분류 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 구성 방법
5. 예시
6. 응용
참조

1. 개요

분류 공간은 위상군 G에 대해 G-주다발을 분류하는 위상 공간 BG와 전체 분류 공간 EG으로 구성된다. 임의의 위상 공간 X에 대해 X 위의 G-주다발은 X에서 BG로의 연속 함수 호모토피류와 일대일 대응된다. 분류 공간은 호모토피 동치 아래 유일하며, 두 위상군의 직접곱의 분류 공간은 각 위상군의 분류 공간의 곱공간과 호모토피 동치이다. 아벨 군 및 순환군의 분류 공간과 유니터리 군, 직교군의 분류 공간은 잘 알려져 있으며, 특성류 이론, 군 코호몰로지, 잎상 구조, 분류 토포스 등 다양한 분야에 응용된다.

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2. 정의

$G$ 가 위상군이라고 할 때, 어떤 $G$ -주다발 $\pi\colon EG\to BG$ 가 주어지면, 임의의 위상 공간 $X$ 및 연속 함수 $X\to BG$ 에 대하여, $G$ -주다발 $\pi^* EG \to X$ 를 당겨서 정의할 수 있다.

만약 임의의 위상 공간 $X$ 에 대하여, $X$ 위에 존재하는 $G$ -주다발 $E\to X$ 는 연속 함수 $\phi\colon X\to BG$ 의 호모토피류 $[\phi]$ 들과 위와 같은 사상을 통해 일대일 대응한다면, $\pi\colon EG\to BG$ 를 $G$ 의 '''분류 공간'''이라고 한다.

이 경우, $BG$ 를 $G$ 의 '''분류 공간''', $EG$ 를 $G$ 의 '''전체 분류 공간'''(total classifying space^영어)이라고 한다. 즉, $G$ -주다발들은 $G$ 의 분류 공간을 공역으로 하는 호모토피류들과 일대일 대응한다.^[2]

3. 성질

분류 공간은 호모토피 동치 아래 유일하다.

두 위상군의 직접곱의 분류 공간은 각 위상군의 분류 공간의 곱공간(과 호모토피 동치)이다.

: $B(G_1\times G_2)\simeq BG_1\times BG_2$

벡터 다발의 경우, 항상 리만 계량 (또는 에르미트 계량)을 줘 그 구조군 O(''n'') (실수 벡터 다발의 경우) 또는 U(''n'') (복소수 벡터 다발의 경우)의 주다발로 나타낼 수 있다. 따라서 벡터 다발은 그 구조군의 분류 공간으로 분류된다.

4. 구성 방법

분류 공간은 다양한 방법으로 구성될 수 있다. 이산군의 경우, 바 구성을 통해 단순 복합체로 ''BG''를 구체적으로 설명할 수 있다. 이러한 구성은 군 코호몰로지와의 연결을 명확하게 보여준다.^[2]

''EG''는 ''n''-단순체가 ''G''의 원소의 정렬된 (''n''+1)-튜플 $[g_0,\ldots,g_n]$ 인 약 단순 복합체이다. 이러한 ''n''-단순체는 표준 단순체가 면에 부착되는 방식과 동일한 방식으로 (''n''−1) 단순체 $[g_0,\ldots,\hat g_i,\ldots,g_n]$ 에 부착된다. 여기서 $\hat g_i$ 는 이 정점이 삭제되었음을 의미한다. 복합체 ''EG''는 수축 가능하다. 군 ''G''는 좌측 곱셈에 의해 ''EG''에 작용한다.

: $g\cdot[g_0,\ldots,g_n ]=[gg_0,\ldots,gg_n],$

그리고 항등원 ''e''만 임의의 단순체를 자신에게 맵핑한다. 따라서 ''G''의 ''EG''에 대한 작용은 피복 공간 작용이고 몫 사상 $EG\to EG/G$ 는 궤도 공간 $BG = EG/G$ 의 보편 피복이며, ''BG''는 $K(G,1)$ 이다.^[2]

일반적으로, 브라운 표현 가능성 정리를 통해 분류 공간의 존재성을 보장할 수 있다. 이것은 특정 함자가 표현 가능한지 여부에 대한 문제로, 호모토피 범주에서 집합 범주로 가는 반변 함자는 다음과 같이 정의된다.

