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킬링 형식

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1. 개요

킬링 형식은 리 대수 위에 정의되는 대칭 쌍선형 형식으로, 리 괄호를 사용하여 정의된다. 킬링 형식은 리 대수의 구조를 연구하는 데 중요한 도구로, 카르탕의 판정법을 통해 반단순 리 대수를 판별하는 데 사용된다. 또한, 킬링 형식은 리 대수의 자기 동형 사상에 불변하며, 멱영 리 대수의 킬링 형식은 0이다. 킬링 형식은 엘리 카르탕에 의해 처음 도입되었으며, 빌헬름 킬링의 이름을 따서 명명되었다.

2. 정의

''K'' 위에 있는 리 대수 \mathfrak g의 모든 원소 x는 리 괄호를 이용하여 \mathfrak g의 수반 자기 준동형 사상 ad(x) (adx로도 표기)를 정의한다.

:\operatorname{ad}(x)(y) = [x, y].

\mathfrak g가 유한 차원이라고 가정하면, 이러한 두 자기 준동형 사상의 합성을 대각합하면 ''K'' 값을 갖는 대칭 쌍선형 형식

:B(x, y) = \operatorname{trace}(\operatorname{ad}(x) \circ \operatorname{ad}(y))

이 생성되는데, 이를 \mathfrak g 위의 '''킬링 형식'''이라고 한다.

2. 1. 추상적 정의

가환환 ''K'' 위의 리 대수 \mathfrak g가 유한 차원 ''K''-자유 가군이라고 하자. \mathfrak g딸림표현

:\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\operatorname{GL}(\mathfrak g;k)

:\operatorname{ad}(x)\colon y\mapsto[x,y]

를 생각하자. 그렇다면, \mathfrak g의 '''킬링 형식'''

:B\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to K

는 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식이다.

:B(a,b)=\operatorname{tr}\left(\operatorname{ad}(a)\operatorname{ad}(b)\right)

여기서 대각합딸림표현에서 취한 것이다.

보다 일반적으로, ''K'' 위의 리 초대수 \mathfrak g가 유한 차원 ''K''-초벡터 공간이라고 하자. \mathfrak g딸림표현

:\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\operatorname{End}(\mathfrak g;K)

:\operatorname{ad}(x)\colon y\mapsto[x,y\}

를 생각하자. 그렇다면, \mathfrak g의 '''킬링 형식'''

:B\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to K

는 다음과 같은 쌍선형 형식이다.[7]

:B(a,b)=\operatorname{str}\left(\operatorname{ad}(a)\operatorname{ad}(b)\right)

여기서 초대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

2. 2. 성분을 통한 정의

위의 유한 차원 리 대수 \mathfrak g기저 (x_i)_{i\in I}를 잡고, 이에 대한 구조 상수가

:[x_i,x_j] = f_{ij}{}^kx_k

라고 하자. 그렇다면, \mathfrak g의 킬링 형식은 다음과 같다.

:B(x_i,x_j) = B_{ij} = \sum_k\sum_l f_{ik}{}^lf_{jl}{}^k

K|영어 위에 있는 리 대수 \mathfrak g의 모든 원소 x|영어는 리 괄호를 이용하여 \mathfrak g의 수반 자기 준동형 사상 ad(''x'')|영어를 정의한다.

:\operatorname{ad}(x)(y) = [x, y].

\mathfrak g가 유한 차원이라고 가정하면, 이러한 두 자기 준동형 사상의 합성을 대각합하면 K|영어 값을 갖는 대칭 쌍선형 형식

:B(x, y) = \operatorname{trace}(\operatorname{ad}(x) \circ \operatorname{ad}(y)),

이 생성되는데, 이를 \mathfrak g 위의 킬링 형식이라고 한다.

리 대수 \mathfrak g의 기저가 주어지면 킬링 형식의 행렬 요소는 다음과 같이 주어진다.

:B_{ij}= \mathrm{trace}(\mathrm{ad}(e_i) \circ \mathrm{ad}(e_j)).

