각운동량

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

각운동량은 물리학에서 회전하는 물체의 운동 상태를 나타내는 물리량으로, 원점에 대한 입자의 위치 벡터와 선운동량의 외적으로 정의된다. 고정된 축에 대한 각운동량은 스칼라로 표현되기도 하며, 물리계의 총 각운동량은 개별 입자들의 각운동량의 합으로 계산된다. 각운동량은 좌표 원점의 선택에 의존하며, 좌표계 변환에 따라 변환된다. 각운동량 보존 법칙은 외부 토크가 작용하지 않는 고립계에서 각운동량의 총합이 일정하게 유지됨을 의미하며, 중심력 하에서의 운동, 행성 궤도, 피겨 스케이팅 선수들의 회전 등 다양한 현상을 설명하는 데 중요한 역할을 한다. 양자역학에서는 궤도 각운동량 외에 스핀 각운동량이라는 개념이 도입되며, 각운동량은 양자화된다. 상대성 이론에서는 각운동량이 텐서 형태로 표현되며, 다양한 분야에서 응용되고 있다.

더 읽어볼만한 페이지

각운동량 - 방위 양자수
방위 양자수(ℓ)는 원자 내 전자의 궤도 각운동량을 양자화하는 0 이상의 정수 양자수로서, 궤도 각운동량의 크기와 모양을 결정하고 s, p, d, f 오비탈을 구분하며, 궤도 각운동량과 스핀 각운동량의 합인 전체 각운동량은 보존되는 양이다.
각운동량 - 각운동량 연산자
각운동량 연산자는 양자역학에서 각운동량을 나타내는 연산자로 궤도, 스핀, 총 각운동량으로 나뉘며, 교환 관계, 양자화, 불확정성 원리와 관련되고 회전 변환 생성자 역할을 한다.
보존 법칙 - 운동량
운동량은 물체의 질량과 속도의 곱으로 정의되는 벡터량으로, 외부 힘이 작용하지 않는 계에서는 보존되며, 충돌, 충격량, 질량 변화, 상대론, 해석역학, 전자기학, 양자역학 등 다양한 역학 분야에서 중요한 물리량으로 다뤄진다.
보존 법칙 - 전하
전하는 물질의 기본 성질로서 다른 전하를 띤 물질과 전기적 힘을 주고받으며, 그 힘의 크기는 쿨롱의 법칙에 따라 전하량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례하며, 전하량은 기본 전하량의 정수배로 양자화되고, 전하 보존 법칙에 따라 고립계에서 총 전하량은 보존된다.
모멘트 (물리학) - 운동량
운동량은 물체의 질량과 속도의 곱으로 정의되는 벡터량으로, 외부 힘이 작용하지 않는 계에서는 보존되며, 충돌, 충격량, 질량 변화, 상대론, 해석역학, 전자기학, 양자역학 등 다양한 역학 분야에서 중요한 물리량으로 다뤄진다.
모멘트 (물리학) - 질량
질량은 물체의 고유한 물리량으로 관성 및 중력과 상호작용하며, 관성 질량과 중력 질량으로 구분되고 에너지와 등가성을 가지며, 그 기원과 동등성에 대한 연구는 현대 물리학의 중요한 과제이다.

각운동량
기본 정보
각운동량 보존으로 인해 회전하는 동안 똑바로 서 있는 자이로스코프
일반 정보
이름	각운동량
영어 이름	angular momentum
기호	L
단위	kg⋅m²⋅s⁻¹
차원	M L² T⁻¹
성질	벡터
보존	예
유도	L = Iω = r × p
정의
정의	선운동량의 회전 유사체인 물리량
고전 역학
고전 역학	고전역학의 기본 개념
관련 주제	고전역학의 역사
벡터 관계
공식	r × p
위치 벡터	r
선운동량	p = m v
특징
특징	보존량
설명	회전 운동의 정도를 나타내는 물리량
응용
응용	프리스비의 안정적인 비행 열대 저기압의 구조

2. 정의

회전계에서 힘('''F'''), 돌림힘(τ), 운동량('''p'''), 각운동량('''L''') 벡터 간의 관계. '''r'''은 위치 벡터이다.

어떤 원점에 대한 입자의 각운동량은 다음과 같이 정의된다.^[57]

:

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times m \mathbf{v}

여기서

$m$ : 입자의 질량
$\mathbf{L}$ : 입자의 각운동량
$\mathbf{p}$ : 입자의 선운동량
$\mathbf{r}$ : 원점에서부터 입자까지의 위치벡터
$\mathbf{v}$ : 입자의 속도

이다. 물리계가 여러 입자로 구성되어 있을 때에는, 한 원점에 대한 총 각운동량은 각각의 각운동량을 더해서 구하거나,

:

\mathbf{L} = \sum_i \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i

좀 더 복잡한 부피를 가지는 물체의 각운동량은 미소질량에 대해 각운동량을 적분하여 얻을 수 있다.

:

\mathbf{L} = \int_V \mathbf{r} \times \mathbf{v} \, dm

많은 경우, 고정된 특정한 한 축에 대한 각운동량만을 고려하기 때문에 각운동량을 3차원 벡터로 취급하지 않고 단순히 반시계방향의 회전은 양으로, 시계방향의 회전은 음으로 취급하여 스칼라로 놓기도 한다. 이렇게 할 때에는 벡터곱의 크기로 각운동량을 표기하게 된다.

:

\mathbf{L} = |\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin \theta

여기서

\theta

는

\mathbf{r}

로부터

\mathbf{p}

까지 재는 각도이다.

각속도와 마찬가지로, 물체의 각운동량에는 두 가지 특수한 유형이 있습니다. '''스핀 각운동량'''은 물체의 질량 중심을 중심으로 한 각운동량이고, '''궤도 각운동량'''은 선택한 회전 중심을 중심으로 한 각운동량입니다. 지구는 태양 주위를 공전하기 때문에 궤도 각운동량을 가지고 있으며, 극축 주위의 매일 회전 때문에 스핀 각운동량을 가지고 있습니다. 총 각운동량은 스핀 각운동량과 궤도 각운동량의 합입니다.

강체의 스핀 각운동량 벡터는 스핀 각속도 벡터 '''Ω'''에 비례하지만 항상 평행하지는 않으므로, 비례 상수는 스칼라가 아니라 2계 텐서가 됩니다.

각운동량은 정의에서 알 수 있듯이 좌표 원점의 선택에 의존한다. 원점을 위치 '''a'''로 이동한 좌표계를 생각해보자. 새로운 좌표계에서의 양을 '를 붙여 표기하면, '''r'''′ = '''r''' − '''a''', '''p'''′ = '''p'''이며, 각운동량은 `L' = L - a × p`로 변환된다.

