접다발

1. 개요

접다발은 매끄러운 다양체 M에 대해 정의되는 위상 공간으로, M의 각 점에서의 접선들을 모아 구성된다. 접다발은 M 위의 매끄러운 벡터 다발을 이루며, M의 접공간은 접다발의 올이다. 접다발의 쌍대 벡터 다발은 공변접다발 또는 여접다발이라고 불리며, 접다발은 매끄러운 함수의 미분, 벡터장, 텐서장 등 다양한 수학적 개념과 연관된다. 접다발은 자체적으로 다양체를 이루며, 차원은 원래 다양체의 두 배이다. 접다발은 자명할 수도 있고, 비자명할 수도 있으며, 자명한 경우 다양체를 평행화 가능하다고 한다. 접다발은 고차 접다발, 제트 다발, 리만 다양체, 표준 벡터장 등과 관련되며, 미분, 벡터장의 올림 등 다양한 응용 분야를 갖는다.

2. 정의

$M$이 $n$차원 매끄러운 다양체이고, 매끄러운 국소 좌표계 $(U\_i,\; \backslash phi\_i\; \backslash colon\; U\_i\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R^n)\_\{i\; \backslash in\; I\}$가 주어졌다고 하자. ($(U\_i)\_\{i\; \backslash in\; I\}$는 $M$의 열린 덮개이다.)

접다발, 공변접다발, 접공간, 공변접공간, 벡터장, 텐서장 등의 개념은 아래와 같이 정의된다. (자세한 내용은 각각의 하위 섹션을 참고하라.)

* 접다발(Tangent bundle): 매끄러운 다양체 $M$의 각 점에서의 모든 접벡터들의 집합으로 구성된 위상 공간이다.
* 공변접다발(Cotangent bundle): 접다발의 쌍대 벡터 다발로, 각 점에서의 모든 공변벡터(1-형식)들의 집합이다.
* 접공간(Tangent space): 주어진 점 $x\; \backslash in\; M$에서의 모든 접벡터들의 집합으로, 접다발의 올이다.
* 공변접공간(Cotangent space): 주어진 점 $x\; \backslash in\; M$에서의 모든 공변벡터들의 집합으로, 공변접다발의 올이다.
* 벡터장(Vector field): $M$의 각 점에 접벡터를 대응시키는 매끄러운 사상으로, 접다발의 매끄러운 단면이다.
* 텐서장(Tensor field): $M$의 접다발과 공변접다발들의 텐서곱의 매끄러운 단면이다.

접다발은 매끄러운 함수의 미분을 정의하기 위한 정의역과 공역을 제공한다. 즉, $M$과 $N$이 매끄러운 다양체이고, $f\; \backslash colon\; M\; \backslash to\; N$이 매끄러운 함수라면, 그 미분은 $Df\; \backslash colon\; TM\; \backslash to\; TN$이다.

2.1. 접다발과 접공간

매끄러운 다양체 $M$의 접다발은 다음과 같은 위상 공간이다.

:$\backslash mathrm\; TM=\backslash frac\{\backslash bigsqcup\_\{i\backslash in\; I\}\; U\_i\backslash times\backslash mathbb\; R^n\}\{\backslash sim\}$

여기서, 각 성분들을 이어붙이는 동치 관계 $\backslash sim$은 다음과 같다.

:$(x,u)\backslash sim\; (x,v)\backslash iff$
\forall\mu\in\{1,\ldots,n\}\colon u^\mu=\sum_{\nu=1}^nv^\nu\frac{\partial\phi_i(x)^\mu}{\partial\phi_j(x)^\nu}
\qquad\forall i,j\in I,\;x\in U_i\cap U_j,\;u,v\in\mathbb R^n

여기서 $\backslash phi\_i(x)^\backslash mu$는 $\backslash phi\_i(x)\backslash in\backslash mathbb\; R^n$의 $\backslash mu$번째 성분이다.

이는 자연스러운 사영 사상

:$\backslash pi\backslash colon\backslash mathrm\; TM\backslash twoheadrightarrow\; M$
:$\backslash pi\backslash colon\; [(x,v)]\backslash mapsto\; x$

을 통해 $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

$x\backslash in\; M$의 접공간(接空間, tangent space^영어) $\backslash mathrm\; T\_xM$은 접다발의 올이다. 만약 $M$에서 어떤 유클리드 공간으로의 (매끄러운) 몰입이 주어졌다면, 이는 $M$에 "접하는" $n$차원 초평면으로 여길 수 있다.

