모형 범주

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1. 개요

모형 범주는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주인 범주 $\mathcal C$ 에 약한 동치, 올뭉치, 쌍대올뭉치로 불리는 사상들의 집합을 부여하여 정의된다. 이들은 3개 가운데 2개 조건과 약분해계를 만족해야 하며, 이를 통해 왼쪽 및 오른쪽 호모토피와 호모토피 범주를 정의할 수 있다. 모형 범주는 약한 동치, 올뭉치, 쌍대올뭉치 중 두 가지만 주어져도 나머지 하나를 결정할 수 있으며, 수축에 대해 닫혀 있고, 다양한 범주에서 발견된다. 위상 공간, 단체 집합, 사슬 복합체, 집합, 미분 등급 대수, 작은 범주 등에서 모형 범주 구조를 찾을 수 있다. 모형 범주는 1967년 대니얼 퀼런에 의해 도입되었으며, 호모토피 이론에서 중요한 역할을 한다.

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모형 범주
모형 범주 정보
모형 범주
분야	호모토피 이론, 범주론
발명가	대니얼 퀼런
발명 연도	1967년
범주론적 속성
대상	범주
추가 구조	약한 동치, 올뭉치, 쌍대올뭉치
관련 개념
관련 개념	퀼런 동치, 유도 범주

2. 정의

모형 범주 $(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)$ 는 다음 데이터를 포함한다.

$\mathcal C$ 는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.
$\mathfrak W$ 는 $\mathcal C$ 의 사상들의 모임이며, 이 모임의 원소를 '''약한 동치'''(weak equivalence^영어)라고 한다.
$\mathfrak F$ 는 $\mathcal C$ 의 사상들의 모임이며, 이 모임의 원소를 '''올뭉치'''(fibration^영어)라고 한다. $\mathfrak F\cap\mathfrak W$ 의 원소는 '''자명한 올뭉치'''(trivial fibration^영어)라고 한다.
$\mathfrak C$ 는 $\mathcal C$ 의 사상들의 모임이며, 이 모임의 원소를 '''쌍대올뭉치'''(cofibration^영어)라고 한다. $\mathfrak C\cap\mathfrak W$ 의 원소는 '''자명한 쌍대올뭉치'''(trivial cofibration^영어)라고 한다.

이 데이터는 아래의 두 공리들을 만족시켜야 한다.

'''3개 가운데 2개 조건'''(two out of three^영어): 임의의 사상 $X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ$ 에 대하여, 만약 $f$ , $g$ , $g\circ f$ 가운데 적어도 두 개가 약한 동치라면, 나머지 하나도 약한 동치이다.
'''약분해계''': $(\mathfrak C\cap\mathfrak W,\mathfrak F)$ 및 $(\mathfrak C,\mathfrak F\cap\mathfrak W)$ 는 각각 약분해계를 이룬다.

모형 범주는 호모토피 이론에서 자연스러운 설정을 제공한다. 예를 들어, 일반적인 호모토피 구조를 갖춘 위상 공간의 범주는 모형 범주이다. 또한, 단체 집합의 범주도 모형 구조를 갖는 경우가 많다.

호몰로지 대수는 호모토피 이론의 한 형태로 이해할 수 있으며, 이는 군이나 R-가군 등의 대상에 대한 호몰로지 이론을 일반화하는 데 중요한 응용을 제공한다.

2. 1. 모형 범주의 공리

모형 범주

(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)

는 다음 두 공리들을 만족시켜야 한다.

'''3개 가운데 2개 조건'''(two out of three^영어): 임의의 사상 $X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ$ 에 대하여, 만약 $f$ , $g$ , $g\circ f$ 가운데 적어도 두 개가 약한 동치라면, 나머지 하나도 약한 동치이다.
'''약분해계''': $(\mathfrak C\cap\mathfrak W,\mathfrak F)$ 및 $(\mathfrak C,\mathfrak F\cap\mathfrak W)$ 는 각각 약분해계를 이룬다. 즉, 구체적으로 다음이 성립한다.
'''올림 조건'''(lifting^영어): 임의의 대상 $A$ , $B$ , $X$ , $Y$ 에 대하여, 만약 $A\xrightarrow fX\xrightarrow pY$ 및 $A\xrightarrow iB\xrightarrow gY$ 가 주어졌고, $p\circ f=g\circ i$ 이며, $p$ 가 올뭉치이며, $i$ 가 쌍대올뭉치이며, $p$ 또는 $i$ 가운데 하나가 자명하다면, $h\circ i=f$ 이며 $p\circ h=g$ 인 사상 $h\colon B\to X$ 가 존재한다. 즉, 다음과 같다.
*: $\begin{matrix}A&\xrightarrow f&X\\$

