오일러 운동 방정식

3. 유도

관성 좌표계(아래첨자 "in")에서, 각운동량 보존에 따르면 각운동량 '''L'''의 시간 미분은 작용하는 토크와 같다.

:$$

\frac{d\mathbf{L}_{\text{in}}}{dt} = \mathbf{M}_{\text{in}}



내부 힘이 중심력인 점 입자의 경우, 이는 뉴턴의 제2법칙을 사용하여 유도할 수 있다.

강체의 경우, 각운동량과 관성 모멘트 '''I'''_in 사이의 관계는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{L\}\_\{\backslash text\{in\}\}\; =\; \backslash mathbf\{I\}\_\{\backslash text\{in\}\}\; \backslash boldsymbol\backslash omega$

관성 좌표계에서, 미분 방정식은 일반적인 회전하는 강체의 운동을 풀 때 항상 유용하지는 않다. 왜냐하면 '''I'''_in과 '''ω''' 둘 다 운동 중에 변할 수 있기 때문이다. 대신 관성 모멘트 텐서가 상수인 회전하는 물체에 고정된 좌표계로 변경할 수 있다. 질량 중심과 같은 기준 틀을 사용하면, 틀의 위치가 방정식에서 사라진다.

모든 회전하는 기준 틀에서, 시간 미분은 다음 방정식으로 대체되어야 한다.

:$$

\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{rot} + \boldsymbol\omega\times\mathbf{L} = \mathbf{M}



그래서 외적, 회전 좌표계에서 시간 미분을 참조하십시오.

관성 좌표계와 회전 좌표계에서 토크의 벡터 성분은 다음과 같이 관련된다.

$$

\mathbf{M}_{\text{in}} = \mathbf{Q}\mathbf{M},



여기서 $\backslash mathbf\{Q\}$는 회전 텐서(회전 행렬 아님)이며, 다음 식으로 각속도 벡터와 관련된 직교 텐서이다.

$\backslash boldsymbol\backslash omega\; \backslash times\; \backslash boldsymbol\{u\}\; =\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{Q\}\}\; \backslash mathbf\{Q\}^\{-1\}\backslash boldsymbol\{u\}$

임의의 벡터 '''u'''에 대해.

이제 $\backslash mathbf\{L\}\; =\; \backslash mathbf\{I\}\; \backslash boldsymbol\backslash omega$가 대입되고 시간 미분은 회전 좌표계에서 수행되며, 입자 위치와 관성 텐서가 시간에 의존하지 않는다는 것을 깨닫는다. 이것은 이러한 틀에서 유효한 오일러 방정식의 일반적인 벡터 형태를 초래한다.

:$$

\mathbf{I} \dot{\boldsymbol\omega} + \boldsymbol\omega \times \left( \mathbf{I} \boldsymbol\omega \right) = \mathbf{M}.



이 방정식은 또한 합력 토크에 대한 논의에서 뉴턴의 법칙으로 유도된다.

보다 일반적으로, 텐서 변환 규칙에 따라, 모든 2계 텐서 $\backslash mathbf\{T\}$는 임의의 벡터 $\backslash mathbf\{u\}$에 대해 $\backslash mathbf\{\backslash dot\; T\}\; \backslash mathbf\{u\}\; =\; \backslash boldsymbol\{\backslash omega\}\backslash times\; (\backslash mathbf\{T\}\; \backslash mathbf\{u\})\; -\; \backslash mathbf\{T\}(\backslash boldsymbol\{\backslash omega\}\backslash times\; \backslash mathbf\{u\})$를 가지는 시간 미분 $\backslash mathbf\{\backslash dot\; T\}$를 갖는다. 이것은 $\backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash left(\; \backslash mathbf\{I\}\; \backslash boldsymbol\backslash omega\; \backslash right)\; =\; \backslash mathbf\{M\}.$을 대입하여 오일러 방정식을 생성한다.

3. 1. 주축 형태

4. 특수해

4. 1. 토크가 없는 세차 운동

5. 일반화된 오일러 방정식

오일러 방정식은 임의의 단순 리 대수로 일반화될 수 있다.^[1] 원래의 오일러 방정식은 리 대수를 $\backslash mathfrak\{so\}(3)$로 고정하여 생성자 $\{t\_1,\; t\_2,\; t\_3\}$가 관계 $[t\_a,\; t\_b]\; =\; \backslash epsilon\_\{abc\}t\_c$를 만족하는 것에서 비롯된다. 그러면 $\backslash boldsymbol\backslash omega(t)\; =\; \backslash sum\_a\; \backslash omega\_a(t)t\_a$ (여기서 $t$는 시간 좌표이며, 기저 벡터 $t\_a$와 혼동하지 않아야 한다)가 $\backslash mathfrak\{so\}(3)$ 값을 갖는 시간의 함수이고, $\backslash mathbf\{I\}\; =\; \backslash mathrm\{diag\}(I\_1,\; I\_2,\; I\_3)$ (리 대수 기저에 대해)이면 (토크가 없는) 원래의 오일러 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.^[2]

$$\backslash mathbf\{I\}\backslash dot\backslash boldsymbol\backslash omega\; =\; [\backslash mathbf\{I\}\backslash boldsymbol\backslash omega,\; \backslash boldsymbol\backslash omega].$$

$\backslash mathbf\{I\}$를 기저에 독립적인 방식으로 정의하기 위해, 리 대수 $\backslash mathfrak\{g\}$에 대한 불변 쌍선형 형식을 기준으로 $\backslash mathfrak\{g\}$에 대한 자기 수반 사상이 되어야 한다. 이 표현은 단순 리 대수의 표준 분류와 같이 임의의 단순 리 대수로 쉽게 일반화된다.

이는 일반화된 오일러 방정식의 락스 쌍 공식으로 볼 수 있으며, 그 적분 가능성을 시사한다.

참조

_[1] 서적 Integrable systems: twistors, loop groups, and Riemann surfaces; based on lectures given at a conference on integrable systems organized by N. M. J. Woodhouse and held at the Mathematical Institute, University of Oxford, in September 1997 Clarendon Press 2011
_[2] 서적 Collected works springer
_[3] 서적 1983
_[4] 서적 1983
_[5] 서적 1983