오일러 특성류

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 톰 동형에 의한 정의
- 2.2. 장해 이론에 의한 정의
3. 성질
- 3.1. 다른 특성류와의 관계
- 3.2. 매끄러운 다양체의 경우
4. 예시
- 4.1. 구면
- 4.2. 원
5. 역사
참조

1. 개요

오일러 특성류는 정수 코호몰로지 군의 원소로, 벡터 다발의 가향성으로부터 유도되며, 톰 동형사상과 장해 이론을 통해 정의된다. 오일러 특성류는 함자성, 합에 대한 분해, 방향성과 같은 성질을 가지며, 어디서도 0이 아닌 단면을 갖는 경우 0이 된다. 다른 특성류와 밀접한 관련이 있으며, 슈티펠-휘트니 특성류, 천 특성류, 폰트랴긴 특성류와 연결된다. 특히, 매끄러운 다양체의 경우 오일러 특성류는 오일러 지표와 관련되며, 구면과 같은 예시를 통해 그 특징을 확인할 수 있다. 르네 톰에 의해 발견되었으며, 슈티펠-휘트니 특성류를 일반화한 특성류가 오일러 지표와 관련이 있다는 것을 밝혀 '오일러 특성류'라는 이름이 붙었다.

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오일러 특성류

2. 정의

오일러 특성류 $e(E)$ 는 정수 코호몰로지 군

: $H^r(X; \mathbf{Z})$

의 원소이다.

오일러 특성류는 다음과 같이 구성된다. 우선, $E$ 의 가향은 각 섬유(파이버) $F$ 의 코호몰로지

: $H^r(F, F \setminus \{0\}; \mathbf{Z})$

의 생성자를 연속적으로 선택하는 것과 같다. 이는 상대적인 개념이다.

톰 동형사상에 의해, 이 코호몰로지는 영 단면 $E_0$ 의 여집합 $E\setminus E_0$ 에 상대적인 $E$ 의 코호몰로지 안의 '''가향 클래스'''(orientation class)

: $u \in H^r(E, E \setminus E_0; \mathbf{Z})$

를 유도한다.

포함 관계

: $(X, \emptyset) \hookrightarrow (E, \emptyset) \hookrightarrow (E, E \setminus E_0)$

에서 $X$ 는 영 단면으로 $E$ 에 포함된다. 이는 사상

: $H^r(E, E \setminus E_0; \mathbf{Z}) \to H^r(E; \mathbf{Z}) \to H^r(X; \mathbf{Z})$

를 유도한다.

오일러 류 ''e''(''E'')는 이들 사상의 합성으로 인한 ''u''의 상이다. 즉, 가향 클래스 ''u''를 위 사상에 따라 보낸 결과가 오일러 류이다.

2. 1. 톰 동형에 의한 정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

위상 공간 $X$
유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 을 올로 하는 $X$ 위의 벡터 다발 $E$ 와 사영 $\pi\colon E\to X$
$E$ 위에 정의된 방향. 다시 말해 각 $x\in X$ 에 대하여 정수 계수 상대 코호몰로지류 $\operatorname H^n(E_x,E_x\setminus\{0\};\mathbb Z)$ 를 부여하며 이 대응은 연속적이다.

E\setminus X=\bigcup_{x\in X}(E_x\setminus\{0_{E_x}\})

로 정의하면, 방향으로부터 톰 동형^[1]

:

\phi\colon\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Z)\to\operatorname H^{\bullet+n}(E,E\setminus X;\mathbb Z)

:

\phi\colon x\mapsto (\pi^*x)\smile u

가 존재하므로 정수 계수 상대 코호몰로지류

u\in\operatorname H^n(E,E\setminus X;\mathbb Z)

를 특정할 수 있다.

한편, 사상

C_\bullet(X) \hookrightarrow C_\bullet(E) \twoheadrightarrow C_\bullet(E)/C_\bullet{(E\setminus X)}

에 의한 코호몰로지끼리의 사상

:

\operatorname H^n(E,E\setminus X;\mathbb Z) \overset{q^*}\to \operatorname H^n(E) \overset^*}\to \operatorname H^n(X)

가 존재하는데, 이를 통해 코호몰로지류

:

{\pi^{-1}}^*q^*u\in\operatorname H^n(X;\mathbb Z)

를 만들 수 있으며 이를

E

의 '''오일러 특성류'''

\operatorname e(E)

로 정의한다.^[1]

오일러 특성류

e(E)

는 정수 코호몰로지 군

:

H^r(X; \mathbf{Z})

의 원소이며, 다음과 같이 구성된다.

E

의 가향은 코호몰로지의 연속적인 생성자 선택에 해당한다.

