오일러 각

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1. 개요

오일러 각은 3차원 공간에서 강체의 방향을 표현하는 방법으로, 3차원 좌표계의 회전을 통해 이해된다. 1748년 레온하르트 오일러에 의해 소개되었으며, 세 개의 각도(α, β, γ)로 표현된다. 오일러 각은 회전축의 순서와 회전 방식에 따라 여러 종류로 나뉘며, 짐벌락 문제와 같은 특징을 갖는다. 로봇 제어, 차량, 결정학적 텍스처 분석 등 다양한 분야에서 활용되며, 회전 행렬, 사원수 등 다른 방향 표현과의 변환이 가능하다.

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오일러 각

2. 정의

레온하르트 오일러는 1748년 저서 《무한해석 개론》^[14]에서 오일러 공식과 함께 오일러 각을 소개하였다.^[15]

오일러 각은 강체의 방향을 3차원 공간 좌표계의 회전으로 이해하는 방식이다.

오일러 각은 강체의 자세를 좌표축 회전으로 표현하는 여러 방법 가운데 하나이며, 회전축 순서에 따라 Z-X-Z 좌표라고도 부른다. 오일러 각 외에 강체의 자세를 표현하는 다른 방법으로는 X-Y-Z 좌표계에서 X축 회전을 롤, Y축 회전을 피치, Z축 회전을 요라고 표기하는 요, 피치, 롤 방식이 있다.^[17]

2. 1. 각도 정의

레온하르트 오일러는 1748년 저서 《무한해석 개론》^[14]에서 오일러 공식과 함께 오일러 각을 소개하였다.^[15]

오일러 각은 강체의 방향을 3차원 공간 좌표계의 회전으로 나타내는 방법이다. 3차원 공간 좌표계를 (x, y, z)로, 이를 회전시킨 좌표계를 (X, Y, Z)로 할 때, 강체의 방향은 다음 세 각도로 표현할 수 있다.

# α (또는 ψ): z축(파란색)을 기준으로 회전한 x-y 좌표축 사이의 각도

# β (또는 θ): 회전된 x축(N축, 녹색)을 기준으로 회전한 z-y 좌표축 사이의 각도

# γ (또는 φ): 회전된 z축(Z축, 빨간색)을 기준으로 회전한 x-y 좌표축 사이의 각도

기기 제어에서는 ψ, θ, φ 표현을 주로 사용한다.^[16] 오일러 각은 강체의 자세를 좌표축 회전으로 표현하는 여러 방법 가운데 하나이며, 회전축 순서에 따라 Z-X-Z 좌표라고도 한다.

오일러 각의 범위는 α와 γ의 경우 0에서 2π 라디안 사이이며, β는 -π/2에서 π/2 사이이다. β의 범위가 제한되는 현상을 짐벌 락(gimbal lock^영어)이라고 하며, 이는 앞선 두 축의 회전으로 인해 세 번째 회전의 가동 범위가 줄어들기 때문이다. 아폴로 11호는 짐벌 락 때문에 자세 제어에 어려움을 겪었다.^[18]

2. 2. 표현 방식

레온하르트 오일러는 1748년 저서 《무한해석 개론》에서 오일러 공식과 함께 오일러 각을 소개하였다.^[14]^[15]

오일러 각은 강체의 방향을 3차원 공간 좌표계의 회전으로 이해하는 것이다. 주어진 3차원 공간 좌표계를 (x, y, z)라고 하고, 이를 회전시킨 좌표계를 (X,Y,Z)라고 할 때, 강체의 방향은 다음의 세 각도로 표시될 수 있다.

회전축	각도 표현
z-축(파란색)	α (또는 ψ)
회전된 x-축(N-축, 녹색)	β (또는 θ)
회전된 z-축(Z축, 빨간색)	γ (또는 φ)

이와 같이 강체의 방향은 세 개의 각도로 표시할 수 있다. 로봇 제어와 같은 기기 제어에서는 ψ, θ, φ 표현이 자주 쓰인다.^[16] 오일러 각은 강체의 자세를 좌표축의 회전으로 표현하는 여러 방법 가운데 하나로, 회전축의 순서에 따라 Z-X-Z 좌표라고도 불린다. 오일러 각 외에 강체의 자세를 표현하는 방법으로는 X-Y-Z 좌표계에서 X축 회전을 롤, Y축 회전을 피치, Z축 회전을 요라고 표기하는 요, 피치, 롤 방식이 있다.^[17]

오일러 각의 범위는 α와 γ의 경우 이상적인 상황에서 2π 라디안까지이며, β의 경우 -π/2에서 π/2까지이다. β의 범위가 제한적인 것을 짐벌 락(gimbal lock^영어)이라 하는데, 이는 앞서 회전한 두 축의 영향으로 세 번째 회전의 가동 범위가 줄어들기 때문이다. 아폴로 11호의 경우 짐벌 락 때문에 자세 제어에 어려움이 있었다.^[18]