2. 1. 수학적 정의

어떤 원점에 대한 입자의 각운동량은 다음과 같이 정의된다.^[57]

:

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times m \mathbf{v}

여기서

$m$ : 입자의 질량
$\mathbf{L}$ : 입자의 각운동량
$\mathbf{p}$ : 입자의 선운동량
$\mathbf{r}$ : 원점에서부터 입자까지의 위치벡터
$\mathbf{v}$ : 입자의 속도

이다. 물리계가 여러 입자로 구성되어 있을 때에는, 한 원점에 대한 총 각운동량은 각각의 각운동량을 더해서 구하거나,

:

\mathbf{L} = \sum_i \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i

좀 더 복잡한 부피를 가지는 물체의 각운동량은 미소질량에 대해 각운동량을 적분하여 얻을 수 있다.

:

\mathbf{L} = \int_V \mathbf{r} \times \mathbf{v} \, dm

3차원 공간에서 궤도 각운동량을 완전히 정의하려면 위치 벡터가 각도를 쓸어내는 비율, 각 변위의 순간 평면에 수직인 방향, 그리고 관련된 질량과 이 질량이 공간에 어떻게 분포되어 있는지 알아야 한다.^[9] 각운동량의 이러한 벡터 특성을 유지함으로써 방정식의 일반적인 특성도 유지되며, 회전 중심을 중심으로 한 모든 종류의 3차원 운동 – 원운동, 직선 운동 또는 기타 운동 – 을 설명할 수 있다. 벡터 표기법에서 원점을 중심으로 운동하는 점입자의 궤도 각운동량은 다음과 같이 표현할 수 있다.

\mathbf{L} = I\boldsymbol{\omega},

여기서

$I = r^2m$ 은 점질량의 관성 모멘트이다.
$\boldsymbol{\omega}=\frac{\mathbf{r}\times\mathbf{v}}{r^2}$ 는 원점을 중심으로 한 입자의 궤도 각속도이다.
$\mathbf{r}$ 은 원점을 기준으로 한 입자의 위치 벡터이고, $r=\left\vert\mathbf{r}\right\vert$ 이다.
$\mathbf{v}$ 는 원점을 기준으로 한 입자의 선속도이다.
$m$ 은 입자의 질량이다.

이는 벡터 대수의 규칙에 따라 전개, 축소 및 재배열할 수 있다.

\begin{align}\mathbf{L} &= \left(r^2m\right)\left(\frac{\mathbf{r}\times\mathbf{v}}{r^2}\right) \\&= m\left(\mathbf{r}\times\mathbf{v}\right) \\&= \mathbf{r}\times m\mathbf{v} \\&= \mathbf{r}\times\mathbf{p},\end{align}

이는 입자의 위치 벡터

\mathbf{r}

와 선운동량

\mathbf{p} = m\mathbf{v}

의 외적이다. 외적의 정의에 따라

\mathbf{L}

벡터는

\mathbf{r}

과

\mathbf{p}

모두에 수직이다.

구면 좌표계에서 각운동량 벡터는 다음과 같이 표현된다.

:

\mathbf{L} = m \mathbf{r} \times \mathbf{v} = m r^2 \left(\dot\theta\,\hat{\boldsymbol\varphi} - \dot\varphi \sin\theta\,\mathbf{\hat{\boldsymbol\theta}}\right).

2. 2. 좌표 원점의 이동

각운동량은 정의에서 알 수 있듯이 좌표 원점의 선택에 의존한다. 원점을 위치 '''a'''로 이동한 좌표계를 생각해보자. 새로운 좌표계에서의 양을 '를 붙여 표기하면, '''r'''′ = '''r''' − '''a''', '''p'''′ = '''p'''이며, 각운동량은 `L' = L - a × p`로 변환된다.

3. 각운동량 보존 법칙

토크가 작용하지 않으면 계의 각운동량은 보존된다. 즉,

: $\frac{d\mathbf{L}}{dt} = 0$

: $\mathbf{L}=\mathbf{C}$ (상수벡터)

가 된다. 이를 '''각운동량 보존 법칙'''이라고 한다.

각운동량 보존 법칙은 중심력이 작용하는 운동을 분석하는 데 유용하다. 중심력만 작용하는 입자들의 운동에서 두 입자는 외부 영향에서 고립된 계를 이루고, 원점은 두 입자를 잇는 선 위에 존재한다. 힘의 방향은 항상 원점에서 입자까지의 위치벡터와 같으므로, 토크는 항상 0이 된다. 따라서 각운동량은 보존된다. 이는 행성, 위성, 보어 모델 등의 분석에 유용하다.

뉴턴의 제3운동 법칙에 따르면, 닫힌 계에서 어떤 물질에 토크가 작용하려면 같은 축에 대해 크기가 같고 방향이 반대인 토크가 다른 물질에 작용해야 한다.^[21] 따라서 닫힌 계에서 각운동량은 물체들 사이에서 교환될 수 있지만, 교환 전후 총 각운동량은 보존된다.^[20]

뉴턴의 제1운동 법칙에 따르면, 외부 영향이 없다면 강체는 등속 회전 상태를 유지한다.^[21] 따라서 외부 영향이 없다면, 계의 원래 각운동량은 일정하게 유지된다.^[22]

각운동량 보존은 중앙력 운동 분석에 사용된다. 알짜힘이 항상 한 점(중심)을 향하는 경우, 힘은 모두 반지름 벡터를 따라 향하고 반지름에 수직인 성분이 없으므로, 중심에 대한 물체의 토크는 없다. 토크 $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \mathbf{0},$ 는 $\mathbf{r}$ 과 $\mathbf{F}$ 가 평행 벡터이기 때문이다. 따라서 중심에 대한 물체의 각운동량은 일정하다. 이는 행성과 위성의 궤도에서 중력이 항상 주된 천체를 향하는 경우에 해당하며, 궤도를 도는 천체는 주된 천체 주위를 움직일 때 거리와 속도를 교환하여 각운동량을 보존한다. 보어 모델의 원자 분석에도 사용된다.

행성의 경우, 각운동량은 행성의 자전과 궤도 공전에 분포되며, 이들은 다양한 메커니즘에 의해 종종 교환된다. 지구-달계의 각운동량 보존은 달이 지구에 작용하는 조석 토크로 인해 지구에서 달로 각운동량이 전달되는 결과를 가져온다. 이는 하루에 약 65.7나노초 비율로 지구의 자전 속도가 느려지고,^[23] 달의 궤도 반지름이 연간 약 3.82cm씩 증가하는 결과를 초래한다.^[24]

두 개의 반대 방향의 힘 '''F'''_g와 −'''F'''_g에 의해 발생하는 토크는 그 토크 방향으로 각운동량 '''L'''의 변화를 야기한다(토크는 각운동량의 시간 미분이므로). 이로 인해 팽이가 세차 운동한다.

각운동량 보존은 피겨 스케이터가 팔과 다리를 회전축에 가깝게 가져올 때 각가속도를 설명한다. 스케이터가 신체 일부를 축에 더 가깝게 가져옴으로써, 관성 모멘트를 감소시킨다. 각운동량은 관성 모멘트와 각속도의 곱이므로, 각운동량이 일정하게 유지되는 경우(보존되는 경우), 스케이터의 각속도(회전 속도)는 증가해야 한다.

