킬링 형식
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1. 개요
킬링 형식은 리 대수 위에 정의되는 대칭 쌍선형 형식으로, 리 괄호를 사용하여 정의된다. 킬링 형식은 리 대수의 구조를 연구하는 데 중요한 도구로, 카르탕의 판정법을 통해 반단순 리 대수를 판별하는 데 사용된다. 또한, 킬링 형식은 리 대수의 자기 동형 사상에 불변하며, 멱영 리 대수의 킬링 형식은 0이다. 킬링 형식은 엘리 카르탕에 의해 처음 도입되었으며, 빌헬름 킬링의 이름을 따서 명명되었다.
체 ''K'' 위에 있는 리 대수 의 모든 원소 x는 리 괄호를 이용하여 의 수반 자기 준동형 사상 ad(x) (adx로도 표기)를 정의한다.
킬링 형식은 대각합의 순환성()에 의하여 대칭 쌍선형 형식을 이루며, 리 괄호를 사용하여 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.[2]
2. 정의
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가 유한 차원이라고 가정하면, 이러한 두 자기 준동형 사상의 합성을 대각합하면 ''K'' 값을 갖는 대칭 쌍선형 형식
:
이 생성되는데, 이를 위의 '''킬링 형식'''이라고 한다.
2. 1. 추상적 정의
가환환 ''K'' 위의 리 대수 가 유한 차원 ''K''-자유 가군이라고 하자. 의 딸림표현
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를 생각하자. 그렇다면, 의 '''킬링 형식'''
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는 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식이다.
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여기서 대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.
보다 일반적으로, 체 ''K'' 위의 리 초대수 가 유한 차원 ''K''-초벡터 공간이라고 하자. 의 딸림표현
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를 생각하자. 그렇다면, 의 '''킬링 형식'''
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는 다음과 같은 쌍선형 형식이다.[7]
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여기서 초대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.
2. 2. 성분을 통한 정의
체 위의 유한 차원 리 대수 의 기저 를 잡고, 이에 대한 구조 상수가
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라고 하자. 그렇다면, 의 킬링 형식은 다음과 같다.
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체 K|영어 위에 있는 리 대수 의 모든 원소 x|영어는 리 괄호를 이용하여 의 수반 자기 준동형 사상 ad(''x'')|영어를 정의한다.
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가 유한 차원이라고 가정하면, 이러한 두 자기 준동형 사상의 합성을 대각합하면 K|영어 값을 갖는 대칭 쌍선형 형식
:
이 생성되는데, 이를 위의 킬링 형식이라고 한다.
리 대수 의 기저가 주어지면 킬링 형식의 행렬 요소는 다음과 같이 주어진다.
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여기서
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은 아인슈타인 표기법이며, 여기서 는 리 대수의 구조 상수이다. 지수 는 행렬 에서 열 인덱스로, 지수 은 행 인덱스로 기능한다. 트레이스를 구하는 것은 을 놓고 합하는 것과 같으므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.
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킬링 형식은 구조 상수로부터 형성될 수 있는 가장 간단한 2차 텐서이다.
리 대수가 영 표수를 갖는 체에 대해 반단순 리 대수이면, 킬링 형식은 비퇴화적이며, 따라서 지수를 올리고 내리는 데 메트릭 텐서로 사용될 수 있다. 이 경우 항상 에 대한 기저를 선택하여 모든 위 첨자를 갖는 구조 상수가 반대칭 텐서가 되도록 할 수 있다.
3. 성질
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킬링 형식 는 다음과 같은 성질을 갖는다.3. 1. 리 초대수의 킬링 형식
체 위의 리 초대수 가 유한 차원 -초벡터 공간이며, 의 딸림표현이 주어졌다고 하자.
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그렇다면, 의 '''킬링 형식'''
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는 다음과 같은 쌍선형 형식이다.[7]
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여기서 초대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.
체 위의 유한 차원 리 초대수 의 킬링 형식 는 다음과 같은 성질을 갖는다.[7]
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단순 리 대수의 경우와 달리, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수는 킬링 형식이 0일 수 있다. 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수 가운데, 킬링 형식이 0인 것은 다음과 같다.[7]
나머지 단순 리 초대수는 모두 0이 아닌 킬링 형식을 갖는다.
3. 2. 직합
체 위의 두 유한 차원 리 초대수 , 에 대하여, 그 직합 의 킬링 형식은 다음과 같이 주어진다.
