아이소스핀

3. 강입자의 분류

아이소스핀은 강한 상호작용을 하는 입자인 강입자들을 체계적으로 분류하는 데 사용되는 중요한 양자수이다. 특히 질량이 비슷하지만 전하 등 일부 성질이 다른 강입자들을 아이소스핀 다중항(multiplet)이라는 그룹으로 묶어 이해할 수 있게 해준다. 이러한 분류는 강입자들이 더 기본적인 입자인 쿼크로 이루어져 있다는 쿼크 모형과 밀접하게 연관되어 있다.

강입자를 분류하는 데에는 주로 두 가지 아이소스핀 대칭성이 사용된다.

• SU(2) 아이소스핀 대칭성: 가장 기본적인 아이소스핀 대칭성으로, 위 쿼크(u)와 아래 쿼크(d)만을 고려한다. 이 대칭성을 이용하여 핵자(양성자, 중성자)나 파이 중간자(파이온)와 같이 위/아래 쿼크로만 구성된 강입자들을 분류한다.
• SU(3) 맛깔 대칭성: SU(2) 대칭성을 확장하여 기묘 쿼크(s)까지 포함한다. 이 대칭성은 더 많은 종류의 강입자들을 팔정도나 십중항과 같은 패턴으로 분류하며, 입자들의 성질 사이의 관계를 이해하는 데 도움을 준다.

3. 1. SU(2) 아이소스핀

3. 2. SU(3) 아이소스핀

중간자 팔중항	중입자 십중항	중입자 팔중항

4. 아이소스핀 불변성

양성자와 중성자는 질량이 거의 같으며, 이는 두 입자가 동일한 입자의 두 가지 다른 상태로 해석될 수 있음을 시사한다.^[2] 이 상태들은 내부 아이소스핀 좌표 값으로 구별된다. 이 좌표의 수학적 속성은 고유 스핀과 매우 유사하다. 아이소스핀 연산자 $\backslash hat\{T\}\_3$의 성분은 $+\backslash frac\{1\}\{2\}$ 와 $-\backslash frac\{1\}\{2\}$ 의 고유값을 가지며, 전하 연산자 $\backslash hat\{Q\}$와 다음과 같은 관계를 가진다.

$$\backslash hat\{Q\}\; =\; e\backslash left(\backslash hat\{T\}\_3\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)$$

이 식에 따르면 양성자($\backslash hat\{T\}\_3\; =\; +1/2$)는 전하 $e$를, 중성자($\backslash hat\{T\}\_3\; =\; -1/2$)는 전하 0을 갖는다.^[2] n개의 핵자로 구성된 시스템의 경우, 전하 연산자는 질량수 A에 따라 다음과 같이 표현된다.

$$\backslash hat\{Q\}\; =\; e\backslash left(\backslash hat\{T\}\_3\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}A\backslash right)$$

동중핵종, 즉 ⁴⁰K와 ⁴⁰Ar처럼 질량수가 같은 핵종들은 $\backslash hat\{T\}\_3$ 고유값만 다르기 때문에, 아이소스핀은 "동중핵 스핀"이라고도 불린다.

핵 내부의 상호작용을 설명하는 강한 상호작용의 해밀토니안은 아이소스핀 변환에 대해 불변성을 가진다. 이는 핵 내부에서 작용하는 핵력이 입자의 전하 종류에 크게 영향을 받지 않는다는 것을 의미한다. 예를 들어, 중수소 핵이 안정적으로 존재할 수 있는 이유 등은 이러한 아이소스핀 분석을 통해 설명될 수 있다.^[2] 그러나 이 아이소스핀 불변성은 완벽하게 정확하지는 않으며, 쿼크 모형은 이러한 현상을 더 정확하게 설명한다.