{\scriptstyle i}\downarrow&\nearrow\scriptstyle h&\downarrow\scriptstyle p\\B&\xrightarrow[g]{}&Y\end{matrix}

'''분해 조건'''(factorization^영어):
$\mathcal C$ 의 임의의 사상 $f$ 는 $f=p\circ\tilde\imath$ 와 같이 쓸 수 있다. 여기서 $p$ 는 올뭉치이며, $\tilde\imath$ 는 자명한 쌍대올뭉치이다.
$\mathcal C$ 의 임의의 사상 $f$ 는 $f=\tilde p\circ i$ 와 같이 쓸 수 있다. 여기서 $\tilde p$ 는 자명한 올뭉치이며, $i$ 는 쌍대올뭉치이다.
*: $\begin{matrix}$

&&X&\stackrel i\hookrightarrow&\tilde Y&\stackrel{\simeq}{\twoheadrightarrow}&Y\\&{\scriptstyle\operatorname{id}}\swarrow&&\searrow\scriptstyle f&&\swarrow\scriptstyle\operatorname{id}\\X&\underset\simeq\hookrightarrow&\tilde X&\underset p\twoheadrightarrow&Y\end{matrix}

범주 ''C''에 대한 '''모형 구조'''는 세 개의 구별되는 사상(또는 동등하게 부분 범주) 클래스, 즉 약한 동치, 올 및 쌍올과 두 개의 함자적인 분해

(\alpha , \beta)

및

(\gamma, \delta)

로 구성되며, 다음 공리들을 만족한다. 올이면서 약한 동치인 것은 '''비순환''' (또는 '''자명한''') '''올'''^[1]이라고 부르며, 쌍올이면서 약한 동치인 것은 '''비순환''' (또는 '''자명한''') '''쌍올'''(또는 때때로 '''아노딘 사상''')이라고 부른다.

;공리:

1. ''Retracts'': 만약 ''g''가 구별되는 클래스 중 하나에 속하는 사상이고, ''f''가 ''g''의 retract (화살표 범주

C^2

에서 객체로, 여기서 2는 2-원소 순서 집합)이면, ''f''는 동일한 구별되는 클래스에 속한다. 명시적으로, ''f''가 ''g''의 retract라는 요구 사항은 다음 다이어그램이 가환하도록 ''i'', ''j'', ''r'', 및 ''s''가 존재한다는 것을 의미한다.

-|]]

2. ''2 of 3'': 만약 ''f''와 ''g''가 ''C''의 사상이고, ''gf''가 정의되어 있으며 이 중 두 개가 약한 동치이면 세 번째도 약한 동치이다.

3. ''Lifting'': 비순환 쌍올은 올에 대해 왼쪽 올림 성질을 가지며, 쌍올은 비순환 올에 대해 왼쪽 올림 성질을 갖는다. 명시적으로, 다음 다이어그램의 외부 사각형이 가환하고, 여기서 ''i''는 쌍올이고 ''p''는 올이며, ''i'' 또는 ''p''가 비순환이면, 다이어그램을 완성하는 ''h''가 존재한다.

-|]]

4. ''분해'':

''C''의 모든 사상 ''f''는 올 ''p''와 비순환 쌍올 ''i''에 대해 $p\circ i$ 로 쓸 수 있다.
''C''의 모든 사상 ''f''는 비순환 올 ''p''와 쌍올 ''i''에 대해 $p\circ i$ 로 쓸 수 있다.

'''모형 범주'''는 모형 구조를 가지고 모든 (작은) 극한과 쌍대극한을 갖는 범주, 즉 모형 구조를 가진 완전하고 공완전한 범주이다.

모형 범주는 범주 '''C''' 와 세 개의 (소위) 약한 동치류 ''W'', 올림 ''F'', 그리고 올림 ''C'' 로 구성되며, 다음 조건을 만족한다.

'''C'''는 모든 극한과 쌍대 극한을 가진다.
$(C \cap W, F)$ 는 약한 분해계이다.
$(C, F \cap W)$ 는 약한 분해계이다.
$W$ 는 2-of-3 성질을 만족한다.^[2]

2. 2. 쌍대올 생성 모형 범주

쌍대올 생성 모형 범주(cofibrantly generated model category^영어)는 쌍대올뭉치와 자명한 쌍대올뭉치가 특정 사상 집합 (생성원)으로부터 생성되는 모형 범주이다.

모형 범주

(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak C,\mathfrak F)

가 다음 조건을 만족시킨다면,

\mathcal C

를 쌍대올 생성 모형 범주라고 한다.

