시그마 모형

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1. 개요

시그마 모형은 유사 리만 다양체와 리만 다양체 사이의 매끄러운 함수에 대한 작용을 통해 정의되는 고전 장론 또는 그 양자화 모형이다. 이 모형은 과녁 공간의 형태에 따라 선형 시그마 모형과 비선형 시그마 모형으로 구분되며, 라그랑지안 밀도를 다양하게 표현할 수 있다. 시그마 모형은 대칭 공간, 초대칭, 게이지 선형 시그마 모형 등 다양한 형태로 확장될 수 있으며, 응집 물질 이론, 끈 이론, 양자역학 등 다양한 분야에 응용된다.

시그마 모형

정의

설명	물리학, 특히 양자장론에서 시그마 모형은 스칼라 장이 대상 다양체라고 불리는 특정 다양체에 값을 취하도록 제약되는 장론이다.
일반화	일반적으로 대상 다양체는 리만 다양체이지만, 일반화는 준 리만 다양체, 심플렉틱 다양체, 켈러 다양체 등으로 확장된다.
다른 이름	비선형 시그마 모형이라고도 불린다.

예시

O(N) 비선형 시그마 모형	O(N) 비선형 시그마 모형은 N차원 벡터 $\phi$에 대한 장론이며, 다음과 같은 제약 조건을 만족한다: $\phi^2 = 1$.
SU(N) 시그마 모형	SU(N) 시그마 모형은 SU(N) 군에 값을 가지는 장에 대한 장론이다.

물리적 의미

강입자 물리학	강입자 물리학에서 시그마 모형은 낮은 에너지에서 강한 상호작용을 설명하는 데 사용된다. 머리 겔만과 모리스 레비는 1960년에 카이랄 대칭성이 깨진 낮은 에너지 파이온 상호작용을 설명하기 위해 시그마 모형을 도입했다. 이 모형에서 시그마 입자는 중간자이다.
끈 이론	끈 이론에서 시그마 모형은 끈의 전파를 설명한다. 끈의 세계면은 시공간에 내장되어 있으며, 이 내장은 시그마 모형으로 설명된다.
응집 물질 물리학	응집 물질 물리학에서 시그마 모형은 자기 모멘트가 일정한 크기를 가지도록 제약된 자성체의 낮은 에너지 효과적인 이론으로 나타난다.

수학적 의미

조화 사상과의 관계	시그마 모형은 조화 사상 이론과 밀접하게 관련되어 있다. 조화 사상은 다양체 사이의 사상으로, 에너지 함수를 최소화한다. 시그마 모형은 조화 사상의 장론적 표현으로 볼 수 있다.
기하학적 해석	시그마 모형은 대상 다양체의 기하학적 속성을 연구하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 대상 다양체의 곡률과 위상수학적 속성은 시그마 모형의 양자 보정에 영향을 미친다.

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 역사
5. 다양한 표현과 응용

2. 정의

유사 리만 다양체 $(M, g_{\mu\nu})$ (시공간)와 리만 다양체 $(T, \eta_{ab})$ (과녁 공간 target space^영어)가 주어졌을 때, 매끄러운 함수 $\phi \colon M\to T$ 에 대한 시그마 모형 작용(sigma model action^영어)은 다음과 같이 정의된다.
: $S[\phi] = \int_M \sqrt$

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\,g_{\mu\nu}\eta^{ab}(\partial_\mu\phi)^a(\partial_\nu\phi)^b
이때,

\phi

는 적절한 경계 조건을 만족시켜야 한다.

이 작용을 갖는 고전 장론 또는 그 양자화를 시그마 모형이라고 한다. 과녁 공간

T

가 유클리드 공간

\mathbb R^n

이나 원

\mathbb S^1

과 같이 단순한 공간이면 선형 시그마 모형(linear sigma model^영어)이라고 하고, 그렇지 않으면 비선형 시그마 모형(nonlinear sigma model^영어)이라고 한다.