더 일반적으로, 전하 연산자 $Q$는 아이소스핀의 3번째 성분 $T\_3$과 하이퍼차지 $Y$로 표현될 수 있다.

$$Q\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}Y\; +\; T\_3,\; \backslash quad\; T\_3\; =\; T,\; T-1,\; \backslash dots,\; -T$$

이 관계식은 겔만-니시지마 공식으로 알려져 있다. 하이퍼차지는 아이소스핀 다중항의 '중심 전하'에 해당하며, 다음과 같이 표현된다.^[2]

$$\backslash frac\{1\}\{2\}Y\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(Q\_\{\backslash textrm\{min\}\}\; +\; Q\_\{\backslash textrm\{max\}\})$$

여기서 $Q\_\{\backslash textrm\{min\}\}$과 $Q\_\{\backslash textrm\{max\}\}$는 해당 다중항 내 입자들이 가질 수 있는 최소 및 최대 전하이다.

5. 쿼크 함량과 아이소스핀

현대 물리학에서는 아이소스핀(''I'')을 위 쿼크(u)와 아래 쿼크(d)가 ''I'' = 1/2의 값을 가지는 벡터량으로 정의한다. 아이소스핀 벡터의 3번째 성분(''I''₃)은 위 쿼크에 대해 +1/2, 아래 쿼크에 대해 −1/2 값을 가지며, 다른 기묘, 맵시, 바닥, 꼭대기 쿼크들은 모두 ''I'' = 0이다.^[3] 따라서 강입자의 ''I''₃ 값은 그 강입자를 구성하는 위 쿼크와 아래 쿼크의 수(''n''_u, ''n''_d)에 따라 다음과 같이 결정된다.

: $I\_3\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(n\_u\; -\; n\_d).$

이 아이소스핀 개념은 강력 상호작용의 대칭성인 SU(2) 맛깔 대칭과 관련이 깊다. 위 쿼크와 아래 쿼크는 SU(2) 대칭의 가장 기본적인 표현인 이중항('''2''')을 형성한다. 반쿼크 역시 이중항($\backslash bar\{\backslash mathbf\{2\}\}$ = '''2''')으로 변환된다. 이를 이용해 다양한 강입자들을 분류할 수 있다.

• 중간자 (쿼크 1개와 반쿼크 1개): 쿼크와 반쿼크의 아이소스핀을 합성하면 $\backslash mathbf2\backslash otimes\backslash bar\{\backslash mathbf\{2\}\}=\backslash mathbf3\backslash oplus\backslash mathbf1$ 와 같이 두 가지 상태로 나뉜다. 아이소스핀 삼중항($\backslash mathbf3$, ''I''=1)은 파이온(π⁺, π⁰, π⁻)에 해당하고, 아이소스핀 단일항($\backslash mathbf1$, ''I''=0)은 에타 중간자의 일부 상태에 해당한다.
• 중입자 (쿼크 3개): 쿼크 세 개의 아이소스핀을 합성하면 $\backslash mathbf2\backslash otimes\backslash mathbf\{2\backslash otimes\backslash mathbf2\}=\backslash mathbf4\backslash oplus\backslash mathbf2\backslash oplus\backslash mathbf2$ 와 같이 여러 상태로 나뉜다. 아이소스핀 사중항('''4''', ''I''=3/2)은 델타 중입자(Δ⁺⁺, Δ⁺, Δ⁰, Δ⁻)에 해당하고, 아이소스핀 이중항('''2''', ''I''=1/2)은 핵자(양성자 p, 중성자 n)에 해당한다.

6. 아이소스핀과 대칭

아이소스핀은 강한 상호작용의 작용 하에서 리 군 SU(2)의 대칭으로 간주되며, 두 상태는 업 향미와 다운 향미이다. 양자역학에서 해밀토니안이 대칭을 가질 때, 해당 대칭은 동일한 에너지를 갖는 상태 집합, 즉 축퇴된 상태를 통해 나타난다. 간단히 말해, 강한 상호작용에 대한 에너지 연산자는 업 쿼크와 다른 성질이 동일한 다운 쿼크를 서로 바꾸어도 동일한 결과를 제공한다.