$\mathfrak C=\operatorname{Cof}(\mathfrak I)$ 인 사상 모임 $\mathfrak I$ 가 존재한다. $\mathfrak I$ 의 원소를 '''쌍대올뭉치 생성원'''(generating cofibration^영어)라고 한다.
$\mathfrak C\cap\mathfrak W=\operatorname{Cof}(\mathfrak J)$ 인 사상 모임 $\mathfrak J$ 가 존재한다. $\mathfrak J$ 의 원소를 '''자명 쌍대올뭉치 생성원'''(generating trivial cofibration^영어)라고 한다.

3. 연산

모형 범주에 대해 여러 연산을 수행할 수 있다.

임의의 모형 범주 $(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)$ 가 주어졌을 때, 그 반대 범주 $\mathcal C^{\operatorname{op}}$ 에 모형 구조 $(\mathcal C^{\operatorname{op}},\mathfrak W,\mathfrak C,\mathfrak F)$ 를 부여하면 이 역시 모형 범주를 이룬다.

또한, 대상 $X\in\mathcal C$ 에 대하여 조각 범주 $\mathcal C/X$ 와 쌍대 조각 범주 $X\backslash\mathcal C$ 를 정의할 수 있다. 이때 망각 함자 $\mathcal C/X\to\mathcal C$ 와 $X\backslash\mathcal C\to\mathcal C$ 가 존재한다. $\mathcal C/X$ 위에 다음과 같은 모형 범주 구조를 줄 수 있다.

$\mathcal C/X$ 의 약한 동치는 (망각 함자 아래) $\mathcal C$ 에서의 약한 동치이다.
$\mathcal C/X$ 의 올뭉치는 (망각 함자 아래) $\mathcal C$ 에서의 올뭉치이다.
$\mathcal C/X$ 의 쌍대올뭉치는 (망각 함자 아래) $\mathcal C$ 에서의 쌍대올뭉치이다.

조각 범주

\mathcal C/X

는 이러한 모형 범주 구조에서 모형 범주를 이룬다. 쌍대 조각 범주

X\backslash\mathcal C=(\mathcal C^{\operatorname{op}}/X)^{\operatorname{op}}

역시 마찬가지로 모형 범주를 이룬다.

모형 범주

(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)

에 대응하는 호모토피 범주를 정의할 수 있는데, 이 범주의 대상은 올대상이자 쌍대올대상인 대상들이며, 사상은 원래 모형 범주의 호모토피류이다. 호모토피 범주에서 원래 모형 범주의 약한 동치는 실제 동형 사상이 된다.

3. 1. 반대 범주

임의의 모형 범주

(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)

에 대하여, 그 반대 범주

\mathcal C^{\operatorname{op}}

에 모형 구조

(\mathcal C^{\operatorname{op}},\mathfrak W,\mathfrak C,\mathfrak F)

를 주면, 이 역시 모형 범주를 이룬다.

3. 2. 조각 범주

임의의 모형 범주

(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)

및 대상

X\in\mathcal C

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 조각 범주

\mathcal C/X

및 쌍대 조각 범주

X\backslash\mathcal C

를 정의할 수 있으며, 망각 함자

:

\mathcal C/X\to\mathcal C

:

X\backslash\mathcal C\to\mathcal C

가 존재한다.

이제,

\mathcal C/X

위에 다음과 같은 모형 범주 구조를 줄 수 있다.

$\mathcal C/X$ 의 약한 동치는 (망각 함자 아래) $\mathcal C$ 에서의 약한 동치이다.
$\mathcal C/X$ 의 올뭉치는 (망각 함자 아래) $\mathcal C$ 에서의 올뭉치이다.
$\mathcal C/X$ 의 쌍대올뭉치는 (망각 함자 아래) $\mathcal C$ 에서의 쌍대올뭉치이다.

그렇다면, 조각 범주

\mathcal C/X

는 모형 범주를 이룬다. 마찬가지로, 쌍대 조각 범주

X\backslash\mathcal C=(\mathcal C^{\operatorname{op}}/X)^{\operatorname{op}}

역시 모형 범주를 이룬다.

3. 3. 호모토피 범주

모형 범주

(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)

에 대응하는 '''호모토피 범주'''를 정의할 수 있다. 호모토피 범주의 대상은 올대상이자 쌍대올대상인 대상들이며, 사상은 원래 모형 범주의 호모토피류이다. 호모토피 범주에서 원래 모형 범주의 약한 동치는 실제 동형 사상이 된다. 모델 범주 ''C''의 ''호모토피 범주''는 약한 동치 관계의 클래스에 대한 ''C''의 범주의 국소화이다. 호모토피 범주에 대한 이러한 정의는 올바른 올림 및 올림에 대한 선택에 의존하지 않는다.