:
3. 3. 실수체 위의 리 대수
가 실수체 위의 반단순 리 대수라고 가정하자. 카르탕의 판정법에 의해, 킬링 형식은 비퇴화이며, 적절한 기저에서 대각 성분이 ±1인 대각 행렬로 대각화할 수 있다. 실베스터의 관성 법칙에 의해, 양의 성분의 개수는 쌍선형 형식의 불변량, 즉 대각화 기저의 선택에 의존하지 않으며, 의 '''지수'''라고 불린다. 이는 0과 의 차원 사이의 수이며, 실수 리 대수의 중요한 불변량이다.
특히, 실수 리 대수 는 킬링 형식이 음의 정부호인 경우 '''콤팩트'''라고 불린다. 리 대응에 따라, 콤팩트 리 대수는 콤팩트 리 군에 대응하는 것으로 알려져 있다.
가 복소수 위의 반단순 리 대수라면, 그 복소화가 인 여러 비동형 실수 리 대수가 있으며, 이를 '''실수 형태'''라고 한다. 모든 복소 반단순 리 대수는 고유한(동형까지) 콤팩트 실수 형태 를 허용하는 것으로 밝혀졌다. 주어진 복소 반단순 리 대수의 실수 형태는 종종 킬링 형식의 양의 관성 지수로 표시된다.
예를 들어, 복소 특수 선형 대수 는 두 개의 실수 형태, 즉 실수 특수 선형 대수 와 특수 유니타리 대수 를 갖는다. 전자는 비콤팩트이며, 소위 '''분할 실수 형태'''라고 불리고, 킬링 형식은 (2, 1)의 부호를 갖는다. 후자는 콤팩트 실수 형태이며 킬링 형식은 음의 정부호, 즉 (0, 3)의 부호를 갖는다. 해당 리 군은 단위 행렬식을 갖는 2 × 2 실수 행렬의 비콤팩트 군 과 콤팩트한 특수 유니타리 군 이다.
4. 예
아벨 리 대수와 여러 행렬 리 대수의 킬링 형식을 구체적인 예시를 통해 살펴보면 다음과 같다.
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- 특수 선형 리 대수 의 킬링 형식은 다음과 같다.
:
여러 행렬 리 대수의 킬링 형식은 다음 표와 같다.
리 대수 | 설명 | 킬링 형식 |
---|---|---|
gl(n, ℂ) | n×n 복소수 행렬 | 2n tr(XY) − 2 tr(X)tr(Y) |
sl(n, ℝ) | n×n 무대각합 복소수 행렬 | 2n tr(XY) |
su(n) | n×n 반에르미트 행렬 | 2n tr(XY) |
so(n, ℝ) | n×n 반대칭 실수 행렬 | (n−2) tr(XY) |
so(n, ℂ) | n×n 반대칭 복소수 행렬 | (n−2) tr(XY) |
sp(2n, ℝ) | 2n×2n 실수 해밀턴 행렬 | (2n+2) tr(XY) |
sp(2n, ℂ) | 2n×2n 복소수 해밀턴 행렬 | (2n+2) tr(XY) |
단순 리 대수의 경우, 킬링 형식은 계량 형식과 밀접하게 관련된다. 일반적으로 계량은 긴 근의 길이가 가 되도록 표준화한다.[8][9]
킬링 형식 는 다음과 같이 표현된다.[11][9]
:
여기서 는 단순 리 대수의 이중 콕서터 수(dual Coxeter number)이다.
(표준화된 계량 형식과 이중 콕서터 수는 하위 섹션 "리 대수의 계량과 이중 콕서터 수"에 자세히 설명되어 있다.)
4. 1. 아벨 리 대수
임의의 체 위의 유한 차원 아벨 리 대수 의 킬링 형식은 항상 0이다.[4]4. 2. 행렬 리 대수
임의의 체 와 자연수 에 대하여, 일반 선형 리 대수 의 킬링 형식은 다음과 같다.:
특수 선형 리 대수 의 킬링 형식은 다음과 같다.
:
이는 표준적인 분해 에서 아벨 리 대수 의 킬링 형식이 0이므로, 일반 선형 리 대수의 킬링 형식 표현을 그대로 사용한 것이다. (이 경우 둘째 항은 0이 된다.)
다음은 여러 행렬 리 대수의 킬링 형식을 나타낸 표이다.