2. 3. 짐벌 락

오일러 각의 범위는 α와 γ의 경우 이상적인 상황에서 2π 라디안까지이며, β의 경우 -π/2에서 π/2까지이다. β의 범위가 제한적인 것을 짐벌 락(gimbal lock^영어)이라 하는데, 이는 앞서 회전한 두 축의 영향으로 세 번째 회전의 가동 범위가 줄어들기 때문이다. 아폴로 11호의 경우 짐벌 락 때문에 자세 제어에 어려움이 있었다.^[18]

3. 오일러 각의 종류

오일러 각은 회전 축의 순서와 회전이 고정 좌표계를 기준으로 하는지(외인성), 아니면 회전하는 좌표계를 기준으로 하는지(내인성)에 따라 여러 종류로 나뉜다. 회전 축의 정의에 대해 내인성 또는 외인성 두 가지 규칙을 사용할 수 있으며, 이에 따라 회전 축의 가능한 시퀀스는 12가지이다. 이 시퀀스들은 다음과 같이 두 그룹으로 나뉜다.

'''정오일러 각''': ''z''-''x''-''z'', ''x''-''y''-''x'', ''y''-''z''-''y'', ''z''-''y''-''z'', ''x''-''z''-''x'', ''y''-''x''-''y''
'''테이트-브라이언 각''': ''x''-''y''-''z'', ''y''-''z''-''x'', ''z''-''x''-''y'', ''x''-''z''-''y'', ''z''-''y''-''x'', ''y''-''x''-''z''

테이트-브라이언 각은 '''카르단 각''', '''항해 각''', '''방위각, 고도 및 경사''', 또는 '''요, 피치 및 롤'''이라고도 한다. 때때로 두 종류의 시퀀스를 모두 "오일러 각"이라고 하는데, 이 경우 첫 번째 그룹의 시퀀스를 ''정'' 또는 ''고전적인'' 오일러 각이라고 한다.

3. 1. 고유 오일러 각 (Proper Euler angles)

오일러 각은 스위스 수학자 레온하르트 오일러(1707–1783)가 고정된 좌표계에 대한 강체의 방향을 설명하기 위해 도입한 세 개의 각도이다.^[1]

오일러 각은 기본적인 기하학 또는 연쇄 회전으로 정의할 수 있다. 세 개의 기본 회전은 외인성일 수도 있고, 내인성일 수도 있다.

다른 저자는 오일러 각을 정의하기 위해 다른 회전 축 집합을 사용하거나 동일한 각도에 대해 다른 이름을 사용할 수 있으므로, 오일러 각을 사용하는 모든 논의는 ''항상'' 해당 정의를 먼저 제시해야 한다.

회전 축의 가능한 시퀀스는 12가지가 있으며, 다음과 같이 두 그룹으로 나뉜다.

'''고유 오일러 각''' (z-x-z, x-y-x, y-z-y, z-y-z, x-z-x, y-x-y)
'''테이트-브라이언 각''' (x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z)

테이트-브라이언 각은 '''카르단 각''', '''항해 각''', '''방위각, 고도 및 경사''', 또는 '''요, 피치 및 롤'''이라고도 한다. 때때로 두 종류의 시퀀스를 모두 "오일러 각"이라고 하는데, 이 경우 첫 번째 그룹의 시퀀스를 ''정'' 또는 ''고전적인'' 오일러 각이라고 한다.

''z''-''x''-''z'' 회전 순서를 보여주는 짐벌 세트. 외부 프레임은 기본에 표시. 내부 축은 빨간색.

알려진 기준 자세에서 시작하여 목표 자세의 오일러 각의 크기를 갖는 특정 일련의 고유 회전을 사용하여 모든 목표 자세에 도달할 수 있다. 이 예는 ''z''-''x''′-''z''″ 시퀀스를 사용한다.

3. 1. 1. 기하학적 정의

원래 좌표계의 축은 ''x'', ''y'', ''z''로 표시하고, 회전된 좌표계의 축은 ''X'', ''Y'', ''Z''로 표시한다. '''기하학적 정의'''는 평면 ''xy''와 ''XY''의 교차점인 노드선(N)을 정의하는 것으로 시작한다(이는 축 ''z''와 ''Z''에 공통 수직선으로 정의될 수도 있으며, 벡터 곱 ''N'' = ''z'' × ''Z''로 작성할 수 있다). 이를 사용하여 세 개의 '''오일러 각'''을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\alpha$ (또는 $\varphi$ )는 ''x'' 축과 ''N'' 축 사이의 부호가 있는 각도이다(''x''-규약 – ''y''와 ''N'' 사이에도 정의할 수 있으며, ''y''-규약이라고 함).
$\beta$ (또는 $\theta$ )는 ''z'' 축과 ''Z'' 축 사이의 각도이다.
$\gamma$ (또는 $\psi$ )는 ''N'' 축과 ''X'' 축 사이의 부호가 있는 각도이다(''x''-규약).