시그마 모형의 라그랑지안 밀도는 다음과 같이 여러 방식으로 표현될 수 있다.
:

\mathcal{L} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n g_{ij}(\phi) \; \partial^\mu\phi_i \partial_\mu\phi_j

여기서

g_{ij}(\phi)

는 장 공간

\phi\in\Phi

의 메트릭 텐서이고,

\partial_\mu

는 기본 시공간 다양체에 대한 미분이다. 역사적으로, 시그마 모형의 "시그마"는 리만 다양체의 메트릭 텐서

g

를 나타내기 위해 사용되었다.

기저 다양체

M

은 미분 가능 다양체여야 한다. 입자 물리학에서는 주로 민코프스키 공간, 응집 물질에서는 평면 2차원 유클리드 공간, 끈 이론에서는 월드시트인 리만 곡면이 사용된다.

\partial_\mu \phi

는 기저 시공간 다양체

M

에 대한 공변 미분이다.

M

이 평면일 때,

\partial_\mu \phi

는 스칼라 함수의 일반적인 기울기이다.

2.1. 대칭 공간 위의 시그마 모형

과녁 공간이 리만 대칭 공간 $G/H$ 인 경우, 리 대수 분해와 게이지 대칭을 이용하여 더 간결하게 기술할 수 있다. 이 경우, $G$ 의 리 대수는 다음과 같이 분해된다.

: $\mathfrak g = \mathfrak h + \mathfrak m$
: $[\mathfrak h,\mathfrak m] \subseteq \mathfrak m$
: $[\mathfrak m,\mathfrak m] \subseteq \mathfrak h$

여기서 $\mathfrak m$ 위에는 $\operatorname{Ad}(H)$ -불변 내적이 주어지며, 이는 $G/H$ 위의 리만 계량을 정의한다.

이러한 대칭 공간 위의 시그마 모형은 $H$ 에 대한 게이지 대칭을 도입하여 더 깔끔하게 표현할 수 있다. 스칼라장 $\Phi \colon M \to G$ 를 도입하고, 대역적 대칭 $G$ 및 게이지 대칭 $\mathcal C^\infty(M,H)$ 을 적용하면 다음과 같이 변환한다.

: $\Phi \mapsto g\Phi(x)h(x)^{-1}\qquad(g\in G,\;h\in\mathcal C^\infty(M,H))$

스칼라장의 미분은 다음과 같이 두 성분으로 분해할 수 있다.

: $\Phi(x)^{-1}\partial_\mu\Phi(x) = \nabla_\mu\phi(x) + B_\mu(x)$
: $\nabla_\mu\phi \in \Omega^1(M;\mathfrak m)$
: $B_\mu\in\Omega^1(M;\mathfrak h)$

이들은 게이지 변환에 대해 다음과 같이 변환한다.

: $\nabla_\mu\phi \mapsto h(\nabla_\mu\phi)h^{-1}$
: $B_\mu(\Phi) \mapsto h(B_\mu)h^{-1} + h\partial_\mu (h^{-1}) =h(B_\mu)h^{-1} - (\partial h)h^{-1}$

따라서 스칼라장의 운동항은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\operatorname{tr}\left(\eta_{ab}\nabla_\mu\phi^a\nabla^\mu\phi^b\right)$

페르미온 항을 추가하려면, 먼저 스피너장 $\psi$ 가 $H$ 의 유니터리 표현을 따른다고 가정한다.

: $\psi(x) \mapsto h(x)\psi(x)$
: $\bar\psi(x) \mapsto \psi(x) h^{-1}(x)$

이때, 공변 미분은 다음과 같이 정의된다.

: $D_\mu\psi = \partial_\mu\psi + B_\mu\psi$

이는 대칭에 대하여 다음과 같이 변환한다.

: $D_\mu\phi \mapsto hD_\mu\psi$

따라서 게이지 변환에 불변인 페르미온 운동항은 다음과 같다.

: $\bar\psi\gamma^\mu D_\mu\psi$

여기서 $B_\mu$ 는 $\psi$ 에 대해 주접속(게이지장) 역할을 하며, 보조장의 역할을 한다.

