워드-다카하시 항등식

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
- 3.1. 경로 적분 형식에서의 유도
4. 워드-다카하시 항등식 (일반적인 경우)
5. 워드 항등식 (S-행렬)
6. 응용
- 6.1. 키랄 이상과 파이온-핵자 상호작용 (이상 워드-다카하시 항등식)
참조

1. 개요

워드-다카하시 항등식은 양자장론에서 전역 대칭과 관련된 항등식으로, 보존류와 연산자 간의 관계를 나타낸다. 존 클라이브 워드가 1950년에 특수한 형태를 발표했고, 다카하시 야스시가 이를 일반화했다. 이 항등식은 경로 적분 형식으로 유도되며, 게이지 변환에 대한 작용 범함수 측도의 불변성을 반영한다. 워드-다카하시 항등식은 외부 운동량의 전부가 온 셸이 아닌 상관 함수에 적용되며, 양자전기역학에서 진공 편극과 전자의 꼭짓점 함수의 텐서 구조를 제한하는 데 사용된다. 대칭이 깨지는 경우 이상 워드-다카하시 항등식이 나타나기도 한다.

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워드-다카하시 항등식
개요
이름	워드-다카하시 항등식
로마자 표기	Wodeu-Dakahasi hangdeungsik
영어	Ward-Takahashi identity
상세 내용
분야	양자 전기역학
설명	게이지 이론에서 게이지 불변성에 의해 유도되는 항등식
관련 인물	존 클라이브 워드 다카하시 야스시
중요성	양자 전기역학의 재규격화 가능성을 증명하는 데 중요한 역할
응용	전자의 전하가 재규격화 과정에서 변하지 않음을 보임 광자의 질량이 0임을 보임
관련 항목
관련 개념	게이지 대칭 BRST 대칭 재규격화

2. 역사

존 클라이브 워드(존 클라이브 워드/John Clive Ward^영어)가 1950년에 특수한 형태를 발표하였다.^[4] 다카하시 야스시()가 이를 일반화하였다.^[5]

3. 정의

주어진 양자장론이 어떤 전역적(global^영어) 대칭 $\delta_\epsilon$ 을 가질 때, 경로 적분에서 이 대칭성을 나타내는 변분을 고려하여 워드-다카하시 항등식을 유도할 수 있다. 이 항등식은 보존류(conserved current)와 연산자들 사이의 관계를 나타낸다.

: $\delta_\epsilon\left[D\phi\;\exp(iS[\phi])\right]=0$

이라고 할 때, 여기서 $D\phi$ 는 경로 적분의 측도이고, $\exp(iS)$ 는 경로 적분의 볼츠만 인자이다. $\epsilon$ 을 상수가 아니라 (무한소의) 함수 $\epsilon(x)$ 로 놓으면, $D\phi\;\exp(iS)$ 의 변분은 일반적으로 다음과 같은 꼴을 취한다.

: $\delta_\epsilon\left[D\phi\;\exp(iS[\phi])\right]=D\phi'\;\exp(iS[\phi'])i\int J^\mu\partial_\mu\epsilon\;d^Dx=-D\phi'\;\exp(iS[\phi'])i\int(\partial\cdot J)\epsilon\;d^Dx$ .

임의의 연산자 $X$ 를 삽입하면 다음과 같다.

: $\delta_\epsilon\left[D\phi\;X[\phi]\exp(iS[\phi])\right]=-D\phi'\;X[\phi']\exp(iS[\phi'])\int(\partial\cdot J)\epsilon\;d^Dx+D\phi\;(\delta_\epsilon X)\exp(iS[\phi])$ .

이제 다음과 같은 항등식을 유도할 수 있다.

: $0=\int X[\phi']\exp(iS[\phi'])\;D\phi'-\int X[\phi]\exp(iS[\phi])\;D\phi$

:: $=\int\delta_\epsilon\left[X[\phi]\exp(iS[\phi])\;D\phi\right]$

:: $=\langle\delta_\epsilon X\rangle_0-i\int\langle(\partial\cdot J)X\rangle_0\epsilon\;d^Dx$ .

여기서 $\langle\cdots\rangle_0$ 은 시간 순서 진공 기댓값이다. 이를 '''워드-다카하시 항등식'''이라고 한다.

게이지 변환이 이론의 실제 ''전역 대칭''에 해당하는 경우, 뇌터 연속 방정식 $\partial_\mu J^\mu=0$ 의 양자장론(QFT) 유사체는 다음과 같다.