두 기준 좌표계 간의 오일러 각은 두 좌표계가 동일한 방향성을 가질 때만 정의된다.^[1]

3. 1. 2. 내인성 회전에 의한 규칙

내인성 회전은 움직이는 물체에 부착된 좌표계 ''XYZ''의 축을 중심으로 발생하는 기본 회전이다. 따라서 각 기본 회전 후에 방향이 변경된다. ''XYZ'' 시스템은 회전하는 반면 ''xyz''는 고정되어 있다. ''XYZ''가 ''xyz''와 겹치는 상태에서 시작하여 세 개의 내인성 회전을 조합하여 ''XYZ''의 목표 방향에 도달할 수 있다.

오일러 각은 내인성 회전을 통해 정의할 수 있다. 회전된 프레임 ''XYZ''는 오일러 각으로 표시되는 세 개의 기본 회전을 거치기 전에 처음에 ''xyz''와 정렬된 것으로 상상할 수 있다. 그 연속적인 방향은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

''x''-''y''-''z'' 또는 ''x''₀-''y''₀-''z''₀ (초기)
''x''′-''y''′-''z''′ 또는 ''x''₁-''y''₁-''z''₁ (첫 번째 회전 후)
''x''″-''y''″-''z''″ 또는 ''x''₂-''y''₂-''z''₂ (두 번째 회전 후)
''X''-''Y''-''Z'' 또는 ''x''₃-''y''₃-''z''₃ (최종)

위에 나열된 회전 시퀀스에서 노드선 ''N''은 첫 번째 기본 회전 후 ''X''의 방향으로 간단히 정의할 수 있다. 따라서 ''N''은 간단히 ''x''′로 나타낼 수 있다. 또한, 세 번째 기본 회전은 ''Z''를 중심으로 발생하므로 ''Z''의 방향을 변경하지 않는다. 따라서 ''Z''는 ''z''″와 일치한다. 이를 통해 오일러 각의 정의를 다음과 같이 단순화할 수 있다.

''α'' (또는 ''φ'')는 ''z''축을 중심으로 회전을 나타낸다.
''β'' (또는 ''θ'')는 ''x''′축을 중심으로 회전을 나타낸다.
''γ'' (또는 ''ψ'')는 ''z''″축을 중심으로 회전을 나타낸다.^[1]

3. 1. 3. 외인성 회전에 의한 규칙

외인성 회전은 고정된 좌표계 ''xyz''의 축을 중심으로 발생하는 기본 회전이다. ''XYZ'' 시스템은 회전하지만 ''xyz''는 고정된다. ''XYZ''가 ''xyz''와 겹치는 상태에서 시작하여, 세 개의 외인성 회전의 조합을 사용하여 ''XYZ''의 모든 목표 방향에 도달할 수 있다. 오일러 각 또는 테이트-브라이언 각(''α'', ''β'', ''γ'')은 이러한 기본 회전의 진폭이다. 예를 들어, 목표 방향은 다음과 같이 도달할 수 있다(오일러 각 적용 순서가 반전된 것에 유의).^[1]

''XYZ'' 시스템은 ''z'' 축을 중심으로 ''γ''만큼 회전한다. 이제 ''X'' 축은 ''x'' 축과 각도 ''γ''를 이룬다.
''XYZ'' 시스템은 다시 회전하지만 이번에는 ''x'' 축을 중심으로 ''β''만큼 회전한다. 이제 ''Z'' 축은 ''z'' 축과 각도 ''β''를 이룬다.
''XYZ'' 시스템은 세 번째로, 다시 ''z'' 축을 중심으로 각도 ''α''만큼 회전한다.

요약하면, 세 개의 기본 회전은 ''z'', ''x'' 및 ''z'' 축을 중심으로 발생한다. 실제로, 이 순서는 종종 ''z''-''x''-''z''(또는 3-1-3)로 표기된다. 고유 오일러 각과 테이트-브라이언 각과 관련된 회전 축 집합은 일반적으로 이 표기법을 사용하여 명명된다.

3. 2. 테이트-브라이언 각 (Tait-Bryan angles)

테이트-브라이언 각(Tait-Bryan angles)은 세 회전 축이 모두 다른 경우(x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z)를 말하며, '''카르단 각''', '''항해 각''', '''방위각, 고도 및 경사''', 또는 '''요, 피치 및 롤'''이라고도 불린다. 스코틀랜드의 수리 물리학자 피터 거스리 테이트(1831–1901)와 영국의 응용 수학자 조지 H. 브라이언(1864–1928)의 이름을 따서 명명되었다.

항공기의 방위각, 고도 및 뱅크 각도(''Z''-''Y''′-''X''″)는 기내 및 지상 추적 스테이션에서 ENU 축을 사용한다. 고정 기준 프레임 ''x''-''y''-''z''는 그러한 추적 스테이션을 나타낸다. 기내 축 ''Y'' 및 ''Z''는 표시되지 않음. ''X''는 녹색으로 표시됨. 오른손 법칙에 따르면 표시된 ''y''축은 음수이다.