"모델 범주의 기본 정리"는 ''C''의 호모토피 범주는 대상이 올림과 올림 모두인 ''C''의 대상이고, 사상이 위에서 정의된 맵의 왼쪽 호모토피 클래스(동등하게는 맵의 오른쪽 호모토피 클래스)인 범주와 동치라고 말한다.

이것을 위에서 주어진 모델 구조를 가진 위상 공간의 범주에 적용하면, 결과적인 호모토피 범주는 CW 복합체와 연속 맵의 호모토피 클래스의 범주와 동치이며, 여기서 이름이 유래되었다.

4. 성질

모형 범주 구조는 중복적인 데이터를 포함하고 있으며, 일부 데이터만으로 전체 구조를 복원할 수 있는 성질을 갖는다.

범주 ''C''에 대한 '''모형 구조'''는 약한 동치, 올, 쌍올이라는 세 가지 구별되는 사상(또는 동등하게 부분 범주) 클래스와 두 개의 함자적인 분해 $(\alpha , \beta)$ 및 $(\gamma, \delta)$ 로 구성되며, 다음 공리들을 만족한다. 올이면서 약한 동치인 것은 '''비순환'''(또는 '''자명한''') '''올'''^[1]이라고 부르며, 쌍올이면서 약한 동치인 것은 '''비순환'''(또는 '''자명한''') '''쌍올'''(또는 때때로 '''아노딘 사상''')이라고 부른다.

;공리:

# '''2 of 3''': ''f''와 ''g''가 ''C''의 사상이고, ''gf''가 정의되어 있으며 이 중 두 개가 약한 동치이면 세 번째도 약한 동치이다.

# '''Lifting''': 비순환 쌍올은 올에 대해 왼쪽 올림 성질을 가지며, 쌍올은 비순환 올에 대해 왼쪽 올림 성질을 갖는다. 다음 다이어그램의 외부 사각형이 가환하고, 여기서 ''i''는 쌍올이고 ''p''는 올이며, ''i'' 또는 ''p''가 비순환이면, 다이어그램을 완성하는 ''h''가 존재한다.

#:Image:Model category lifting.png

# '''분해''':

#* ''C''의 모든 사상 ''f''는 올 ''p''와 비순환 쌍올 ''i''에 대해 $p\circ i$ 로 쓸 수 있다.

#* ''C''의 모든 사상 ''f''는 비순환 올 ''p''와 쌍올 ''i''에 대해 $p\circ i$ 로 쓸 수 있다.

'''모형 범주'''는 모형 구조를 가지고 모든 (작은) 극한과 쌍대극한을 갖는 범주, 즉 모형 구조를 가진 완전하고 공완전한 범주이다. 공리들은 세 종류의 사상 중 임의의 두 종류가 나머지 한 종류를 결정함을 함축한다(예: 올림 사상과 약한 동치 사상은 내림 사상을 결정한다).

이 정의는 자기 쌍대적이다. 만약 ''C''가 모형 범주라면, 그 쌍대 범주 $\mathcal{C}^{op}$ 도 모형 구조를 가지며, 약한 동치는 그 반대 사상, 내림 사상은 올림 사상의 반대 사상, 올림 사상은 내림 사상의 반대 사상에 해당한다.

4. 1. 데이터의 중복

약분해계의 일반적인 이론에 따르면, 모형 범주의 구조 데이터는 중복된다. 구체적으로, 모형 범주의 데이터 가운데 다음 데이터들만으로 모형 범주 구조를 재구성할 수 있다.^[11]^[12]

약한 동치와 올뭉치
약한 동치와 쌍대올뭉치 (위 경우의 반대)

임의의 범주

\mathcal C

의 사상 모임

M

이 주어졌을 때,

M

에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 사상 모임을

M^\pitchfork

으로,

M

에 대하여 왼쪽 올림 성질을 만족시키는 사상 모임을

{}^\pitchfork M

으로 표기한다.

모형 범주에서 약한 동치의 모임

\mathfrak W

, 쌍대올뭉치의 모임

\mathfrak C

, 올뭉치의 모임

\mathfrak F

사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

:

\mathfrak F=(\mathfrak W\cap\mathfrak C)^\pitchfork

:

\mathfrak C={}^\pitchfork(\mathfrak W\cap\mathfrak F)

:

\mathfrak F\cap\mathfrak W=\mathfrak C^\pitchfork

:

\mathfrak C\cap\mathfrak W={}^\pitchfork\mathfrak F

:

\mathfrak W=(\mathfrak W\cap\mathfrak F)\circ(\mathfrak W\cap\mathfrak C)=\mathfrak C^\pitchfork\circ{}^\pitchfork\mathfrak F

따라서, 약한 동치, 쌍대올뭉치, 올뭉치 가운데 두 가지가 주어지면 나머지 하나를 재구성할 수 있다.

