올대상

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 오른쪽 올림 속성
4. 예
- 4.1. 단체 집합
- 4.2. 위상 공간
참조

1. 개요

올대상은 모형 범주에서 정의되는 개념으로, 유일한 사상이 올뭉치인 대상이다. 쌍대올대상은 유일한 사상이 쌍대올뭉치인 대상이며, 쌍올대상은 올대상이자 쌍대올대상인 대상이다. 올대상 분해는 호모토피 동치와 올뭉치를 사용하여 대상을 올대상으로 변환하는 것이며, 좋은 올대상 분해는 추가로 쌍대올뭉치를 갖는다. 닫힌 모형 범주의 올대상은 오른쪽 올림 속성을 가지며, 단순 집합 이론에서는 칸 복합체로 알려져 있다. 단체 집합의 모형 범주에서 올대상은 칸 복합체이며, 위상 공간의 모형 범주에서 CW 복합체는 쌍대올대상이다.

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올대상

2. 정의

모형 범주 $\mathcal C$ 에서 시작 대상을 $\varnothing$ , 끝 대상을 $\bullet$ 이라고 표기한다. 이 범주 안에서 다음과 같은 대상들을 정의할 수 있다.

'''올대상'''(fibrant object^영어): 유일한 사상 $X\to\bullet$ 이 올뭉치가 되는 대상 $X$ 를 말한다.^[1] 자세한 내용은 올대상 섹션에서 다룬다.
'''쌍대올대상'''(cofibrant object^영어): 유일한 사상 $\varnothing\to X$ 가 쌍대올뭉치가 되는 대상 $X$ 를 말한다.^[1] 자세한 내용은 쌍대올대상 섹션에서 다룬다.
'''쌍올대상'''(雙-對象, bifibrant object^영어): 올대상이면서 동시에 쌍대올대상인 대상을 말한다.^[1] 자세한 내용은 쌍올대상 섹션에서 다룬다.

또한, 모형 범주

\mathcal C

의 임의의 대상

X

에 대해 다음과 같은 분해 개념을 정의할 수 있다.

'''올대상 분해'''(fibrant resolution^영어): 대상 $X$ 를 호모토피 동치를 통해 올대상 $\hat X$ 로 바꾸는 과정, 즉 $X\xrightarrow\simeq\hat X\twoheadrightarrow\bullet$ 형태의 분해를 의미한다.^[1] 여기서 $\hat X$ 는 올대상이며, $\hat X$ 에서 끝 대상 $\bullet$ 으로 가는 사상은 올뭉치이다. 자세한 내용은 올대상 분해 섹션에서 다룬다.
만약 이 분해에서 호모토피 동치 $\xrightarrow\simeq$ 가 추가로 쌍대올뭉치라면, 이를 '''좋은 올대상 분해'''(good fibrant resolution^영어)라고 한다. 자세한 내용은 좋은 올대상 분해와 좋은 쌍대올대상 분해 섹션에서 다룬다.
'''쌍대올대상 분해'''(cofibrant resolution^영어): 대상 $X$ 를 호모토피 동치를 통해 쌍대올대상 $\hat X$ 로 바꾸는 과정, 즉 $\varnothing\hookrightarrow \hat X\xrightarrow\simeq X$ 형태의 분해를 의미한다.^[1] 여기서 $\hat X$ 는 쌍대올대상이며, 시작 대상 $\varnothing$ 에서 $\hat X$ 로 가는 사상은 쌍대올뭉치이다. 자세한 내용은 쌍대올대상 분해 섹션에서 다룬다.
만약 이 분해에서 호모토피 동치 $\xrightarrow\simeq$ 가 추가로 올뭉치라면, 이를 '''좋은 쌍대올대상 분해'''(good cofibrant resolution^영어)라고 한다. 자세한 내용은 좋은 올대상 분해와 좋은 쌍대올대상 분해 섹션에서 다룬다.

