단체 집합

3.3. 단체 호몰로지

단체 집합 $X\_\backslash bullet$이 주어졌을 때, 각 차수에 대하여 자유 아벨 군을 취한다.

:$C\_n\; =\; \backslash mathbb\; Z^\{\backslash oplus\; X\_n\}$

이 위에 $\backslash partial\_\{n,i\}$ 및 $s\_\{n,i\}$를 선형으로 연장할 수 있다. 그렇다면, $C\_n$은 단체 아벨 군을 이룬다. 그 표준 사슬 복합체

:$\backslash partial\_n\; \backslash colon\; C\_n\; \backslash to\; C\_\{n-1\}$

:$\backslash partial\_n\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; \backslash partial\_\{n,i\}$

의 호몰로지를 단체 집합 $X$의 단체 호몰로지(simplicial homology^영어)라고 한다. 이는 그 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 같다. (단체 호몰로지의 계산에서, 퇴화 사상은 사용되지 않는다.)

3.4. 유리수 계수 다항식 미분 형식

표준 단체
:$\backslash triangle^n=\backslash left\backslash \{\backslash vec\; t\backslash in\backslash mathbb\; R^\{n+1\}\backslash colon\backslash sum\_\{i=0\}^nt\_i=1\backslash right\backslash \}$
위의 유리수 계수 다항식 미분 형식(rational-coefficient polynomial differential form^영어)은 다음과 같은 꼴의 항들의 (유한, 유리수 계수) 선형 결합이다.
:
이들의 유리수 벡터 공간을 $\backslash Omega\_\{\backslash text\{PL\}\}(n)$으로 표기한다. 이는 외미분 및 쐐기곱을 통해 자연수 등급 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

4. 성질

단체 집합은 범주론적 성질, 위상수학적 성질, 모형 범주 구조 등 여러 가지 성질을 가진다.

* 범주론적 성질: 단체 집합의 범주는 그로텐디크 토포스를 이루며, 완비 범주, 쌍대 완비 범주, 데카르트 닫힌 범주이다.
* 위상수학적 성질: 단체 집합의 기하학적 실현은 CW 복합체이며, 하우스도르프 공간이다. 기하학적 실현 함자는 특정 조건에서 유한 극한을 보존한다.
* 모형 범주 구조: 단체 집합의 범주는 표준적으로 모형 범주 구조를 가지며, 약한 호모토피 동치, 칸 올뭉치, 칸 복합체 등의 개념이 정의된다.

4.1. 범주론적 성질

단체 집합의 범주 $\backslash operatorname\; s(\backslash operatorname\{Set\})$는 집합 값을 갖는 준층의 범주이므로, 그로텐디크 토포스를 이룬다. 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.

단순 범주 Δ의 대상은 비어 있지 않은 전순서 집합이다. 각 대상은 다음 형식의 대상과 유일하게 순서 동형이다.
:[n] = {0, 1, ..., n}
여기서 n ≥ 0이다. Δ의 사상은 이러한 집합들 간의 (비 엄격한) 순서를 보존하는 함수이다.

단순 집합 X는 반변 함자이다.

:X : Δ → Set

여기서 Set는 집합의 범주이다. (또는 동등하게, 단순 집합을 반대 범주 Δ^op → Set에서 공변 함자로 정의할 수 있다.) 단순 집합 X가 주어지면, 종종 X_n 대신 X([n])라고 쓴다.

단순 집합은 범주를 형성하며, 일반적으로 sSet로 표시되는데, 이 범주의 대상은 단순 집합이고 사상은 이들 사이의 자연 변환이다. 이는 Δ에 대한 전층의 범주이다. 따라서 이는 토포스이다.

4.2. 위상수학적 성질

단체 집합 $X$의 기하학적 실현 $|X|$는 언제나 CW 복합체이며, 특히 하우스도르프 공간이다.