테이트-브라이언 회전 변환은 다양한 목적으로 엔지니어링 분야에서 널리 사용된다. 이동 축과 고정 축을 선택하기 위해 실제로 여러 축 규칙이 있으며, 이러한 규칙은 각도의 부호를 결정하므로 각 경우에 부호를 주의 깊게 연구해야 한다.

이러한 각도는 일반적으로 외부 기준 좌표계의 방위각, 자체 이동 좌표계의 뱅크각 및 이 목적을 위한 교선에 해당하는 수평면에 대한 고도 또는 경사를 나타내는 중간 좌표계의 각도로 사용된다.

주로 항공우주 분야에서 사용되며, 항공기 주축을 기준으로 회전하여 얻을 수 있다. 이때 요는 방위각, 피치는 고도, 롤은 뱅크 각도를 제공한다.

3. 2. 1. 정의

테이트-브라이언 각은 앞서 설명한 오일러 각과 정의 및 표기법이 유사하다(기하학적 정의, 내재 회전 정의, 외재 회전 정의). 유일한 차이점은 테이트-브라이언 각은 세 개의 서로 다른 축(예: x-y-z 또는 x-y'-z″)을 중심으로 회전하는 반면, 오일러 각은 첫 번째와 세 번째 회전에 동일한 축을 사용한다는 점이다(예: z-x-z 또는 z-x'-z″).

테이트-브라이언 각. z-x'-y″ 시퀀스 (내재 회전; N은 x'과 일치)

이는 기하학적 구성에서 노드선에 대한 다른 정의를 갖게 한다. 오일러 각의 경우, 두 개의 상동 데카르트 평면(오일러 각이 0일 때 평행, 예: xy와 XY)의 교차점으로 정의되었다. 테이트-브라이언 각의 경우, 두 개의 비상동 평면(오일러 각이 0일 때 수직, 예: xy와 YZ)의 교차점으로 정의된다.

이러한 각도는 일반적으로 외부 기준 좌표계의 방위각, 자체 이동 좌표계의 뱅크각 및 이 목적을 위한 교선에 해당하는 수평면에 대한 고도 또는 경사를 나타내는 중간 좌표계의 각도로 사용된다.

3. 2. 2. 내인성 회전

세 가지 기본 회전은 움직이지 않는 원래 좌표계의 축을 중심으로 발생할 수 있으며(외인성 회전), 각 기본 회전 후에 방향이 바뀌는 회전 좌표계의 축을 중심으로 발생할 수도 있다. (내인성 회전).

테이트-브라이언 각의 회전축을 선택하는 데에는 여섯 가지 가능성이 있다. 여섯 가지 가능한 시퀀스는 다음과 같다.

''x''-''y''′-''z''″ (내인성 회전) 또는 ''z''-''y''-''x'' (외인성 회전)
''y''-''z''′-''x''″ (내인성 회전) 또는 ''x''-''z''-''y'' (외인성 회전)
''z''-''x''′-''y''″ (내인성 회전) 또는 ''y''-''x''-''z'' (외인성 회전)
''x''-''z''′-''y''″ (내인성 회전) 또는 ''y''-''z''-''x'' (외인성 회전)
''z''-''y''′-''x''″ (내인성 회전) 또는 ''x''-''y''-''z'' (외인성 회전): 내인성 회전은 요, 피치, 롤로 알려져 있다.
''y''-''x''′-''z''″ (내인성 회전) 또는 ''z''-''x''-''y'' (외인성 회전)

항공기의 경우, 적절한 순서로 기준 좌표계와 일치하는 프레임에서 시작하여 주축을 중심으로 세 번 회전하여 얻을 수 있다.

요는 방위를 얻고,
피치는 고도를 산출하며,
롤은 뱅크 각도를 제공한다.

따라서 항공 우주에서는 때때로 이를 '''요, 피치 및 롤'''이라고 부른다. 회전이 다른 순서로 적용되거나 항공기 축이 기준 좌표계와 동등하지 않은 위치에서 시작하는 경우 이 방법은 작동하지 않는다.

''z''-''y''′-''x''″ (내재적 회전) 규칙을 따르는 테이트-브라이언 각은 '''해양 각'''이라고도 하는데, 이는 선박이나 항공기의 방향을 설명하는 데 사용할 수 있기 때문이며, 지롤라모 카르다노의 이름을 따서 '''카르단 각'''이라고도 한다. 카르단 서스펜션과 카르단 조인트.

3. 2. 3. 부호 및 범위

각도는 일반적으로 오른손 법칙에 따라 정의된다. 즉, 축의 양의 방향을 볼 때 시계 방향으로 회전하면 양의 값을, 시계 반대 방향으로 회전하면 음의 값을 갖는다.

범위 정보는 구간 표기법을 사용하여 나타낼 수 있다.

''ψ'' (프사이) 및 ''φ'' (파이)의 경우, 범위는 2π 라디안을 모듈로로 정의된다. 예를 들어, 유효한 범위는 [-π, π]가 될 수 있다.
''θ'' (세타)의 경우, 범위는 π 라디안이다. 예를 들어, [0, π] 또는 [-π/2, π/2]가 될 수 있다.