:''h''(''Z'') = ''Z'' 위에 있는 주 ''G''-번들의 동형 클래스의 집합.

이에 대해 알려진 추상적인 조건(브라운 표현 가능성 정리)은 존재 정리로서 결과가 긍정적이고 너무 어렵지 않도록 보장한다.

5. 예시

다음은 다양한 위상군의 분류 공간 예시이다.

군 $G$	분류 공간 $\mathrm BG$	전체 공간 $\mathrm EG$
아벨 군 $\mathbb Z$	원 $S^1$	$\mathbb R$
순환군 $\mathbb Z/(n)$	무한 차원 렌즈 공간 $L^\infty(n)=S^\infty/\mathbb Z_n$	무한 차원 초구 $S^\infty$
$\mathbb Z/(2)$	무한 차원 실수 사영 공간 $\mathbb{RP}^\infty$	무한 차원 초구 $S^\infty$
n개의 생성원의 자유군 $\langle a_1,a_2,\dotsc,a_n\rangle$	n개의 원들의 쐐기합 $\bigwedge^nS^1$
유니터리 군 U(n)	복소수 그라스만 다양체 $\operatorname{Gr}(n,\infty;\mathbb C)$	그라스만 다양체의 보편 다발(tautological bundle)
원군 U(1)	무한 차원 복소 사영 공간 $\mathbb CP^\infty$	무한 차원 초구 $S^\infty$
직교군 O(n)	실수 그라스만 다양체 $\operatorname{Gr}(n,\infty;\mathbb R)$	그라스만 다양체의 보편 다발(tautological bundle)

무한 순환군 ''G''의 분류 공간은 원 ''X''이다. ''G''가 이산군일 때, ''X''의 조건은 ''X''의 유일한 덮개 ''Y''가 축약 가능하다는 것이다. 이때 사영 사상

: $\pi\colon Y\longrightarrow X\$

는 구조군 ''G''를 갖는 섬유 다발이자 ''G''에 대한 주다발이 된다.

원 $S^1$ 은 무한 순환군 $\Z$ 의 분류 공간이다. (전체 공간: $E\Z =\R$ )
''n''-토러스 $\mathbb T^n$ 은 랭크 ''n''의 자유 아벨 군 $\Z^n$ 의 분류 공간이다. (전체 공간: $E\Z^n=\R^n$ )
''n''개 원의 쐐기합은 랭크 ''n''의 자유군의 분류 공간이다.
닫힌 (콤팩트하고 경계가 없는) 연결 곡면 ''S''는 종수가 1 이상이면 기본군 $\pi_1(S)$ 의 분류 공간이다.
닫힌 (콤팩트하고 경계가 없는) 연결 쌍곡다양체 ''M''은 기본군 $\pi_1(M)$ 의 분류 공간이다.
유한 국소 연결 CAT(0) 큐빅 복합체는 해당 기본군의 분류 공간이다.
무한 차원 사영 공간 $\mathbb{RP}^\infty$ 은 순환군 $\Z_2 = \Z /2\Z$ 의 분류 공간이다. (전체 공간: $E\Z_2 = S^\infty$ )
공간 $B\Z_n = S^\infty / \Z_n$ 은 순환군 $\Z_n$ 의 분류 공간이다.
비정렬 배치 공간 $\operatorname{UConf}_n(\R^2)$ 는 아르틴 브레이드 군 $B_n$ 의 분류 공간이며,^[3] 정렬된 배치 공간 $\operatorname{Conf}_n(\R^2)$ 는 순수 아르틴 브레이드 군 $P_n$ 의 분류 공간이다.
(비정렬) 배치 공간 $\operatorname{UConf}_n(\R^\infty)$ 는 대칭군 $S_n$ 의 분류 공간이다.^[4]
무한 차원 복소 사영 공간 $\mathbb{CP}^\infty$ 는 콤팩트 위상 군인 원 $''S''^1$ 의 분류 공간이다.
$\R^\infty$ 에서 ''n''-평면의 그라스만 다양체 $Gr(n, \R^\infty)$ 는 직교군 의 분류 공간이다. (전체 공간: $EO(n) = V(n, \R^\infty)$ , $\R^\infty$ 의 ''n''차원 정규 직교 프레임의 슈티펠 다양체)

5. 1. 아벨 군 및 순환군

아벨 군 및 순환군의 분류 공간은 잘 알려져 있다. 예를 들어, 무한 순환군 '''Z'''의 분류 공간은 원 ''S''¹이다. ''n''-토러스

\mathbb T^n

은 랭크 ''n''의 자유 아벨 군

\Z^n

에 대한 분류 공간이다.