기하학적 실현 함자 $|\backslash cdot|:\backslash operatorname\; s(\backslash operatorname\{Set\})\backslash to\; \backslash operatorname\{Top\}$는 오른쪽 수반 함자를 가지므로 쌍대 극한을 보존하지만 유한 극한은 보존하지 않는다. 이때, 기하학적 실현 함자의 공역을 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주 $\backslash operatorname\{CGHaus\}$ 따위의 범주로 바꾸면 이 함자는 유한 극한을 보존하게 된다.

|•|: sSet → CGHaus로 표기되는 기하학적 실현이라는 함자는 단체 집합 X를 콤팩트 생성 하우스도르프 위상 공간 범주 |•|: sSet → CGHaus에서의 해당 실현으로 변환한다. X의 실현은 X의 모든 n-단순포체를 위상적 n-단순포체(n + 1)-차원 유클리드 공간의 특정 n-차원 부분 집합)로 대체하고, 이 위상적 단순포체들이 X의 단순포체들이 연결되는 방식대로 서로 접착될 때 얻어지는 위상 공간(CW 복합체)이다.

표준 n-단순포체 Δⁿ에 대한 기하학적 실현 |Δⁿ|는 다음과 같이 주어지는 일반적인 위치의 표준 위상적 n-단순포체이다.

:$|\backslash Delta^n|\; =\; \backslash \{(x\_0,\; \backslash dots,\; x\_n)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^\{n+1\}:\; 0\backslash leq\; x\_i\; \backslash leq\; 1,\; \backslash sum\; x\_i\; =\; 1\; \backslash \}.$

이 정의는 모든 단체 집합 X에 대해 다음과 같이 자연스럽게 확장된다.

:|X| = lim_{Δⁿ → X} | Δⁿ|

여기서 쌍대극한은 X의 n-단순포체 범주를 통해 취해진다. 기하학적 실현은 sSet에서 함자적이다.

기하학적 실현의 대상 범주로 위상 공간 범주 Top 대신 콤팩트 생성 하우스도르프 공간 범주 CGHaus를 사용하는 것은 중요하다. sSet과 달리, Top과 달리 범주 CGHaus는 데카르트 닫힌 범주이다. 범주적 곱은 Top과 CGHaus에서 다르게 정의되며, CGHaus의 곱은 기하학적 실현을 통해 sSet의 곱에 해당한다.

위상 공간 Y의 특이 집합은 심플리셜 집합 SY이며 다음과 같이 정의된다.

:(SY)([n]) = hom_Top(|Δⁿ|, Y)는 각 대상 [n] ∈ Δ에 대해 성립한다.

모든 순서를 보존하는 사상 φ:[n]→[m]은 자연스러운 방식으로 |Δⁿ|→|Δ^m'|의 연속 사상을 유도하며, 이를 합성하면 SY(φ) : SY([m]) → SY([n])가 얻어진다. 이러한 정의는 대상 위상 공간을 표준 위상적 n-단순체로 "탐색"하는 특이 호몰로지의 표준적인 아이디어와 유사하다. 또한, 특이 함자 S는 위에 설명된 기하학적 실현 함자의 오른쪽 수반 함자이다. 즉, 다음과 같다.

:hom_Top(|X|, Y) ≅ hom_sSet(X, SY)

이는 임의의 심플리셜 집합 X와 임의의 위상 공간 Y에 대해 성립한다. X의 기하학적 실현에서 공간 Y로의 연속 사상은 X의 모든 단순체에 해당 표준 위상적 단순체에서 Y로의 연속 사상을 연관시키고, 이러한 사상들이 X'' 내의 단순체들이 서로 연결되는 방식과 호환되도록 함으로써 고유하게 지정된다.

4.3. 모형 범주 구조

단체 집합의 범주 $\backslash operatorname\; s(\backslash operatorname\{Set\})$는 표준적으로 모형 범주의 구조를 갖는다.

* 약한 호모토피 동치는 그 기하학적 실현들에 대한 약한 호모토피 동치와 같다.
* 올뭉치는 칸 올뭉치(Kan올뭉치, Kan fibration^영어)이다.
* 올대상은 칸 복합체(Kan複合體, Kan complex^영어)이다.

단체 집합 $E$, $B$ 사이의 사상 $\backslash pi\backslash colon\; E\backslash to\; B$가 다음 조건을 만족시킨다면, 칸 올뭉치(Kan fibration^영어)라고 한다.

