =\; |\backslash Psi\_\backslash alpha^+\backslash rangle,$$
따라서 S는 in 상태에서 out 상태로의 유니타리 변환이다.

로렌츠 불변성은 S-행렬에 대한 또 다른 중요한 요구 사항이다. S-연산자는 초기 in 상태에서 최종 out 상태로의 양자 정준 변환을 나타낸다. 더욱이, 는 진공 상태를 불변으로 유지하고 in-공간 장을 out-공간 장으로 변환한다.
$$S\backslash left|0\backslash right\backslash rangle\; =\; \backslash left|0\backslash right\backslash rangle$$
$$\backslash phi\_\backslash mathrm\{f\}=S\backslash phi\_\backslash mathrm\{i\}\; S^\{-1\}\; ~.$$

생성 및 소멸 연산자를 사용하면 다음과 같다.
$$a\_\{\backslash rm\; f\}(p)=Sa\_\{\backslash rm\; i\}(p)S^\{-1\},\; a\_\{\backslash rm\; f\}^\backslash dagger(p)=Sa\_\{\backslash rm\; i\}^\backslash dagger(p)S^\{-1\},$$
따라서
$$\backslash begin\{align\}$$
S|\mathrm{i}, k_1, k_2, \ldots, k_n\rangle
&= Sa_{\rm i}^\dagger(k_1)a_{\rm i}^\dagger(k_2) \cdots a_{\rm i}^\dagger(k_n)|0\rangle =
Sa_{\rm i}^\dagger(k_1)S^{-1}Sa_{\rm i}^\dagger(k_2)S^{-1} \cdots Sa_{\rm i}^\dagger(k_n)S^{-1}S|0\rangle \\[1ex]
&=a_{\rm o}^\dagger(k_1)a_{\rm o}^\dagger(k_2) \cdots a_{\rm o}^\dagger(k_n)S|0\rangle
=a_{\rm o}^\dagger(k_1)a_{\rm o}^\dagger(k_2) \cdots a_{\rm o}^\dagger(k_n)|0\rangle
=|\mathrm{o}, k_1, k_2, \ldots, k_n\rangle.
\end{align}
가 out 상태에 왼쪽에 작용할 때 유사한 표현식이 유지된다. 즉, S-행렬은 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$S\_\{\backslash beta\backslash alpha\}\; =\; \backslash langle\; \backslash mathrm\{o\},\; \backslash beta|\backslash mathrm\{i\},\; \backslash alpha\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; \backslash mathrm\{i\},\; \backslash beta|S|\backslash mathrm\{i\},\; \backslash alpha\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; \backslash mathrm\{o\},\; \backslash beta|S|\backslash mathrm\{o\},\; \backslash alpha\; \backslash rangle.$$

가 상호작용을 올바르게 설명한다면, 이러한 속성도 참이어야 한다.
* 시스템이 운동량 고유 상태 의 단일 입자로 구성된 경우, 이다. 이것은 위의 계산에서 특수한 경우로 따른다.
* S-행렬 요소는 출력 상태가 입력 상태와 동일한 총 운동량을 갖는 경우에만 0이 아닐 수 있다. 이것은 S-행렬의 필요한 로렌츠 불변성에서 따른다.

4.1. 유니타리 성질

S-행렬의 유니타리 성질은 양자역학에서 확률 전류의 보존과 직접적으로 관련이 있다.

파동 함수 ψ(x)의 확률 전류 밀도 J는 다음과 같이 정의된다.

$$J\; =\; \backslash frac\{\backslash hbar\}\{2mi\}\backslash left(\backslash psi^*\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\; \}\{\backslash partial\; x\}-\; \backslash psi\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi^*\; \}\{\backslash partial\; x\}\; \backslash right)\; .$$

장벽의 왼쪽에 있는 $\backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}(x)$의 확률 전류 밀도 $J\_\{\backslash rm\; L\}(x)$는

$$J\_\{\backslash rm\; L\}(x)=\backslash frac\{\backslash hbar\; k\}\{m\}\backslash left(|A|^2-|B|^2\backslash right),$$

이며, 장벽의 오른쪽에 있는 $\backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}(x)$의 확률 전류 밀도 $J\_\{\backslash rm\; R\}(x)$는

$$J\_\{\backslash rm\; R\}(x)=\backslash frac\{\backslash hbar\; k\}\{m\}\backslash left(|C|^2-|D|^2\backslash right).$$