퀼런(Quillen)이 처음에 제시한 정의는 닫힌 모형 범주의 정의였는데, 당시에는 그 가정이 강력해 보였고, 다른 사람들이 그 가정을 약화시켜 모형 범주를 정의하도록 동기를 부여했다. 실제로 그 차이는 중요하지 않은 것으로 밝혀졌고, 최근 대부분의 저자들은 닫힌 모형 범주를 사용하며 단순히 '닫힌'이라는 형용사를 생략한다.

4. 2. 수축에 대한 닫힘

모든 모형 범주

(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)

에서,

\mathfrak W

,

\mathfrak F

,

\mathfrak C

는 모두 수축에 대하여 닫혀 있다. 즉, 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

임의의 사상 $f\colon A\to A'$ , $g\colon B\to B'$ 에 대하여, 화살표 범주 $\mathcal C^\to$ 에서 분할 단사 사상 $(i,j)\colon f\to g$ 이 존재한다고 하자. 만약 $\mathcal A$ 가 $\mathfrak W$ , $\mathfrak F$ , 또는 $\mathfrak C$ 가운데 하나이고, $g\in\mathcal A$ 라면 $f\in\mathcal A$ 이다. 화살표 범주에서의 분할 단사 사상은 구체적으로 $j\circ f=g\circ i$ 이며 $s\circ g=f\circ r$ 이며 $r\circ i=\operatorname{id}_A$ 이며 $s\circ j=\operatorname{id}_{A'}$ 인 사상 $i$ , $j$ , $r$ , $s$ 가 존재하는 것이다.

:

(\mathcal C^\to)\qquad\begin{matrix}f&\xrightarrow{(i,j)}&g\\{\scriptstyle\operatorname{id}}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\operatorname{id}\\f&\xleftarrow[(r,s)]{}&g\end{matrix}\qquad\qquad\begin{matrix}&&A\\&{\scriptstyle\operatorname{id}}\nearrow&&\searrow\scriptstyle\operatorname{id}\\A&\xrightarrow i&B&\xrightarrow r&A\\{\scriptstyle f}\downarrow &&\downarrow\scriptstyle g&&\downarrow\scriptstyle f\\A'&\xrightarrow[j]{}&B&\xrightarrow[s]{}&A'\\&{\scriptstyle\operatorname{id}}\searrow&&\nearrow\scriptstyle\operatorname{id}\\&&A'\end{matrix}\qquad(\mathcal C)

이는 모형 범주의 정의의 일부로 등장하기도 하지만, 다른 공리들로부터 함의된다.^[13]^[11]

5. 예

모형 범주 구조는 다양한 범주에서 찾을 수 있다. 다음은 그 예시이다.

'''완비이며 쌍대 완비 범주인 범주''': 자명한 세 가지 모형 구조를 줄 수 있다. ('''자명한 모형 구조''' 참고)
'''위상 공간의 범주''': 연속 함수를 사상으로 하는 위상 공간의 범주에는 세 가지 모형 범주 구조(퀼런, 후레비치, 혼합)가 흔히 쓰인다. ('''위상 공간의 범주''' 참고)
'''단체 집합의 범주''': 표준적인 모형 구조가 존재하며, 이는 위상 공간 범주의 퀼런 모형 구조와 퀼런 동치이다. ('''단체 집합''' 참고)
'''사슬 복합체의 범주''': 아벨 범주 위에서 정의되는 사슬 복합체 및 공사슬 복합체 범주에는 모형 범주 구조가 존재한다. 특히, 가환환 ''R''에 대한 ''R''-가군 사슬 복합체의 범주는 호몰로지 대수에서 중요한 모형 범주이다. ('''사슬 복합체의 범주''' 참고)
'''집합과 함수의 범주''': 9개의 모형 범주 구조가 존재한다. ('''집합의 범주''' 참고)
'''미분 등급 대수의 범주''': 표수가 0인 체 위에서 정의되는 자연수 등급 및 정수 등급의 미분 등급 대수 범주에는 모형 범주 구조가 존재한다. ('''미분 등급 대수''' 참고)
'''작은 범주와 함자의 범주''': 호모토피 동치가 범주의 동치가 되는 유일한 모형 범주 구조가 존재한다. ('''작은 범주의 범주''' 참고)
'''동치 관계의 범주''': 흥미로운 모형 범주 구조를 부여할 수 있다.^[19]

모형 범주는 호모토피 이론을 위한 자연스러운 환경을 제공한다. 예를 들어, 위상 공간의 범주는 모형 범주이며, 호모토피는 일반적인 이론에 해당한다. 마찬가지로 공간으로 간주할 수 있는 대상은 종종 모형 구조를 허용하며, 단체 집합의 범주가 그 예이다.