:임의의 단체 $\backslash triangle^n$의 뿔 $\backslash iota\backslash colon\backslash wedge^n\_k\backslash hookrightarrow\backslash triangle^n$ 및 사상 $\backslash tilde\; f\_0\backslash colon\backslash wedge^n\_k\backslash to\; X$ 및 $f\backslash colon\backslash triangle^n\backslash to\; B$에 대하여, 만약 $f\backslash circ\backslash iota=\backslash pi\backslash circ\backslash tilde\; f\_0$라면, $\backslash tilde\; f\backslash circ\; \backslash iota\; =\; \backslash tilde\; f\_0$이고 $\backslash pi\backslash circ\; \backslash tilde\; f\; =\; f$인 $\backslash tilde\; f\backslash colon\backslash triangle^n\backslash to\; E$가 존재한다. 즉, 다음 그림과 같다.

::$\backslash begin\{matrix\}$
\wedge^n_k&\xrightarrow{\tilde f_0}&E\\
{\scriptstyle\iota}\downarrow&\nearrow\scriptstyle\exists\tilde f&\downarrow\scriptstyle\pi\\
\triangle^n&\xrightarrow[f]{}&B
\end{matrix}

이는 (위상 공간의) 올뭉치의 정의와 매우 유사하다. 칸 올뭉치의 기하학적 실현은 항상 세르 올뭉치를 이룬다.

$\backslash bullet$이 하나의 점만을 갖는 단체 집합일 경우, 칸 복합체(Kan複合體, Kan complex^영어)는 $\backslash bullet$으로 가는 유일한 사상이 칸 올뭉치를 이루는 단체 집합이다.

심플렉스 범주 Δ의 사상(맵)은 두 개의 특히 중요한 사상군에 의해 생성되며, 주어진 심플렉스 집합 함자에 따른 이미지는 해당 심플렉스 집합의 면 맵과 퇴화 맵이라고 불린다.

심플렉스 집합 X의 면 맵은 $\backslash delta^\{n,0\},\backslash dotsc,\backslash delta^\{n,n\}\backslash colon[n-1]\backslash to[n]$ 사상의 해당 심플렉스 집합 내 이미지이다. 여기서 $\backslash delta^\{n,i\}$는 $i$를 "누락시키는" 유일한 (순서 보존) 단사 함수 $[n-1]\backslash to[n]$이다.
이러한 면 맵을 각각 $d\_\{n,0\},\backslash dotsc,d\_\{n,n\}$으로 표기하며, $d\_\{n,i\}$는 맵 $X\_n\; \backslash to\; X\_\{n-1\}$이다. 첫 번째 인덱스가 명확하면 $d\_\{n,i\}$ 대신 $d\_i$라고 쓴다.

심플렉스 집합 X의 퇴화 맵은 $\backslash sigma^\{n,0\},\backslash dotsc,\backslash sigma^\{n,n\}\backslash colon[n+1]\backslash to[n]$ 사상의 해당 심플렉스 집합 내 이미지이다. 여기서 $\backslash sigma^\{n,i\}$는 $i$를 두 번 "히트시키는" 유일한 (순서 보존) 전사 함수 $[n+1]\backslash to[n]$이다.
이러한 퇴화 맵을 각각 $s\_\{n,0\},\backslash dotsc,s\_\{n,n\}$으로 표기하며, $s\_\{n,i\}$는 맵 $X\_n\; \backslash to\; X\_\{n+1\}$이다. 첫 번째 인덱스가 명확하면 $s\_\{n,i\}$ 대신 $s\_i$라고 쓴다.

정의된 맵은 다음 심플렉스 항등식을 만족한다.

#$d\_i\; d\_j\; =\; d\_\{j-1\}\; d\_i$ 만약 i < j이면. (이것은 0 ≤ i < j ≤ n인 경우 $d\_\{n-1,i\}\; d\_\{n,j\}\; =\; d\_\{n-1,j-1\}\; d\_\{n,i\}$의 축약형이다.)
#$d\_i\; s\_j\; =\; s\_\{j-1\}d\_i$ 만약 i < j이면.
#$d\_i\; s\_j\; =\; \backslash text\{id\}$ 만약 i = j 또는 i = j + 1이면.
#$d\_i\; s\_j\; =\; s\_j\; d\_\{i-1\}$ 만약 i > j + 1이면.
#$s\_i\; s\_j\; =\; s\_\{j+1\}\; s\_i$ 만약 i ≤ j이면.