확률 전류의 보존을 위해 이다. 이는 S-행렬이 유니타리 행렬임을 의미한다.

$$$$
\begin{align}
& J_{\rm L} = J_{\rm R} \\
& |A|^2-|B|^2=|C|^2-|D|^2 \\
& |B|^2+|C|^2=|A|^2+|D|^2 \\
& \Psi_\text{out}^\dagger \Psi_\text{out}=\Psi_\text{in}^\dagger \Psi_\text{in} \\
& \Psi_\text{in}^\dagger S^\dagger S \Psi_\text{in}=\Psi_\text{in}^\dagger \Psi_\text{in} \\
& S^\dagger S = I\\
\end{align}

4.2. 시간 반전 대칭성

만약 포텐셜 V(x)가 실수라면, 그 시스템은 시간 반전 대칭성을 갖는다. 이러한 조건 하에서, 만약 ψ(x)가 슈뢰딩거 방정식의 해라면, ψ*(x) 또한 해가 된다.

시간 반전된 해는 다음과 같다.

:ψ_L*(x) = A^*e^-ikx + B^*e^ikx

포텐셜 장벽의 왼편 영역에 대해, 그리고

:ψ_R*(x) = C^*e^-ikx + D^*e^ikx

포텐셜 장벽의 오른편 영역에 대해,

여기서 계수 B^*, C^*를 가진 항들은 입사파를 나타내고, 계수 A^*, D^*를 가진 항들은 출사파를 나타낸다.

이들은 다시 S-행렬에 의해 연관된다.

:(A^* D^*) = ( S₁₁ S₁₂ S₂₁ S₂₂ )(B^* C^*)

즉,

:Ψ^*_in = S Ψ^*_out.

이제, 관계식

:Ψ^*_in = S Ψ^*_out, Ψ_out = S Ψ_in

을 함께 사용하면 다음과 같은 조건을 얻는다.

:S^*S = I

이 조건은 유니타리티 관계와 함께 시간 반전 대칭성의 결과로서 S-행렬이 대칭임을 의미한다.

:S^T = S.

대칭성과 유니타리티를 결합하여, S-행렬은 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.

:( S₁₁ S₁₂ S₂₁ S₂₂ ) = ( e^iφe^iδ · r e^iφ√(1-r²) e^iφ√(1-r²) -e^iφe^-iδ · r ) = e^iφ( e^iδ · r √(1-r²) √(1-r²) -e^-iδ · r )

여기서 δ,φ∈[0;2π] 그리고 r∈[0;1]이다. 따라서 S-행렬은 세 개의 실수 매개변수에 의해 결정된다.

4.3. 존재 조건

르베그 공간 $\backslash mathcal\; H=\backslash operatorname\; L^2(\backslash mathbb\; R^n;\backslash mathbb\; C)$ 위의 두 자기 수반 작용소를 고려한다.
:$H\_0=\backslash Delta+V\_0(x)$
:$H\_0=\backslash Delta+V\_0(x)+V(x)$
:$V\_0,V\backslash in\backslash operatorname\; L^\backslash infty(\backslash mathbb\; R^n;\backslash mathbb\; R)$
:
여기서 $k\backslash in\backslash mathbb\; R$는 실수이고, $\backslash textstyle\backslash Delta=-\backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash partial^2/\backslash partial\; x\_i^2$는 라플라스 연산자이다.

이 경우, 특정 조건에서 완비 과거·미래 파동 연산자와 산란 연산자가 존재한다.
* $k>n$인 경우
* $V\_0=0$이고, $k>1$인 경우

하지만, $V\_0=0$이고 $V(x)=(1+x^2)^\{-2\}$인 경우에는 파동 연산자가 존재하지 않는다.

4.4. 전달 행렬

전달 행렬 $M$은 산란 퍼텐셜의 "오른쪽" 측면의 평면파 $C\; e^\{ikx\}$와 $D\; e^\{-ikx\}$를 "왼쪽" 측면의 평면파 $A\; e^\{ikx\}$와 $B\; e^\{-ikx\}$에 연결한다.

:

그리고 그 구성 요소는 S-행렬의 구성 요소에서 다음과 같이 파생될 수 있다:

:$M\_\{11\}=1/S\_\{12\}^*=\; 1/S\_\{21\}\; ^*\; \{,\}\backslash \; M\_\{22\}=\; M\_\{11\}^*$, $M\_\{12\}=-S\_\{11\}^*/S\_\{12\}^*\; =\; S\_\{22\}/S\_\{12\}\; \{,\}\backslash \; M\_\{21\}\; =\; M\_\{12\}^*$, 여기서 시간 반전 대칭이 가정된다.