: $\langle\delta_\varepsilon\mathcal{F}\rangle - i\int\varepsilon\langle\mathcal{F}\partial_\mu J^\mu \rangle\mathrm{d}^dx = 0$

비가환 게이지 대칭의 경우, 워드-다카하시 항등식은 슬라브노프-테일러 항등식(Slavnov–Taylor identity^영어)으로 일반화된다.^[6]^[7]^[8]

3. 1. 경로 적분 형식에서의 유도

경로 적분 형식에서 워드-다카하시 항등식은 게이지 변환에 대한 작용 범함수 측도의 불변성을 반영한다. 이는 뇌터 정리의 양자장론 버전으로 이해할 수 있다.

주어진 양자장론이 어떤 전역적(global^영어) 대칭

\delta_\epsilon

을 가질 때, 즉,

:

\delta_\epsilon\left[D\phi\;\exp(iS[\phi])\right]=0

일 때,

\epsilon

을 상수가 아닌 함수

\epsilon(x)

로 놓으면

D\phi\;\exp(iS)

의 변분은 일반적으로 다음과 같은 꼴을 취한다.

:

\delta_\epsilon\left[D\phi\;\exp(iS[\phi])\right]=D\phi'\;\exp(iS[\phi'])i\int J^\mu\partial_\mu\epsilon\;d^Dx=-D\phi'\;\exp(iS[\phi'])i\int(\partial\cdot J)\epsilon\;d^Dx

.

임의의 연산자

X

를 삽입하면 다음과 같다.

:

\delta_\epsilon\left[D\phi\;X[\phi]\exp(iS[\phi])\right]=-D\phi'\;X[\phi']\exp(iS[\phi'])\int(\partial\cdot J)\epsilon\;d^Dx+D\phi\;(\delta_\epsilon X)\exp(iS[\phi])

.

여기서 다음 항등식을 유도할 수 있다.

:

0=\int X[\phi']\exp(iS[\phi'])\;D\phi'-\int X[\phi]\exp(iS[\phi])\;D\phi

::

=\int\delta_\epsilon\left[X[\phi]\exp(iS[\phi])\;D\phi\right]

::

=\langle\delta_\epsilon X\rangle_0-i\int\langle(\partial\cdot J)X\rangle_0\epsilon\;d^Dx

.

여기서

\langle\cdots\rangle_0

은 시간 순서 진공 기댓값이다. 이를 '''워드-다카하시 항등식'''이라고 한다.

게이지 변환이 이론의 실제 ''전역 대칭''에 해당하는 경우, 뇌터 연속 방정식

\partial_\mu J^\mu=0

의 양자장론(QFT) 유사체는 다음과 같다.

:

\langle\delta_\varepsilon\mathcal{F}\rangle - i\int\varepsilon\langle\mathcal{F}\partial_\mu J^\mu \rangle\mathrm{d}^dx = 0

게이지 고정 항이 있는 경우에도 워드-다카하시 항등식이 성립한다. 게이지 이론이 파이버 번들에서 공식화되면 워드-다카하시 항등식은 주 번들에서 (전역) 오른쪽 작용에 해당한다. 즉, 수직 번들에서 리 미분에 의해 생성된다.

키랄 이상과 같이 대칭이 깨지는 경우, 이상 워드-다카하시 항등식이 나타난다. 예를 들어 핵력의 시그마 모형 이론에서 중성자와 양성자는 아이소스핀 이중항에서 파이온에 의해 매개되는 힘을 느끼는데, 이 파이온은 아이소스핀 삼중항에 있다. 이 이론은 키랄 대칭을 가지며 해당 전류는 아이소벡터 전류 (로 메존)와 축 벡터 전류이다. 이경우 양자화는 벡터전류가 보존되도록 양자화 되는 반면 축 벡터 전류는 보존되지 않는다. 그러면 로 메존은 벡터 대칭의 게이지 보손으로 해석되는 반면, 축 대칭은 자발적 대칭 깨짐이다.

4. 워드-다카하시 항등식 (일반적인 경우)

주어진 양자장론이 어떤 전역적(global^영어) 대칭 $\delta_\epsilon$ 을 가질 때, 즉,

: $\delta_\epsilon\left[D\phi\;\exp(iS[\phi])\right]=0$

일 때, (여기서 $D\phi$ 는 경로 적분의 측도이고, $\exp(iS)$ 는 경로 적분의 볼츠만 인자이다.) $\epsilon$ 을 상수가 아닌 함수 $\epsilon(x)$ 로 놓으면, 일반적으로 다음과 같은 꼴을 취한다.

: $\delta_\epsilon\left[D\phi\;\exp(iS[\phi])\right]=D\phi'\;\exp(iS[\phi'])i\int J^\mu\partial_\mu\epsilon\;d^Dx=-D\phi'\;\exp(iS[\phi'])i\int(\partial\cdot J)\epsilon\;d^Dx$ .

임의의 연산자 $X$ 를 삽입하면 다음과 같다.