''ψ'', ''θ'', ''φ'' 각도는 ''xy'' 평면과 ''XY'' 평면이 동일한 특이한 경우, 즉 ''z'' 축과 ''Z'' 축이 동일하거나 반대 방향을 갖는 경우를 제외하고 고유하게 결정된다.^[2]

4. 세차, 장동, 고유 회전

세차 운동, 장동 운동, 고유 회전(스핀)은 오일러 각 중 하나를 변경하고 다른 두 각을 상수로 유지하여 얻는 움직임이다. 이러한 움직임은 외부 프레임이나 함께 움직이는 회전체 프레임이 아닌, 혼합된 형태로 표현된다. 이들은 '''혼합 회전축''' 시스템을 구성하는데, 여기서 첫 번째 각은 외부 축 ''z'' 주위의 승강선(line of nodes)을 움직이고, 두 번째는 승강선 ''N'' 주위로 회전하며, 세 번째는 움직이는 몸체에 고정된 축 ''Z'' 주위의 고유 회전이다.^[1]

정적 정의는 다음과 같다.^[1]

''α'' (세차 운동): ''z'' 축을 중심으로 하는 회전.
''β'' (장동 운동): ''N'' 또는 x′ 축을 중심으로 하는 회전.
''γ'' (고유 회전): ''Z'' 또는 z″ 축을 중심으로 하는 회전.

만약 ''β''가 0이면, ''N'' 축에 대한 회전은 없다. 결과적으로 ''Z''는 ''z''와 일치하고, ''α''와 ''γ''는 동일한 축(''z'')에 대한 회전을 나타내며, 최종 방향은 ''α'' + ''γ''와 같은 각도로 ''z'' 축 주위의 단일 회전을 통해 얻을 수 있다.^[1]

팽이를 예로 들면, 팽이는 자체 대칭 축을 중심으로 회전하는데(고유 회전), 이는 중심 질량이 축을 공전하면서 중심 축을 중심으로 회전하는 것(세차 운동)과 구분된다. 또한 팽이가 위아래로 흔들릴 때, 기울기 각도는 장동 각도에 해당한다. 지구의 움직임에서도 이와 동일한 현상을 관찰할 수 있다.^[1]

이러한 움직임은 짐벌 세트와 유사하게 작동한다.^[1]

4. 1. 정의

오일러 각은 기본적인 기하학 또는 연쇄 회전으로 정의할 수 있다. 기하학적 정의는 세 개의 조합된 ''기본 회전''(회전 좌표계의 축에 대한 회전)이 ''항상'' 모든 목표 프레임에 도달하는 데 충분하다는 것을 보여준다.

세 개의 기본 회전은 외인성일 수 있으며(원래 좌표계의 ''xyz''축을 중심으로 회전하며, 움직이지 않는 것으로 가정), 또는 내인성일 수 있다(회전 좌표계 ''XYZ''의 축을 중심으로 회전하며, 움직이는 물체와 함께 움직이며, 각 기본 회전 후 외인성 프레임에 대해 방향을 변경한다).

프라임 마크 윗첨자(예: ''z''″)가 있는 축 지정은 기본 회전 후의 새 축을 나타낸다.

오일러 각은 일반적으로 ''α'', ''β'', ''γ'', 또는 ''ψ'', ''θ'', ''φ''로 표시된다. 다른 저자는 오일러 각을 정의하기 위해 다른 회전 축 집합을 사용하거나 동일한 각도에 대해 다른 이름을 사용할 수 있다. 따라서 오일러 각을 사용하는 모든 논의는 ''항상'' 해당 정의를 먼저 제시해야 한다.

회전 축의 정의에 대해 두 가지 다른 규칙(내인성 또는 외인성)을 사용할 가능성을 고려하지 않고, 회전 축의 12가지 가능한 시퀀스가 있으며, 두 그룹으로 나뉜다.

'''정오일러 각''' (''z''-''x''-''z'', ''x''-''y''-''x'', ''y''-''z''-''y'', ''z''-''y''-''z'', ''x''-''z''-''x'', ''y''-''x''-''y'')
'''테이트-브라이언 각''' (''x''-''y''-''z'', ''y''-''z''-''x'', ''z''-''x''-''y'', ''x''-''z''-''y'', ''z''-''y''-''x'', ''y''-''x''-''z'')

테이트-브라이언 각은 '''카르단 각'''; '''항해 각'''; '''방위각, 고도 및 경사'''; 또는 '''요, 피치 및 롤'''이라고도 한다. 때때로 두 종류의 시퀀스를 모두 "오일러 각"이라고 한다. 이 경우 첫 번째 그룹의 시퀀스를 ''정'' 또는 ''고전적인'' 오일러 각이라고 한다.