반대로, 심플렉스 항등식을 만족하는 맵 $d\_\{n,i\}\; :\; X\_n\; \backslash to\; X\_\{n-1\}$ 및 $s\_\{n,i\}\; :\; X\_n\; \backslash to\; X\_\{n+1\}$과 함께 일련의 집합 X_n이 주어지면 이러한 면 맵과 퇴화 맵을 갖는 고유한 심플렉스 집합 X가 존재한다. 따라서 항등식은 심플렉스 집합을 정의하는 대안적인 방법을 제공한다.

심플리셜 집합 범주에 모형 구조를 정의하려면, 올림, 올림공간, 약한 동치 관계를 정의해야 한다. 올림은 칸 올림으로 정의할 수 있다. 심플리셜 집합의 사상은 기하학적 실현이 공간의 약한 호모토피 동치이면 약한 동치로 정의된다. 심플리셜 집합의 사상은 심플리셜 집합의 단사이면 올림공간으로 정의된다. 이러한 사상 클래스를 가진 심플리셜 집합 범주가 모형 범주가 된다는 것은 다니엘 퀼렌의 어려운 정리이며, 실제로 정칙 닫힌 심플리셜 모형 범주의 공리를 만족한다.

5. 예

단체 집합의 예시는 다음과 같다:

* [[부분 순서 집합]]의 신경: 부분 순서 집합(S, ≤)가 주어지면, NS라는 신플렉스 집합을 정의할 수 있다. Δ의 모든 객체 [n]에 대해 NS([n]) = hom_poset( [n] , S)로 설정한다. 여기서 hom_poset는 [n]에서 S로의 순서를 보존하는 사상의 집합이다. 이 때, 신경 NS의 n-단순체는 S의 요소로 구성된 정렬된 길이-(n+1) 시퀀스 (a₀ ≤ a₁ ≤ ... ≤ a_n)로 나타낼 수 있다.
* 범주의 신경: 모든 범주 C에 대해 신경 NC를 정의할 수 있다. 여기서 NC([n])은 [n]에서 C로의 모든 함자의 집합이다. 여기서 [n]을 객체 0,1,...,n과 i ≤ j일 때 i에서 j로의 단일 사상을 가진 범주로 간주한다. 이 때, 신경 NC의 n-단순체는 C에서 n개의 합성 가능한 사상의 시퀀스 a₀ → a₁ → ... → a_n로 나타낼 수 있다. (특히, 0-단순체는 C의 객체이고, 1-단순체는 C의 사상이다.)

5.1. 표준 단체와 뿔

자연수 $n\backslash in\backslash mathbb\; N$에 대하여, 단체 집합의 범주에서 표준 $n$차원 단체(standard $n$-simplex^영어) $\backslash triangle^n$는 $\backslash hom\_\{\backslash triangle\}(-,\backslash Delta\_n)$로 정의되며, 요네다 보조정리에 의해
:$\backslash hom\_\{\backslash operatorname\; s(\backslash operatorname\{Set\})\}(\backslash triangle^n,\; Y)\; \backslash cong\; Y(n)$
가 성립한다.

표준 $n$차원 단체 $\backslash triangle^n$가 주어졌을 때, $k\backslash in\backslash \{0,\backslash dots,n\backslash \}$에 대하여, $\backslash wedge^n\_k$가 $\backslash partial\backslash triangle^n$에서 $k$번째 면들을 제거한 $n-1$차원 단체라고 하자. 이러한 단체 집합을 뿔(horn^영어)이라고 한다.

5.2. 구체적 범주 속의 단체 대상

구체적 범주 $\backslash mathcal\; C\; \backslash to\; \backslash operatorname\{Set\}$가 주어지면, $\backslash mathcal\; C$ 속의 모든 단체 대상은 망각 함자를 통해 단체 집합을 이룬다.