2.2. 공변접다발과 공변접공간

매끄러운 다양체 $M$의 접다발의 쌍대 벡터 다발 $\backslash mathrm\; T^*M$을 공변접다발(共變接-, cotangent bundle^영어) 또는 여접다발(餘接-)이라고 한다. 이는 보다 직접적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.

:$\backslash mathrm\; T^*M=\backslash frac\{\backslash bigsqcup\_\{i\backslash in\; I\}\; U\_i\backslash times\backslash mathbb\; R^n\}\{\backslash sim\text{'}\}$
:$(x,u)\backslash sim\text{'}(x,v)\backslash iff$
\forall\mu\in\{1,\ldots,n\}\colon u_\mu=\sum_{\nu=1}^nv_\nu\frac{\partial\phi_j(x)^\nu}{\partial\phi_i(x)^\mu}
\qquad\forall i,j\in I,\;x\in U_i\cap U_j,\;u,v\in\mathbb R^n

마찬가지로, $x\backslash in\; M$의 공변접공간(共變接空間, cotangent space^영어) $\backslash mathrm\; T\_x^*M$은 공변접다발의 올이다.

2.3. 벡터장과 텐서장

$M$의 접다발 $\backslash mathrm\; TM$의 매끄러운 단면을 벡터장이라고 한다. $M$의 공변접다발 $\backslash mathrm\; T^*M$의 매끄러운 단면을 1차 미분 형식이라고 한다. $M$의 접다발과 공변접다발들의 텐서곱

:$\backslash overbrace\{\backslash mathrm\; TM\backslash otimes\backslash cdots\backslash mathrm\; TM\}^p\backslash otimes\backslash overbrace\{\backslash mathrm\; T^*M\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\backslash mathrm\; T^*M\}^q$

의 매끄러운 단면을 $(p,q)$차 텐서장이라고 한다.

매끄러운 다양체의 각 점에 접선 벡터를 할당하는 것을 벡터장이라고 한다. 구체적으로 다양체 $M$ 위의 벡터장은 다음과 같은 매끄러운 사상이다.

:$V\backslash colon\; M\; \backslash to\; TM$

여기서 $V(x)\; =\; (x,V\_x)$이고 모든 $x\backslash in\; M$에 대해 $V\_x\backslash in\; T\_xM$이다. 섬유 다발의 언어로 표현하면, 이러한 사상을 단면이라고 부른다. 따라서 $M$ 위의 벡터장은 $M$의 접다발의 단면이다.

$M$ 위의 모든 벡터장의 집합은 $\backslash Gamma(TM)$으로 표기한다. 벡터장은 각 점별로 더할 수 있고,

:$(V+W)\_x\; =\; V\_x\; +\; W\_x$

M 위의 매끄러운 함수를 곱하여

:$(fV)\_x\; =\; f(x)V\_x$

다른 벡터장을 얻을 수 있다. 그러면 모든 벡터장의 집합 $\backslash Gamma(TM)$은 M 위의 매끄러운 함수의 가환 대수 $C^\{\backslash infty\}(M)$ 위의 가군의 구조를 갖는다.

$M$ 위의 국소 벡터장은 접다발의 국소 단면이다. 즉, 국소 벡터장은 $U\backslash subset\; M$의 어떤 열린 집합에서만 정의되며, $U$의 각 점에 연관된 접 공간의 벡터를 할당한다. $M$ 위의 국소 벡터장의 집합은 $M$ 위의 층으로 알려진 구조를 형성한다.

위의 구성은 여접다발에도 똑같이 적용된다. $M$ 위의 미분 1-형식은 정확히 여접다발의 단면이다 $\backslash omega\; \backslash in\; \backslash Gamma(T^*M)$, $\backslash omega:\; M\; \backslash to\; T^*M$ 여기서 각 점 $x\; \backslash in\; M$에 1-코벡터 $\backslash omega\_x\; \backslash in\; T^*\_xM$을 연관시키고, 이는 접선 벡터를 실수로 사상한다: $\backslash omega\_x\; :\; T\_xM\; \backslash to\; \backslash R$. 또는, 미분 1-형식 $\backslash omega\; \backslash in\; \backslash Gamma(T^*M)$은 매끄러운 벡터장 $X\; \backslash in\; \backslash Gamma(TM)$을 매끄러운 함수 $\backslash omega(X)\; \backslash in\; C^\{\backslash infty\}(M)$로 사상한다.