같은 현상으로 인해, 훨씬 크고 느리게 회전하는 별로부터 형성될 때, 밀집성(예: 백색왜성, 중성자별, 블랙홀)이 매우 빠르게 자전한다.

보존은 항상 계의 역학을 완전히 설명하는 것은 아니지만, 핵심적인 제약 조건이다. 예를 들어, 팽이는 중력 토크의 영향을 받아 기울어지고 장동 축에 대한 각운동량을 변화시키지만, 회전 접촉점에서의 마찰을 무시하면, 팽이의 회전축에 대한 각운동량과 세차 운동 축에 대한 각운동량은 보존된다. 또한 어떤 행성계에서도 행성, 별, 혜성, 소행성은 여러 복잡한 방식으로 움직일 수 있지만, 계의 각운동량이 보존되는 방식으로만 움직인다.

네터의 정리는 모든 보존 법칙이 기본 물리학의 대칭성(불변성)과 관련되어 있음을 명시한다. 각운동량 보존과 관련된 대칭성은 회전 불변성이다. 계의 물리학이 어떤 축에 대해 임의의 각도로 회전하더라도 변하지 않는다는 사실은 각운동량이 보존됨을 의미한다.^[25]

각운동량의 총 보존은 회전에 대해 대칭적인 계에서 네터의 정리로부터 유래하는 것으로 뉴턴의 운동 법칙과는 별개로 이해할 수 있지만, 뉴턴의 제2법칙과 자연의 힘을 지배하는 법칙(예: 뉴턴의 제3법칙, 맥스웰 방정식, 로렌츠 힘)을 함께 사용하여 다른 방법으로 도출할 수 있는 결과를 효율적으로 계산하는 방법으로서도 이해할 수 있다. 실제로 모든 점의 초기 위치와 속도, 그리고 그러한 조건에서의 힘이 주어지면 뉴턴의 제2법칙을 사용하여 위치의 이계도함수를 계산할 수 있으며, 이를 풀면 시간에 따른 물리계의 발전에 대한 완전한 정보를 얻을 수 있다.^[26] 그러나 양자역학에서는 입자 스핀의 존재로 인해 이것이 더 이상 사실이 아니다. 스핀은 공간에서 점과 같은 운동의 누적 효과로 설명할 수 없는 각운동량이다.

예를 들어, 피겨 스케이터가 팔을 안으로 당겨 원운동 속도를 높이는 것처럼 관성 모멘트가 감소하는 경우를 생각해보자. 각운동량 보존 측면에서 각운동량을 ''L'', 관성 모멘트를 ''I'', 각속도를 ''ω''로 하면 다음과 같다.

0 = dL = d (I\cdot \omega) = dI \cdot \omega + I \cdot d\omega

이를 이용하면 다음과 같은 에너지 변화가 필요함을 알 수 있다.

dE = d \left(\tfrac{1}{2} I\cdot \omega^2\right) = \tfrac{1}{2} dI \cdot \omega^2 + I \cdot \omega \cdot d\omega = -\tfrac{1}{2} dI \cdot \omega^2

따라서 관성 모멘트 감소에는 에너지 투입이 필요하다.

이는 뉴턴 법칙을 사용하여 계산된 일과 비교할 수 있다. 회전체의 각 점은 각 시간에 다음과 같은 구심 가속도를 갖는다.

-r\cdot \omega^2

질량 ''m''의 한 점을 생각해보자. 이 점의 운동 중심에 대한 위치 벡터는 주어진 시간에 z축에 수직이며 거리 ''z''에 있다고 하자. 원운동을 유지하는 이 점에 대한 구심력은 다음과 같다.

-m\cdot z\cdot \omega^2

따라서 이 점을 운동 중심에서 ''dz''만큼 더 멀리 이동하는 데 필요한 일은 다음과 같다.

dW = -m\cdot z\cdot \omega^2\cdot dz = -m\cdot \omega^2\cdot d\left(\tfrac{1}{2} z^2\right)

점이 아닌 물체의 경우 ''m''을 단위 ''z''당 질량 밀도로 대체하여 이를 적분해야 한다. 이는 다음을 제공한다.

dW = - \tfrac{1}{2}dI \cdot \omega^2

이는 각운동량 보존을 유지하는 데 필요한 에너지와 정확히 일치한다.

위 계산은 운동학만을 사용하여 질량당 수행할 수도 있다. 따라서 피겨 스케이터가 팔을 안으로 당기면서 접선 속도가 증가하는 현상은 다음과 같이 간단한 언어로 이해할 수 있다. 스케이터의 손바닥은 직선으로 움직이지 않으므로 항상 안쪽으로 가속되지만, 가속이 항상 안쪽으로의 운동이 0일 때 이루어지기 때문에 추가적인 속도를 얻지 못한다. 그러나 손바닥을 신체에 더 가깝게 당길 때는 다르다. 회전으로 인한 가속도가 이제 속도를 증가시키지만, 회전 때문에 속도 증가는 안쪽으로의 상당한 속도 변화로 이어지지 않고 회전 속도의 증가로 이어진다.

3. 1. 각운동량과 토크

뉴턴의 제2운동 법칙에 따르면, 힘은 질량과 가속도의 곱으로 표현된다. 점입자에 대한 회전 운동에서 각운동량(

\mathbf{L} = I\boldsymbol{\omega}

)의 시간 미분은 토크와 같으며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\boldsymbol{\tau} = \frac{dI}{dt}\boldsymbol{\omega} + I\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}.

여기서

I

는 관성 모멘트,

\boldsymbol{\omega}

는 각속도를 나타낸다. 관성 모멘트가 시간에 따라 변할 수 있기 때문에 토크가 반드시 각가속도에 비례하거나 평행하지는 않다.

질점의 각운동량의 시간 변화는

{{Indent|

\frac{d\boldsymbol{L}}{dt}=\boldsymbol{r}\times \frac{d\boldsymbol{p}}{dt}+\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\times \boldsymbol{p}

}}

이 된다. 여기서, 뉴턴의 운동 법칙 '''''F'''''}}을 이용하면, 첫 번째 항은 토크 '''''r'''''×'''''F'''''}}가 된다. 또한, 두 번째 항은 ''m'''v'''''×'''''v''''' '''0'''}}이 된다. 따라서, 각운동량은 뉴턴의 운동 법칙과 유사한 오일러 운동 방정식

{{Indent|

\frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \boldsymbol{N}

}}

을 만족한다.

토크는 그 정의에서 좌표 원점의 선택에 의존한다. 그러나, 좌표 원점의 이동에 의한 토크의 변화와 각운동량의 변화가 상쇄되어, 운동 방정식은 항상 성립한다.

4. 관성 모멘트와 각운동량

관성 모멘트와 각운동량 사이에는 질량과 운동량사이의 관계와 유사한 관계를 가진다. 회전축이 변하지 않는 경우에 각운동량은 간단히 스칼라 관성모멘트 ''I''와 각속도 '''ω'''의 곱으로 쓸 수 있다.