지구의 오일러 기본 운동. 고유 회전(녹색), 세차 운동(파랑) 및 장동 운동(빨강)

세차 운동, 장동 운동, 그리고 고유 회전(스핀)은 오일러 각 중 하나를 변경하고 다른 두 각을 상수로 유지하여 얻는 움직임으로 정의된다. 이러한 움직임은 외부 프레임 또는 함께 움직이는 회전체 프레임으로 표현되지 않고 혼합된 형태로 표현된다. 이들은 '''혼합 회전축''' 시스템을 구성하며, 여기서 첫 번째 각은 외부 축 ''z'' 주위의 승강선(line of nodes)을 움직이고, 두 번째는 승강선 ''N'' 주위로 회전하며, 세 번째는 움직이는 몸체에 고정된 축 ''Z'' 주위의 고유 회전이다.

정적 정의는 다음과 같다.

''α'' (세차 운동)는 ''z'' 축을 중심으로 하는 회전을 나타낸다.
''β'' (장동 운동)는 ''N'' 또는 x′ 축을 중심으로 하는 회전을 나타낸다.
''γ'' (고유 회전)는 ''Z'' 또는 z″ 축을 중심으로 하는 회전을 나타낸다.

만약 ''β''가 0이면, ''N'' 축에 대한 회전은 없다. 결과적으로, ''Z''는 ''z''와 일치하고, ''α''와 ''γ''는 동일한 축(''z'')에 대한 회전을 나타내며, 최종 방향은 ''α'' + ''γ'' 와 같은 각도로 ''z'' 축 주위의 단일 회전을 통해 얻을 수 있다.

예를 들어, 팽이를 생각해 보자. 팽이는 자체 대칭 축을 중심으로 회전하며, 이는 고유 회전에 해당한다. 또한 중심 질량이 축을 공전하면서 중심 축을 중심으로 회전하는데, 이 회전은 세차 운동이다. 마지막으로, 팽이는 위아래로 흔들릴 수 있는데, 기울기 각도가 장동 각도이다. 동일한 예시는 지구의 움직임에서도 볼 수 있다.

세 가지 움직임 모두 일부 프레임에서 상수 계수를 가진 회전 연산자로 표현될 수 있지만, 이 연산자로 동시에 모두 표현될 수는 없다. 주어진 기준 프레임에서 최대 하나의 움직임만이 계수가 없을 것이다. 일반적인 경우 세차 운동만이 다른 각도에 의존하지 않고 공간의 기저에서 행렬로 표현될 수 있다.

이러한 움직임은 또한 짐벌 세트처럼 작동한다. 짐벌처럼 하나의 각도에 따라 이전 프레임에 대해 각각 움직일 수 있는 일련의 프레임이 주어지면, 외부 고정 프레임, 하나의 최종 프레임, 중간 프레임 두 개가 존재한다. 중간에 있는 두 개의 프레임은 마지막 프레임이 공간에서 임의의 방향을 가질 수 있도록 하는 두 개의 짐벌 링 역할을 한다.

5. 다른 방향 표현과의 변환

오일러 각은 회전 행렬, 축-각도 표현, 사원수 등 다른 방향 표현으로 변환될 수 있다. 3차원 유클리드 공간에서 방향을 나타내려면 세 개의 매개변수가 필요한데, 오일러 각을 포함하여 여러 가지 방법으로 표현할 수 있다. 다른 방향 표현 방법은 SO(3) 차트에서 확인할 수 있다.

오일러-로드리게스 매개변수라고도 불리는 사원수는 3차원 회전을 나타내는 또 다른 방법으로, 특수 유니타리 군 설명과 동일하다. 단위 사원수를 사용하면 회전 행렬을 사용하는 것보다 다음과 같은 장점이 있다.

회전 연결 계산이 빠르고 수치적으로 안정적이다.
회전 각도와 축을 추출하기 쉽다.
보간이 더 간단하다. (예: slerp 참조)
짐벌락 현상이 발생하지 않는다.

회전 행렬 계산은 축-각도 표현, 사원수 등 다른 표현을 얻기 위한 첫 단계이다.

5. 1. 회전 행렬

어떤 자세든 알려진 표준 자세에서 시작하여 세 개의 기본 회전을 조합하여 얻을 수 있다. 이와 동등하게, 어떤 회전 행렬 ''R''도 세 개의 기본 회전 행렬의 곱으로 행렬 분해될 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.

:

R = X(\alpha) Y(\beta) Z(\gamma)

이는 ''z'', ''y'', ''x'' 축에 대한 외적 회전 (그 순서대로) 또는 ''x''-''y''′-''z''″ 축에 대한 내적 회전 (그 순서대로)의 조합을 나타내는 데 사용될 수 있는 회전 행렬이다.

기본 회전 행렬 ''X'', ''Y'', ''Z''의 정의와 그 곱셈 순서는 회전 행렬과 오일러 각의 정의에 대해 사용자가 선택한 사항에 따라 달라진다.

다음은 이러한 규칙에 따른 행렬 곱셈 표이다.