2. 1. 올대상

모형 범주

\mathcal C

의 시작 대상을

\varnothing

, 끝 대상을

\bullet

이라고 할 때, 올대상, 쌍대올대상, 쌍올대상은 다음과 같이 정의된다.

$\mathcal C$ 에서의 올대상(fibrant object^영어)은 유일한 사상 $X\to\bullet$ 이 올뭉치인 대상 $X$ 이다.^[1]
$\mathcal C$ 에서의 쌍대올대상(cofibrant object^영어)은 유일한 사상 $\varnothing\to X$ 가 쌍대올뭉치인 대상 $X$ 이다.^[1]
$\mathcal C$ 에서의 쌍올대상(雙-對象, bifibrant object^영어)은 올대상이면서 동시에 쌍대올대상인 대상이다.^[1]

닫힌 모형 범주에서 올대상은 범주 내의 임의의 자명한 쌍대올림에 대해 오른쪽 올림 속성을 갖는다는 중요한 특징이 있다. 이 속성 덕분에 올대상은 호모토피 군을 정의하는 데 "적합한" 대상으로 여겨진다.

특히 단순 집합 이론의 맥락에서, 올대상은 수학자 대니얼 칸의 이름을 따서 칸 복합체(Kan complex^영어)라고도 불린다. 이는 점(point) 위의 칸 올림에 해당한다.

쌍대적으로, 쌍대올대상이라는 개념도 존재하는데, 이는 시작 대상에서 대상

c

로 가는 유일한 사상

\varnothing\to c

가 쌍대올림이 되는 대상

c

를 의미한다.

2. 2. 쌍대올대상

모형 범주

\mathcal C

에서의 '''쌍대올대상'''(cofibrant object^영어)은 시작 대상

\varnothing

에서 대상

X

로 가는 유일한 사상

\varnothing\to X

가 쌍대올뭉치인 대상

X

이다.^[1]

2. 3. 쌍올대상

모형 범주

\mathcal C

의 시작 대상을

\varnothing

, 끝 대상을

\bullet

이라고 하자.

\mathcal C

에서 대상

X

가 다음 두 조건을 모두 만족시키면 '''쌍올대상'''(雙-對象, bifibrant object^eng)이라고 한다.^[1]

유일한 사상 $X\to\bullet$ 이 올뭉치이다. (즉, $X$ 는 '''올대상'''(fibrant object^eng)이다.)^[1]
유일한 사상 $\varnothing\to X$ 가 쌍대올뭉치이다. (즉, $X$ 는 '''쌍대올대상'''(cofibrant object^eng)이다.)^[1]

2. 4. 올대상 분해

모형 범주

\mathcal C

의 대상

X\in\mathcal C

의 '''올대상 분해'''(fibrant resolution^영어)는 다음과 같은 구조를 의미한다.^[1]

:

X\xrightarrow\simeq\hat X\twoheadrightarrow\bullet

여기서

X

는 주어진 대상이고,

\hat X

는

X

와 호모토피 동치 관계(

\xrightarrow\simeq

)에 있는 올대상이다. 또한,

\hat X

에서 끝 대상

\bullet

으로 가는 사상(

\twoheadrightarrow

)은 올뭉치이다. 즉, 올대상 분해는 주어진 대상을 호모토피 동치를 통해 올대상으로 바꾸고, 그 올대상이 끝 대상으로 가는 올뭉치를 갖도록 하는 과정이다.

만약 위 분해에서 호모토피 동치

\xrightarrow\simeq

가 추가적으로 쌍대올뭉치의 성질까지 만족한다면, 이를 '''좋은 올대상 분해'''(good fibrant resolution^영어)라고 부른다.^[1]

2. 5. 쌍대올대상 분해

모형 범주

\mathcal C

의 대상

X\in\mathcal C

의 '''쌍대올대상 분해'''(cofibrant resolution^영어)는 다음과 같다.^[1]

:

\varnothing\hookrightarrow \hat X\xrightarrow\simeq X

여기서

\xrightarrow\simeq

는 호모토피 동치이며,

\hookrightarrow

는 쌍대올뭉치이며,

\varnothing

은 시작 대상이다. 즉,

\hat X

는 쌍대올대상이다. 만약

\xrightarrow\simeq

가 추가로 올뭉치라면, 이를 '''좋은 쌍대올대상 분해'''(good cofibrant resolution^영어)라고 한다.