여기서

:\left(\textrm{ad}(e_i) \circ \textrm{ad}(e_j)\right)(e_k)= [e_i, [e_j, e_k]] = [e_i, {c_{jk}}^{m}e_m] = {c_{im}}^{n} {c_{jk}}^{m} e_n

아인슈타인 표기법이며, 여기서 {c_{ij}}^{k}는 리 대수의 구조 상수이다. 지수 k는 행렬 \textrm{ad}(e_i)\textrm{ad}(e_j)에서 열 인덱스로, 지수 n은 행 인덱스로 기능한다. 트레이스를 구하는 것은 k=n을 놓고 합하는 것과 같으므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:B_{ij} = {c_{im}}^{n} {c_{jn}}^{m}

킬링 형식은 구조 상수로부터 형성될 수 있는 가장 간단한 2차 텐서이다.

리 대수가 영 표수를 갖는 체에 대해 반단순 리 대수이면, 킬링 형식은 비퇴화적이며, 따라서 지수를 올리고 내리는 데 메트릭 텐서로 사용될 수 있다. 이 경우 항상 \mathfrak g에 대한 기저를 선택하여 모든 위 첨자를 갖는 구조 상수가 반대칭 텐서가 되도록 할 수 있다.

3. 성질

킬링 형식은 대각합의 순환성(\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX))에 의하여 대칭 쌍선형 형식을 이루며, 리 괄호를 사용하여 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.[2]

:B([x,y],z)=B(x,[y,z])

킬링 형식 B는 다음과 같은 성질을 갖는다.


  • 쌍선형이며 대칭적이다.
  • 카시미르 연산자에서 얻은 모든 다른 형식과 마찬가지로 불변 형식이다.
  • \mathfrak g가 단순 리 대수이면 \mathfrak g에 대한 모든 불변 대칭 쌍선형 형식은 킬링 형식의 스칼라 배수이다.
  • 대수 \mathfrak g자기 동형 사상 s에 불변이다. 즉, B(s(x), s(y)) = B(x, y) 가 성립한다.
  • 카르탕 기준에 따르면 리 대수는 킬링 형식이 비퇴화 형식일 때 그리고 그 때만 반단순 리 대수이다.
  • 멱영 리 대수의 킬링 형식은 항등적으로 0이다.
  • I, J가 교차점이 0인 리 대수 \mathfrak g의 두 아이디얼이면, IJ는 킬링 형식과 관련하여 직교 부분 공간이다.
  • 아이디얼의 B에 대한 직교 여원은 다시 아이디얼이다.[4]
  • 주어진 리 대수 \mathfrak g가 아이디얼 I_1, \dots, I_n의 직접 합이면, \mathfrak g의 킬링 형식은 개별 항의 킬링 형식의 직접 합이다.

3. 1. 리 초대수의 킬링 형식

K 위의 리 초대수 \mathfrak g가 유한 차원 K-초벡터 공간이며, \mathfrak g딸림표현이 주어졌다고 하자.

:\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\operatorname{End}(\mathfrak g;K)

:\operatorname{ad}(x)\colon y\mapsto[x,y\}

그렇다면, \mathfrak g의 '''킬링 형식'''

:B\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to K

는 다음과 같은 쌍선형 형식이다.[7]

:B(a,b)=\operatorname{str}\left(\operatorname{ad}(a)\operatorname{ad}(b)\right)

여기서 초대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

K 위의 유한 차원 리 초대수 \mathfrak g의 킬링 형식 B는 다음과 같은 성질을 갖는다.[7]

:B(\mathfrak g_0,\mathfrak g_1) = 0

:B(x,y) = (-)^{\deg x\deg y}B(y,x)\qquad \forall x,y\in \mathfrak g_0 \cup\mathfrak g_1

:B([x,y\},z) = B(x,[y,z\}) \qquad\forall x,y,z\in\mathfrak g

단순 리 대수의 경우와 달리, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수는 킬링 형식이 0일 수 있다. 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수 가운데, 킬링 형식이 0인 것은 다음과 같다.[7]

  • \mathfrak{sl}(n|n)
  • \mathfrak{osp}(4|2;\alpha)
  • \mathfrak{osp}(2n+2|2n)
  • \mathfrak p(n)
  • \mathfrak q(n)


나머지 단순 리 초대수는 모두 0이 아닌 킬링 형식을 갖는다.