각 행렬은 열 벡터 $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ 에 미리 곱하여 연산된다.
각 행렬은 능동적 회전을 나타낸다.
각 행렬은 기본적으로 내적 회전의 조합을 나타내고, 부차적으로 세 개의 외적 회전의 조합을 나타낸다.
오른손 기준 좌표계를 채택하고, 오른손 법칙을 사용하여 각도 ''α'', ''β'', ''γ''의 부호를 결정한다.

간단하게 하기 위해, 다음 행렬 곱셈 표는 다음과 같은 명칭을 사용한다.

''X'', ''Y'', ''Z''는 고정 좌표계의 ''x'', ''y'', ''z'' 축에 대한 기본 회전을 나타내는 행렬이다. (예: ''X''_''α''는 ''x'' 축에 대해 각도 ''α''만큼 회전하는 것을 나타낸다.)
''s''와 ''c''는 사인과 코사인을 나타낸다. (예: ''s''_''α''는 ''α''의 사인을 나타낸다.)

고유 오일러 각	테이트-브라이언 각
$X_\alpha Z_\beta X_\gamma = \begin{bmatrix}$	$X_\alpha Z_\beta Y_\gamma = \begin{bmatrix}$
$X_\alpha Y_\beta X_\gamma = \begin{bmatrix}$	$X_\alpha Y_\beta Z_\gamma = \begin{bmatrix}$
$Y_\alpha X_\beta Y_\gamma = \begin{bmatrix}$	$Y_\alpha X_\beta Z_\gamma = \begin{bmatrix}$
$Y_\alpha Z_\beta Y_\gamma = \begin{bmatrix}$	$Y_\alpha Z_\beta X_\gamma = \begin{bmatrix}$
$Z_\alpha Y_\beta Z_\gamma = \begin{bmatrix}$	$Z_\alpha Y_\beta X_\gamma = \begin{bmatrix}$
$Z_\alpha X_\beta Z_\gamma = \begin{bmatrix}$	$Z_\alpha X_\beta Y_\gamma = \begin{bmatrix}$

회전 행렬

R

의 요소에서 각도 ''α'', ''β'' 및 ''γ''에 대한 공식은 다음 표와 같다.^[4]

고유 오일러 각		테이트-브라이언 각
$X_\alpha Z_\beta X_\gamma$	$\begin{align}$	$X_\alpha Z_\beta Y_\gamma$	$\begin{align}$
$X_\alpha Y_\beta X_\gamma$	$\begin{align}$	$X_\alpha Y_\beta Z_\gamma$	$\begin{align}$
$Y_\alpha X_\beta Y_\gamma$	$\begin{align}$	$Y_\alpha X_\beta Z_\gamma$	$\begin{align}$
$Y_\alpha Z_\beta Y_\gamma$	$\begin{align}$	$Y_\alpha Z_\beta X_\gamma$	$\begin{align}$
$Z_\alpha Y_\beta Z_\gamma$	$\begin{align}$	$Z_\alpha Y_\beta X_\gamma$	$\begin{align}$
$Z_\alpha X_\beta Z_\gamma$	$\begin{align}$	$Z_\alpha X_\beta Y_\gamma$	$\begin{align}$

6. 응용

오일러 각은 레온하르트 오일러가 강체의 방향을 설명하기 위해 도입한 세 개의 각도이다.^[1]

로봇 공학에서 손목의 자유도를 나타내거나, 전자 제어 주행 안정 장치에서 활용된다. 함포 사격 통제 시스템에서는 함포 명령 각도(방위각 및 고도) 계산에 사용되어 갑판의 기울기(피치 및 롤)를 보정한다.

양자 역학에서 각운동량을 기술하는 데에도 널리 사용된다. SO(3) 표현의 명시적인 설명은 계산에 중요하며, 거의 모든 작업이 오일러 각을 사용하여 수행된다.

많은 모바일 컴퓨팅 장치에 있는 가속도계는 지구 중력에 대한 장치의 오일러 각을 결정할 수 있으며, 이는 게임, 수평계 시뮬레이션, 만화경 등에 활용된다.

6. 1. 차량 및 이동 프레임

오일러 각은 차량에 장착된 짐벌에서 직접 측정할 수 있다는 장점이 있다.^[8] 자이로스코프는 회전축을 일정하게 유지하므로 자이로 프레임에서 측정된 각도는 실험실 프레임에서 측정된 각도와 같다. 따라서 자이로는 움직이는 우주선의 실제 방향을 파악하는 데 사용되며, 오일러 각은 직접 측정할 수 있다. 고유 회전 각도는 단일 짐벌에서 읽을 수 없으므로 우주선에는 짐벌이 2개 이상 있어야 한다. 보통 중복성을 위해 최소 3개가 사용된다. 또한 짐벌락 문제와 기계 공학의 관계도 있다.^[8]

일반적으로 강체를 연구할 때 ''xyz'' 시스템을 "공간 좌표", ''XYZ'' 시스템을 "본체 좌표"라고 한다. 공간 좌표는 움직이지 않는 것으로 취급되지만, 본체 좌표는 움직이는 물체에 내장된 것으로 간주된다. 가속도, 각가속도, 각속도, 각운동량, 운동 에너지와 관련된 계산은 관성 모멘트 텐서가 시간에 따라 변하지 않기 때문에 본체 좌표에서 가장 쉽다. 또한 강체의 관성 모멘트 텐서(9개의 구성 요소, 그중 6개는 독립적)를 대각선화하면 관성 모멘트 텐서가 세 개의 구성 요소만 있는 좌표 집합(주축)을 갖게 된다.

