올뭉치

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

올뭉치는 위상 공간 사이의 함수로, 호모토피 올림 성질을 만족하는 경우를 말한다. 올뭉치는 임의의 위상 공간에 대해 호모토피 올림 성질을 만족하는 후레비치 올뭉치와 CW 복합체에 대해 만족하는 세르 올뭉치로 구분된다. 올뭉치는 올다발의 일반화된 개념으로, 호모토피 군의 긴 완전열, 스펙트럼 열 등을 계산하는 데 응용된다.

더 읽어볼만한 페이지

호모토피 이론 - 모노드로미
모노드로미는 연결 국소 연결 공간의 피복 공간에서 기본군의 작용으로 이해되는 개념으로, 모노드로미 작용에 대응하는 군 준동형의 상인 모노드로미 군을 통해 복소해석학, 리만 기하학, 미분방정식 등 다양한 분야에서 활용되며 갈루아 이론과도 관련된다.
호모토피 이론 - 베유 대수
베유 대수는 체 K 위의 리 대수 g에 대하여 정의되는 미분 등급 대수이며, g의 쌍대 공간과 그 등급 이동으로 생성되는 외대수와 대칭 대수의 텐서곱으로 표현되고, 리 군의 분류 공간의 주다발의 무한소 형태를 나타내는 완전열과 관련이 있다.
대수적 위상수학 - 매시 곱
매시 곱은 미분 등급 대수 원소에 대한 연산으로 코호몰로지 곱으로 파악하기 어려운 위상수학적 불변량을 측정하며, 2항 곱과 3항 곱을 일반화한 형태로 불확정성을 가지지만, 브루니안 링크, 보로메오 고리 연구 및 꼬인 K-이론 등 다양한 분야에 응용된다.
대수적 위상수학 - 톰 공간
톰 공간은 파라콤팩트 공간 위의 벡터 다발을 이용하여 구성되며, 르네 톰에 의해 도입되었고, 톰 동형을 통해 기저 공간의 코호몰로지와 관계를 가지며 특성류 이론 등에서 중요한 역할을 한다.

올뭉치

2. 정의

위상 공간 $E$ , $B$ 사이의 연속 함수 $\pi\colon E\to B$ 가 다음 조건을 만족시키면, 올뭉치라고 한다.

임의의 CW 복합체 $X$ 에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 경우, '''세르 올뭉치'''(Serre fibration^영어)라고 한다.
임의의 위상 공간 $X$ 에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 경우, '''후레비치 올뭉치'''(Hurewicz fibration^영어)라고 한다.

후레비치 올뭉치 또는 세르 올뭉치

\pi\colon E\to B

의,

b\in B

에서의 '''올'''(fiber^영어)은 원상

f^{-1}(b)\subseteq E

이다.

2. 1. 호모토피 올림 성질

위상 공간

E

,

B

사이의 함수

\pi\colon E\to B

및 위상 공간

X

에 대하여, 다음 조건이 성립한다면,

\pi

가

X\overset{\times0}\hookrightarrow X\times[0,1]

에 대하여 '''오른쪽 올림 성질'''을 만족시킨다고 한다.

임의의
호모토피 $f\colon X\times[0,1]\to B$
$\pi\circ \tilde f_0=f|_{X\times\{0\}}$ 인 연속 함수 $\tilde f_0\colon X\to E$
에 대하여, 항상 다음 조건을 만족시키는 호모토피 $\tilde f\colon X\times[0,1]\to E$ 가 존재한다.
$f=\pi\circ\tilde f$
$\tilde f_0=\tilde f|_{X\times\{0\}}$

즉, 다음 그림과 같다.

:

\begin{matrix}X&\xrightarrow{\tilde f_0}&E\\{\scriptstyle\times\{0\}}\downarrow&\nearrow\scriptstyle\tilde f&\downarrow\scriptstyle\pi\\X\times[0,1]&\xrightarrow[f]{}&B\end{matrix}

사상

p \colon E \to B

는 다음을 만족하면 공간

X

에 대한 호모토피 올림 성질을 갖는다고 한다.