일반적인 스핀처럼 아이소스핀 연산자 '''I'''는 벡터 값을 가지며, 세 개의 성분 '''I'''_''x'', '''I'''_''y'', '''I'''_''z''를 갖는다. 이 벡터 공간은 수학적 형식론의 유사성을 제외하면 물리적 공간과는 관련이 없는 내부 공간이다. 아이소스핀은 총 아이소스핀 ''I''와 ''z'' 성분의 고유값 ''I''₃라는 두 개의 양자수로 기술된다. ''I''₃는 특정 향미 상태를 지정한다. 스핀-1/2 시스템과 유사하게, 아이소스핀 연산자의 성분은 파울리 행렬 $\backslash vec\{\backslash tau\}\; =\; (\backslash tau\_1,\; \backslash tau\_2,\; \backslash tau\_3)$과 관련된다. 관례적으로 아이소스핀 연산자는 $\backslash vec\{I\}\; =\; \backslash vec\{\backslash tau\}/2$로 정의하며, 이 성분들은 각운동량 대수 관계식 $[I\_x,\; I\_y]\; =\; iI\_z$ (순환 순열 포함)을 만족한다. 여기서 사용되는 파울리 행렬 $\backslash tau$는 아이소스핀 공간에 작용하며, 스핀 공간에 작용하는 $\backslash sigma$와 구별된다. 예를 들어, $\backslash tau\_3$는 다음과 같다.

:

$\backslash vec\{I\}^2$의 고유값은 $I(I+1)$이고, $I\_z$의 고유값은 $-I,\; -I+1,\; \backslash ldots,\; I-1,\; I$이다. 양자수 I는 정수 또는 반정수 값을 가지며 아이소스핀의 크기라고 불린다.

핵자(양성자 p, 중성자 n)는 아이소스핀 공간에서 다음과 같은 벡터로 표현될 수 있다.

: $\backslash psi\_\backslash mathrm\{nucl\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; p\; \backslash \backslash \; n\; \backslash \backslash \; \backslash end\{pmatrix\}$

핵자의 아이소스핀 크기는 I = 1/2이며, I_z 고유값은 양성자(p)에 대해 +1/2, 중성자(n)에 대해 -1/2이다.

:

파이 중간자($\backslash pi^+,\; \backslash pi^0,\; \backslash pi^-$)는 아이소스핀 크기 I = 1을 가지며, I_z 고유값은 각각 +1, 0, -1이다.

쿼크 모형에서는 핵자가 업 쿼크(u)와 다운 쿼크(d)로 구성된다고 설명한다 (양성자 = uud, 중성자 = udd). u 쿼크와 d 쿼크는 아이소스핀 I = 1/2을 형성하며, I_z 고유값은 u에 대해 +1/2, d에 대해 -1/2이다.

: $q\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; u\; \backslash \backslash \; d\; \backslash \backslash \; \backslash end\{pmatrix\}$

:

핵자의 아이소스핀은 구성 쿼크들의 아이소스핀을 합성하여 얻어지며, 파이 중간자의 아이소스핀은 쿼크와 반쿼크의 아이소스핀을 합성한 결과이다.

아이소스핀 대칭은 강한 상호작용에서는 비교적 잘 성립하지만, 전자기 상호작용과 약한 상호작용에서는 깨진다. 또한 업 쿼크와 다운 쿼크의 작은 질량 차이 때문에 완벽한 대칭은 아니다. 즉, 아이소스핀 대칭은 실제로 약간 깨져 있다. 기묘 쿼크를 포함하는 SU(3) 향미 대칭은 업/다운 쿼크와 기묘 쿼크 사이의 질량 차이가 더 크기 때문에 아이소스핀 대칭(SU(2))보다 더 심하게 깨진다. 매력, 바닥, 탑 쿼크를 포함하는 더 큰 향미 대칭(SU(6) 등)은 해당 쿼크들의 질량이 훨씬 크기 때문에 자연계에서 매우 심하게 깨져 있으며, 특히 저에너지 현상 분석에는 유용성이 떨어진다.