3. 성질

접다발은 벡터 다발(섬유 다발의 한 종류)의 한 예이다. 더 일반적으로, $n$차원 다양체 $M$에 대한 접다발은 변환 함수가 관련 좌표 변환의 야코비 행렬로 주어지는, $M$ 위의 계수 $n$인 벡터 다발로 정의할 수 있다.

3.1. 위상과 매끄러운 구조

접다발은 자체적으로 다양체를 만들기 위해 자연스러운 위상(단절된 합집합 위상이 아님)과 미분 가능 구조를 갖추고 있다. $TM$의 차원은 $M$의 차원의 두 배이다.

n차원 다양체의 각 접공간은 n차원 벡터 공간이다. $U$가 $M$의 열린 수축 가능 부분 집합이면, 각 접공간 $T\_xU$에서 $\backslash \{x\backslash \}\backslash times\backslash mathbb\; R^n$로의 선형 동형 사상으로 제한되는 미분 동형 사상 $TU\backslash to\; U\backslash times\backslash mathbb\; R^n$이 존재한다. 그러나 다양체로서 $TM$은 항상 곱 다양체 $M\backslash times\backslash mathbb\; R^n$과 미분 동형 사상은 아니다. $M\backslash times\backslash mathbb\; R^n$ 형태일 때, 접다발은 '자명'하다고 한다.

M이 매끄러운 n차원 다양체이면, 차트 $(U\_\backslash alpha,\backslash phi\_\backslash alpha)$의 지도가 갖춰져 있으며, 여기서 $U\_\backslash alpha$는 $M$의 열린 집합이고,
:$\backslash phi\_\backslash alpha:\; U\_\backslash alpha\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R^n$
는 미분 동형 사상이다. $U\_\backslash alpha$에 대한 이러한 국소 좌표는 모든 $x\backslash in\; U\_\backslash alpha$에 대해 $T\_xM\backslash rightarrow\backslash mathbb\; R^n$의 동형 사상을 발생시킨다. 그런 다음 다음과 같이 맵을 정의할 수 있다.
:$\backslash widetilde\backslash phi\_\backslash alpha:\backslash pi^\{-1\}\backslash left(U\_\backslash alpha\backslash right)\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R^\{2n\}$
:$\backslash widetilde\backslash phi\_\backslash alpha\backslash left(x,\; v^i\backslash partial\_i\backslash right)\; =\; \backslash left(\backslash phi\_\backslash alpha(x),\; v^1,\; \backslash cdots,\; v^n\backslash right)$

이러한 맵을 사용하여 $TM$에 대한 위상과 매끄러운 구조를 정의한다. $TM$의 부분 집합 $A$는
:$\backslash widetilde\backslash phi\_\backslash alpha\backslash left(A\backslash cap\; \backslash pi^\{-1\}\backslash left(U\_\backslash alpha\backslash right)\backslash right)$
가 각 $\backslash alpha$에 대해 $\backslash mathbb\; R^\{2n\}$에서 열려 있는 경우에만 열려 있다. 이러한 맵은 $TM$과 $\backslash mathbb\; R^\{2n\}$의 열린 부분 집합 간의 위상 동형 사상이므로 $TM$에 대한 매끄러운 구조의 차트 역할을 한다. 차트 중첩 $\backslash pi^\{-1\}\backslash left(U\_\backslash alpha\; \backslash cap\; U\_\backslash beta\backslash right)$에 대한 전이 함수는 관련 좌표 변환의 야코비 행렬에 의해 유도되며, 따라서 $\backslash mathbb\; R^\{2n\}$의 열린 부분 집합 간의 매끄러운 맵이다.