강체의 각속도는 이동 프레임에서 오일러 각을 사용하여 간단한 형태를 취한다. 관성 텐서가 해당 프레임에서 일정하기 때문에 오일러 강체 방정식도 더 간단하다.

6. 2. 결정학적 텍스처

재료 과학에서 결정학적 텍스처(또는 우선 배향)는 오일러 각을 사용하여 설명할 수 있다. 텍스처 분석에서 오일러 각은 다결정 재료 내 개별 결정립의 배향에 대한 수학적 설명을 제공하여 거시적인 재료를 정량적으로 설명할 수 있게 한다.^[10] 가장 일반적인 각도 정의는 붕게(Bunge)에 의한 것으로, ''ZXZ'' 규칙에 해당한다. 그러나 일반적으로 적용되는 것은 텐서 수량의 축 변환, 즉 수동 회전이라는 점에 유의해야 한다. 따라서 붕게 오일러 각에 해당하는 행렬은 위에 표시된 행렬의 전치 행렬이다.^[11]

6. 3. 기타 응용

오일러 각은 여러 분야에서 널리 응용된다.

로봇 공학에서 손목의 자유도를 나타내는 데 사용되며, 주로 테이트-브라이언 회전 변환을 활용한다. 전자 제어 주행 안정 장치에서도 유사한 방식으로 사용된다.
함포 사격 통제 시스템에서 함포 명령 각도(방위각 및 고도)를 계산할 때 갑판의 기울기(피치 및 롤)를 보정하는 데 필요하다. 수직 회전축을 가진 안정화 자이로스코프가 갑판 기울기를 보정하고 광학 조준경과 레이더 안테나를 안정화하지만, 함포는 표적의 움직임과 중력에 의한 발사체 낙하를 예상하여 표적에 대한 시선과 다른 방향을 가리켜야 한다. 함포 마운트는 갑판 평면과 함께 롤 및 피치하지만 안정화가 필요하며, 함포 명령에는 수직 자이로 데이터에서 계산된 각도가 포함되고, 이 계산에 오일러 각이 사용된다.
양자 역학에서 각운동량을 기술하는 데 광범위하게 사용된다. SO(3) 표현의 명시적인 설명은 계산에 매우 중요하며, 거의 모든 작업이 오일러 각을 사용하여 수행된다. 초기 양자 역학에서 물리학자와 화학자들이 추상적인 군론적 방법에 부정적인 반응을 보였을 때, 오일러 각은 기본적인 이론 작업에 필수적이었다.
많은 모바일 컴퓨팅 장치에 포함된 가속도계는 지구 중력에 대한 장치의 오일러 각을 결정할 수 있다. 이는 게임, 수평계 시뮬레이션, 만화경과 같은 응용 프로그램에 사용된다.

참조

_[1] 논문 Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 20, 1776, pp. 189–207 (E478) https://math.dartmou[...]
_[2] 웹사이트 Gregory G. Slabaugh, Computing Euler angles from a rotation matrix http://eecs.qmul.ac.[...]
_[3] 서적 Dynamics: Theory and Application of Kane's Method Cambridge University Press
_[4] 간행물 Euler angles, quaternions, and transformation matrices for space shuttle analysis https://ntrs.nasa.go[...] 1977-06-09
_[5] 학술지 Generating Uniform Incremental Grids on SO(3) Using the Hopf Fibration
_[6] 기타 Generalization of Euler Angles to N‐Dimensional Orthogonal Matrices https://pubs.aip.org[...] J. Math. Phys. 13, 528–533
_[7] 웹사이트 A generalization of Euler Angles to n-dimensional real spaces http://ansi.altervis[...]
_[8] 서적 Basic Theoretical Physics – A Concise Overview Springer
_[9] 학술지 High energy X-rays: A tool for advanced bulk investigations in materials science and physics
_[10] 서적 Texture and Anisotropy: Preferred Orientations in Polycrystals and their effect on Materials Properties Cambridge
_[11] 서적 Texture Analysis in Materials Science: Mathematical Methods Cuvillier Verlag
_[12] 서적 力学
_[13] 서적 자동기계기구학 기전연구사
_[14] 서적 Introductio in analysin infinitorum Springer
_[15] 서적 불완전한 천재 수학자들 살림MATH
_[16] 서적 기초로봇공학 성안당
_[17] 서적 정밀측정공학 기전연구사
_[18] 웹인용 Gimbal Angles, Gimbal Lock, and a Fourth Gimbal for Christmas http://www.hq.nasa.g[...] 2009-05-29

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