3. 2. 직합

K 위의 두 유한 차원 리 초대수 \mathfrak g, \mathfrak g'에 대하여, 그 직합 \mathfrak g\oplus\mathfrak g'의 킬링 형식은 다음과 같이 주어진다.

:B_{\mathfrak g\oplus\mathfrak g'}(x\oplus x',y\oplus y') = B_{\mathfrak g}(x,y) + B_{\mathfrak h}(x',y')\qquad(x,y\in\mathfrak g,\;x',y'\in\mathfrak g')

3. 3. 실수체 위의 리 대수

\mathfrak g가 실수체 \mathbb R 위의 반단순 리 대수라고 가정하자. 카르탕의 판정법에 의해, 킬링 형식은 비퇴화이며, 적절한 기저에서 대각 성분이 ±1인 대각 행렬로 대각화할 수 있다. 실베스터의 관성 법칙에 의해, 양의 성분의 개수는 쌍선형 형식의 불변량, 즉 대각화 기저의 선택에 의존하지 않으며, \mathfrak g의 '''지수'''라고 불린다. 이는 0과 \mathfrak g의 차원 사이의 수이며, 실수 리 대수의 중요한 불변량이다.

특히, 실수 리 대수 \mathfrak g는 킬링 형식이 음의 정부호인 경우 '''콤팩트'''라고 불린다. 리 대응에 따라, 콤팩트 리 대수는 콤팩트 리 군에 대응하는 것으로 알려져 있다.

\mathfrak g_{\mathbb C}복소수 위의 반단순 리 대수라면, 그 복소화\mathfrak g_{\mathbb C}인 여러 비동형 실수 리 대수가 있으며, 이를 '''실수 형태'''라고 한다. 모든 복소 반단순 리 대수는 고유한(동형까지) 콤팩트 실수 형태 \mathfrak g를 허용하는 것으로 밝혀졌다. 주어진 복소 반단순 리 대수의 실수 형태는 종종 킬링 형식의 양의 관성 지수로 표시된다.

예를 들어, 복소 특수 선형 대수 \mathfrak {sl}(2, \mathbb C)는 두 개의 실수 형태, 즉 실수 특수 선형 대수 \mathfrak {sl}(2, \mathbb R)와 특수 유니타리 대수 \mathfrak {su}(2)를 갖는다. 전자는 비콤팩트이며, 소위 '''분할 실수 형태'''라고 불리고, 킬링 형식은 (2, 1)의 부호를 갖는다. 후자는 콤팩트 실수 형태이며 킬링 형식은 음의 정부호, 즉 (0, 3)의 부호를 갖는다. 해당 리 군은 단위 행렬식을 갖는 2 × 2 실수 행렬의 비콤팩트 군 \mathrm {SL}(2, \mathbb R)과 콤팩트한 특수 유니타리 군 \mathrm {SU}(2)이다.

4. 예

아벨 리 대수와 여러 행렬 리 대수의 킬링 형식을 구체적인 예시를 통해 살펴보면 다음과 같다.


  • 아벨 리 대수의 킬링 형식은 항상 0이다.[4]
  • 일반 선형 리 대수 \operatorname{\mathfrak{gl}}(n;K)의 킬링 형식은 다음과 같다.

:B_{\mathfrak{gl}(n)}(X,Y) = 2n\operatorname{tr}(XY) - 2\operatorname{tr}(X)\operatorname{tr}(Y)

  • 특수 선형 리 대수 \operatorname{\mathfrak{sl}}(n;K)의 킬링 형식은 다음과 같다.