:'''L''' = ''I'' '''ω'''

위 식은 스칼라 관성 모멘트의 정의와 각속도의 공식을 사용하여 각운동량의 정의로부터 간단히 유도할 수 있다.

일반적인 회전의 경우, 각운동량과 각속도 벡터는 평행하지 않다. 따라서 스칼라 관성 모멘트를 사용한 식이 성립하지 않고, 좀 더 일반적인 식인 관성 텐서 '''I'''를 사용한 아래의 식을 사용한다.

'''L''' = '''I''' ⋅ '''ω'''

관성 텐서의 각 성분 I_ij는 다음과 같이 정의된다.

I_ij = m ( |'''r'''|² δ_ij - r_ir_j )

속도와 각속도의 일반적 관계를 사용하면 각운동량과 관성 텐서 사이의 관계를 유도할 수 있다.

4. 1. 회전축이 변하지 않는 경우

회전축이 변하지 않는 경우에 각운동량은 간단히 스칼라 관성모멘트 ''I''와 각속도 '''ω'''의 곱으로 쓰일 수 있다.

:'''L''' = ''I'' '''ω'''

위 식은 스칼라 관성 모멘트의 정의

:''I'' = ''m''|'''r'''|²

와 각속도의 공식 ('''ω'''와 '''r'''이 '''수직'''일 때만 성립.)

:'''ω''' = ('''r''' × '''v''')/|'''r'''|²

을 사용하여 각운동량의 정의로부터 간단히 유도할 수 있다.

:'''L''' = '''r''' × ''m'' '''v''' = (''m'' |'''r'''|²) ⋅ ('''r''' × '''v'''/|'''r'''|²) = ''I'' '''ω'''

여기서는 입자 하나에 대해서만 유도를 하였지만, 일반적인 경우에도 관성모멘트와 각운동량 사이에는 이와 같은 관계가 성립한다.

4. 2. 일반적인 경우

회전축이 변하는 일반적인 회전의 경우, 각운동량과 각속도 벡터는 평행하지 않다. 따라서 스칼라 관성 모멘트를 사용한 식이 성립하지 않고, 좀 더 일반적인 식인 관성 텐서 '''I'''를 사용한 아래의 식을 사용한다.

'''L''' = '''I''' ⋅ '''ω'''

관성 텐서의 각 성분 I_ij는 다음과 같이 정의된다.

I_ij = m ( |'''r'''|² δ_ij - r_ir_j )

속도와 각속도의 일반적 관계 '''v''' = '''ω''' × '''r'''를 사용하면 각운동량과 관성 텐서 사이의 관계를 유도할 수 있다. 각운동량의 정의에 이를 대입하면,

'''L''' = '''r''' × m '''v''' = m '''r''' × ( '''ω''' × '''r''' )

를 얻고, 여기서 삼중곱을 전개하면 아래와 같은 식을 얻는다.

'''L''' = m [ '''ω''' |'''r'''|² - '''r''' ('''r''' ⋅ '''ω''' ) ]

이제, '''L'''을 성분 L_i로 표현해 '''ω'''를 분리한다.

L_i = m [ ω_i |'''r'''|² - r_ir_jω_j ] = Σ_j m [ |'''r'''|² δ_ij - r_ir_j ] ω_j

관성 텐서의 정의를 대입하면,

L_i = Σ_j I_ij ω_j

가 되어 맨 처음 식이 성립함을 확인할 수 있다.

5. 양자역학에서의 각운동량

고전적인 각운동량에 대응하는 양자역학적 관측 가능량은 궤도 각운동량 $\mathbf{L}$ 이다.^[35] 궤도 각운동량은 디랙 상수 $\hbar$ 의 정수 또는 반정수(half-integer)배로 양자화된다.^[35] 양자역학에는 고전역학에 존재할 수 없는 각운동량 항이 존재하는데, 이를 스핀 $\mathbf{S}$ 라고 한다.^[35]

양자역학에서 각운동량은 연산자로 표현되며, 그 1차원 투영은 양자화된 고유값을 갖는다.^[35] 각운동량은 하이젠베르크의 불확정성 원리의 지배를 받으므로, 어떤 시점에서도 단 하나의 투영(또는 "성분")만이 명확한 정밀도로 측정될 수 있으며, 나머지 두 성분은 불확실하게 남는다.^[35] 이 때문에 양자 입자의 회전축은 정의되지 않는다.^[35]

고전적인 각운동량

\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}

는 '''r'''을 양자 위치 연산자, '''p'''를 양자 운동량 연산자로 재해석하여 양자역학으로 확장할 수 있다.^[35] '''L'''은 연산자가 되는데, 특히 ''궤도 각운동량 연산자''라고 부른다.^[35] 각운동량 연산자의 성분은 Lie 대수 so(3)의 교환 관계를 만족한다.^[37]

그러나 양자 물리학에서는 스핀 연산자 '''S'''로 표현되는 ''스핀 각운동량''이라는 또 다른 유형의 각운동량이 있다.^[35] 스핀은 입자의 고유한 속성이며, 공간에서의 어떤 종류의 운동과도 무관하며 근본적으로 궤도 각운동량과 다르다.^[35] 모든 소립자는 특징적인 스핀(0일 수도 있음)을 가지고 있으며,^[38] 거의 모든 소립자는 0이 아닌 스핀을 가지고 있다.^[39] 예를 들어 전자는 "스핀 1/2", 광자는 "스핀 1", 파이온은 스핀 0을 가진다.^[40]

총 각운동량 '''J'''는 모든 입자와 장의 스핀 및 궤도 각운동량을 결합한 것이다. 각운동량 보존 법칙은 '''J'''에 적용되지만 '''L''' 또는 '''S'''에는 적용되지 않는다.^[35] 예를 들어 스핀-궤도 상호작용을 통해 각운동량이 '''L'''과 '''S''' 사이에서 전달될 수 있으며, 총량은 일정하게 유지된다.^[35] 전자와 광자는 총 각운동량에 대해 정수 기반 값을 가질 필요가 없지만 반정수 값을 가질 수도 있다.^[41]

양자역학에서 각운동량은 양자화된다.^[35] 즉, 연속적으로 변할 수 없고, 허용된 특정 값 사이에서만 "양자 도약"을 한다. 임의의 계에 대해 다음과 같은 측정 결과 제한이 적용된다. 여기서

\hbar

는 환산 플랑크 상수이고

\hat n

은 x, y 또는 z와 같은 임의의 유클리드 벡터이다.

