킬링 형식

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1. 개요

킬링 형식은 리 대수 위에 정의되는 대칭 쌍선형 형식으로, 리 괄호를 사용하여 정의된다. 킬링 형식은 리 대수의 구조를 연구하는 데 중요한 도구로, 카르탕의 판정법을 통해 반단순 리 대수를 판별하는 데 사용된다. 또한, 킬링 형식은 리 대수의 자기 동형 사상에 불변하며, 멱영 리 대수의 킬링 형식은 0이다. 킬링 형식은 엘리 카르탕에 의해 처음 도입되었으며, 빌헬름 킬링의 이름을 따서 명명되었다.

킬링 형식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 추상적 정의
- 2.2. 성분을 통한 정의
3. 성질
4. 예
5. 역사
6. 한국의 킬링 형식 연구
- 6.1. 수학 분야

2. 정의

체 K 위에 있는 리 대수 $\mathfrak g$ 의 모든 원소 x는 리 괄호를 이용하여 $\mathfrak g$ 의 수반 자기 준동형 사상 ad(x) (ad_x로도 표기)를 정의한다.

: $\operatorname{ad}(x)(y) = [x, y].$

$\mathfrak g$ 가 유한 차원이라고 가정하면, 이러한 두 자기 준동형 사상의 합성을 대각합하면 K 값을 갖는 대칭 쌍선형 형식

: $B(x, y) = \operatorname{trace}(\operatorname{ad}(x) \circ \operatorname{ad}(y))$

이 생성되는데, 이를 $\mathfrak g$ 위의 킬링 형식이라고 한다.

2.1. 추상적 정의

가환환 K 위의 리 대수 $\mathfrak g$ 가 유한 차원 K-자유 가군이라고 하자. $\mathfrak g$ 의 딸림표현
: $\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\operatorname{GL}(\mathfrak g;k)$
: $\operatorname{ad}(x)\colon y\mapsto[x,y]$
를 생각하자. 그렇다면, $\mathfrak g$ 의 킬링 형식
: $B\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to K$
는 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식이다.
: $B(a,b)=\operatorname{tr}\left(\operatorname{ad}(a)\operatorname{ad}(b)\right)$
여기서 대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

보다 일반적으로, 체 K 위의 리 초대수 $\mathfrak g$ 가 유한 차원 K-초벡터 공간이라고 하자. $\mathfrak g$ 의 딸림표현
: $\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\operatorname{End}(\mathfrak g;K)$
: $\operatorname{ad}(x)\colon y\mapsto[x,y\}$
를 생각하자. 그렇다면, $\mathfrak g$ 의 킬링 형식
: $B\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to K$
는 다음과 같은 쌍선형 형식이다.
: $B(a,b)=\operatorname{str}\left(\operatorname{ad}(a)\operatorname{ad}(b)\right)$
여기서 초대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

2.2. 성분을 통한 정의

체 위의 유한 차원 리 대수 $\mathfrak g$ 의 기저 $(x_i)_{i\in I}$ 를 잡고, 이에 대한 구조 상수가
: $[x_i,x_j] = f_{ij}{}^kx_k$
라고 하자. 그렇다면, $\mathfrak g$ 의 킬링 형식은 다음과 같다.
: $B(x_i,x_j) = B_{ij} = \sum_k\sum_l f_{ik}{}^lf_{jl}{}^k$
체 K^영어 위에 있는 리 대수 $\mathfrak g$ 의 모든 원소 x^영어는 리 괄호를 이용하여 $\mathfrak g$ 의 수반 자기 준동형 사상 ad(x)^영어를 정의한다.

: $\operatorname{ad}(x)(y) = [x, y].$

$\mathfrak g$ 가 유한 차원이라고 가정하면, 이러한 두 자기 준동형 사상의 합성을 대각합하면 K^영어 값을 갖는 대칭 쌍선형 형식

: $B(x, y) = \operatorname{trace}(\operatorname{ad}(x) \circ \operatorname{ad}(y)),$

이 생성되는데, 이를 $\mathfrak g$ 위의 킬링 형식이라고 한다.
리 대수 $\mathfrak g$ 의 기저가 주어지면 킬링 형식의 행렬 요소는 다음과 같이 주어진다.