:B_{\mathfrak{sl}(n)}(X,Y) = 2n\operatorname{tr}(XY)

여러 행렬 리 대수의 킬링 형식은 다음 표와 같다.

리 대수설명킬링 형식
gl(n, ℂ)n×n 복소수 행렬2n tr(XY) − 2 tr(X)tr(Y)
sl(n, ℝ)n×n 무대각합 복소수 행렬2n tr(XY)
su(n)n×n 반에르미트 행렬2n tr(XY)
so(n, ℝ)n×n 반대칭 실수 행렬(n−2) tr(XY)
so(n, ℂ)n×n 반대칭 복소수 행렬(n−2) tr(XY)
sp(2n, ℝ)2n×2n 실수 해밀턴 행렬(2n+2) tr(XY)
sp(2n, ℂ)2n×2n 복소수 해밀턴 행렬(2n+2) tr(XY)



단순 리 대수의 경우, 킬링 형식은 계량 형식과 밀접하게 관련된다. 일반적으로 계량은 긴 근의 길이가 \sqrt2가 되도록 표준화한다.[8][9]

킬링 형식 K는 다음과 같이 표현된다.[11][9]

:K=-2h^\vee\langle\cdot,\cdot\rangle

여기서 h^\vee는 단순 리 대수의 이중 콕서터 수(dual Coxeter number)이다.

(표준화된 계량 형식과 이중 콕서터 수는 하위 섹션 "리 대수의 계량과 이중 콕서터 수"에 자세히 설명되어 있다.)

4. 1. 아벨 리 대수

임의의 체 K 위의 유한 차원 아벨 리 대수 \mathfrak g의 킬링 형식은 항상 0이다.[4]

4. 2. 행렬 리 대수

임의의 체 K와 자연수 n에 대하여, 일반 선형 리 대수 \operatorname{\mathfrak{gl}}(n;K)의 킬링 형식은 다음과 같다.

:B_{\mathfrak{gl}(n)}(X,Y) = 2n\operatorname{tr}(XY) - 2\operatorname{tr}(X)\operatorname{tr}(Y)

특수 선형 리 대수 \operatorname{\mathfrak{sl}}(n;K)의 킬링 형식은 다음과 같다.

:B_{\mathfrak{sl}(n)}(X,Y) = 2n\operatorname{tr}(XY)

이는 표준적인 분해 \mathfrak{sl}(n;K) \oplus K \cong \mathfrak{gl}(n;K)에서 아벨 리 대수 K의 킬링 형식이 0이므로, 일반 선형 리 대수의 킬링 형식 표현을 그대로 사용한 것이다. (이 경우 둘째 항은 0이 된다.)

다음은 여러 행렬 리 대수의 킬링 형식을 나타낸 표이다.

리 대수설명킬링 형식
gl(n, ℂ)n×n 복소수 행렬2n tr(XY) − 2 tr(X)tr(Y)
sl(n, ℝ)n×n 무대각합 복소수 행렬2n tr(XY)
su(n)n×n 반에르미트 행렬2n tr(XY)
so(n, ℝ)n×n 반대칭 실수 행렬(n−2) tr(XY)
so(n, ℂ)n×n 반대칭 복소수 행렬(n−2) tr(XY)
sp(2n, ℝ)2n×2n 실수 해밀턴 행렬(2n+2) tr(XY)
sp(2n, ℂ)2n×2n 복소수 해밀턴 행렬(2n+2) tr(XY)


4. 3. 리 대수의 계량과 이중 콕서터 수

단순 리 대수의 경우, 킬링 형식은 계량 형식과 밀접하게 관련된다. 일반적으로 계량은 긴 근의 길이가 \sqrt2가 되도록 표준화한다.[8][9] 이 경우 짧은 근의 길이는 B''n'', C''n'', F4인 경우 1, G2의 경우 \sqrt{2/3}이다. 이렇게 표준화된 계량 형식은 다음 표와 같다.