가환환 ''R''에 대한 ''R''-가군 사슬 복합체의 범주는 또 다른 모형 범주이다. 이 맥락에서의 호모토피 이론은 호몰로지 대수이다. 호몰로지는 일종의 호모토피로 볼 수 있으며, 이를 통해 군과 ''R''-대수와 같은 다른 객체에 대한 호몰로지의 일반화를 허용하며, 이는 이 이론의 최초 주요 응용 프로그램 중 하나였다. 이러한 이유로 닫힌 모형 범주의 연구는 종종 호모토피 대수로 여겨진다.

범주 내의 단순 객체는 모형 범주의 빈번한 원천이다. 예를 들어, 단순 가환환 또는 단순 ''R''-가군은 자연스러운 모형 구조를 허용한다. 이는 단순 집합과 단순 가환환 사이의 수반 관계(잊혀짐 함자와 자유 함자에 의해 주어짐)가 있기 때문이며, 좋은 경우 수반 관계 하에서 모형 구조를 올릴 수 있다.

''단순 모형 범주''는 단순 구조와 호환되는 모형 구조를 가진 단순 범주이다.^[3]

임의의 범주 ''C''와 모형 범주 ''M''이 주어지면, 특정 추가 가설 하에서 함자 Fun(''C'', ''M'')의 범주(''M''의 ''C''-다이어그램)도 모형 범주이다. 투영 모형 구조와 주입 모형 구조 두가지 후보가 있으며, 리디 범주의 경우 세 번째 모형 구조가 있다.

특정 사상이 동일한 기본 범주에 대한 새로운 모형 범주 구조에서 약한 동치가 되도록 강제하는 과정을 부스필드 국소화라고 한다. 예를 들어, 단순 층의 범주는 단순 프리층의 모형 범주의 부스필드 국소화로 얻을 수 있다.

드니-샤를 시신스키는 단순 범주의 프리층인 단순 집합을 일반화하여 프리층 범주에 대한 모형 구조의 일반적인 이론을 개발했다.^[4]

''C''가 모형 범주이면, ''C''의 프로 객체의 범주 Pro(''C'')도 모형 범주이다. 그러나 Pro(''C'')에 대한 모형 구조는 ''C''에 더 약한 공리 집합을 부과하여 구성할 수도 있다.^[5]

수반 함자 쌍

F: C \leftrightarrows D : G

는 두 모형 범주 ''C''와 ''D'' 사이에서 Quillen 수반이라고 한다. 이 경우 ''F''와 ''G''는 호모토피 범주 사이에 수반 관계를 유도한다.

:

LF: Ho(C) \leftrightarrows Ho(D) : RG

후자가 동치일 때에 대한 명시적인 기준도 있다 (이 경우 ''F''와 ''G''를 "Quillen 동치"라고 한다).

전형적인 예는 단순 집합과 위상 공간 사이의 표준 수반 관계이다.

:

|-|: \mathbf{sSet} \leftrightarrows \mathbf{Top} : Sing

단순 집합의 기하학적 실현과 어떤 위상 공간의 특이 사슬이 관련된다. 범주 '''sSet'''과 '''Top'''은 동치가 아니지만, 그 호모토피 범주는 동치이다. 따라서, 단순 집합은 호모토피 범주의 이러한 동치 때문에 위상 공간의 모형으로 자주 사용된다.

5. 1. 자명한 모형 구조

임의의 완비 쌍대 완비 범주

\mathcal C

가 주어졌을 때, 그 위에 다음과 같은 자명한 세 가지의 모형 구조를 줄 수 있다.

약한 동치	올뭉치	쌍대올뭉치	올대상	쌍대올대상	호모토피 범주
동형 사상	모든 사상	모든 사상	모든 대상	모든 대상	원래 범주 $\mathcal C$
모든 사상	동형 사상	모든 사상	끝 대상	모든 대상	$\mathcal C$ 로부터 생성되는 준군
모든 사상	모든 사상	동형 사상	모든 대상	시작 대상	$\mathcal C$ 로부터 생성되는 준군

5. 2. 위상 공간의 범주

위상 공간과 연속 함수의 범주

\operatorname{Top}

위에는 다음과 같은 세 개의 모형 범주 구조가 흔히 쓰인다.^[14]

모형 범주 구조	약한 동치	올뭉치	쌍대올뭉치	올대상	쌍대올대상	인용
퀼런(Quillen)	약한 호모토피 동치	세르 올뭉치	상대적 세포 복합체의 수축(retract)	모든 위상 공간	세포 복합체	^[20]
후레비치(Hurewicz) 또는 스트룀(Strøm)	호모토피 동치	후레비치 올뭉치	상이 닫힌집합인 후레비치 쌍대올뭉치	모든 위상 공간	모든 위상 공간	^[15]
혼합(mixed)	약한 호모토피 동치	후레비치 올뭉치	쌍대올이 상대적 세포 복합체와 호모토피 동치인 후레비치 쌍대올뭉치^[16]	모든 위상 공간	세포 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간	^[16]

이들을 구별하기 위하여, 간혹 q-올대상(q-fibrant object^영어) · h-올대상 · m-올대상 따위의 용어를 사용하기도 한다. 여기서 q · h · m은 대응하는 모형 구조의 영어명의 머릿글자이다.