5.3. 단체 복합체

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* (추상적) 단체 복합체 $(\backslash Sigma\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}$. 여기서 $\backslash Sigma\_0$은 꼭짓점들의 집합이며, $\backslash Sigma\_i\backslash subseteq\backslash mathcal\; P(\backslash Sigma\_0)$는 $i+1$개의 서로 다른 꼭짓점들의 집합이다.
* 꼭짓점 집합 $\backslash Sigma\_0$ 위의 전순서 $\backslash le$

그렇다면, 다음을 정의하자.

* 양의 정수 $n\backslash in\backslash mathbb\; N$에 대하여, 집합 $\backslash Delta\_n$의 원소 $M$은 $\backslash Sigma\_0$의 원소들로 구성된, 크기 $n+1$의 중복집합 $M$ 가운데, 중복 원소를 제거한 집합 $|M|$이 $\backslash textstyle\backslash bigsqcup\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash Sigma\_n$에 속하는 것이다.
* 꼭짓점 중복집합 $M\backslash in\backslash Delta\_n$이 주어졌다고 하자. $M$에서, $i+1$번째로 작은 원소를 $m\_i\backslash in\backslash Sigma\_0$라고 하자 ($0\backslash le\; i\backslash le\; n$). 그렇다면, $\backslash partial\_n^i(M)$ 및 $s\_n^i(M)$을 다음과 같이 정의한다.
$\backslash partial\_n^i(M)=M\backslash setminus\backslash \{m\_i\backslash \}\backslash in\backslash Delta\_\{n-1\}$
$s\_n^i(M)=M\backslash sqcup\backslash \{m\_i\backslash \}\backslash in\backslash Delta\_\{n+1\}$

그렇다면, $(\backslash Delta\_n,\backslash partial\_n^i,s\_n^i)\_\{n,i\}$는 단체 집합을 이루며, 그 기하학적 실현은 원래 단체 복합체 $(\backslash Sigma\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}$의 기하학적 실현과 위상 동형이다. 위 구성에서 꼭짓점 집합의 전순서를 (임의로) 고른 이유는 단체 집합은 단체 복합체와 달리, 각 단체의 꼭짓점들의 순서를 기억하기 때문이다. 물론, 기하학적 실현은 이 전순서에 의존하지 않는다.

5.4. 신경 (Nerve)

작은 범주 $\backslash mathcal\; C$가 주어졌을 때, 이에 대응하는 표준적인 단체 집합 $\backslash operatorname\{nerve\}\backslash mathcal\; C$가 존재하며, 이를 $\backslash mathcal\; C$의 신경이라고 한다. 신경은 2-범주의 함자
:$\backslash operatorname\{nerve\}\backslash colon\backslash operatorname\{Cat\}\backslash to\backslash operatorname\{sSet\}$
를 정의한다.

부분 순서 집합(S, ≤)가 주어지면, NS라는 신플렉스 집합을 정의할 수 있다. 즉, Δ의 모든 객체 [n]에 대해 NS([n]) = hom_poset( [n] , S)로 설정한다. 여기서 hom_poset는 [n]에서 S로의 순서를 보존하는 사상의 집합이다.

구체적으로, 신경 NS의 n-단순체, 즉 NS_n = NS([n])의 요소는 S의 요소로 구성된 정렬된 길이-(n+1) 시퀀스로 생각할 수 있다. (a₀ ≤ a₁ ≤ ... ≤ a_n).

모든 범주 C에 대해 유사한 구성을 수행하여 C의 신경 NC를 얻을 수 있다. 여기서 NC([n])은 [n]에서 C로의 모든 함자의 집합이다. 여기서 [n]을 객체 0, 1, ..., n과 i ≤ j일 때 i에서 j로의 단일 사상을 가진 범주로 간주한다.

구체적으로, 신경 NC의 n-단순체는 C에서 n개의 합성 가능한 사상의 시퀀스로 생각할 수 있다.
a₀ → a₁ → ... → a_n. (특히, 0-단순체는 C의 객체이고, 1-단순체는 C의 사상이다.)