모든 호모토피 $h \colon X \times [0, 1] \to B$ 에 대해,
모든 사상 (리프트라고도 함) $\tilde h_0 \colon X \to E$ 가 $h|_{X \times 0} = h_0$ 를 올린다면 (즉, $h_0 = p \circ \tilde h_0$ )
$h$ 를 올리는 (반드시 유일하지는 않은) 호모토피 $\tilde h \colon X \times [0, 1] \to E$ 가 존재한다 (즉, $h = p \circ \tilde h$ ) with $\tilde h_0 = \tilde h|_{X \times 0}.$

다음 가환 다이어그램은 이 상황을 보여준다.

2. 2. 후레비치 올뭉치

위상 공간

E

,

B

사이의 함수

\pi\colon E\to B

가 임의의 위상 공간

X

에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다면, '''후레비치 올뭉치'''(Hurewicz fibration^영어)라고 한다.

후레비치 올뭉치

\pi\colon E\to B

의,

b\in B

에서의 '''올'''(fiber^영어)은 원상

f^{-1}(b)\subseteq E

이다. 올뭉치(후레비츠 올뭉치라고도 함)는 모든 공간

X

에 대해 호모토피 올림 성질을 만족하는 사상

p \colon E \to B

이다. 공간

B

는 '''밑공간'''이라고 하고, 공간

E

는 '''전체 공간'''이라고 한다.

b \in B

에 대한 '''올'''은 부분 공간

F_b = p^{-1}(b) \subseteq E

이다.

2. 3. 세르 올뭉치

CW 복합체 위상 공간

E

,

B

사이의 함수

\pi\colon E\to B

가 임의의 CW 복합체

X

에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다면, '''세르 올뭉치'''(Serre fibration^영어)라고 한다. 세르 올뭉치는 약한 올뭉치라고도 한다.

세르 올뭉치는 모든 CW 복합체에 대해 호모토피 올림 성질을 만족하는 사상

p \colon E \to B

이다.

모든 후레비츠 올뭉치는 세르 올뭉치이다.

2. 4. 올 (Fiber)

위상 공간

E

,

B

사이의 함수

\pi\colon E\to B

가 후레비치 올뭉치 또는 세르 올뭉치일 때,

b\in B

에서의 '''올'''(fiber^영어)은 원상

f^{-1}(b)\subseteq E

이다.^[1]

3. 성질

파라콤팩트 공간 $B$ 에 대해, 올다발 $\pi\colon E\to B$ 는 항상 후레비치 올뭉치를 이룬다. 모든 후레비치 올뭉치는 세르 올뭉치이다.

$B$ 가 경로 연결 공간이라면, 후레비치 올뭉치 $E\to B$ 의 모든 올들은 서로 호모토피 동치이지만, 올다발과 달리 서로 위상동형일 필요는 없다.

밑 $B$ 가 경로 연결 공간인 올다발 $E\to B$ 의 올이 $F$ 라면, 전체 공간 $E$ 의 오일러 지표는 밑과 올의 오일러 지표의 곱이다.

: $\chi(E)=\chi(B)\chi(F)$

이는 세르 스펙트럼 열을 통해 보일 수 있다.

$b \in B$ 에 대한 섬유 $p^{-1}(b)$ 는 $B$ 의 각 경로 연결 성분에 대해 호모토피 동치이다.
호모토피 $f \colon [0, 1] \times A \to B$ 에 대해 풀백 올(pullback fibration) $f^*_0(E) \to A$ 및 $f^*_1(E) \to A$ 는 섬유 호모토피 동치이다.
만약 기저 공간 $B$ 가 수축 가능 공간이면, 올뭉치 $p \colon E \to B$ 는 곱 올뭉치 $B \times F \to B$ 와 섬유 호모토피 동치이다.
올뭉치 $p \colon E \to B$ 의 경로 공간 올뭉치는 자체와 매우 유사하다. 더 정확히 말하면, 포함 $E \hookrightarrow E_p$ 는 섬유 호모토피 동치이다.
섬유 $F$ 와 수축 가능한 전 공간을 갖는 올뭉치 $p \colon E \to B$ 에 대해, 약한 동치 (호모토피 이론) $F \to \Omega B$ 가 존재한다.