위상 공간 범주, '''Top'''은 표준적인 모형 범주 구조를 가지며, 여기서 (Serre) 올을 사용하고 약한 동치로 약한 호모토피 동치를 사용한다. 코피브레이션은 여기서 찾을 수 있는 일반적인 개념의 코피브레이션이 아니라, 비순환 Serre 올에 대해 왼쪽 올림 성질을 갖는 좁은 클래스의 사상이다. 다시 말해, 예를 들어 Hovey의 ''Model Categories''에서 설명된 바와 같이 상대적인 셀 복합체의 리트랙트이다. 이 구조는 유일하지 않다. 일반적으로 주어진 범주에 대해 많은 모형 범주 구조가 있을 수 있다. 위상 공간 범주의 경우, 또 다른 구조는 Hurewicz 올과 표준적인 코피브레이션으로 주어지며, 약한 동치는 (강한) 호모토피 동치이다.

5. 3. 단체 집합

단체 집합의 범주

\operatorname{sSet}

에는 표준적인 모형 구조가 존재한다. 이 모형 구조는 위상 공간의 범주의 퀼런 모형 구조와 퀼런 동치이며, 따라서 동치인 호모토피 범주를 갖는다. 단체 집합의 범주에서 모든 대상은 쌍대올대상이며, 올대상은 칸 복합체이다.^[3]

5. 4. 사슬 복합체의 범주

아벨 범주

\mathcal A

가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 사슬 복합체 범주

\operatorname{Ch}_{\bullet\ge0}(\mathcal A)

위에는 약한 동치가 사슬 복합체의 유사동형이며, 올뭉치가 양수 성분이 모두 전사 사상인 사슬 사상으로 구성되는 모형 범주 구조가 존재한다. 이 모형 범주에서 모든 사슬 복합체가 올대상이며, 쌍대올대상은 사영 대상으로 구성된 사슬 복합체이고, 쌍대올대상 분해는 사슬 복합체의 사영 분해이다.^[3]

가환환 ''R''에 대한 ''R''-가군 사슬 복합체의 범주는 호몰로지 대수에서 중요한 모형 범주이다. 이 경우 호모토피 이론은 호몰로지 대수와 깊은 관련이 있다.^[4] (음이 아닌 등급을 갖는) ''R''-모듈의 사슬 복합체 범주는 호몰로지 대수에서 두드러지게 나타나는 최소 두 개의 모형 구조를 갖는다.

모형 구조 1	모형 구조 2

이것은 ''R''-모듈의 Ext-군을 소스를 사영적으로 또는 대상을 주입적으로 분해하여 계산할 수 있는 이유를 설명한다. 이들은 각 모형 구조에서 코피브런트 또는 피브런트 대체이다.

임의의 ''R''-모듈의 사슬 복합체 범주는 다음으로 정의되는 모형 구조를 갖는다.

약한 동치는 사슬 복합체의 사슬 호모토피 동치이다.
코피브레이션은 기저 ''R''-모듈의 사상으로 분할되는 단사 사상이다.
피브레이션은 기저 ''R''-모듈의 사상으로 분할되는 전사 사상이다.

5. 5. 집합의 범주

집합과 함수의 범주

\operatorname{Set}

위에는 정확히 9개의 모형 범주 구조가 존재한다.^[17]

쌍대올뭉치	올뭉치	약한 동치	쌍대올대상	올대상
전단사 함수	함수	함수	공집합	집합
전사 함수	단사 함수	함수	공집합	공집합 또는 한원소 집합
정의역이 공집합이 아닌 단사 함수 또는 공집합 위의 항등 함수	전사 함수 또는 정의역이 공집합인 함수	함수	공집합	집합
정의역이 공집합이 아닌 함수 또는 공집합 위의 항등 함수	전단사 함수 또는 정의역이 공집합인 함수	함수	공집합	공집합 또는 한원소 집합
단사 함수	전사 함수	함수	집합	공집합이 아닌 집합
함수	전단사 함수	함수	집합	한원소 집합
단사 함수	전사 함수 또는 정의역이 공집합인 함수	정의역이 공집합이 아닌 함수 또는 공집합 위의 항등 함수	집합	집합
함수	전단사 함수 또는 정의역이 공집합인 함수	정의역이 공집합이 아닌 함수 또는 공집합 위의 항등 함수	집합	공집합 또는 한원소 집합
함수	함수	전단사 함수	집합	집합