7. 강입자 명명법

강입자 명명법은 아이소스핀을 기반으로 한다.^[4]

• 총 아이소스핀이 3/2인 입자는 델타 바리온으로 불린다. 이들은 세 개의 업 쿼크 또는 다운 쿼크로만 구성된다.
• 총 아이소스핀이 1인 입자는 두 개의 업 쿼크, 두 개의 다운 쿼크, 또는 각각 하나씩의 조합으로 만들어진다.
• * 중간자 중에서는 총 스핀에 따라 파이온(총 스핀 0)과 로 중간자(총 스핀 1)로 나뉜다.
• * 다른 종류의 맛깔 쿼크를 포함하는 중입자로는 시그마 바리온이 있다.
• 총 아이소스핀이 1/2인 입자는 다음과 같이 구성될 수 있다.
• * 하나의 업 또는 다운 쿼크와 다른 종류의 맛깔 쿼크(기묘함, 맵시, 또는 바닥) 하나를 포함하는 중간자: 카오크, D 중간자, 또는 B 중간자.
• * 하나의 업 또는 다운 쿼크와 다른 종류의 맛깔 쿼크 두 개를 포함하는 중입자: 크사이 바리온.
• * 업 쿼크와 다운 쿼크를 포함하는 핵자. 파울리 배타 원리에 따라 같은 종류의 쿼크 3개만으로는 핵자를 구성할 수 없다.
• 총 아이소스핀이 0인 입자는 다음과 같이 구성될 수 있다.
• * 중성 쿼크-반쿼크 쌍(예: 업 쿼크와 반 업 쿼크 또는 다운 쿼크와 반 다운 쿼크의 특정 조합)으로 이루어진 에타 중간자.
• * 하나의 업 쿼크와 하나의 다운 쿼크, 그리고 다른 종류의 맛깔 쿼크 하나를 포함하는 람다 바리온.
• * 업 쿼크나 다운 쿼크를 전혀 포함하지 않는 모든 입자.

8. 약한 아이소스핀

1961년 셸던 글래쇼는 전하와 아이소스핀의 관계에 대한 겔만-니시지마 공식과 유사한 관계가 약한 상호작용에도 적용될 것이라고 제안했다.^[9][10]

$$Q\; =\; T\_3\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}Y\_w.$$

위 공식은 전하 $Q$가 약한 아이소스핀의 셋째 성분 $T\_3$와 약한 하이퍼전하 $Y\_w$의 관계로 표현됨을 보여준다.

약한 아이소스핀은 약한 상호작용의 게이지 대칭성과 관련된 개념으로, (강한) 아이소스핀과는 구별된다. 약한 아이소스핀은 모든 세대의 왼쪽 손지기성을 가진 쿼크와 렙톤 이중항을 연결한다. 예를 들어, 업 쿼크와 다운 쿼크, 톱 쿼크와 바텀 쿼크, 그리고 전자와 전자 중성미자 등이 약한 아이소스핀으로 연결되는 입자 쌍이다.

반면, (강한) 아이소스핀은 강한 상호작용과 관련된 양자수이며, 오직 업 쿼크와 다운 쿼크만을 연결한다. 또한, (강한) 아이소스핀은 입자의 양쪽 손지기성 (왼쪽과 오른쪽) 모두에 작용하며, 게이지 대칭성이 아닌 전역적 대칭성이다.^[11]

참조

_[1] 서적 Particles and Nuclei Springer
_[2] 서적 Quantum Mechanics: Symmetries https://archive.org/[...] Springer
_[3] 서적 An Introductory Course of Particle Physics CRC Press 2014-07-29
_[4] 간행물 Review of Particle Physics: Naming scheme for hadrons http://pdg.lbl.gov/2[...]
_[5] 간행물 Über den Bau der Atomkerne
_[6] 서적 Festi-Val: Festschrift for Val Telegdi; essays in physics in honour of his 65th birthday; [a symposium ... was held at CERN, Geneva on 6 July 1987] North-Holland Physics Publ 1988
_[7] 간행물 On the Consequences of the Symmetry of the Nuclear Hamiltonian on the Spectroscopy of Nuclei
_[8] 간행물 Is the ρ Meson a Dynamical Gauge Boson of Hidden Local Symmetry?
_[9] 간행물 Partial-symmetries of weak interactions https://dx.doi.org/1[...] 1961-02-01
_[10] 서적 Gauge theory of weak interactions Springer 1996
_[11] 간행물 Relation Between Strong and Weak Isospin https://www.worldsci[...] 2004-10
_[12] 저널
_[13] 저널