3.2. 자명성과 평행화 가능성

매끄러운 다양체 $M$의 (공변)접다발이 자명한 벡터 다발인 경우, $M$을 평행화 가능 다양체(parallelizable manifold^영어)라고 한다. 다양체로서 $TM$이 곱 다양체 $M\backslash times\backslash mathbb\; R^n$ 형태일 때, 접다발은 '자명'하다고 한다. 자명한 접다발은 대개 '호환 가능한 군 구조'를 갖춘 다양체에서 발생하는데, 예를 들어 다양체가 리 군인 경우가 이에 해당한다. 단위 원의 접다발은 (곱셈과 자연스러운 미분 구조 하에서) 리 군이므로 자명하다.

초구 $\backslash mathbb\; S^n$ 가운데 평행화 가능 다양체는 $\backslash mathbb\; S^0$, $\backslash mathbb\; S^1$, $\backslash mathbb\; S^3$, $\backslash mathbb\; S^7$ 뿐이다. 모든 3차원 가향 다양체는 평행화 가능 다양체이다.

자명한 접다발을 가진 다양체를 평행화 가능이라고 부른다.

4. 관련 개념

준 리만 다양체 $(M,g)$의 각 점 $x\backslash in\; M$에서 접다발과 공변접다발 사이에는 동형 사상이 존재한다. 이는 접다발과 공변접다발 사이의 매끄러운 벡터 다발 동형 사상을 정의하며, 음악 동형(音樂同形, musical isomorphism^영어)이라고 불린다. "음악"이라는 어원은 악보의 올림표(♯)와 내림표(♭) 기호를 사용하기 때문이다.

접다발 TM은 다양체로 볼 수 있으며, 각 점에서 접공간에 대한 대각 사상을 이용하여 표준 벡터장을 정의할 수 있다. 이는 리우빌 벡터장 또는 반지름 벡터장이라고도 불린다.

4.1. 고차 접다발

2차 접다발은 접다발 구성을 반복 적용하여 정의할 수 있다.

:T^2 M^영어 = T(TM)^영어

일반적으로, k차 접다발 T^k M^영어은 T(T^{k-1}M)^영어로 재귀적으로 정의할 수 있다.

매끄러운 사상 f : M → N^영어은 유도된 도함수를 가지며, 이에 대한 접다발은 적절한 정의역과 공역 Df : TM → TN^영어이다. 마찬가지로, 고차 접다발은 고차 도함수 D^k f : T^k M → T^k N^영어의 정의역과 공역을 제공한다.

별개의 관련 구성은 다양체에 대한 제트 다발이며, 이는 제트로 구성된 다발이다.

4.2. 제트 다발

별개의 관련 구성은 다양체에 대한 제트 다발이며, 이는 제트로 구성된 다발이다.

4.3. 리만 다양체

준 리만 다양체 $(M,g)$의 경우, 각 점 $x\backslash in\; M$에서 접다발과 공변접다발 사이의 동형 사상
:$(-)^\backslash flat\backslash colon\; \backslash mathrm\; T\_xM\backslash to\backslash mathrm\; T\_x^*M$
:$(-)^\backslash flat\backslash colon\; v\backslash mapsto\; g(v,-)$
:$(-)^\backslash sharp\backslash colon\; \backslash mathrm\; T\_x^*M\backslash to\backslash mathrm\; T\_xM$
:$(-)^\backslash sharp\backslash colon\; g(v,-)\backslash mapsto\; v$
이 존재하며, 이는 접다발과 공변접다발 사이의 매끄러운 벡터 다발 동형 사상을 정의한다. 이를 음악 동형(音樂同形, musical isomorphism^영어)이라고 한다.

"음악"이라는 어원은 악보의 올림표(♯)와 내림표(♭) 기호를 사용하기 때문이다. 접다발의 단면은 윗첨자($^\backslash mu$), 공변접다발의 단면은 아랫첨자($\_\backslash mu$)로 표기하므로, $(-)^\backslash flat$은 윗첨자를 아랫첨자로 "내리고", $(-)^\backslash sharp$는 아랫첨자를 윗첨자로 "올리기" 때문에 이러한 기호를 사용한다.

4.4. 표준 벡터장

접다발 TM은 다양체로 볼 수 있으며, 각 점에서 접공간에 대한 대각 사상을 이용하여 표준 벡터장 $V:TM\backslash rightarrow\; T^2M$을 정의할 수 있다. 이는 벡터 공간 W의 접공간이 $TW\; \backslash cong\; W\; \backslash times\; W$ 와 같이 곱집합으로 자연스럽게 표현되기 때문이다. 벡터 공간은 평탄하므로, $w\; \backslash mapsto\; (w,\; w)$ 와 같은 대각 사상 $W\; \backslash to\; TW$가 존재한다. 이러한 곱 구조를 각 점의 접공간에 적용하고, 이를 전체적으로 확장하면 표준 벡터장이 만들어진다.