측정하는 값	측정 결과
$L_\hat{n}$	$\ldots, -2\hbar, -\hbar, 0, \hbar, 2\hbar, \ldots$
$S_\hat{n}$ 또는 $J_\hat{n}$	$\ldots, -\frac{3}{2}\hbar, -\hbar, -\frac{1}{2}\hbar, 0, \frac{1}{2}\hbar, \hbar, \frac{3}{2}\hbar, \ldots$
$\begin{align}$	$\left[\hbar^2 n(n + 1)\right]$ , 여기서 $n = 0, 1, 2, \ldots$
$S^2$ 또는 $J^2$	$\left[\hbar^2 n(n + 1)\right]$ , 여기서 $n = 0, \tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}, \ldots$

환산 플랑크 상수

\hbar

는 매우 작으며, 약 10⁻³⁴ J·s이다. 따라서 이러한 양자화는 거시적인 물체의 각운동량에 눈에 띄게 영향을 미치지 않는다. 그러나 미시 세계에서는 매우 중요하다. 예를 들어, 화학에서 전자껍질과 부껍질의 구조는 각운동량의 양자화에 의해 크게 영향을 받는다. 각운동량의 양자화는 닐스 보어가 보어 모형에서 처음으로 가정했으며, 나중에 에르빈 슈뢰딩거가 슈뢰딩거 방정식에서 예측했다.

위치 연산자와 운동량 연산자의 하이젠베르크의 불확정성 원리에 따르면 입자의 각운동량에 대해 알거나 측정할 수 있는 것에는 한계가 있다. 최선의 방법은 각운동량 벡터의 크기와 한 축을 따라서의 성분을 동시에 측정하는 것이다. 이러한 불확정성은 각운동량 연산자의 서로 다른 성분들이 교환되지 않는다는 사실과 밀접한 관련이 있다.

'''총''' 각운동량 '''J'''는 회전의 "생성자"로 정의된다.^[43] '''J'''는 임의의 계를 취하여 축

\hat{\mathbf{n}}

을 중심으로 각도

\phi

만큼 회전시키는 회전 연산자가 되도록 정의된다. 각운동량 연산자와 회전 연산자의 관계는 리 대수와 리 군의 관계와 같다. 각운동량과 회전 사이의 밀접한 관계는 물리 법칙이 회전적으로 불변일 때마다 각운동량이 보존됨을 증명하는 네터의 정리에 반영되어 있다.

양자역학에서 각운동량은 다음과 같은 교환 관계를 만족하는 연산자

\hat{\boldsymbol{J}}

로 정의된다.

{{Indent|

[\hat{J}_x, \hat{J}_y] = i\hat{J}_z,~[\hat{J}_y, \hat{J}_z] = i\hat{J}_x,~[\hat{J}_z, \hat{J}_x] = i\hat{J}_y

}}

혹은, 세 식을 종합하여

{{Indent|

[\hat{J}_i, \hat{J}_j] = i\epsilon_{ijk}\hat{J}_k

}}

\epsilon_{ijk}

는 완전 반대칭 텐서이다. 이러한 교환 관계는 각운동량 대수라고 불린다.

이 각운동량의 성질을 조사하면,

{{Indent|

\hat{\boldsymbol{J}} = \hat{\boldsymbol{L}} + \hat{\boldsymbol{S}}

}}

와 같이 두 부분으로 나뉘며, 각각이 각운동량 대수를 만족한다.

{{Indent|

[\hat{L}_i, \hat{L}_j] = i\epsilon_{ijk}\hat{L}_k,~[\hat{S}_i, \hat{S}_j] = i\epsilon_{ijk}\hat{S}_k,~[\hat{L}_i, \hat{S}_j] = 0

}}

궤도 각운동량

\hat{\boldsymbol{L}}

은

\hat{\boldsymbol{L}} = \hat{\boldsymbol{r}} \times \hat{\boldsymbol{p}}

와 같이 위치와 운동량의 외적(벡터곱)으로 나타낼 수 있으며, 그 고유값은 정수로만 제한된다.

스핀 각운동량

\hat{\boldsymbol{S}}

은 위치와 운동량으로는 표현할 수 없으며, 그 고유값은 정수 외에 반정수도 허용된다.

6. 상대성 이론에서의 각운동량

현대(20세기) 이론 물리학에서 고유 각운동량을 포함하지 않는 각운동량은 고전적인 축 벡터 대신 다른 형식을 사용하여 기술된다.^[32] 이 형식에서 각운동량은 회전 불변성과 관련된 2-형식 네터 전하이다. 상대론적 역학에서 입자의 상대론적 각운동량은 2차 반대칭 텐서로 표현된다.^[33]

고전 역학에서 입자의 각운동량은 평면 요소로 재해석될 수 있다.

: $\mathbf{L} = \mathbf{r} \wedge \mathbf{p} \,,$

여기서 외적(∧)이 외적(×)을 대체한다. 이것은 벡터 '''x'''와 '''p'''를 사용하여 정의된 평면 요소로서 더 명확한 기하학적 해석을 제공하며, 이 표현식은 임의의 차원에서 성립한다. 데카르트 좌표계에서:

: $\begin{align}\mathbf{L} &= \left(xp_y - yp_x\right)\mathbf{e}_x \wedge \mathbf{e}_y + \left(yp_z - zp_y\right)\mathbf{e}_y \wedge \mathbf{e}_z + \left(zp_x - xp_z\right)\mathbf{e}_z \wedge \mathbf{e}_x\\&= L_{xy}\mathbf{e}_x \wedge \mathbf{e}_y + L_{yz}\mathbf{e}_y \wedge \mathbf{e}_z + L_{zx}\mathbf{e}_z \wedge \mathbf{e}_x \,,\end{align}$

또는 지수 표기법으로 더 간결하게 표현하면:

: $L_{ij} = x_i p_j - x_j p_i\,.$

각속도는 또한 ''ω_ij'' 성분을 갖는 반대칭 2차 텐서로 정의될 수 있다. 두 반대칭 텐서 사이의 관계는 이제 4차 텐서가 되어야 하는 관성 모멘트에 의해 주어진다.^[34]

: $L_{ij} = I_{ijk\ell} \omega_{k\ell} \,.$

다시 말하지만, 텐서로서 '''L'''과 '''ω'''에 대한 이 방정식은 임의의 차원에서 성립한다. 이 방정식은 또한 기하 대수 형식에서 나타나는데, 여기서 '''L'''과 '''ω'''는 이중 벡터이고, 관성 모멘트는 그들 사이의 사상이다.

상대론적 역학에서 입자의 상대론적 각운동량은 2차 반대칭 텐서로 표현된다.

: $M_{\alpha\beta} = X_\alpha P_\beta - X_\beta P_\alpha$

4-벡터 즉, 4-위치 ''X''와 4-운동량 ''P''의 관점에서, 그리고 위의 '''L'''과 질량 모멘트를 흡수한다.

특수상대성이론에서는 2계 텐서 $L^{\mu\nu}$ 로 정의된다.

: $L^{\mu\nu} = 2! x^{[\mu} p^{\nu]} \rightarrow\begin{bmatrix}0 & L^z & -L^y & cN^x \\$

L^z & 0 & L^x & cN^y \\

L^y & -L^x & 0 & cN^z \\

cN^x & -cN^z & -cN^y & 0 \\

\end{bmatrix}

여기서, 사차원 위치

x^{\mu}

, 사차원 운동량

p^{\mu}

, 그리고 질량 모멘트

\boldsymbol{N}

는 다음 식으로 정의된다.