시간 반전 대칭의 경우, 전달 행렬 $\backslash mathbf\{M\}$은 세 개의 실수 매개변수로 표현할 수 있다.

:
:$\backslash delta,\backslash varphi\; \backslash in\; [0;2\backslash pi]$ 및 $r\backslash in\; [0;1]$ (인 경우 왼쪽과 오른쪽 사이에는 연결이 없다)

4.5. 유한 사각 우물

질량 m인 입자가 유한 사각 우물에 접근하는 경우, 1차원 비상대론적 산란 문제는 다음과 같은 퍼텐셜 함수 로 나타낼 수 있다.

:$V(x)\; =\; \backslash begin\{cases\}$
-V_0 & \text{for}~~ |x| \le a ~~ (V_0 > 0) \quad\text{and}\\[1ex]
0 & \text{for}~~ |x|>a
\end{cases}

이 문제에서 산란은 자유 입자의 파동 묶음을 파수 $k>0$인 평면파 $A\_k\backslash exp(ikx)$로 분해하여 해결할 수 있다. 이는 왼쪽에서 오는 평면파 또는 오른쪽에서 오는 평면파 $D\_k\backslash exp(-ikx)$에 해당한다.

파수 를 갖는 평면파에 대한 S 행렬은 다음과 같다.

:$S\_\{12\}=S\_\{21\}=\backslash frac\{\backslash exp(-2ika)\}\{\backslash cos(2la)-i\backslash sin(2la)\backslash frac\{l^2+k^2\}\{2kl\}\}$

그리고 $S\_\{11\}=S\_\{12\}\backslash cdot\; i\backslash sin(2la)\backslash frac\{l^2-k^2\}\{2kl\}$ 이다. 여기서 $l\; =\; \backslash sqrt\{k^2+\backslash frac\{2mV\_0\}\{\backslash hbar^2\}\}$ 은 사각 우물 내부의 평면파의 파수이다. 에너지 고유값 $E\_k$는 $E\_k\; =\; \backslash frac\{\backslash hbar^2\; k^2\}\{2m\}=\backslash frac\{\backslash hbar^2\; l^2\}\{2m\}-V\_0$ 로 일정하게 유지된다.

투과율은 $T\_k\; =\; |S\_\{21\}|^2=|S\_\{12\}|^2$이며, 다음과 같이 계산된다.

:$T\_k\; =\; \backslash frac\{1\}\{(\backslash cos(2la))^2+(\backslash sin(2la))^2\backslash frac\{(l^2+k^2)^2\}\{4k^2l^2\}\}=\backslash frac\{1\}\{1+(\backslash sin(2la))^2\backslash frac\{(l^2-k^2)^2\}\{4\; k^2\; l^2\}\}$

만약 $\backslash sin(2la)=0$ 이면, $\backslash cos(2la)=\backslash pm\; 1$ 이고 $S\_\{11\}\; =\; S\_\{22\}\; =\; 0$ 이며 $|S\_\{21\}|\; =\; |S\_\{12\}|\; =\; 1$ 이 된다. 즉, 파수 k를 갖는 평면파는 $k^2+\backslash frac\{2mV\_0\}\{\backslash hbar^2\}=\backslash frac\{n^2\; \backslash pi^2\}\{4a^2\}$ ($n\backslash in\backslash mathbb\{N\}$) 이면 반사 없이 우물을 통과한다.

4.6. 유한 사각 장벽

정사각형 장벽은 $|x|\backslash le\; a$에 대해 $V(x)=+V\_0\; >\; 0$라는 차이점을 제외하고 정사각형 우물과 유사하다.

장벽에서 멀리 떨어진 평면파의 에너지 고유값 $E\_k=\backslash frac\{\backslash hbar^2\; k^2\}\{2m\}$에 따라 세 가지 다른 경우가 있다(파수 및 ).

* $E\_k\; >\; V\_0$: 이 경우 $l\; =\; \backslash sqrt\{k^2-\backslash frac\{2mV\_0\}\{\backslash hbar^2\}\}$이고 $S\_\{ij\}$에 대한 공식은 정사각형 우물의 경우와 동일한 형식을 가지며 투과율은 $T\_k\; =\; |S\_\{21\}|^2\; =\; |S\_\{12\}|^2\; =\; \backslash frac\{1\}\{1+(\backslash sin(2la))^2\; \backslash frac\{(l^2\; -\; k^2)^2\}\{4\; k^2\; l^2\}\}$이다.