:

H^r(\mathbf{R}^{r}, \mathbf{R}^{r} \setminus \{0\}; \mathbf{Z})\cong \tilde{H}^{r-1}(S^{r-1};\mathbf{Z})\cong \mathbf{Z}

각 섬유

\mathbf{R}^{r}

의 0의 여집합

\mathbf{R}^{r} \setminus \{0\}

에 상대적이다. 톰 동형사상으로부터, 이는 '''가향 클래스'''

:

u \in H^r(E, E \setminus E_0; \mathbf{Z})

를 유도한다.

영 단면

E_0

의 여집합

E\setminus E_0

에 상대적인

E

의 코호몰로지에서, 포함 관계

:

(X, \emptyset) \hookrightarrow (E, \emptyset) \hookrightarrow (E, E \setminus E_0),

여기서

X

는 영 단면으로

E

에 포함되고, 다음 맵을 유도한다.

:

H^r(E, E \setminus E_0; \mathbf{Z}) \to H^r(E; \mathbf{Z}) \to H^r(X; \mathbf{Z}).

'''오일러 류''' ''e''(''E'')는 이 맵들의 합성 아래에서 ''u''의 이미지이다.

''E''의 방향화는 영원 ''F''₀의 여집합

F\setminus F

의 상대 코호몰로지인 각 파이버 ''F''의 코호몰로지

:

H^r(F, F \setminus F_0; \mathbf{Z})

의 생성자를 연속적으로 선택하는 것에 상당한다. 톰 동형에 의해, 이는 영 단면의 여집합

E\setminus E

에 상대적인 ''E''의 코호몰로지 안의 '''방향화류'''

:

u \in H^r(E, E \setminus E_0; \mathbf{Z})

를 유도한다. 포함 관계

:

(X, \emptyset) \hookrightarrow (E, \emptyset) \hookrightarrow (E, E \setminus E_0),

에서 ''X''는 영 단면으로 ''E''에 포함되는데, 이는 사상

:

H^r(E, E \setminus E_0; \mathbf{Z}) \to H^r(E; \mathbf{Z}) \to H^r(X; \mathbf{Z})

를 유도한다. '''오일러 류''' ''e''(''E'')는 이들 사상의 합성으로 인한 ''u''의 상이다.

2. 2. 장해 이론에 의한 정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

위상 공간 $X$
유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 을 올로 하는 $X$ 위의 벡터 다발 $E$ 와 사영 $\pi\colon E\to X$
$E$ 위에 정의된 방향. 다시 말해 각 $x\in X$ 에 대하여 정수 계수 상대 코호몰로지류 $\operatorname H^n(E_x,E_x\setminus\{0\};\mathbb Z)$ 를 부여하며 이 대응은 연속적이다.

E\setminus X=\bigcup_{x\in X}(E_x\setminus\{0_{E_x}\})

로 정의하면, 방향으로부터 톰 동형^[1]

:

\phi\colon\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Z)\to\operatorname H^{\bullet+n}(E,E\setminus X;\mathbb Z)

:

\phi\colon x\mapsto (\pi^*x)\smile u

가 존재하므로 정수 계수 상대 코호몰로지류

u\in\operatorname H^n(E,E\setminus X;\mathbb Z)

를 특정할 수 있다.

한편, 사상

C_\bullet(X) \hookrightarrow C_\bullet(E) \twoheadrightarrow C_\bullet(E)/C_\bullet{(E\setminus X)}

에 의한 코호몰로지끼리의 사상

:

\operatorname H^n(E,E\setminus X;\mathbb Z) \overset{q^*}\to \operatorname H^n(E) \overset^*}\to \operatorname H^n(X)

가 존재하는데, 이를 통해 코호몰로지류

:

{\pi^{-1}}^*q^*u\in \operatorname H^n(X;\mathbb Z)

를 만들 수 있으며 이를

E

의 '''오일러 특성류'''

\operatorname e(E)

로 정의한다.^[1]

3. 성질

오일러 특성류는 다른 특성류와 마찬가지로 다음과 같은 공리적 성질들을 만족시킨다.

'''함자성''': 임의의 두 유향 실수 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow X$ , $E\twoheadrightarrow Y$ 및 향을 보존하는 연속 올다발 사상 $F\to E$ 에 대하여, $\operatorname e(F)=(f\restriction Y)^*\operatorname e(E)$ 이다.
'''휘트니 합 공식''': 임의의 두 유향 실수 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow X$ , $E\twoheadrightarrow X$ 에 대하여, $\operatorname e(E\oplus F)=\operatorname e(E)\smile\operatorname e(F)$ 이다.
'''정규화''': 만약 $E$ 가 어디서도 0이 아닌 단면을 갖는다면, $\operatorname e(E)=0$ 이다. 즉, 오일러 특성류는 실수 벡터 다발이 어디서도 0이 아닌 단면을 갖는 것의 방해물이다. 그러나 오일러 특성류는 어디서도 0이 아닌 단면의 존재의 필수 조건이지만 충분 조건이 아니다.^[2]
'''방향성''': 만약 $E$ 에 반대 방향을 부여한 것을 $\bar E$ 라고 한다면, $\operatorname e(\bar E)=-\operatorname e(E)$ 이다.