3. 1. 올다발과의 관계

파라콤팩트 공간 B가 주어졌을 때, 올다발

\pi\colon E\to B

는 항상 후레비치 올뭉치를 이룬다. 모든 후레비치 올뭉치는 세르 올뭉치이다.^[1]

B가 경로 연결 공간인 경우, 후레비치 올뭉치

E\to B

의 모든 올은 서로 호모토피 동치이다. 그러나 올다발과 달리 서로 위상동형일 필요는 없다.^[1]

3. 2. 호모토피 동치

경로 연결 공간인 후레비치 올뭉치의 모든 올들은 서로 호모토피 동치이다. 그러나 올들은 (올다발과 달리) 서로 위상동형일 필요는 없다.

3. 3. 오일러 지표

경로 연결 공간인 밑

B

를 갖는 올다발

E\to B

의 올이

F

라면, 전체 공간

E

의 오일러 지표는 밑과 올의 오일러 지표의 곱이다.

:

\chi(E)=\chi(B)\chi(F)

이는 세르 스펙트럼 열을 통해 보일 수 있다. 가향 올뭉치

p \colon E \to B

에 대해, 체

\mathbb{K}

위에서 올의 공간이

F

이고, 기저 공간이 경로 연결되어 있다면, 전체 공간의 오일러 지표는 다음과 같이 주어진다.

:

\chi(E) = \chi(B)\chi(F).

여기서 기저 공간과 올의 오일러 지표는 체

\mathbb{K}

위에서 정의된다.

4. 예시

첫 번째 인자로의 사영은 올뭉치이다. 즉, 자명한 다발은 올뭉치이다.
모든 피복 공간은 올뭉치이다. 구체적으로, 모든 호모토피와 모든 리프트에 대해, 특정 조건을 만족하는 고유하게 정의된 리프트가 존재한다.^[1]
모든 섬유 다발은 모든 CW-복합체에 대해 호모토피 리프팅 속성을 만족한다.^[2]
파라콤팩트 공간이고 하우스도르프 공간인 밑공간을 가진 섬유 다발은 모든 공간에 대해 호모토피 리프팅 속성을 만족한다.^[2]
섬유 다발이 아닌 올뭉치의 예시는, 위상 공간 X와 콤팩트-열린 위상을 가진 모든 연속 사상의 공간에서 포함 사상에 의해 유도된 사상에 의해 주어진다.

4. 1. 올다발

모든 올다발은 모든 올이 서로 위상 동형인 세르 올뭉치이다.

임의의 경로 연결 점을 가진 공간

(X,\bullet_X)

에 대하여, 고리 공간

\Omega X=[\mathbb S^1,X]_\bullet

및 경로 공간

\mathcal PX=[\mathbb I,X]_\bullet

을 생각하자. 여기서

\mathbb I

는 밑점 0을 가진 폐구간

[0,1]

이다. 그렇다면, 다음과 같은 세르 올뭉치가 존재한다.

:

\Omega X\hookrightarrow\mathcal PX\twoheadrightarrow X

여기서 사영 사상

\mathcal PX\twoheadrightarrow X

는 다음과 같다.

:

(\gamma\colon[0,1]\to X, \gamma(0)=\bullet_X)\mapsto \gamma(1)

4. 2. 경로 공간

임의의 경로 연결 점을 가진 공간

(X,\bullet_X)

에 대하여, 고리 공간

\Omega X=[\mathbb S^1,X]_\bullet

및 경로 공간

\mathcal PX=[\mathbb I,X]_\bullet

을 생각하자. 여기서

\mathbb I

는 밑점 0을 가진 폐구간

[0,1]

이다. 그렇다면, 다음과 같은 세르 올뭉치가 존재한다.