: $B_{ij}= \mathrm{trace}(\mathrm{ad}(e_i) \circ \mathrm{ad}(e_j)).$

여기서

: $\left(\textrm{ad}(e_i) \circ \textrm{ad}(e_j)\right)(e_k)= [e_i, [e_j, e_k]] = [e_i, {c_{jk}}^{m}e_m] = {c_{im}}^{n} {c_{jk}}^{m} e_n$

은 아인슈타인 표기법이며, 여기서 ${c_{ij}}^{k}$ 는 리 대수의 구조 상수이다. 지수 $k$ 는 행렬 $\textrm{ad}(e_i)\textrm{ad}(e_j)$ 에서 열 인덱스로, 지수 $n$ 은 행 인덱스로 기능한다. 트레이스를 구하는 것은 $k=n$ 을 놓고 합하는 것과 같으므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $B_{ij} = {c_{im}}^{n} {c_{jn}}^{m}$

킬링 형식은 구조 상수로부터 형성될 수 있는 가장 간단한 2차 텐서이다.

리 대수가 영 표수를 갖는 체에 대해 반단순 리 대수이면, 킬링 형식은 비퇴화적이며, 따라서 지수를 올리고 내리는 데 메트릭 텐서로 사용될 수 있다. 이 경우 항상 $\mathfrak g$ 에 대한 기저를 선택하여 모든 위 첨자를 갖는 구조 상수가 반대칭 텐서가 되도록 할 수 있다.

3. 성질

킬링 형식은 대각합의 순환성( $\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX)$ )에 의하여 대칭 쌍선형 형식을 이루며, 리 괄호를 사용하여 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.

: $B([x,y],z)=B(x,[y,z])$

킬링 형식 $B$ 는 다음과 같은 성질을 갖는다.

* 쌍선형이며 대칭적이다.
* 카시미르 연산자에서 얻은 모든 다른 형식과 마찬가지로 불변 형식이다.
* $\mathfrak g$ 가 단순 리 대수이면 $\mathfrak g$ 에 대한 모든 불변 대칭 쌍선형 형식은 킬링 형식의 스칼라 배수이다.
* 대수 $\mathfrak g$ 의 자기 동형 사상 $s$ 에 불변이다. 즉, $B(s(x), s(y)) = B(x, y)$ 가 성립한다.
* 카르탕 기준에 따르면 리 대수는 킬링 형식이 비퇴화 형식일 때 그리고 그 때만 반단순 리 대수이다.
* 멱영 리 대수의 킬링 형식은 항등적으로 0이다.
* $I$ , $J$ 가 교차점이 0인 리 대수 $\mathfrak g$ 의 두 아이디얼이면, $I$ 와 $J$ 는 킬링 형식과 관련하여 직교 부분 공간이다.
* 아이디얼의 $B$ 에 대한 직교 여원은 다시 아이디얼이다.
* 주어진 리 대수 $\mathfrak g$ 가 아이디얼 $I_1, \dots, I_n$ 의 직접 합이면, $\mathfrak g$ 의 킬링 형식은 개별 항의 킬링 형식의 직접 합이다.

3.1. 리 초대수의 킬링 형식

체 $K$ 위의 리 초대수 $\mathfrak g$ 가 유한 차원 $K$ -초벡터 공간이며, $\mathfrak g$ 의 딸림표현이 주어졌다고 하자.

: $\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\operatorname{End}(\mathfrak g;K)$

: $\operatorname{ad}(x)\colon y\mapsto[x,y\}$

그렇다면, $\mathfrak g$ 의 킬링 형식

: $B\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to K$

는 다음과 같은 쌍선형 형식이다.

: $B(a,b)=\operatorname{str}\left(\operatorname{ad}(a)\operatorname{ad}(b)\right)$

여기서 초대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

체 $K$ 위의 유한 차원 리 초대수 $\mathfrak g$ 의 킬링 형식 $B$ 는 다음과 같은 성질을 갖는다.