2. 6. 좋은 올대상 분해와 좋은 쌍대올대상 분해

모형 범주

\mathcal C

의 대상

X\in\mathcal C

의 '''올대상 분해'''(fibrant resolution^영어)는 다음과 같은 형태의 분해를 말한다.^[1]

:

X\xrightarrow\simeq\hat X\twoheadrightarrow\bullet

여기서

\xrightarrow\simeq

는 호모토피 동치이며,

\twoheadrightarrow

는 올뭉치이고,

\bullet

은 끝 대상이다. 즉,

\hat X

는 올대상이다. 만약 이 분해에서

\xrightarrow\simeq

가 추가적으로 쌍대올뭉치의 조건을 만족한다면, 이를 좋은 올대상 분해(good fibrant resolution^영어)라고 부른다.

마찬가지로, 모형 범주

\mathcal C

의 대상

X\in\mathcal C

의 '''쌍대올대상 분해'''(cofibrant resolution^영어)는 다음과 같은 형태의 분해이다.^[1]

:

\varnothing\hookrightarrow \hat X\xrightarrow\simeq X

여기서

\xrightarrow\simeq

는 호모토피 동치이며,

\hookrightarrow

는 쌍대올뭉치이고,

\varnothing

은 시작 대상이다. 즉,

\hat X

는 쌍대올대상이다. 만약 이 분해에서

\xrightarrow\simeq

가 추가적으로 올뭉치의 조건을 만족한다면, 이를 좋은 쌍대올대상 분해(good cofibrant resolution^영어)라고 한다.

3. 성질

모형 범주의 정의에 따라, 모든 대상은 좋은 올대상 분해 및 좋은 쌍대올대상 분해를 갖는다.

쌍대적으로, 쌍대올대상이라는 개념이 있는데, 이는 초기 대상에서 $c$ 로 가는 유일한 사상 $\varnothing\to c$ 가 쌍대올림이 되도록 정의된 대상 $c$ 이다.

3. 1. 오른쪽 올림 속성

닫힌 모형 범주의 올대상은 범주 내의 임의의 자명한 쌍대올림에 대해 오른쪽 올림 속성을 갖는다는 특징이 있다. 이 속성은 올대상을 호모토피 군을 정의하는 데 "적합한" 대상으로 만든다. 단순 집합 이론의 맥락에서, 올대상은 대니얼 칸의 이름을 따서 칸 복합체로 알려져 있다. 이들은 점 위에서의 칸 올림이다.

4. 예

올대상의 대표적인 예로는 단체 집합의 모형 범주에서의 '''칸 복합체'''(Kan complex^영어)가 있다.^[1]

쌍대적으로, 위상 공간의 모형 범주에서는 CW 복합체가 쌍대올대상의 중요한 예시이다.

4. 1. 단체 집합

단체 집합의 모형 범주에서 올대상은 '''칸 복합체'''(Kan complex^영어)라고 하고, 올뭉치는 칸 올뭉치(Kan fibration^영어)이다.

닫힌 모형 범주에서 올대상은 임의의 자명한 쌍대올림에 대해 오른쪽 올림 속성을 갖는 특징이 있다. 이 속성은 올대상을 호모토피 군을 정의하는 데 "적합한" 대상으로 만든다. 단순 집합 이론의 맥락에서, 올대상은 대니얼 칸의 이름을 따서 '''칸 복합체'''로 알려져 있으며, 이들은 점 위에서의 칸 올림이다.

4. 2. 위상 공간

위상 공간의 (퀼런) 모형 범주에서 CW 복합체는 쌍대올대상이다. 이에 따라, 모든 위상 공간은 CW 복합체와의 약한 호모토피 동치를 갖는다.

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