군 $G$	분류 공간 $\mathrm BG$
아벨 군 $\mathbb Z$	원 $S^1$
순환군 $\mathbb Z/(n)$	무한 차원 렌즈 공간 $L^\infty(n)=S^\infty/\mathbb Z_n$
$\mathbb Z/(2)$	무한 차원 실수 사영 공간 $\mathbb{RP}^\infty$
원군 U(1)	무한 차원 복소 사영 공간 $\mathbb CP^\infty$

5. 2. 자유군

''n''개의 원들의 쐐기합은 ''n''개의 생성원의 자유군

\langle a_1,a_2,\dotsc,a_n\rangle

의 분류 공간이다.^[3]

5. 3. 유니터리 군과 직교군

유니터리 군 U(''n'')의 분류 공간은 복소수 그라스만 다양체

\operatorname{Gr}(n,\infty;\mathbb C)

이며, 전체 공간은 그라스만 다양체의 보편 다발(tautological bundle)이다. 직교군 O(''n'')의 분류 공간은 실수 그라스만 다양체

\operatorname{Gr}(n,\infty;\mathbb R)

이며, 전체 공간은

EO(n) = V(n, \R^\infty)

이다. 이는

\R^\infty

의 ''n''차원 정규 직교 프레임의 슈티펠 다양체이다.^[3]^[4]

6. 응용

분류 공간은 여러 분야에서 응용된다. 미분 기하학에서 천-베유 이론과 그래스만 다양체 이론은 유니타리 군과 같은 경우에 대한 분류 공간 이론을 더 실용적으로 접근할 수 있게 해준다.^[2] 톰 복합체 ''MG''의 구성은 ''BG''가 코보디즘 이론과 관련되어 있음을 보여주며, 대수적 위상수학에서 비롯된 기하학적 고려 사항에서 중심적인 위치를 차지하게 되었다.^[2]

6. 1. 특성류 이론

특성류 이론에서 분류 공간은 중요한 역할을 한다. 특성류는 벡터 다발의 위상적 불변량을 측정하는 도구이며, 분류 공간의 코호몰로지 군을 통해 계산될 수 있다. 리 군과 같은 흥미로운 군 ''G''에 대한 특성류 이론은 ''BG''의 코호몰로지 군을 계산하는 문제와 본질적으로 동일하다.

분류 공간의 한 예로, ''G''가 차수가 2인 순환군인 경우가 있다. 이때 ''BG''는 무한 차원의 실수 사영 공간이 된다.^[1] 이는 ''EG''가 무한 차원 힐베르트 공간에서 원점을 제거하여 얻은 수축 가능한 공간이고, ''G''가 ''v''를 −''v''로 변환시키는 방식으로 작용하며, ''BG''를 선택하는 과정에서 호모토피 동치를 허용한다는 관찰과 일치한다.^[1]

6. 2. 군 코호몰로지

군 코호몰로지는 (대부분의 경우) 분류 공간을 사용하여 정의할 수 있으므로, 호몰로지 대수에서 기초적인 것으로 간주될 수 있다.^[2]

6. 3. 잎층 구조 및 분류 토포스

분류 공간은 엽층 구조 분류 및 직관주의 논리에서의 계산 예측 이론에서의 분류 토포스와 같이, '모형의 공간'이라는 위치를 차지하는 개념으로 일반화될 수 있다.

참조

_[1] 서적 Algebraic topology (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) http://www.ams.org/b[...] American Mathematical Society
_[2] 서적 Algebraic topology Cambridge University Press 2002
_[3] 서적 Vladimir I. Arnold — Collected Works Springer 1969
_[4] 웹사이트 classifying space in nLab https://ncatlab.org/[...] 2017-08-22
_[5] 간행물 Algebraic topology (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) American Mathematical Society

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