: $B(\mathfrak g_0,\mathfrak g_1) = 0$

: $B(x,y) = (-)^{\deg x\deg y}B(y,x)\qquad \forall x,y\in \mathfrak g_0 \cup\mathfrak g_1$

: $B([x,y\},z) = B(x,[y,z\}) \qquad\forall x,y,z\in\mathfrak g$

단순 리 대수의 경우와 달리, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수는 킬링 형식이 0일 수 있다. 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수 가운데, 킬링 형식이 0인 것은 다음과 같다.

* $\mathfrak{sl}(n|n)$
* $\mathfrak{osp}(4|2;\alpha)$
* $\mathfrak{osp}(2n+2|2n)$
* $\mathfrak p(n)$
* $\mathfrak q(n)$

나머지 단순 리 초대수는 모두 0이 아닌 킬링 형식을 갖는다.

3.2. 직합

체 $K$ 위의 두 유한 차원 리 초대수 $\mathfrak g$ , $\mathfrak g'$ 에 대하여, 그 직합 $\mathfrak g\oplus\mathfrak g'$ 의 킬링 형식은 다음과 같이 주어진다.

: $B_{\mathfrak g\oplus\mathfrak g'}(x\oplus x',y\oplus y') = B_{\mathfrak g}(x,y) + B_{\mathfrak h}(x',y')\qquad(x,y\in\mathfrak g,\;x',y'\in\mathfrak g')$

3.3. 실수체 위의 리 대수

$\mathfrak g$ 가 실수체 $\mathbb R$ 위의 반단순 리 대수라고 가정하자. 카르탕의 판정법에 의해, 킬링 형식은 비퇴화이며, 적절한 기저에서 대각 성분이 ±1인 대각 행렬로 대각화할 수 있다. 실베스터의 관성 법칙에 의해, 양의 성분의 개수는 쌍선형 형식의 불변량, 즉 대각화 기저의 선택에 의존하지 않으며, $\mathfrak g$ 의 지수라고 불린다. 이는 0과 $\mathfrak g$ 의 차원 사이의 수이며, 실수 리 대수의 중요한 불변량이다.

특히, 실수 리 대수 $\mathfrak g$ 는 킬링 형식이 음의 정부호인 경우 콤팩트라고 불린다. 리 대응에 따라, 콤팩트 리 대수는 콤팩트 리 군에 대응하는 것으로 알려져 있다.

$\mathfrak g_{\mathbb C}$ 가 복소수 위의 반단순 리 대수라면, 그 복소화가 $\mathfrak g_{\mathbb C}$ 인 여러 비동형 실수 리 대수가 있으며, 이를 실수 형태라고 한다. 모든 복소 반단순 리 대수는 고유한(동형까지) 콤팩트 실수 형태 $\mathfrak g$ 를 허용하는 것으로 밝혀졌다. 주어진 복소 반단순 리 대수의 실수 형태는 종종 킬링 형식의 양의 관성 지수로 표시된다.

예를 들어, 복소 특수 선형 대수 $\mathfrak {sl}(2, \mathbb C)$ 는 두 개의 실수 형태, 즉 실수 특수 선형 대수 $\mathfrak {sl}(2, \mathbb R)$ 와 특수 유니타리 대수 $\mathfrak {su}(2)$ 를 갖는다. 전자는 비콤팩트이며, 소위 분할 실수 형태라고 불리고, 킬링 형식은 (2, 1)의 부호를 갖는다. 후자는 콤팩트 실수 형태이며 킬링 형식은 음의 정부호, 즉 (0, 3)의 부호를 갖는다. 해당 리 군은 단위 행렬식을 갖는 2 × 2 실수 행렬의 비콤팩트 군 $\mathrm {SL}(2, \mathbb R)$ 과 콤팩트한 특수 유니타리 군 $\mathrm {SU}(2)$ 이다.

4. 예

아벨 리 대수와 여러 행렬 리 대수의 킬링 형식을 구체적인 예시를 통해 살펴보면 다음과 같다.

