열잡음

3. 이상적인 저항의 잡음 (중간 주파수)

존슨의 실험에 따르면, 중간 주파수에서 이상적인 저항의 열잡음은 주파수 의존성이 없는 순수 저항으로, 극단적인 주파수와 온도가 아닌 경우에 적용된다.^[5] 일반적인 전자 장치는 더 제한된 대역폭에서 작동하므로, 존슨의 방정식이 종종 사용되지만, 더 정확한 일반 형태는 복소 임피던스와 양자 효과를 고려한다.

3. 1. 평균 제곱 전압

3. 2. 전력 스펙트럼 밀도

3. 3. RMS 잡음 전압

3. 4. RMS 잡음 전류

4. 축전기의 열잡음

이상적인 축전기는 열잡음이 없지만, 저항과 축전기를 함께 사용하는 RC 회로(일반적인 저역 통과 필터)에는 'kTC 잡음'이 발생한다. kTC 잡음은 저항(R) 값과 관계없이 발생하며, RC 회로의 잡음 대역폭은 $\backslash Delta\; f\; \{=\}\; \backslash tfrac\{1\}\{4RC\}$이다.^[7]

RC 필터에서 발생하는 평균 제곱 및 RMS 잡음 전압은 다음과 같다.^[8]

:$$

\overline {V_n^2} = {4 k_\text{B} T R \over 4 R C} = {k_\text{B} T \over C}



:$$

V_\text{rms} = \sqrt{4 k_\text{B} T R \over 4 R C} = \sqrt{ k_\text{B} T \over C }.



잡음 전하 $Q\_n$는 정전용량에 전압을 곱한 값으로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$Q\_n\; =\; C\; \backslash ,\; V\_n\; =\; C\; \backslash sqrt\{\; k\_\backslash text\{B\}\; T\; \backslash over\; C\; \}\; =\; \backslash sqrt\{\; k\_\backslash text\{B\}\; T\; C\; \}$

:$$

\overline{Q_n^2} = C^2 \, \overline{V_n^2} = C^2 {k_\text{B} T \over C} = k_\text{B} T C



이 전하 잡음이 "kTC 잡음"이라는 용어의 기원이다.

300 K에서 정전용량에 따른 열잡음은 아래 표와 같다.

4. 1. kTC 잡음

4. 2. 리셋 노이즈

5. 온도 측정법

NIST는 2017년 존슨 잡음 온도 측정법을 사용하여 불확실성이 3ppm 미만인 볼츠만 상수를 측정했다.^[10] 이는 조셉슨 전압 표준과 양자 홀 저항기를 물의 삼중점 온도에서 유지하여 달성했다. 전압은 100일 동안 측정되어 통합되었다.^[10]

2017년 당시 물의 삼중점 온도는 정의상 273.16 K였고 볼츠만 상수는 실험적으로 측정 가능했다. 음향 기체 온도 측정법의 불확실성이 0.2 ppm에 도달했고 존슨 잡음은 2.8 ppm이었기 때문에 이는 재정의의 전제 조건을 충족했다. 2019년 재정의 이후 켈빈은 볼츠만 상수가 1.380649×10|1.380649×10^−23영어 J⋅K⁻¹이 되도록 정의되었고, 물의 삼중점은 실험적으로 측정 가능하게 되었다.^[11][12][13]

6. 인덕터의 열잡음

인덕터는 축전기의 쌍대이다. kTC 잡음과 유사하게, 인덕터 $L$을 가진 저항기는 저항과 무관한 잡음 ''전류''를 생성한다.^[14]

:$\backslash overline\; \{I\_n^2\}\; =\; \{k\_\backslash text\{B\}\; T\; \backslash over\; L\}\; \backslash ,\; .$

7. 최대 잡음 전력 전달

저항 ''R''_S에서 발생하는 잡음은 나머지 회로로 전달될 수 있다. 최대 전력 전달은 나머지 회로의 테브낭 등가 회로 저항 ''R''_L이 ''R''_S와 일치할 때 발생한다.^[14] 이 경우, 두 저항 각각은 자체와 다른 저항 모두에서 잡음을 소산한다. 이때 두 저항 중 어느 하나에 걸리는 전압이 전체 소스 전압의 절반밖에 되지 않기 때문에 최대 잡음 전력 전달은 다음과 같다.

: ''P''_max = ''k''_B''T''Δ''f''

이 최댓값은 저항 값과 무관하며, '사용 가능한 잡음 전력'이라고 불린다.^[14]

7. 1. 사용 가능한 잡음 전력 (dBm)

8. 나이퀴스트의 이상적인 저항 잡음 유도

나이퀴스트는 1928년 논문 "도체 내 전하의 열적 요동"에서 볼츠만과 맥스웰의 등분배 정리를 사용하여 존슨의 실험 결과를 설명했다.^[6] 그는 긴 손실 없는 송전선에서 각 정상파 진동 모드의 에너지 기여를 합산하는 방식으로 열잡음 공식을 유도했다.