리 대수행렬 표현규격화 계량 형식
su(n)n×n 반에르미트 행렬− tr(XY)
so(n, ℝ)n×n 반대칭 행렬− ½tr(XY)
usp(2n)2n×2n 반에르미트 해밀턴 행렬− tr(XY)
n×n 사원수 반에르미트 행렬− tr(XY + YX)
e627×27 반에르미트 행렬− (9/4) tr(XY)
e756×56 반대칭 행렬− (3/2) tr(XY)
e8248×248 반대칭 행렬− (41/10) tr(XY)
f426×26 반대칭 행렬− (4/3) tr(XY)
g27×7 반대칭 행렬− (5/8) tr(XY)



이렇게 계량 형식을 표준화하면, 킬링 형식 K는 다음과 같이 표현된다.[11][9]

:K=-2h^\vee\langle\cdot,\cdot\rangle

여기서 h^\vee는 단순 리 대수의 이중 콕서터 수(dual Coxeter number)이다. 이는 빅토르 카츠가 도입하였고, 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터의 이름을 땄다. 이중 콕서터 수는 다음 표와 같다.

리 대수anbncndne6e7e8f4g2
다른 이름SU(n+1)SO(2n+1)USp(2n)SO(2n)
이중 콕서터 수n+12n−1n+12n−212183094


5. 역사

엘리 카르탕이 1894년에 도입하였다.[12] 킬링 형식은 독일 수학자 빌헬름 킬링의 이름을 따서 지어졌다.

킬링 형식은 엘리 카르탕의 논문에서 리 대수 이론에 처음 소개되었다. "킬링 형식"이라는 용어는 1951년 부르바키 세미나에서 알망 보렐이 발표한 보고서에서 처음 사용되었는데, 알망 보렐은 2001년에 왜 그 용어를 선택했는지 기억하지 못한다고 언급했다. 보렐은 이 명칭이 부적절하게 여겨져 "'카르탕 형식'"이라고 부르는 것이 더 정확할 것이라고 인정했다.[3]

19세기 말, 킬링은 리 대수의 정칙 반단순 원소의 특성 방정식의 계수가 수반군의 아래에서 불변이라는 것을 알아냈고, 이로부터 킬링 형식(즉, 2차 계수)이 불변임을 알 수 있었다. 그러나 그는 이 사실을 크게 활용하지 않았다. 엘리 카르탕이 이용한 기본적인 결과는 카르탕의 판정법으로, 이는 킬링 형식이 비퇴화적인 것과 리 대수가 단순 리 대수의 직합임이 동치라는 것이다.[1]

6. 한국의 킬링 형식 연구

한국에서는 킬링 형식을 활용하여 여러 수학 및 물리학 분야에서 연구가 진행되고 있다. 특히, 리 군리 대수의 분류, 표현론 연구 등에서 킬링 형식이 중요한 역할을 한다는 사실은 이미 수학 분야 하위 섹션에서 상세히 다루고 있으므로, 여기서는 간략하게만 언급한다.

6. 1. 수학 분야

리 군리 대수의 분류, 표현론 연구 등에서 킬링 형식이 중요한 역할을 한다.

참조

[1] Harvnb
[2] 서적 Representation theory. A first course Springer-Verlag
[3] 문서
[4] Citation Representation theory. A first course シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Springer-Verlag
[5] 서적 Lie Groups Springer 2004
[6] 서적 Affine Lie Algebras and Quantum Groups Cambridge University Press 1992
[7] 저널 Dictionary on Lie superalgebras 1996-07
[8] 저널 Group theory for unified model building 1981-12
[9] 서적 Conformal field theory 1997
[10] 웹인용 Some notes on compact Lie groups https://web.archive.[...] 2013-12-03
[11] 서적 Infinite Dimensional Lie Algebras 1990
[12] 서적 Sur la structure des groupes de transformations finis et continus http://books.google.[...] Nony



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