만약 $(x,v)$가 $TM$에 대한 국소 좌표라면, 표준 벡터장은 다음과 같이 표현된다.

:$V\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash left.\; v^i\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; v^i\}\; \backslash right|\_\{(x,v)\}.$

이는 $(x,\; v)\; \backslash mapsto\; (x,\; v,\; 0,\; v)$ 와 같이 간단히 표현할 수도 있는데, 여기서 첫 번째 좌표 쌍은 밑 공간의 점을 나타내고, 마지막 좌표 쌍은 접벡터 자체를 나타낸다. 이 표현은 $v$에만 의존하고 $x$에는 의존하지 않는다.

표준 벡터장은 스칼라 곱셈 함수를 통해서도 설명할 수 있다. 스칼라 곱셈 함수는 다음과 같다.

:$\backslash begin\{cases\}$
\mathbb{R} \times TM \to TM \\
(t,v) \longmapsto tv
\end{cases}

시간 $t=1$에서 $\backslash mathbb\; R$ 변수에 대한 이 함수의 도함수를 계산하면, 표준 벡터장 $V:TM\backslash rightarrow\; T^2M$를 얻을 수 있다.

이러한 표준 벡터장은 리우빌 벡터장 또는 반지름 벡터장이라고도 불린다.

5. 예시

ℝⁿ과 단위 원 S^1영어의 접다발은 자명하며, 쉽게 시각화할 수 있다. 반면 2차원 다양체의 접다발은 4차원이므로 시각화하기 어렵다.

5.1. 유클리드 공간

가장 간단한 예는 ℝⁿ이다. 이 경우 접다발은 자명하다. 각 $T\_x\; \backslash mathbf\; \backslash mathbb\; R^n$은 $x$를 빼는 사상 $\backslash mathbb\; R^n\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R^n$을 통해 $T\_0\; \backslash mathbb\; R^n$과 정규 동형이며, 이는 미분 동형 $T\backslash mathbb\; R^n\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R^n\; \backslash times\; \backslash mathbb\; R^n$을 제공한다.

5.2. 단위 원

단위 원 S^1영어의 접다발은 자명하며, S¹ × R^영어과 동형이다. 기하학적으로 이것은 높이가 무한대인 원기둥과 같다.

5.3. 단위 구

비자명한 접다발의 간단한 예는 단위 구 $S^2$의 접다발이다. 이 접다발은 털 공 정리의 결과로 비자명하다. 따라서 구는 가향 가능하지 않다.

6. 응용

접다발은 미분기하학 및 관련 분야에서 다양하게 활용된다. 예를 들어, 매끄러운 함수의 미분을 정의할 때 정의역과 공역을 제공하는 역할을 한다. 또한, 올림을 통해 다양체 위의 객체를 접다발 위의 객체로 옮길 수 있다.

6.1. 도함수

접다발의 주요 역할 중 하나는 매끄러운 함수의 미분의 정의역과 공역을 제공하는 것이다. 즉, M과 N을 매끄러운 다양체라 하고, f: M → N가 매끄러운 사상이라면, 그 미분은 매끄러운 사상 Df: TM → TN이다.

6.2. 벡터장의 올림

$M$ 위의 객체를 $TM$ 위의 객체로 올리는 여러 방법이 있다. 예를 들어 $\backslash gamma$가 $M$ 내의 곡선이라면, $\backslash gamma\text{'}$($\backslash gamma$의 접선)은 $TM$ 내의 곡선이다. 반면, $M$에 대한 추가적인 가정 (예: 리만 계량)이 없으면 공변접속 다발로의 유사한 올림은 존재하지 않는다.

함수 $f:M\backslash rightarrow\backslash mathbb\; R$의 "수직 올림"은 $f^\backslash vee:TM\backslash rightarrow\backslash mathbb\; R$로 정의되는 함수이며, 여기서 $\backslash pi:TM\backslash rightarrow\; M$는 정규 투영이다.