나이퀴스트의 사고 실험에서는 두 개의 동일한 저항($R\_1\; =\; R\_2$)이 연결된 긴 손실 없는 송전선을 가정했다. 이때, $R\_1$에서 발생하여 $R\_2$로 흡수되는 대역폭 $\backslash Delta\; f$에서의 총 평균 전력은 다음과 같이 계산되었다.^[6]

:$\backslash overline\{P\_1\}\; =\; k\_\{\backslash rm\; B\}\; T\; \backslash ,\; \backslash Delta\; f\; \backslash ,\; .$

옴의 법칙을 적용하면, $V\_1$($R\_1$만의 열 전압 잡음)에서 결합된 저항을 통해 흐르는 전류는 $I\_1\; =\; \backslash tfrac\{V\_1\}\{R\_1\; +\; R\_2\}\; =\; \backslash tfrac\{V\_1\}\{2R\_1\}$이다. 따라서 $R\_1$에서 $R\_2$로 전달되는 전력은 이 전류의 제곱에 $R\_2$를 곱한 값으로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[6]

:$P\_1\; =\; I\_1^2\; R\_2\; =\; I\_1^2\; R\_1\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{V\_1\}\{2R\_1\}\; \backslash right)^2\; R\_1\; =\; \backslash frac\{V\_1^2\}\{4R\_1\}\; \backslash ,\; .$

이 $P\_1$을 위에서 구한 평균 전력 $\backslash overline\{P\_1\}$과 같다고 놓으면, 해당 대역폭에서 $V\_1^2$의 평균값을 얻을 수 있다.

:$\backslash overline\{V\_1^2\}\; =\; 4\; k\_\backslash text\{B\}\; T\; R\_1\; \backslash ,\; \backslash Delta\; f\; \backslash ,\; .$

나이퀴스트는 이와 유사한 방식으로 같지 않은 임피던스와 복소 임피던스에도 적용되는 일반화된 표현식을 제시했다. 그는 고전 이론에 따라 $k\_\{\backslash rm\; B\}\; T$를 사용했지만, 논문 말미에는 플랑크 상수 $h$를 포함하는 더 복잡한 표현식(양자 역학 이론)을 사용하려는 시도도 했다.^[6]

9. 일반화된 형태

앞서 설명한 전압 잡음은 저주파에서 중주파까지의 순수 저항 부품에 대한 특수한 경우이다. 일반적으로 열 전기 잡음은 플럭튜에이션-소산 정리의 결과로, 더 일반적인 여러 전기적 경우에서 저항 응답과 관련이 있다. 이러한 일반화는 고려 중인 전기 부품이 순전히 수동적이고 선형적인 경우에만 적용된다는 공통적인 제한 사항을 공유한다.

9. 1. 복소 임피던스

9. 2. 양자 효과 (고주파 또는 저온)

9. 2. 1. 플랑크 법칙과의 관계

9. 3. 다중 포트 전기 네트워크

참조

_[1] 서적 Digital Communications https://books.google[...] Sprinter
_[2] 학술지 The early history of thermal noise: The long way to paradigm change https://onlinelibrar[...] 2012-08-15
_[3] 논문 History of Noise Research https://www.scienced[...] Academic Press 2024-03-16
_[4] 학술지 Minutes of the Philadelphia Meeting December 28, 29, 30, 1926 1927
_[5] 학술지 Thermal Agitation of Electricity in Conductors 1928
_[6] 학술지 Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors 1928
_[7] 웹사이트 Noise Sources in Bulk CMOS http://web.mit.edu/k[...]
_[8] 학술지 White noise in MOS transistors and resistors http://users.ece.gat[...] 1993-11
_[9] 학술지 The status of Johnson noise thermometry https://iopscience.i[...] 1996-08
_[10] 학술지 An improved electronic determination of the Boltzmann constant by Johnson noise thermometry 2017-08-01
_[11] 보도자료 Noise, Temperature, and the New SI https://www.nist.gov[...] 2016-11-15
_[12] 보도자료 NIST 'Noise Thermometry' Yields Accurate New Measurements of Boltzmann Constant https://www.nist.gov[...] 2017-06-29
_[13] 학술지 The Boltzmann project 2018
_[14] 학술지 Physical Sources of Noise https://ieeexplore.i[...]
_[15] 서적 RF Design Guide Artech House
_[16] 서적 Electronic Communication https://books.google[...] Prentice Hall PTR 1994
_[17] 학술지 Irreversibility and Generalized Noise https://link.aps.org[...] 1951-07-01
_[18] 서적 Fundamentals of Microwave Photonics https://books.google[...] John Wiley & Sons 2015-01-30
_[19] 학술지 The Measurement of Thermal Radiation at Microwave Frequencies 1946-07-01
_[20] 학술지 Nyquist's and Thevenin's Theorems Generalized for Nonreciprocal Linear Networks
_[21] 서적 計測のためのアナログ回路設計 CQ出版社
_[22] 서적 基礎電気電子計測 コロナ社
_[23] 서적 Digital Communications https://books.google[...] Sprinter