: $\delta_\epsilon\left[D\phi\;X[\phi]\exp(iS[\phi])\right]=-D\phi'\;X[\phi']\exp(iS[\phi'])\int(\partial\cdot J)\epsilon\;d^Dx+D\phi\;(\delta_\epsilon X)\exp(iS[\phi])$ .

이로부터 유도되는 다음 항등식을 '''워드-다카하시 항등식'''이라고 한다.

: $0=\int X[\phi']\exp(iS[\phi'])\;D\phi'-\int X[\phi]\exp(iS[\phi])\;D\phi$

:: $=\int\delta_\epsilon\left[X[\phi]\exp(iS[\phi])\;D\phi\right]$

:: $=\langle\delta_\epsilon X\rangle_0-i\int\langle(\partial\cdot J)X\rangle_0\epsilon\;d^Dx$ .

여기서 $\langle\cdots\rangle_0$ 은 시간 순서 진공 기댓값이다.

워드-다카하시 항등식은 외부 운동량 전부가 온 셸이 아닌 운동량 공간의 상관 함수에 적용된다.^[6]^[7]^[8]

외부 광자 운동량 k를 갖는 양자 전기역학(QED) 상관 함수를 다음과 같이 정의한다.

: $\mathcal{M}(k; p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots q_n) = \epsilon_{\mu}(k) \mathcal{M}^{\mu}(k; p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots q_n)$

여기서 $\epsilon_{\mu}(k)$ 는 광자의 편광 벡터이고, 운동량 $p_1 \cdots p_n$ 을 갖는 ''n''개의 초기 상태 전자와 운동량 $q_1 \cdots q_n$ 을 갖는 ''n''개의 최종 상태 전자가 있다. $\mathcal{M}_0$ 를 원래 진폭에서 운동량 ''k''를 갖는 광자를 제거하여 얻은 더 간단한 확률 진폭으로 정의하면, 워드-다카하시 항등식은 다음과 같다.

: $\begin{align}k_{\mu} \mathcal{M}^{\mu}(k; p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots q_n) = e \sum_i \left[ \mathcal{M}_0\right. & (p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots (q_i-k) \cdots q_n) \\& \left. - \mathcal{M}_0(p_1 \cdots (p_i+k) \cdots p_n; q_1 \cdots q_n) \right]\end{align}$

여기서 $e$ 는 전자의 전하이며 부호는 음수이다. $\mathcal{M}$ 이 외부 전자를 온 셸 상태로 갖는 경우, 이 항등식의 오른쪽에 있는 진폭은 각각 하나의 외부 입자를 오프 셸 상태로 가지므로 S-행렬 요소에 기여하지 않는다.

5. 워드 항등식 (S-행렬)

워드 항등식은 물리적으로 가능한 S-행렬 요소를 설명하고, 따라서 모든 외부 입자가 온 셸 상태에 있는 산란 과정에 대한 워드-다카하시 항등식의 특수한 경우이다. 다시 $\mathcal{M}(k) = \epsilon_{\mu}(k) \mathcal{M}^{\mu}(k)$ 를 운동량 $k$ 를 갖는 외부 광자를 포함하는 어떤 양자 전기역학(QED) 과정의 진폭이라고 하자. 여기서 $\epsilon_{\mu}(k)$ 는 광자의 편광 벡터이다. 그러면 워드 항등식은 다음과 같다.

: $k_{\mu} \mathcal{M}^{\mu}(k) = 0$

물리적으로 이 항등식의 의미는 란다우 게이지에서 발생하는 광자의 종방향 편광이 물리적이지 않으며 S-행렬에서 사라진다는 것이다.

이 사용 예시는 양자 전기역학의 진공 편극과 전자의 꼭짓점 함수의 텐서 구조를 제한하는 것을 의미한다.

6. 응용

워드-다카하시 항등식은 외부 운동량의 전부가 온 셸이 아닐 수도 있는 운동량 공간의 상관 함수에 적용된다. 양자전기역학(QED)에서 진공 편극과 전자의 꼭지점 함수의 텐서 구조를 제한하는 데 사용된다.

6. 1. 키랄 이상과 파이온-핵자 상호작용 (이상 워드-다카하시 항등식)

참조

_[1] 논문 An Identity in Quantum Electrodynamics
_[2] 논문 On the generalized ward identity 1957
_[3] 서적 An Introduction to Quantum Field Theory https://archive.org/[...] Westview Press
_[4] 저널 An identity in quantum electrodynamics 1950
_[5] 저널 On the generalized Ward identity 1957-08
_[6] 저널 Ward identities in gauge theories 1972-02-01
_[7] 저널 Ward identities and charge renormalization of the Yang-Mills field 1971-11-01
_[8] 저널 Slavnov–Taylor identities 2008-10-22

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