* $E\_k\; =\; V\_0$: 이 경우 $\backslash sqrt\{k^2-\backslash frac\{2mV\_0\}\{\backslash hbar^2\}\}\; =\; 0$이고 파동 함수 $\backslash psi(x)$는 장벽 내부에서 $\backslash psi\text{'}\text{'}(x)=0$이라는 속성을 가지며, $S\_\{12\}=S\_\{21\}=\backslash frac\{\backslash exp(-2ika)\}\{1-ika\}$ 이고 $S\_\{11\}\; =\; S\_\{22\}\; =\; \backslash frac\{-ika\backslash cdot\backslash exp(-2ika)\}\{1-ika\}$이다. 투과율은: $T\_k=\backslash frac\{1\}\{1+k^2\; a^2\}$이다. 이 중간 경우는 특이점이 아니며 양쪽에서 극한($l\; \backslash to\; 0$ 또는 $\backslash kappa\; \backslash to\; 0$)이다.

* : 이 경우 $\backslash sqrt\{k^2-\backslash frac\{2mV\_0\}\{\backslash hbar^2\}\}$는 허수이다. 따라서 장벽 내부의 파동 함수는 $\backslash kappa\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{2mV\_0\}\{\backslash hbar^2\}-k^2\}$를 갖는 $e^\{\backslash kappa\; x\}$와 $e^\{-\backslash kappa\; x\}$ 성분을 가진다. S-행렬의 해는 $S\_\{12\}\; =\; S\_\{21\}\; =\; \backslash frac\{\backslash exp(-2ika)\}\{\backslash cosh(2\backslash kappa\; a)-i\backslash sinh(2\backslash kappa\; a)\backslash frac\{k^2-\{\backslash kappa\}^2\}\{2k\backslash kappa\}\}$이다. 마찬가지로 $S\_\{11\}=-i\backslash frac\{k^2+\backslash kappa^2\}\{2k\backslash kappa\}\backslash sinh(2\backslash kappa\; a)\backslash cdot\; S\_\{12\}$이고 이 경우에도 $S\_\{22\}=S\_\{11\}$이다. 투과율은 $T\_k=|S\_\{21\}|^2=|S\_\{12\}|^2=\backslash frac\{1\}\{1+(\backslash sinh(2\backslash kappa\; a))^2\backslash frac\{(k^2+\backslash kappa^2)^2\}\{4k^2\backslash kappa^2\}\}$이다.

4.7. 전송 계수와 반사 계수

전송 계수는 잠재적 장벽의 왼쪽에서, D = 0일 때 다음과 같다.

:$$T\_\{\backslash rm\; L\}=\backslash frac\{|C|^2\}\{|A|^2\}\; =\; |S\_\{21\}|^2.$$

반사 계수는 잠재적 장벽의 왼쪽에서, D = 0일 때 다음과 같다.

:$$R\_\{\backslash rm\; L\}=\backslash frac\{|B|^2\}\{|A|^2\}=|S\_\{11\}|^2.$$

마찬가지로, 잠재적 장벽의 오른쪽에서 전송 계수는, A = 0일 때 다음과 같다.

:$$T\_\{\backslash rm\; R\}=\backslash frac\{|B|^2\}\{|D|^2\}=|S\_\{12\}|^2.$$

잠재적 장벽의 오른쪽에서 반사 계수는, A = 0일 때 다음과 같다.

:$$R\_\{\backslash rm\; R\}=\backslash frac\{|C|^2\}\{|D|^2\}=|S\_\{22\}|^2.$$

전송 계수와 반사 계수 간의 관계는 다음과 같다.

:$$T\_\{\backslash rm\; L\}+R\_\{\backslash rm\; L\}=1$$

그리고

:$$T\_\{\backslash rm\; R\}+R\_\{\backslash rm\; R\}=1.$$

이 항등식은 S-행렬의 유니타리 속성의 결과이다.

시간 반전 대칭성이 있는 경우, S-행렬은 대칭이며 따라서 $T\_\{\backslash rm\; L\}=|S\_\{21\}|^2=|S\_\{12\}|^2=T\_\{\backslash rm\; R\}$ 및 $R\_\{\backslash rm\; L\}\; =\; R\_\{\backslash rm\; R\}$이다.