:

\begin{align}(x^{\mu}) &= (x,~y,~z,~ct), \\(p^{\mu}) &= (p_x,~p_y,~p_z,~E/c), \\\boldsymbol{N} &= m(\boldsymbol{r} - \boldsymbol{v}t)\end{align}

일반적으로 곡선 시공간에서 각운동량은 회전 대칭성이 없는 한 일반적으로 국소적으로 보존되지 않는다.^[32] 시공간이 커 메트릭과 같이 축 대칭인 경우만 총 각운동량은 보존되지 않지만,

p_{\phi}

는 보존된다. 이것은 대칭축을 중심으로 회전하는 것과 관련이 있다. 여기서

p_{\phi}=g_{\mu \phi}p^{\phi}=mg_{\mu \phi} dX^{\mu}/d\tau

임을 주목해야 한다. 여기서

g_{\mu\nu}

는 메트릭,

m=\sqrt

는 정지 질량,

dX^{\mu}/d\tau

는 4-속도, 그리고

X^{\mu}=(t,r,\theta,\phi)

는 구면 좌표계에서의 4-위치이다.

입자의 순간적인 3-위치 '''x'''와 3-운동량 '''p'''를 갖는 입자의 3-각운동량을 이중 벡터(평면 요소)와 축 벡터로 나타낸 그림.

7. 다양한 분야에서의 각운동량

7. 1. 고전역학

라그랑주 역학에서 주어진 축 주위의 회전에 대한 각운동량은 같은 축 주위의 각도라는 일반화 좌표의 켤레 운동량으로 정의된다.^[28] 예를 들어, z축 주위의 각운동량

L_z

는 라그랑지안

\cal{L}

과 z축 주위의 각도

\theta_z

를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

L_z = \frac{\partial \cal{L}}{\partial \dot\theta_z}

여기서

\dot\theta_z

는 각도의 시간 미분으로, 각속도

\omega_z

이다. 일반적으로 라그랑지안은 운동 에너지를 통해 각속도에 의존한다.

밀도가 ''ρ''인 점입자가 아닌 물체의 경우, 운동에너지(

E_k

)는 z축 주위의 관성 모멘트(

I_z

)를 이용해 표현할수 있고, 각운동량은 다음과 같다.

\begin{align}{L_z}_i &= \frac{\partial \cal{L} }{\partial { {\omega_z}_i} } = \frac{\partial E_k}{\partial { {\omega_z}_i} } \\&= {I_z}_i \cdot {\omega_z}_i\end{align}

오일러-라그랑주 방정식을 통해, 각운동량의 시간에 따른 변화는 토크와 같다는 것을 알 수 있다. 만약 시스템이 회전에 대해 불변이면, 즉 위치 에너지가 전체 각도에 의한 회전과 무관하면, 각운동량은 보존된다.

해밀토니안 역학에서도 각운동량을 운동 에너지와 관련하여 표현할 수 있다. 해밀턴 방정식은 z축 주위의 각도를 그 켤레 운동량인 같은 축 주위의 각운동량과 관련짓는다. 운동 에너지(

E_k

)는 방사 방향의 운동량과 관성 모멘트를 이용해 표현 가능하다.

각운동량은 공간의 등방성(회전 대칭성)에 대응하는 보존량이다.^[58] 공간의 균질성(병진 대칭성)에 대응하는 보존량인 운동량, 시간의 균질성에 대응하는 보존량인 에너지와 함께 기본적인 물리량이다.^[58]

7. 2. 천체역학

천체역학에서 각운동량은 비특이적 각운동량(

\mathbf{h} = \mathbf{r} \times \mathbf{v}

)으로 정의되며, 궤도 역학 계산에 사용된다.^[29] 이는 궤도 운동을 분석하는 데 중요한 역할을 한다. 질량은 종종 중요하지 않은데, 이는 물체의 운동이 중력에 의해 결정되기 때문이다. 계의 주요 천체는 종종 주위를 도는 어떤 천체보다 훨씬 크기 때문에 작은 천체의 중력 효과는 무시할 수 있으며, 사실상 일정한 속도를 유지한다. 모든 천체의 운동은 질량에 관계없이 중력의 영향을 받으므로, 동일한 조건 하에서 모두 거의 동일한 방식으로 움직인다.

7. 3. 강체

각운동량은 자이로스코프나 암석형 행성과 같이 회전하는 강체를 설명하는 데 매우 유용한 개념이다. 밀도 함수 ρ(r)를 갖는 연속적인 질량 분포의 경우, 질량 내부의 위치 벡터 r을 갖는 미소 체적 요소 dV는 질량 요소 dm = ρ(r)dV를 갖는다. 따라서 이 요소의 미소 각운동량은 다음과 같다.

:

d\mathbf{L} = \mathbf{r}\times dm \mathbf{v} = \mathbf{r}\times \rho(\mathbf{r}) dV \mathbf{v} = dV \mathbf{r}\times \rho(\mathbf{r}) \mathbf{v}

그리고 이 미소량을 전체 질량의 부피에 대해 적분하면 총 각운동량이 된다.

:

\mathbf{L}=\int_V dV \mathbf{r}\times \rho(\mathbf{r}) \mathbf{v}

다음 유도에서 이와 유사한 적분은 연속 질량의 경우 합을 대체할 수 있다.

7. 4. 입자계

임의의 원점을 중심으로 운동하는 입자들의 집합(입자계)에 대해, 각 입자의 운동을 질량 중심을 중심으로 한 성분과 원점을 중심으로 한 성분으로 분해하여 각운동량 방정식을 유도할 수 있다.^[30]

입자 ''i''의 각운동량은 벡터곱 '''R''' × ''M'''''V''' + Σ'''r'''_''i'' × ''m_i'''''v'''_''i''의 합이다.

$m_i$ 는 입자 $i$ 의 질량이다.
$\mathbf{R}_i$ 는 원점에 대한 입자 $i$ 의 위치 벡터이다.
$\mathbf{V}_i$ 는 원점에 대한 입자 $i$ 의 속도 벡터이다.
$\mathbf{R}$ 는 원점에 대한 질량 중심의 위치 벡터이다.
$\mathbf{V}$ 는 원점에 대한 질량 중심의 속도 벡터이다.
$\mathbf{r}_i$ 는 질량 중심에 대한 입자 $i$ 의 위치 벡터이다.
$\mathbf{v}_i$ 는 질량 중심에 대한 입자 $i$ 의 속도 벡터이다.

입자들의 총질량

M

은 각 입자의 질량

m_i

의 합으로, 다음과 같이 표현된다.

M=\sum_i m_i.

질량 중심의 위치 벡터는 다음과 같이 정의된다.

M\mathbf{R}=\sum_i m_i \mathbf{R}_i.