이러한 구성은 일반 상대성 이론에서 페르미온을 도입하기 위해 필바인을 사용하는 것과 유사하다. 리만 계량 $g_{\mu\nu}=e^a_\mu e^b_\nu\eta_{ab}$ 에서 필바인 $e^a_\mu$ 은 $\operatorname{GL}(d;\mathbb R)$ 의 원소이지만, $\eta^a_\mu \mapsto M_a{}^b\eta_\mu{}^a \qquad(M\in\operatorname O(p,q))$ 에 의해 불변이다. 즉, 리만 계량은 동차 공간 $\operatorname{GL}(d;\mathbb R)/\operatorname O(p,q)$ 의 원소 $[e]$ 에 의해 주어진다.

시그마 모형은 대칭 공간에서 변형될 수 있으며, 대표적인 예시는 키랄 모형이다. 키랄 모형은 "좌" 및 "우" 손 지랄 장의 곱을 취하여 $G=SU(N)\times SU(N)$ 을 구성하고, "대각선"에서 시그마 모형 $\Phi=\frac{SU(N)\times SU(N)}{SU(N)}$ 를 구성한다. 일반적으로 $\Phi=G/H$ 를 취할 수 있으며, 여기서 $H\subset G$ 는 카르탕 대합에 불변하는 $G$ 의 최대 부분군이다.

2.2. 초대칭 시그마 모형

페르미온을 추가하여, 초대칭 시그마 모형(supersymmetric sigma model^영어)을 만들 수 있다. 이 경우, 가능한 과녁 공간의 모양은 초대칭의 개수에 따라 제한된다.

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초대칭 개수	과녁 공간
2개의 초전하 (2차원 $\mathcal N=(1,1)$ )	(일반적인) 리만 다양체
4개의 초전하 (2차원 $\mathcal N=(2,2)$ , 4차원 $\mathcal N=1$ )	켈러 다양체
8개의 초전하 (2차원 $\mathcal N=(4,4)$ , 4차원 $\mathcal N=1$ )	초켈러 다양체

초대칭 시그마 모형의 양자화에 따라, 시그마 모형의 초대칭 바닥 상태들은 켈러 다양체인 과녁 공간의 조화형식과 일대일 대응한다.

가장 간단한 예로, 과녁 공간이 콤팩트 리만 다양체

(M,g)

인 초대칭 시그마 양자역학을 생각할 수 있다. 즉, "시공간"이 1차원(시간)인 경우다. 이 경우, 힐베르트 공간은

M

위의 (복소) 미분 형식들의 공간과 동형이다.
:

\mathcal H\cong\Omega(M)\otimes\mathbb C

이 경우, 미분 형식의 차수는 상태의 페르미온 수 연산자가 된다. 국소좌표계를

\{x^i\}

로 잡으면, 다음과 같은 정준 교환 관계(canonical commutation relation)을 잡을 수 있다.
:

[x^i,-i\nabla_j]=i\delta^i_j

\{dx^i\wedge,i\,\iota_{\partial_j}\}=ig^{ij}

이들을 각각 보손 및 페르미온 위치 및 운동량 연산자로 해석한다.

이 경우, 초대칭 연산자는 외미분

d\colon\Omega^n(M)\otimes\mathbb{C}\to\Omega^{n+1}(M)\otimes\mathbb{C}

이고, 해밀토니언 연산자는 라플라스-벨트라미 연산자
:

H=\{d,d^\dagger\}=\Delta

가 된다. 즉, 바닥 상태는 조화형식에 대응하고, 드람 코호몰로지는 초대칭 코호몰로지에, 오일러 지표는 위튼 지표에 대응한다.

과녁 공간이 켈러 다양체인 경우, 4개의 초대칭은 각각

\partial

\bar\partial

\partial^\dagger

\bar\partial^\dagger

이 되고, 초대칭 코호몰로지는 돌보 코호몰로지가 된다. 과녁 공간이 초켈러 다양체인 경우, 복소 구조가 여러 개 있으므로 서로 다른 두 복소구조를 사용해 그 초대칭이 총 8개가 된다.

2.3. 게이지 선형 시그마 모형

게이지 선형 시그마 모형(gauged linear sigma model^영어, 약자 GLSM)은 선형 시그마 모형에 게이지장을 추가한 것이다. 이 경우 특정한 극한을 취하면, 이는 게이지 선형 시그마 모형의 진공 다양체를 과녁 공간으로 하는 비선형 시그마 모형으로 수렴하게 된다. 이와 같은 과정으로 원환 다양체를 과녁 공간으로 하는 비선형 시그마 모형들을 작도할 수 있다. 이는 에드워드 위튼이 도입하였다.