오일러 특성류는 다른 특성류와 달리 ''불안정''하다.

e(E\oplus\underline{R}^1)=e(E)\smile e(\underline{R}^1)=0

이기 때문이다. 이는 오일러 특성류가 분류 공간 BSO(''k'')의 코호몰로지류

e\in H^k(\mathrm{BSO}(k))

로 표현될 때,

\mathrm{BSO}(k) \to \mathrm{BSO}(k+1)

포함 사상 하에서

H^k(\mathrm{BSO}(k+1))

의 류의 당김(pull-back)이 아님을 보여준다.

이는 오일러 특성류가 번들의 차원에 따라 차수가 달라지는 류라는 점에서 직관적으로 이해할 수 있다. 오일러 특성류는

H^d(X)

의 원소인데, 여기서

d

는 번들의 차원이다. 반면에 다른 류들은 고정된 차원을 갖는다 (예: 첫 번째 슈티펠-휘트니 특성류는

H^1(X)

의 원소이다).

오일러 특성류가 불안정하다는 사실은 "결함"으로 여겨져서는 안 된다. 오히려 오일러 특성류가 "불안정한 현상을 감지"한다는 의미이다. 예를 들어, 짝수 차원 구의 접번들은 안정적으로 자명하지만 자명하지 않다. 따라서 다른 특성류들은 구에 대해 모두 0이 되지만, 오일러 특성류는 짝수 차원 구에 대해 0이 아니므로 비자명한 불변량을 제공한다.

3. 1. 다른 특성류와의 관계

표준적 환 준동형

(+2\mathbb Z)\colon\mathbb Z\to\mathbb Z/{2\mathbb Z}=\mathbb F_2

으로 유도되는 사상

(+2\mathbb Z)_*\colon \operatorname H^\bullet(X;\mathbb Z)\to\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_2)

아래, 오일러 특성류의 상은 최고차 슈티펠-휘트니 특성류이다. 즉,

(+2\mathbb Z)_*\operatorname e(E)=\operatorname w_n(E)

이다.

임의의

k

차원 복소수 벡터 다발

E

는

2n

차원 유향 실수 벡터 다발로 여길 수 있다. 이 경우, 오일러 특성류는 최고차 천 특성류와 같다. 즉,

\operatorname e(E)=\operatorname c_n(E)

이다.

2n

차원 유향 벡터 다발

E

의 오일러 특성류의 제곱은 최고차 폰트랴긴 특성류와 같다. 즉,

\operatorname e(E)\smile\operatorname e(E)=\operatorname p_n(E)

이다.

특히,

E

가 콤팩트하고 방향성을 가진

r

차원 다양체의 접다발일 때, 오일러 특성류는 다양체의 최고차 코호몰로지의 원소가 되며, 이는 기본류에 코호몰로지류를 평가함으로써 자연스럽게 정수와 동일시된다. 이를 통해 접다발의 오일러 특성류는 다양체의 오일러 지표와 같아진다. 이는 오일러 지표가 오일러 특성류에 해당하는 특성수라는 것을 의미한다.

요약하자면, 오일러 특성류는 다음과 같은 관계를 가진다.

슈티펠-휘트니 특성류: 2로 나눈 나머지를 취하는 사상을 통해 오일러 특성류의 상은 최고차 슈티펠-휘트니 특성류가 된다. 이는 "방향성을 무시한 오일러 특성류"로 볼 수 있다.
천 특성류: 복소수 벡터 다발을 실수 벡터 다발로 간주할 때, 오일러 특성류는 최고차 천 특성류와 같다.
폰트랴긴 특성류: 유향 벡터 다발의 오일러 특성류의 제곱은 최고차 폰트랴긴 특성류와 같다.

3. 2. 매끄러운 다양체의 경우

M

이

n

차원 연결 유향 매끄러운 다양체라면, 그 접다발

\operatorname TM

은 유향 실수 매끄러운 벡터 다발이다. 그 오일러 특성류와 기본류

[M]\in\operatorname H_n(M;\mathbb Z)

의 교곱은

\operatorname H_0(M;\mathbb Z)\cong\mathbb Z

의 원소이며 그 값은 오일러 지표와 같다.

:

[M]\frown \operatorname e(\mathrm TM)=\chi(M)

다시 말해, 오일러 특성류는 오일러 지표의 일반화이다.

오일러 특성류는

E

의 단면의 영점 궤적에 해당한다.

X

가

d

차원인 유향 매끄러운 다양체이고,

\sigma \colon X\to E

를 영 단면과 횡단적으로 교차하는 매끄러운 단면이라고 하자.