4.8. 1차원 광학 정리

자유 입자의 경우 S-행렬은 특정한 형태를 갖는다. 0이 아닌 포텐셜의 경우, S-행렬은 에너지의 두 복소 함수 r과 t로 매개변수화된다. 유니타리티로부터 이 함수들 사이의 관계가 유도되며, |r|²+|t|² = Im(t) 와 같다. 이 항등식의 3차원 유사성은 광학 정리로 알려져 있다.

5. 응용

하이젠베르크 묘사에서, 민코프스키 공간에서 질량 간극을 갖는 양자장론의 경우 점근적인 초기 및 나중 상태는 포크 공간을 이룬다. 따라서 초기 상태의 포크 공간과 나중 상태의 포크 공간을 정의할 수 있다. 이들은 자유 해밀토니언의 고유 벡터 기저를 정의한다.

산란 연산자는 초기 상태와 나중 상태의 포크 공간 사이의 관계로 표현된다.

양자장론에서는 산란 연산자를 보통 상관함수를 통한, LSZ 축약 공식이라는 점근적 급수로 나타낼 수 있다. 상관함수는 파인먼 도형으로 계산할 수 있다.

또한, 양자장론에서 산란 연산자는 보통 다음 조건들을 만족시킨다.

* 진공에서의 항등성
* 단입자 상태에서의 항등성

이는 물리학적으로 하나의 입자만이 존재하면 산란이 일어나지 않음을 뜻한다.

S-행렬은 다이슨 급수로 표현될 수 있다. 다이슨 급수는 S-행렬 연산자를 상호작용 해밀토니언 밀도의 시간 정렬 곱의 급수로 표현한다.

여기서,

* $T[\backslash cdots]$는 시간 순서를 나타낸다.
* $\backslash ;\; \backslash mathcal\{H\}\_\{\backslash rm\{int\}\}(x)$는 이론 내의 상호 작용을 설명하는 상호작용 해밀토니안 밀도를 나타낸다.

5.1. 다이슨 급수

S-행렬은 다이슨 급수로 표현될 수 있다. 다이슨 급수는 S-행렬 연산자를 상호작용 해밀토니언 밀도의 시간 정렬 곱의 급수로 표현한다.

$$S\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-i)^n\}\{n!\}\; \backslash int\; \backslash cdots\; \backslash int\; d^4x\_1\; d^4x\_2\; \backslash ldots\; d^4x\_n\; T\; [\; \backslash mathcal\{H\}\_\{\backslash rm\{int\}\}(x\_1)\; \backslash mathcal\{H\}\_\{\backslash rm\{int\}\}(x\_2)\; \backslash cdots\; \backslash mathcal\{H\}\_\{\backslash rm\{int\}\}(x\_n)]$$

여기서,
* $T[\backslash cdots]$는 시간 순서를 나타낸다.
* $\backslash ;\; \backslash mathcal\{H\}\_\{\backslash rm\{int\}\}(x)$는 이론 내의 상호 작용을 설명하는 상호작용 해밀토니안 밀도를 나타낸다.

6. 추가 개념

6.1. T 행렬

산란 문제를 풀 때 S 행렬 대신

:$\backslash hat\{S\}=\backslash hat\{1\}+2i\backslash hat\{T\}$

으로 정의되는 T 행렬을 사용하기도 한다. T 행렬은 산란 진폭과 직결되어 있어 편리하다.

또한 케일리 변환

:$\backslash hat\{S\}=\backslash frac\{1+i\backslash hat\{R\}\}\{1-i\backslash hat\{R\}\}$

에 의해 에르미트 연산자 $\backslash hat\{R\}$을 도입하는 경우가 있는데, 이를 R 행렬 또는 리액턴스 행렬이라고 한다.

6.2. 리액턴스 행렬 (R 행렬)

S 행렬 대신 T 행렬을 사용할 수 있다. T 행렬은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash hat\{S\}=\backslash hat\{1\}+2i\backslash hat\{T\}$

T 행렬은 산란 진폭과 직결되어 있어 편리하다.

또한 케일리 변환을 통해 에르미트 연산자인 R 행렬을 도입할 수 있다.

:$\backslash hat\{S\}=\backslash frac\{1+i\backslash hat\{R\}\}\{1-i\backslash hat\{R\}\}$

R 행렬은 리액턴스 행렬이라고도 불린다.