:

\Omega X\hookrightarrow\mathcal PX\twoheadrightarrow X

여기서 사영 사상

\mathcal PX\twoheadrightarrow X

는 다음과 같다.

:

(\gamma\colon[0,1]\to X, \gamma(0)=\bullet_X)\mapsto \gamma(1)

4. 3. 호프 올뭉치

호프 올뭉치

S^1 \to S^3 \to S^2

는 자명하지 않은 섬유 다발이며, 구체적으로 세르 올뭉치이다.

5. 관련 개념

올뭉치와 관련된 여러 개념은 다음과 같다.

준올뭉치
올뭉치 준동형
올뭉치 호모토피 동치
당김 올뭉치
경로 공간 올뭉치
주 섬유 공간

5. 1. 준올뭉치 (Quasifibration)

사상

p \colon E \to B

는 모든

b \in B,

e \in p^{-1}(b)

와

i \geq 0

에 대하여 유도된 사상

p_* \colon \pi_i(E, p^{-1}(b), e) \to \pi_i(B, b)

가 동형 사상일 때 '''준올뭉치'''라고 불린다.

모든 세르 올뭉치는 준올뭉치이다.

5. 2. 올뭉치 준동형 (Fibration Homomorphism)

두 올뭉치

p_1 \colon E_1 \to B

와

p_2 \colon E_2 \to B

의 전 공간 사이의 사상

f \colon E_1 \to E_2

가 같은 밑공간을 가질 때, 다음 그림이 가환하면 '''올뭉치 준동형'''이라고 한다.

추가적으로 올뭉치 준동형

g \colon E_2 \to E_1

가 존재하여, 사상

f \circ g

와

g \circ f

가 올뭉치 준동형에 의해 항등사상

\operatorname{Id}_{E_2}

와

\operatorname{Id}_{E_1}

에 호모토피하면, 사상

f

를 '''올뭉치 호모토피 동치'''라고 한다.^[1]

5. 3. 올뭉치 호모토피 동치 (Fiber Homotopy Equivalence)

두 올뭉치

p_1 \colon E_1 \to B

와

p_2 \colon E_2 \to B

의 전 공간 사이의 사상

f \colon E_1 \to E_2

가 같은 밑공간을 가질 때, 다음 그림이 가환하면 '''올뭉치 준동형'''이라고 한다.

추가적으로 올뭉치 준동형

g \colon E_2 \to E_1

가 존재하여, 사상

f \circ g

와

g \circ f

가 올뭉치 준동형에 의해 항등사상

\operatorname{Id}_{E_2}

와

\operatorname{Id}_{E_1}

에 호모토피하면, 사상

f

를 '''올뭉치 호모토피 동치'''라고 한다.^[1]

5. 4. 당김 올뭉치 (Pullback Fibration)

주어진 올뭉치

p \colon E \to B

와 사상

f \colon A \to B

에 대해, 사상

p_f \colon f^*(E) \to A

는 올뭉치이며, 여기서

f^*(E) = \{(a, e) \in A \times E | f(a) = p(e)\}

는 당김이다.

f^*(E)

에서

A

와

E

로의 사영은 다음의 가환 다이어그램을 생성한다.

올뭉치

p_f

는 '''당김 올뭉치''' 또는 유도된 올뭉치라고 불린다.^[1]

5. 5. 경로 공간 올뭉치 (Pathspace Fibration)

경로 공간 구성을 사용하면 모든 연속 사상을 호모토피 동치 공간으로 그 영역을 확장하여 올뭉치로 확장할 수 있다. 이 올뭉치를 '''경로 공간 올뭉치'''라고 한다.

위상 공간 사이의 연속 사상

f \colon A \to B

에 대한 경로 공간 올뭉치의 전체 공간

E_f

는

a \in A

와 시작점

\gamma (0) = f(a)

를 갖는 경로

\gamma \colon I \to B

의 쌍

(a, \gamma)

로 구성되며, 여기서

I = [0, 1]

은 단위 구간이다. 공간

E_f = \{ (a, \gamma) \in A \times B^I | \gamma (0) = f(a) \}

는

A \times B^I

의 부분 공간 위상을 가지며, 여기서

B^I

는 모든 사상

I \to B

의 공간을 나타내며 콤팩트-열린 위상을 갖는다.