3. 성질

고전적으로, 시그마 모형의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.
: $g^{\mu\nu}\nabla_\mu (\partial_\nu \phi)^a = 0$
여기서 $\nabla$ 는 $g$ 에 대한 레비치비타 접속이다.
비선형 시그마 모형은 $M$ 이 3차원 이상일 경우에는 재규격화할 수 없다.

시그마 모형의 장 $\Sigma\colon M\to T$ 는 $M$ 을 $T$ 속에 매장하는 것으로 해석할 수 있다. 즉, $T$ 속에 $\dim M$ 차원의 브레인의 움직임을 나타낸다. 끈 이론에서 끈은 2차원 브레인이므로 $M$ 은 끈 세계면을 나타내는 2차원 다양체다. $T$ 는 시공간으로, 끈 이론의 종류에 따라 26차원이거나 10차원이다. 끈 이론에서 다루는 2차원 시그마 모형은 재규격화할 수 있다. 이는 대니얼 프리댄이 1980년에 증명하였다. 비선형 시그마 모형의 베타 함수는 (1개 고리 차수만 고려하면) 과녁 공간의 리치 흐름과 같다.
: $\frac{dg_{\mu\nu}}{d\ln(\lambda)}=R_{\mu\nu}+\cdots$
(여기서 $g_{\mu\nu}$ 는 과녁 공간의 계량, $R_{\mu\nu}$ 는 리치 곡률 텐서다.)

이 사실은 끈 이론에서 핵심적인 역할을 한다. 끈 이론에서, 등각 대칭은 게이지 대칭이므로, 끈의 세계면에 존재하는 이론은 항상 등각 장론이어야 한다. 즉, 베타 함수가 0이어야 한다. 이에 따라서, 그 과녁 공간 (끈 이론에서의 시공간)의 리치 곡률이 0이어야 한다. 이는 진공에서의 아인슈타인 방정식이다. 즉, 끈 이론이 일반 상대성 이론을 재현함을 알 수 있다.

비상대론적 양자역학은 함수 $\psi(t)\colon\mathbb R\to\mathbb R$ 에 대한 경로 적분으로 정의된다. 따라서 비상대론적 양자역학은 $M=\mathbb R$ , $T=\mathbb R$ 인 (선형) 시그마 모형이다.

4. 역사

머리 겔만과 모리스 레비(Maurice Lévy^프랑스어)가 베타 붕괴를 설명하기 위해 1960년에 시그마 모형을 처음으로 고안하였다. 여기서 시그마(σ)는 겔만-레비 모형에서 스칼라 중간자장의 하나였다. 이 모형은 O(4)에서 O(3)으로의 자발 대칭 깨짐의 대표적인 예시로 사용되었다. 깨진 세 개의 축 생성자는 손지기 대칭 깨짐을, 깨지지 않고 남아있는 O(3)은 아이소스핀을 나타낸다.

5. 다양한 표현과 응용

리만 다양체의 메트릭 텐서의 당김(pullback), 디리클레 에너지, 호지 쌍대 등 다양한 방식으로 시그마 모형의 라그랑지안 밀도를 표현할 수 있다.

* O(N) 비선형 시그마 모형: 등방성 강자성체(고전적 하이젠베르크 모형), XY 모형, n-벡터 모형, 포츠 모형 등을 설명한다.
* 기하학적 표기법: 섬유 다발, 푸시포워드, 미분 형식, 호지 쌍대, 라플라스-벨트라미 연산자 등을 사용하여 표현할 수 있다.
* 양자역학적 해석: 파동 함수, 운동 에너지, 해밀턴-야코비 방정식, 측지선 흐름, 솔더 형식 등을 통해 양자역학과 연결된다.
* 리 군, 대칭 공간: 칼루자-클라인 이론, 차원 축소 등과 관련하여 리 군 및 대칭 공간을 활용한다.
* 기타: 마우러-카르탕 형식, 킬링 형식, 스카이르메 모형, 비엘바인, 베스-주미노-위튼 모형, 양-밀스 이론 등과도 관련된다.