6. 응용

단순 집합은 원래 분류 공간을 군의 정확하고 편리한 설명에 사용되었다. 이 아이디어는 그로텐디크의 범주의 분류 공간을 고려하는 아이디어에 의해 광범위하게 확장되었으며, 특히 퀼렌의 대수적 K-이론 연구에 의해 확장되었다. 퀼렌은 이 연구를 통해 필즈상을 수상했으며, 무한 심플리셜 집합을 조작하는 놀랍도록 효율적인 방법을 개발했다. 이 방법들은 대수 기하학과 위상 수학의 경계에 있는 다른 분야에서 사용되었다. 예를 들어, 환의 앙드레-퀼렌 호몰로지는 이러한 방식으로 정의되고 연구된 "비가환 호몰로지"이다.

대수적 K-이론과 앙드레-퀼렌 호몰로지는 모두 대수적 데이터를 사용하여 심플리셜 집합을 작성한 다음 이 심플리셜 집합의 호모토피 군을 취하여 정의된다.

심플리셜 방법은 공간이 루프 공간임을 증명하려는 경우에 종종 유용하다. 기본적인 아이디어는 $G$가 분류 공간 $BG$를 가진 군이면, $G$는 루프 공간 $\backslash Omega\; BG$와 호모토피 동치라는 것이다. $BG$ 자체가 군이면, 이 절차를 반복할 수 있으며, $G$는 이중 루프 공간 $\backslash Omega^2\; B(BG)$와 호모토피 동치이다. $G$가 아벨 군인 경우, 실제로 이를 무한히 여러 번 반복하여 $G$가 무한 루프 공간임을 얻을 수 있다.

$X$가 아벨 군이 아니더라도, 위의 아이디어를 사용하여 $X$가 무한 루프 공간임을 증명할 수 있도록 충분히 가환적인 합성을 가질 수 있다. 이러한 방식으로, 위상 공간으로 간주되는 환의 대수적 $K$-이론이 무한 루프 공간임을 증명할 수 있다.

최근 몇 년 동안, 심플리셜 집합은 고차원 범주론과 유도된 대수 기하학에 사용되었다. 준범주는 사상의 합성이 호모토피까지 정의되고 고차원 호모토피의 합성 정보도 유지되는 범주로 생각할 수 있다. 준범주는 약한 칸 조건을 만족하는 심플리셜 집합으로 정의된다.

7. 역사

단체 집합은 특이 코호몰로지 등을 정의하기 위하여 오랫동안 알려져 있었으나, 대니얼 퀼런이 이를 사용하여 대수적 K이론을 정의하면서 그 중요함이 알려졌다. 칸 올뭉치는 다니얼 칸이 도입하였다.

단순 집합은 원래 분류 공간을 군의 정확하고 편리한 설명에 사용되었다. 이 아이디어는 그로텐디크의 범주의 분류 공간을 고려하는 아이디어에 의해 광범위하게 확장되었으며, 특히 퀼렌의 대수적 K-이론 연구에 의해 확장되었다. 퀼렌은 이 연구를 통해 필즈상을 수상했으며, 무한 심플리셜 집합을 조작하는 놀랍도록 효율적인 방법을 개발했다. 이 방법들은 대수 기하학과 위상 수학의 경계에 있는 다른 분야에서 사용되었다. 예를 들어, 환의 앙드레-퀼렌 호몰로지는 이러한 방식으로 정의되고 연구된 "비가환 호몰로지"이다.

대수적 K-이론과 앙드레-퀼렌 호몰로지는 모두 대수적 데이터를 사용하여 심플리셜 집합을 작성한 다음 이 심플리셜 집합의 호모토피 군을 취하여 정의된다.

최근 몇 년 동안, 심플리셜 집합은 고차원 범주론과 유도된 대수 기하학에 사용되었다. 준범주는 사상의 합성이 호모토피까지 정의되고 고차원 호모토피의 합성 정보도 유지되는 범주로 생각할 수 있다. 준범주는 약한 칸 조건을 만족하는 심플리셜 집합으로 정의된다.