여기서,

\mathbf{R}_i = \mathbf{R} + \mathbf{r}_i

이고

\mathbf{V}_i = \mathbf{V} + \mathbf{v}_i.

이다.

입자계의 총 각운동량은 각 입자의 각운동량의 합으로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\mathbf{L} = \sum_i \left( \mathbf{R}_i \times m_i \mathbf{V}_i \right)

위 식에

\mathbf{R}_i

와

\mathbf{V}_i

를 전개하여 정리하면,

\mathbf{L} = \sum_i \mathbf{R} \times m_i\mathbf{V} + \sum_i \mathbf{r}_i \times m_i\mathbf{v}_i

가 된다. 이때,

\sum_i m_i\mathbf{r}_i = \mathbf{0}

이고

\sum_i m_i\mathbf{v}_i = \mathbf{0}

이므로, 최종적으로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.^[31]

\mathbf{L} = \mathbf{R} \times M\mathbf{V} + \sum_i \mathbf{r}_i \times m_i\mathbf{v}_i

첫 번째 항(

\mathbf{R} \times M\mathbf{V}

)은 원점에 대한 질량 중심의 각운동량으로, 질량

M

인 하나의 입자가 질량 중심에서 속도

\mathbf{V}

로 움직이는 경우와 같다. 두 번째 항(

\sum_i \mathbf{r}_i \times m_i\mathbf{v}_i

)은 질량 중심에 대한 각 입자들의 상대적인 운동에 의한 각운동량이다.

이 결과는 입자들의 운동이 원점이나 질량 중심을 중심으로 한 회전이나 공전에 제한되지 않으며, 입자들이 개별적인 질량일 필요가 없고, 고체와 같이 연속적인 분포의 요소일 수 있다는 것을 나타낸다.

위 식은 관성 모멘트

I

와 각속도

\boldsymbol{\omega}

를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

\mathbf{L} = I_R\boldsymbol{\omega}_R + \sum_i I_i\boldsymbol{\omega}_i.

만약 질량 중심이 원점에 대해 공간적으로 고정된 경우, 총 각운동량은 다음과 같이 간략화된다.

\mathbf{L} = \sum_i \mathbf{r}_i \times m_i\mathbf{v}_i = \sum_i I_i\boldsymbol{\omega}_i.

각운동량은 가법적인 양이며, 계의 총각운동량은 부분의 각운동량의 합으로 나타낼 수 있다. 질점계의 총각운동량 '''L'''은 질점 i의 각운동량을 '''l'''_i라 하면

:

\boldsymbol{L} =\sum_i \boldsymbol{l}_i = \sum_i \boldsymbol{r}_i\times \boldsymbol{p}_i

이다. 질량중심 '''r'''_g에 총질량 M이 있다고 생각했을 때의 각운동량은

:

\boldsymbol{L}_{\mathrm g} = M \boldsymbol{r}_{\mathrm g} \times \frac{d\boldsymbol{r}_{\mathrm g}}{dt}

이 된다. 총각운동량과 '''L'''_g의 차이는 질량중심에서 본 상대운동의 각운동량으로 볼 수 있다.

:

\boldsymbol{L}_{\mathrm r} = \boldsymbol{L} - \boldsymbol{L}_{\mathrm g}

질점 i의 각운동량의 시간 변화는 질점 i에 작용하는 힘의 모멘트 '''''r'''''_''i''×'''''F'''''_''i''}}와 같다.

질점 i에 작용하는 힘 '''F'''_i를 외력 '''f'''_i와 질점 j가 미치는 내부 상호작용 '''f'''_ij로 나누면, 총각운동량의 시간 변화는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\frac{d\boldsymbol{L}}{dt} =\sum_i \frac{d\boldsymbol{l}_i}{dt}=\sum_i \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{f}_i+\sum_{i,j} \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{f}_{ij}

운동의 제3법칙에 따라, 내력의 모멘트의 합은 다음과 같이 변형된다.

:

\sum_{i,j} \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{f}_{ij}=\frac{1}{2}\sum_{i,j}( \boldsymbol{r}_i -\boldsymbol{r}_j) \times \boldsymbol{f}_{ij}

여기서, '''내력이 중심력이라면''', 내력 '''f'''_ij는 질점 i와 질점 j의 상대 위치와 평행하고, 내력의 모멘트의 합은 0이 된다. 이때, 질점계의 총각운동량의 시간 변화는 작용하는 외력의 모멘트의 총합과 같아진다.

7. 5. 광학

고전적 맥스웰 전자기학에서 포인팅 벡터는 전자기장의 선운동량 밀도이다.^[44] 각운동량 밀도 벡터

\mathbf{L}(\mathbf{r}, t)

는 고전역학과 마찬가지로 벡터곱으로 주어진다.^[45]

:

\mathbf{L}(\mathbf{r}, t) = \epsilon_0 \mu_0 \mathbf{r} \times \mathbf{S}(\mathbf{r}, t).

위 항등식은 주어진 시각

t

에 각 공간 지점

\mathbf{r}

에서 국소적으로 유효하다.

7. 6. 자연과 우주

자연과 우주에서 각운동량 보존은 여러 현상을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

열대성 저기압의 경우, 바람은 코리올리 효과 때문에 저기압계 주변을 천천히 회전한다. 저기압이 강해지면서 공기가 중심으로 빨려 들어가면, 각운동량 보존 법칙에 따라 공기 분자의 속도가 증가한다.^[2]

요하네스 케플러는 각운동량 보존에 대한 지식 없이 행성 운동 법칙을 발견했다. 그러나 그의 발견 이후, 각운동량 보존으로부터 행성 운동 법칙을 유도할 수 있게 되었다. 행성은 타원 궤도에서 멀리 떨어져 있을수록 느리게 움직이는데, 이는 궤도 각운동량이 궤도 반지름에 비례하기 때문이다. 질량이 변하지 않고 각운동량이 보존되므로 속도가 감소한다.

조석 가속은 궤도를 도는 자연 위성(예: 달)과 그 위성이 궤도를 도는 행성(예: 지구) 사이의 조석력 효과이다. 달과 지구의 조석 팽창 사이의 중력 토크로 인해 달은 점진적으로 더 높은 궤도로 상승하고(연간 약 3.8cm), 지구의 자전은 감속된다(–25.858 ± 0.003″/cy²).^[2] 지구는 각운동량을 잃고, 이 각운동량은 달로 전달되어 전체 각운동량이 보존된다.

7. 7. 공학 및 기술

각운동량 보존은 다양한 기술에 응용된다. 증기 기관이나 내연 기관과 같은 엔진에서는 플라이휠이 필요하여 피스톤의 직선 운동을 회전 운동으로 효율적으로 변환한다.

관성 항법 장치는 각운동량이 우주의 관성 기준계에 대해 보존된다는 사실을 이용한다. 관성 항법은 극지방의 얼음 아래 잠수함 항해를 가능하게 할 뿐만 아니라 모든 형태의 현대 항법에도 매우 중요하다.