경로 공간 올뭉치는

p \colon E_f \to B

에 의해 주어지며

p(a, \gamma) = \gamma (1)

이다. 올

F_f

는 또한

f

의 호모토피 올이라고도 하며,

a \in A

와 경로

\gamma \colon [0, 1] \to B

의 쌍으로 구성되며, 여기서

\gamma(0) = f(a)

이고

\gamma(1) = b_0 \in B

이다.

밑점의 포함

i \colon b_0 \to B

의 특수한 경우에, 경로 공간 올뭉치의 중요한 예가 나타난다. 전체 공간

E_i

는

b_0

에서 시작하는

B

의 모든 경로로 구성된다. 이 공간은

PB

로 표시되며 경로 공간이라고 한다. 경로 공간 올뭉치

p \colon PB \to B

는 각 경로를 그 끝점으로 매핑하므로, 올

p^{-1}(b_0)

는 모든 닫힌 경로로 구성된다. 올은

\Omega B

로 표시되며 루프 공간이라고 한다.^[1]

5. 6. 주 섬유 공간 (Principal Fibration)

섬유 공간

p \colon E \to B

는 올

F

를 가지며, 다음의 가환 다이어그램이 존재할 경우 '''주 섬유 공간'''이라고 한다.

아랫줄은 섬유 공간의 시퀀스이며, 수직 사상은 약한 호모토피 동치이다. 주 섬유 공간은 포스트니코프 탑에서 중요한 역할을 한다.^[1]

6. 응용

올뭉치는 호모토피 군의 긴 완전열, 스펙트럼 열 등 여러 분야에 응용된다.

6. 1. 호모토피 군의 긴 완전열

세르 올뭉치

p \colon E \to B

에 대해, 호모토피 군의 긴 완전열이 존재한다. 밑점

b_0 \in B

와

x_0 \in F = p^{-1}(b_0)

에 대해, 다음과 같다.

$\cdots \rightarrow \pi_n(F,x_0) \rightarrow \pi_n(E, x_0) \rightarrow \pi_n(B, b_0) \rightarrow \pi_{n - 1}(F, x_0) \rightarrow$

$\cdots \rightarrow \pi_0(F, x_0) \rightarrow \pi_0(E, x_0).$

준동형사상

\pi_n(F, x_0) \rightarrow \pi_n(E, x_0)

와

\pi_n(E, x_0) \rightarrow \pi_n(B, b_0)

는 포함 사상

i \colon F \hookrightarrow E

와 사영

p \colon E \rightarrow B

에 의해 유도된 준동형사상이다.

호프 올뭉치

S^1 \hookrightarrow S^3 \rightarrow S^2

의 호모토피 군의 긴 완전열은 다음과 같다.

$\cdots \rightarrow \pi_n(S^1,x_0) \rightarrow \pi_n(S^3, x_0) \rightarrow \pi_n(S^2, b_0) \rightarrow \pi_{n - 1}(S^1, x_0) \rightarrow$ $\cdots \rightarrow \pi_1(S^1, x_0) \rightarrow \pi_1(S^3, x_0) \rightarrow \pi_1(S^2, b_0).$

이 열은 올

S^1

in

S^3

이 점으로 축소될 수 있으므로 짧은 완전열로 분할된다.

$0 \rightarrow \pi_i(S^3) \rightarrow \pi_i(S^2) \rightarrow \pi_{i-1}(S^1) \rightarrow 0.$

이 짧은 완전열은 분리되는데, 현수 준동형 사상

\phi \colon \pi_{i - 1}(S^1) \to \pi_i(S^2)

때문이며 다음과 같은 동형 사상이 있다.