리 대수 | 설명 | 킬링 형식 |
---|---|---|
gl(n, ℂ) | n×n 복소수 행렬 | 2n tr(XY) − 2 tr(X)tr(Y) |
sl(n, ℝ) | n×n 무대각합 복소수 행렬 | 2n tr(XY) |
su(n) | n×n 반에르미트 행렬 | 2n tr(XY) |
so(n, ℝ) | n×n 반대칭 실수 행렬 | (n−2) tr(XY) |
so(n, ℂ) | n×n 반대칭 복소수 행렬 | (n−2) tr(XY) |
sp(2n, ℝ) | 2n×2n 실수 해밀턴 행렬 | (2n+2) tr(XY) |
sp(2n, ℂ) | 2n×2n 복소수 해밀턴 행렬 | (2n+2) tr(XY) |
4. 3. 리 대수의 계량과 이중 콕서터 수
단순 리 대수의 경우, 킬링 형식은 계량 형식과 밀접하게 관련된다. 일반적으로 계량은 긴 근의 길이가 가 되도록 표준화한다.[8][9] 이 경우 짧은 근의 길이는 B''n'', C''n'', F4인 경우 1, G2의 경우 이다. 이렇게 표준화된 계량 형식은 다음 표와 같다.리 대수 | 행렬 표현 | 규격화 계량 형식 |
---|---|---|
su(n) | n×n 반에르미트 행렬 | − tr(XY) |
so(n, ℝ) | n×n 반대칭 행렬 | − ½tr(XY) |
usp(2n) | 2n×2n 반에르미트 해밀턴 행렬 | − tr(XY) |
n×n 사원수 반에르미트 행렬 | − tr(XY + YX) | |
e6 | 27×27 반에르미트 행렬 | − (9/4) tr(XY) |
e7 | 56×56 반대칭 행렬 | − (3/2) tr(XY) |
e8 | 248×248 반대칭 행렬 | − (41/10) tr(XY) |
f4 | 26×26 반대칭 행렬 | − (4/3) tr(XY) |
g2 | 7×7 반대칭 행렬 | − (5/8) tr(XY) |
이렇게 계량 형식을 표준화하면, 킬링 형식 는 다음과 같이 표현된다.[11][9]
:
여기서 는 단순 리 대수의 이중 콕서터 수(dual Coxeter number)이다. 이는 빅토르 카츠가 도입하였고, 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터의 이름을 땄다. 이중 콕서터 수는 다음 표와 같다.
5. 역사
엘리 카르탕이 1894년에 도입하였다.[12] 킬링 형식은 독일 수학자 빌헬름 킬링의 이름을 따서 지어졌다.
킬링 형식은 엘리 카르탕의 논문에서 리 대수 이론에 처음 소개되었다. "킬링 형식"이라는 용어는 1951년 부르바키 세미나에서 알망 보렐이 발표한 보고서에서 처음 사용되었는데, 알망 보렐은 2001년에 왜 그 용어를 선택했는지 기억하지 못한다고 언급했다. 보렐은 이 명칭이 부적절하게 여겨져 "'카르탕 형식'"이라고 부르는 것이 더 정확할 것이라고 인정했다.[3]
19세기 말, 킬링은 리 대수의 정칙 반단순 원소의 특성 방정식의 계수가 수반군의 아래에서 불변이라는 것을 알아냈고, 이로부터 킬링 형식(즉, 2차 계수)이 불변임을 알 수 있었다. 그러나 그는 이 사실을 크게 활용하지 않았다. 엘리 카르탕이 이용한 기본적인 결과는 카르탕의 판정법으로, 이는 킬링 형식이 비퇴화적인 것과 리 대수가 단순 리 대수의 직합임이 동치라는 것이다.[1]
6. 한국의 킬링 형식 연구
한국에서는 킬링 형식을 활용하여 여러 수학 및 물리학 분야에서 연구가 진행되고 있다. 특히, 리 군 및 리 대수의 분류, 표현론 연구 등에서 킬링 형식이 중요한 역할을 한다는 사실은 이미 수학 분야 하위 섹션에서 상세히 다루고 있으므로, 여기서는 간략하게만 언급한다.
6. 1. 수학 분야
리 군 및 리 대수의 분류, 표현론 연구 등에서 킬링 형식이 중요한 역할을 한다.참조
[1]
Harvnb
[2]
서적
Representation theory. A first course
Springer-Verlag
[3]
문서
[4]
Citation
Representation theory. A first course
シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Springer-Verlag
[5]
서적
Lie Groups
Springer
2004
[6]
서적
Affine Lie Algebras and Quantum Groups
Cambridge University Press
1992
[7]
저널
Dictionary on Lie superalgebras
1996-07
[8]
저널
Group theory for unified model building
1981-12
[9]
서적
Conformal field theory
1997
[10]
웹인용
Some notes on compact Lie groups
https://web.archive.[...]
2013-12-03
[11]
서적
Infinite Dimensional Lie Algebras
1990
[12]
서적
Sur la structure des groupes de transformations finis et continus
http://books.google.[...]
Nony
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