라이플 총열을 가진 총알은 각운동량 보존이 제공하는 안정성을 사용하여 탄도가 더욱 정확해진다. 라이플 총열을 가진 화기와 대포의 발명은 사용자에게 전투에서 상당한 전략적 이점을 제공했으며, 따라서 역사의 기술적 전환점이 되었다.

비디오: 자이로스코픽 운동 기구는 근육 강화를 위한 각운동량 보존의 응용 사례입니다. 공 모양 장치 내에서 축을 중심으로 빠르게 회전하는 질량은 각운동량을 정의합니다. 운동하는 사람이 공을 기울이면 힘이 발생하여 사용자가 특별히 반응할 때 회전 속도가 증가하기도 합니다.

대한민국의 자동차, 항공기, 선박 등의 설계 및 제어에도 각운동량 개념이 필수적으로 활용된다.

참조

_[1] 웹사이트 Soaring Science: The Aerodynamics of Flying a Frisbee https://www.scientif[...] Scientific American 2012-08-09
_[2] 웹사이트 Tropical Cyclone Structure https://www.weather.[...] National Weather Service
_[3] 서적 Six Ideas That Shaped Physics, Unit C: Conservation Laws Constrain Interactions McGraw-Hill Education
_[4] 웹사이트 Moment of Inertia: Thin Disk http://hyperphysics.[...] 2023-03-17
_[5] 학술지 Linear Momentum, Kinetic Energy and Angular Momentum https://books.google[...] Ginn and Co., Boston, in cooperation with University of Chicago, et al.
_[6] 서적 Dynamics of Rotation https://books.google[...] Longmans, Green and Co., London
_[7] 서적 Classical Mechanics https://archive.org/[...] University Science Books, Mill Valley, CA
_[8] 서적 Analytical Mechanics for Students of Physics and Engineering https://books.google[...] D. Van Nostrand Company, New York
_[9] 서적 General Physics https://books.google[...] Longmans, Green and Co., New York
_[10] 서적 Physics: Advanced Course https://books.google[...] Henry Holt and Company, New York
_[11] 서적 Physics: Advanced Course https://books.google[...] Henry Holt and Company, New York
_[12] 서적 Machinery's Handbook Industrial Press, Inc., New York
_[13] 서적 General Physics https://books.google[...] Longmans, Green and Co., New York
_[14] 서적 The Mechanical Engineers' Pocket Book https://books.google[...] John Wiley and Sons, Inc., New York
_[15] 서적 Machinery's Handbook Industrial Press, Inc., New York
_[16] 서적 Machinery's Handbook Industrial Press, Inc., New York
_[17] 서적 The Mechanical Engineers' Pocket Book https://books.google[...] John Wiley and Sons, Inc., New York
_[18] 서적 An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, Revised Edition American Institute of Aeronautics and Astronautics, Inc.
_[19] 서적 A Manual of Applied Mechanics https://books.google[...] Charles Griffin and Company, London
_[20] 서적 Dynamics of Rotation https://books.google[...] Longmans, Green and Co., London
_[21] 서적 The Principles of Mechanics: For Students of Physics and Engineering https://books.google[...] Longmans, Green, and Company, New York
_[22] 서적 Dynamics of Rotation https://books.google[...] Longmans, Green and Co., London
_[23] 학술지 Long-term changes in the rotation of the earth – 700 B.C. to A.D. 1980
_[24] 학술지 Lunar Laser Ranging: A Continuing Legacy of the Apollo Program http://physics.ucsd.[...]
_[25] 서적 The classical theory of fields Oxford, Butterworth–Heinemann
_[26] 서적 Ordinary differential equations en elementary textbook for students of mathematics. Engineering and the Sciences.
_[27] 서적 Field Theory: A Modern Primer https://books.google[...] Routledge
_[28] 서적 Introduction to Classical Mechanics: With Problems and Solutions https://books.google[...] Cambridge University Press
_[29] 서적 An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, Revised Edition American Institute of Aeronautics and Astronautics, Inc.
_[30] 학술지 Linear Momentum, Kinetic Energy and Angular Momentum https://books.google[...] Ginn and Co., Boston, in cooperation with University of Chicago, et al.
_[31] 학술지 Linear Momentum, Kinetic Energy and Angular Momentum https://books.google[...] Ginn and Co., Boston, in cooperation with University of Chicago, et al.
_[32] 서적 The Large Scale Structure of Space-Time https://doi.org/10.1[...] Cambridge University Press
_[33] 서적 Gravitation https://archive.org/[...] W. H. Freeman and Company
_[34] 서적 Tensor calculus Dover publications
_[35] 서적 Understanding the Properties of Matter https://books.google[...] CRC Press
_[36] 서적 Feynman's Lectures on Physics (volume 2) Addison–Wesley
_[37] 서적 Section 17.3 (Hall, 2013)
_[38] 서적 Facts And Mysteries In Elementary Particle Physics https://books.google[...] World Scientific
_[39] 서적 Advanced Visual Quantum Mechanics https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[40] 서적 Relativistic Quantum Mechanics: With Applications in Condensed Matter and Atomic Physics https://books.google[...] Cambridge University Press
_[41] 학술지 There are many ways to spin a photon: Half-quantization of a total optical angular momentum
_[42] 학술지 The Coupling of Angular Momentum Vectors in Molecules
_[43] 웹사이트 Lecture notes on rotations in quantum mechanics http://bohr.physics.[...] 2012-01-13
_[44] 학술지 Angular momentum of photons and phase conjugation
_[45] 학술지 Optical and Sound Helical structures in a Mandelstam – Brillouin mirror http://www.jetplette[...] 2015-10-31
_[46] 서적 The Mathematical Principles of Natural Philosophy H. D. Symonds, London 1803
_[47] 서적 Axioms; or Laws of Motion, Corollary III
_[48] 학술지 Visual Angular Momentum: Mamikon meets Kepler https://doi.org/10.4[...]
_[49] 서적 New Horizons in Geometry MAA Press
_[50] 웹사이트 Angular momentum between physics and mathematics http://weatherglass.[...] 2011
_[51] 웹사이트 Euler : Mechanica Vol. 1 http://www.17century[...] 2008
_[52] 웹사이트 Euler's Correspondence with Daniel Bernoulli, Bernoulli to Euler, 04 February, 1744 http://eulerarchive.[...]
_[53] 서적 A Manual of Applied Mechanics https://books.google[...] Charles Griffin and Company, London 1872
_[54] 학술지 On a Direct Method of estimating Velocities, Accelerations, and all similar Quantities with respect to Axes moveable in any manner in Space with Applications https://books.google[...]
_[55] 학술지, 서적 On Pendulums vibrating between Cheeks, Mathematical Physics https://books.google[...] Whittaker and Co., London
_[56] 학술지 Of the Rotatory Motion of a Body of any Form whatever
_[57] 문서 회전 중심을 원점으로 하는 간단한 설명
_[58] 서적 란다우=리프시츠 물리학 소고

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com