* 아벨 리 대수의 킬링 형식은 항상 0이다.
* 일반 선형 리 대수 $\operatorname{\mathfrak{gl}}(n;K)$ 의 킬링 형식은 다음과 같다.
: $B_{\mathfrak{gl}(n)}(X,Y) = 2n\operatorname{tr}(XY) - 2\operatorname{tr}(X)\operatorname{tr}(Y)$
* 특수 선형 리 대수 $\operatorname{\mathfrak{sl}}(n;K)$ 의 킬링 형식은 다음과 같다.
: $B_{\mathfrak{sl}(n)}(X,Y) = 2n\operatorname{tr}(XY)$

여러 행렬 리 대수의 킬링 형식은 다음 표와 같다.

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좌우로 밀어서 보기

\| 설명 \|\| 킬링 형식
gl(n, ℂ)	n×n 복소수 행렬	2n tr(XY) − 2 tr(X)tr(Y)
sl(n, ℝ)	n×n 무대각합 복소수 행렬	2n tr(XY)
su(n)	n×n 반에르미트 행렬	2n tr(XY)
so(n, ℝ)	n×n 반대칭 실수 행렬	(n−2) tr(XY)
so(n, ℂ)	n×n 반대칭 복소수 행렬	(n−2) tr(XY)
sp(2n, ℝ)	2n×2n 실수 해밀턴 행렬	(2n+2) tr(XY)
sp(2n, ℂ)	2n×2n 복소수 해밀턴 행렬	(2n+2) tr(XY)

단순 리 대수의 경우, 킬링 형식은 계량 형식과 밀접하게 관련된다. 일반적으로 계량은 긴 근의 길이가

\sqrt2

가 되도록 표준화한다.

킬링 형식

K

는 다음과 같이 표현된다.

:

K=-2h^\vee\langle\cdot,\cdot\rangle

여기서

h^\vee

는 단순 리 대수의 이중 콕서터 수(dual Coxeter number)이다.

(표준화된 계량 형식과 이중 콕서터 수는 하위 섹션 "리 대수의 계량과 이중 콕서터 수"에 자세히 설명되어 있다.)

4.1. 아벨 리 대수

임의의 체 $K$ 위의 유한 차원 아벨 리 대수 $\mathfrak g$ 의 킬링 형식은 항상 0이다.

4.2. 행렬 리 대수

임의의 체 $K$ 와 자연수 $n$ 에 대하여, 일반 선형 리 대수 $\operatorname{\mathfrak{gl}}(n;K)$ 의 킬링 형식은 다음과 같다.
: $B_{\mathfrak{gl}(n)}(X,Y) = 2n\operatorname{tr}(XY) - 2\operatorname{tr}(X)\operatorname{tr}(Y)$

특수 선형 리 대수 $\operatorname{\mathfrak{sl}}(n;K)$ 의 킬링 형식은 다음과 같다.
: $B_{\mathfrak{sl}(n)}(X,Y) = 2n\operatorname{tr}(XY)$

이는 표준적인 분해 $\mathfrak{sl}(n;K) \oplus K \cong \mathfrak{gl}(n;K)$ 에서 아벨 리 대수 $K$ 의 킬링 형식이 0이므로, 일반 선형 리 대수의 킬링 형식 표현을 그대로 사용한 것이다. (이 경우 둘째 항은 0이 된다.)

다음은 여러 행렬 리 대수의 킬링 형식을 나타낸 표이다.

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좌우로 밀어서 보기

\| 설명 \|\| 킬링 형식
gl(n, ℂ)	n×n 복소수 행렬	2n tr(XY) − 2 tr(X)tr(Y)
sl(n, ℝ)	n×n 무대각합 복소수 행렬	2n tr(XY)
su(n)	n×n 반에르미트 행렬	2n tr(XY)
so(n, ℝ)	n×n 반대칭 실수 행렬	(n−2) tr(XY)
so(n, ℂ)	n×n 반대칭 복소수 행렬	(n−2) tr(XY)
sp(2n, ℝ)	2n×2n 실수 해밀턴 행렬	(2n+2) tr(XY)
sp(2n, ℂ)	2n×2n 복소수 해밀턴 행렬	(2n+2) tr(XY)