$\pi_i(S^2) \cong \pi_i(S^3) \oplus \pi_{i - 1}(S^1).$

호모토피 군

\pi_{i - 1}(S^1)

는

i \geq 3,

에 대해 자명하므로

\pi_i(S^2)

와

\pi_i(S^3)

사이에는

i \geq 3.

에 대한 동형 사상이 존재한다.

유사하게,

S^7

에서 올

S^3

과

S^{15}

에서

S^7

은 점으로 축소될 수 있다. 또한 짧은 완전열이 분리되고 다음과 같은 일련의 동형 사상이 있다.

$\pi_i(S^4) \cong \pi_i(S^7) \oplus \pi_{i - 1}(S^3)$

$\pi_i(S^8) \cong \pi_i(S^{15}) \oplus \pi_{i - 1}(S^7).$

6. 2. 스펙트럼 열

스펙트럼 열은 (공-)호몰로지 군을 계산하기 위한 대수적 위상수학의 중요한 도구이다.

Leray-Serre 스펙트럼 열은 올뭉치의 전체 공간과 올의 (공-)호몰로지를 올뭉치의 밑공간의 (공-)호몰로지와 연결한다. 밑공간이 경로 연결된 CW-복합체이고 가산 호몰로지 이론

G_*

인 올뭉치

p \colon E \to B

와 올

F

에 대해 다음 스펙트럼 열이 존재한다.

:

H_k (B; G_q(F)) \cong E^2_{k, q} \implies G_{k + q}(E).

올뭉치는 호모토피에서와 같이 호몰로지에서 긴 완전 열을 생성하지 않는다. 그러나 특정 조건에서 올뭉치는 호몰로지에서 완전 열을 제공한다. 밑공간과 올이 경로 연결된 올뭉치

p \colon E \to B

와 올

F

에 대해, 기본군

\pi_1(B)

는

H_*(F)

에 자명하게 작용하며, 또한

0에 대해 H_p(B) = 0 이고 0 에 대해 H_q(F) = 0 이라는 조건이 성립하면 완전 열이 존재한다(Serre 완전 열이라고도 함).

^[1]

:

H_{m+n-1}(F) \xrightarrow {i_*} H_{m+n-1}(E) \xrightarrow {f_*} H_{m+n-1} (B) \xrightarrow \tau H_{m+n-2} (F) \xrightarrow {i^*} \cdots \xrightarrow {f_*} H_1 (B) \to 0.

이 열은 예를 들어 Hurewicz 정리를 증명하거나 다음과 같은 형태의 루프 공간의 호몰로지를 계산하는 데 사용될 수 있다.

\Omega S^n:

^[2]

:

H_k (\Omega S^n) = \begin{cases} \Z & \exist q \in \Z \colon k = q (n-1)\\0 & \text{otherwise} \end{cases}.

밑공간이

n

-구인 올뭉치

p \colon E \to S^n

의 특수한 경우에 올

F

에 대해 호몰로지 및 코호몰로지에 대한 완전 열(Wang 열이라고도 함)이 존재한다.

:

\cdots \to H_q(F) \xrightarrow{i_*} H_q(E) \to H_{q-n}(F) \to H_{q-1}(F) \to \cdots

:

\cdots \to H^q(E) \xrightarrow{i^*} H^q(F) \to H^{q-n+1}(F) \to H^{q+1}(E) \to \cdots

7. 역사

장피에르 세르는 1951년에 박사 학위 논문에서 세르 올뭉치의 개념을, 비톨트 후레비치는 1955년에 후레비치 올뭉치 개념을 도입하였다.^[1]^[2]

7. 1. 세르 올뭉치

장피에르 세르가 1951년에 박사 학위 논문에서 세르 올뭉치의 개념을 도입하였다.^[1]

7. 2. 후레비치 올뭉치

비톨트 후레비치가 1955년에 후레비치 올뭉치 개념을 도입하였다.^[2]

참조

_[1] 저널 Homologie singulière des espaces fibres 1951-11
_[2] 저널 On the concept of fiber space 1955-11-15

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com