5. 6. 미분 등급 대수

표수가 0인 체

K

위에서, 자연수 등급의 미분 등급 대수 범주

\operatorname{DGA}^{\ge0}_K

와 정수 등급의 미분 등급 대수 범주

\operatorname{DGA}^{\mathbb Z}_K

에는 각각 유사동형을 약한 동치로 하는 모형 범주 구조가 존재한다.^[1]

5. 7. 작은 범주의 범주

작은 범주와 함자의 범주

\operatorname{Cat}

에서는 호모토피 동치가 범주의 동치가 되는 모형 범주 구조는 유일하다.^[18] 이 구조에서 약한 동치인 함자는 다음 조건을 만족한다.

충실충만한 함자이다.
임의의 $D\in\mathcal D$ 에 대하여, $i\colon F(C)\to D$ 인 대상 $C\in\mathcal C$ 및 동형 사상 $i$ 가 존재한다.

쌍대올뭉치인 함자

F\colon\mathcal C\to\mathcal D

는 대상에 대하여 단사 함수인 함자이다. 즉, 임의의

C,C'\in\mathcal C

에 대하여

C\ne C'

라면

F(C)\ne F(C')

이다.

올뭉치인 함자

F\colon\mathcal C\to\mathcal D

는 다음 조건을 만족시키는 함자이다.

임의의 $C\in\mathcal C$ , $D\in\mathcal D$ 및 $\mathcal D$ -동형 사상 $i\colon F(C)\to D$ 에 대하여, $F(C')=D$ 이자 $F(j)=i$ 가 되는 $\mathcal C$ -동형 사상 $j\colon C\to C'$ 가 존재한다.

5. 8. 동치 관계

동치 관계의 범주에도 흥미로운 모형 범주 구조를 부여할 수 있다.^[19]

6. 역사

대니얼 퀼런이 1967년에 도입하였다.^[20] 모형 범주는 호모토피 이론에서 자연스러운 설정을 제공한다. 일반적인 호모토피 구조를 갖춘 위상 공간의 범주는 모형 범주이다. 마찬가지로, 공간으로 간주할 수 있는 대상은 단체 집합의 범주처럼 종종 모형 구조를 갖는다.

가환환 R에 대한 R-가군의 사슬 복합체를 이루는 범주는 위와 다른 모형 범주이다. 이 문맥에서의 호모토피 이론은 호몰로지 대수와 같다. 호몰로지 대수를 호모토피 이론의 한 형태로 이해함으로써, 군이나 R-대수 등의 대상에 호몰로지 이론을 일반화한다는 중요한 응용이 얻어진다. 위의 호몰로지 이론의 해석을 위해, 모형 범주에 대한 탐구는 종종 호모토피 대수로 이해된다.

참조

_[1] 문서
_[2] 인용
_[3] 논문 Definition 2.1. https://arxiv.org/ab[...]
_[4] 간행물 Les préfaisceaux comme modèles des types d'homotopie
_[5] 저널 A projective model structure on pro-simplicial sheaves, and the relative étale homotopy type
_[6] 문서
_[7] 서적 Model categories http://www.ams.org/b[...] American Mathematical Society 1999
_[8] 서적 Model categories and their localizations http://www.ams.org/b[...] American Mathematical Society 2003
_[9] 서적 Interactions between Homotopy Theory and Algebra. Papers from the Summer School held at the University of Chicago, Chicago, IL, July 26–August 6, 2004 American Mathematical Society 2007
_[10] 서적 Categorical homotopy theory https://web.archive.[...] Cambridge University Press 2016-02-11
_[11] 서적 The theory of quasi-categories and its applications http://mat.uab.cat/~[...]
_[12] 웹인용 Model categories https://ncatlab.org/[...]
_[13] 저널 A concise definition of a model category http://www.math.jhu.[...] 2009-09-03
_[14] 서적 More concise algebraic topology: localization, completion, and model categories http://www.math.uchi[...] University of Chicago Press 2015-06-12
_[15] 저널 The homotopy category is a homotopy category https://web.archive.[...] 2016-02-11
_[16] 저널 Mixing model structures https://archive.org/[...] 2006-01-01
_[17] 웹인용 The nine model category structures on the category of sets https://web.archive.[...] 2016-02-11
_[18] 웹인용 The canonical model structure on Cat https://sbseminar.wo[...] 2012-11-16
_[19] 저널 The homotopy theory of equivalence relations 2006
_[20] 서적 Homotopical algebra Springer 1967

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