4.3. 리 대수의 계량과 이중 콕서터 수

단순 리 대수의 경우, 킬링 형식은 계량 형식과 밀접하게 관련된다. 일반적으로 계량은 긴 근의 길이가 $\sqrt2$ 가 되도록 표준화한다. 이 경우 짧은 근의 길이는 B_n, C_n, F₄인 경우 1, G₂의 경우 $\sqrt{2/3}$ 이다. 이렇게 표준화된 계량 형식은 다음 표와 같다.

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좌우로 밀어서 보기

\| 행렬 표현 \|\| 규격화 계량 형식
su(n)	n×n 반에르미트 행렬	− tr(XY)
so(n, ℝ)	n×n 반대칭 행렬	− ½tr(XY)
usp(2n)	2n×2n 반에르미트 해밀턴 행렬	− tr(XY)
usp(2n)	n×n 사원수 반에르미트 행렬	− tr(XY + YX)
e₆	27×27 반에르미트 행렬	− (9/4) tr(XY)
e₇	56×56 반대칭 행렬	− (3/2) tr(XY)
e₈	248×248 반대칭 행렬	− (41/10) tr(XY)
f₄	26×26 반대칭 행렬	− (4/3) tr(XY)
g₂	7×7 반대칭 행렬	− (5/8) tr(XY)

이렇게 계량 형식을 표준화하면, 킬링 형식

K

는 다음과 같이 표현된다.

:

K=-2h^\vee\langle\cdot,\cdot\rangle

여기서

h^\vee

는 단순 리 대수의 이중 콕서터 수(dual Coxeter number)이다. 이는 빅토르 카츠가 도입하였고, 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터의 이름을 땄다. 이중 콕서터 수는 다음 표와 같다.

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좌우로 밀어서 보기

리 대수	a_n	b_n	c_n	d_n	e₆	e₇	e₈	f₄	g₂
다른 이름	SU(n+1)	SO(2n+1)	USp(2n)	SO(2n)	—
이중 콕서터 수	n+1	2n−1	n+1	2n−2	12	18	30	9	4

5. 역사

엘리 카르탕이 1894년에 도입하였다. 킬링 형식은 독일 수학자 빌헬름 킬링의 이름을 따서 지어졌다.

킬링 형식은 엘리 카르탕의 논문에서 리 대수 이론에 처음 소개되었다. "킬링 형식"이라는 용어는 1951년 부르바키 세미나에서 알망 보렐이 발표한 보고서에서 처음 사용되었는데, 알망 보렐은 2001년에 왜 그 용어를 선택했는지 기억하지 못한다고 언급했다. 보렐은 이 명칭이 부적절하게 여겨져 "'카르탕 형식'"이라고 부르는 것이 더 정확할 것이라고 인정했다.

19세기 말, 킬링은 리 대수의 정칙 반단순 원소의 특성 방정식의 계수가 수반군의 아래에서 불변이라는 것을 알아냈고, 이로부터 킬링 형식(즉, 2차 계수)이 불변임을 알 수 있었다. 그러나 그는 이 사실을 크게 활용하지 않았다. 엘리 카르탕이 이용한 기본적인 결과는 카르탕의 판정법으로, 이는 킬링 형식이 비퇴화적인 것과 리 대수가 단순 리 대수의 직합임이 동치라는 것이다.

6. 한국의 킬링 형식 연구

한국에서는 킬링 형식을 활용하여 여러 수학 및 물리학 분야에서 연구가 진행되고 있다. 특히, 리 군 및 리 대수의 분류, 표현론 연구 등에서 킬링 형식이 중요한 역할을 한다는 사실은 이미 수학 분야 하위 섹션에서 상세히 다루고 있으므로, 여기서는 간략하게만 언급한다.

6.1. 수학 분야

리 군 및 리 대수의 분류, 표현론 연구 등에서 킬링 형식이 중요한 역할을 한다.