Z\subseteq X

를

\sigma

의 영점 궤적이라고 하면,

Z

는

X

의 여차원

r

인 부분 다양체이며, 이는 호몰로지 클래스

[Z]\in H_{d-r}(X;\mathbf{Z})

를 나타내고,

e(E)

는

[Z]

의 푸앵카레 쌍대이다.

''E''가 콤팩트하고 방향성을 가진 ''r''차원 다양체의 접선 다발인 경우, 오일러 특성류는 다양체의 최고 코호몰로지의 원소이며, 이는 기본류에 코호몰로지류를 평가함으로써 자연스럽게 정수와 동일시된다. 이러한 동일시를 통해 접선 다발의 오일러 특성류는 다양체의 오일러 지표와 같다. 특성수의 언어로 말하면, 오일러 지표는 오일러 특성류에 해당하는 특성수이다.

따라서 오일러 특성류는 접선 다발이 아닌 다른 벡터 다발에 대한 오일러 지표의 일반화이다.

2로 나눈 나머지를 구하는 것은 다음 사상을 유도한다.

:

H^r(X, \mathbf{Z}) \to H^r(X, \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}).

이 사상에 따른 오일러 특성류의 이미지는 최고 슈티펠-휘트니류 ''w_r''(''E'')이다. 이 슈티펠-휘트니류는 "방향성을 무시한 오일러 특성류"로 볼 수 있다.

복소수 랭크가 ''d''인 임의의 복소수 벡터 다발 ''E''는 실수 랭크가 2''d''인 방향성을 가진 실수 벡터 다발 ''E''로 간주될 수 있다. ''E''의 오일러 특성류는 최고 차원의 천 특성류

e(E)=c_d(E)\in H^{2d}(X)

로 주어진다.

4. 예시

Euler characteristic class^영어는 여러 가지 다양체에 대하여 계산할 수 있으며, 그 의미를 직관적으로 이해하는 데 도움을 준다. 구체적인 예시는 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

4. 1. 구면

n-구 '''S'''^''n''의 오일러 지표는 다음과 같다.

:

\chi(\mathbf{S}^n) = 1 + (-1)^n = \begin{cases}2 & n\text{ 짝수}\\0 & n\text{ 홀수}.\end{cases}

따라서 짝수 차원 구면의 접다발에는 영이 아닌 단면이 존재하지 않는다(이는 털 뭉치 정리로 알려져 있다). 특히, 짝수 차원 구면의 접다발은 자명하지 않으며, 즉

S^{2n}

은 평행화 가능 다양체가 아니며, 리 군 구조를 가질 수 없다.

홀수 차원 구면 '''S'''^2''n''−1 ⊂ '''R'''^2''n''에 대해, 영이 아닌 단면은 다음과 같이 주어진다.

:

(x_2,-x_1,x_4,-x_3,\dots,x_{2n},-x_{2n-1})

이것은 오일러 특성류가 0임을 보여준다. 이는 원 위의 일반적인 단면의 ''n'' 복사본과 같다.

짝수 차원 구면의 오일러 특성류가

2[S^{2n}] \in H^{2n}(S^{2n}, \mathbf{Z})

에 해당하므로, 두 다발의 휘트니 합의 오일러 특성류는 두 다발의 오일러 특성류의 컵 곱이라는 사실을 사용하여, 임의의 짝수 차원 구면에 대해, 접선 다발 자체와 영 다발 외에 다른 부분 다발이 없음을 알 수 있다.

구면의 접선 다발은 안정적으로 자명하지만 자명하지 않으므로, 다른 모든 특성류는 구면에서 사라지며, 오일러 특성류는 구면의 접선 다발의 비자명성을 감지하는 유일한 일반 코호몰로지류이다. 더 많은 결과를 증명하려면, 2차 코호몰로지 연산 또는 K-이론을 사용해야 한다.

4. 2. 원

원기둥은 자연 투영

\mathrm{R}^1 \times S^1 \to S^1

에 의해 원에 대한 선다발이다. 이는 자명한 선다발이므로, 어디에서도 0이 아닌 단면을 가지며, 따라서 오일러 유수는 0이다.^[1] 원의 접다발은 자명한 다발이므로 오일러 특성류는 0이다. 이는 원의 오일러 지표가 0이라는 사실과 일치한다.^[1]

5. 역사

르네 톰은 슈티펠-휘트니 특성류를 일반화한 특성류가 오일러 지표와 관련이 있다는 것을 발견했다.^[3] 그 이후 ‘오일러 특성류’라는 이름이 붙었다.

참조

_[1] 서적 Characteristic classes http://press.princet[...] Princeton University Press 1974
_[2] 서적 Differential forms in algebraic topology Springer-Verlag 1982
_[3] 서적 Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure http://www.numdam.or[...] 1952

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