원분 다항식

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
참조

1. 개요

원분 다항식은 양의 정수 n에 대해 정의되는 다항식으로, 1의 원시 n제곱근들을 근으로 갖는다. 이는 뫼비우스 함수, 재귀적 정의를 통해 정의될 수 있으며, 기약 다항식이고 차수는 오일러 피 함수 φ(n)이다. 원분 다항식은 1의 거듭제곱근, 뫼비우스 반전 공식, 제곱 인수가 없는 정수 등과 밀접한 관련이 있으며, 계수는 정수이다.

2. 정의

양의 정수 $n$ 에 대하여, ''' $n$ 번째 원분 다항식''' $\Phi_n\in\mathbb Z[x]$ 은 다음과 같이 정의된다.

: $\Phi_n(x) = \prod_{1\le k\le n}^{\gcd\{k,n\}=1}(x-\exp(2\pi ik/n))$

여기서 $\gcd\{k,n\}=1$ 은 $k$ 와 $n$ 이 서로소라는 조건이며, 이 경우 $\exp(2\pi ik/n)$ 는 모든 1의 원시 $n$ 제곱근에 해당한다. ( $\exp(2\pi ik/n)$ 은 흔히 $e^{2\pi ik/n}$ 으로 쓴다.) 이 정의에 따라, $\Phi_n(x)$ 는 1의 원시 $n$ 제곱근들을 근으로 갖는 일계수 다항식이며, $\phi(n)$ 차 다항식이다 ( $\phi$ 는 오일러 피 함수).

또, $\Phi_n(x)$ 는 다음과 같이 정의될 수 있다.

: $\Phi_n(x) = \prod_{1\le d\le n}^{d\mid n}(x^d-1)^{\mu(n/d)}$

여기서 $\mu$ 는 뫼비우스 함수이다.

다른 정의로는 다음과 같은 수식이 있다.

: $\Phi_n(x) = (x^n-1)\prod_{1\le d$

셋째 정의는 재귀적이며, 이를 통해 $\Phi_n(x)$ 가 정수 계수 다항식임을 쉽게 알 수 있다. $\Phi_n(x)$ 가 기약 다항식임은 세 정의로부터 자명하지 않다. $\Phi_n(x)$ 이 $\exp(2\pi i/n)$ 의 $\mathbb Q$ 에 대한 최소 다항식이라는 사실은 원분 다항식의 정의로 삼을 수 있다.

2. 1. 1의 원시 n제곱근을 이용한 정의

양의 정수

n

에 대하여, '''

n

번째 원분 다항식'''

\Phi_n\in\mathbb Z[x]

은 다음과 같이 정의된다.

:

\Phi_n(x) = \prod_{1\le k\le n}^{\gcd\{k,n\}=1}(x-\exp(2\pi ik/n))

여기서

\gcd\{k,n\}=1

은

k

와

n

이 서로소라는 조건이며, 이 경우

\exp(2\pi ik/n)

는 모든 1의 원시

n

제곱근에 해당한다. (

\exp(2\pi ik/n)

은 흔히

e^{2\pi ik/n}

으로 쓴다.) 이 정의에 따라,

\Phi_n(x)

는 1의 원시

n

제곱근들을 근으로 갖는 일계수 다항식이며,

\phi(n)

차 다항식이다 (

\phi

는 오일러 피 함수).

2. 2. 뫼비우스 함수를 이용한 정의

양의 정수

n

에 대하여, '''

n

번째 원분 다항식'''

\Phi_n\in\mathbb Z[x]

은 다음과 같이 정의된다.

:

\Phi_n(x) = \prod_{1\le d\le n}^{d\mid n}(x^d-1)^{\mu(n/d)}

여기서

\mu

는 뫼비우스 함수이다.

다른 정의로는 다음과 같은 수식들이 있다.

:

\begin{align}\Phi_n(x)& = \prod_{1\le k\le n}^{\gcd\{k,n\}=1}(x-\exp(2\pi ik/n)) \\& = (x^n-1)\prod_{1\le d

첫째 정의에서,

\gcd\{k,n\}=1

은

k

와

n

이 서로소라는 조건이며, 이 경우

\exp(2\pi ik/n)

는 모든 1의 원시

n

제곱근에 해당한다. (

\exp(2\pi ik/n)

은 흔히

e^{2\pi ik/n}

으로 쓴다.) 이 정의에 따라,

\Phi_n(x)

는 1의 원시

n

제곱근들을 근으로 갖는 일계수 다항식이며,

\phi(n)

차 다항식이다 (

\phi

는 오일러 피 함수). 셋째 정의는 재귀적이며, 이를 통해

\Phi_n(x)

가 정수 계수 다항식임을 쉽게 알 수 있다.

2. 3. 재귀적 정의

양의 정수

n

에 대하여, '''

n

번째 원분 다항식'''

\Phi_n\in\mathbb Z[x]

은 다음과 같이 재귀적으로 정의될 수 있다.

:

\Phi_n(x) = (x^n-1)\prod_{1\le d

이 정의를 통해

\Phi_n(x)

가 정수 계수 다항식임을 쉽게 알 수 있다.

\Phi_n(x)

는 다음과 같이 정의할 수도 있다.

:

\Phi_n(x) = \prod_{1\le k\le n}^{\gcd\{k,n\}=1}(x-\exp(2\pi ik/n))

:

\Phi_n(x) = \prod_{1\le d\le n}^{d\mid n}(x^d-1)^{\mu(n/d)}

첫째 정의에서

\gcd\{k,n\}=1

은

k

와

n

이 서로소라는 조건이며, 이 경우

\exp(2\pi ik/n)

는 모든 1의 원시

n

제곱근에 해당한다. (

\exp(2\pi ik/n)

은 흔히

e^{2\pi ik/n}

으로 쓴다.) 이 정의에 따라,

\Phi_n(x)

는 1의 원시

n

제곱근들을 근으로 갖는 일계수 다항식이며,

\phi(n)

차 다항식이다 (

\phi

는 오일러 피 함수). 둘째 정의에서,

\mu

는 뫼비우스 함수이다.

3. 성질

다음 성질들이 성립한다.

$\Phi_n(x)$ 는 $\mathbb Q[x]$ 의 기약 다항식이다. $\Phi_n$ 은 일계수 다항식이므로 원시 다항식이며, 따라서 $\mathbb Z[x]$ 의 기약원이기도 하다.
$\Phi_n(x)$ 의 차수는 $\phi(n)$ 이며, 특히 $n\ge3$ 일 때 짝수이다.

:

\deg\Phi_n=\phi(n)

모든 1의 $n$ 제곱근은 어떤 유일한 $n$ 의 (양의) 약수에 대한 원시 제곱근이므로, 다음 항등식이 성립한다.

:

x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)

이에 대한 뫼비우스 반전 공식은 다음과 같다.

:

\Phi_n(x)=\prod_{d\mid n}(x^d-1)^{\mu(n/d)}

$\textstyle n'=\prod_{p\mid n}p$ 가 $n$ 의 제곱 인수가 없는 약수 가운데 가장 큰 하나일 때, 다음이 성립한다. 이에 따라, 원분 다항식의 계산은 제곱 인수가 없는 지표의 경우로 귀결된다.

:

\Phi_n(x)=\Phi_{n'}(x^{n/n'})

3. 1. 기약성

\Phi_n(x)

는

\mathbb Q[x]

의 기약 다항식이다.

\Phi_n

은 일계수 다항식이므로 원시 다항식이며, 따라서

\mathbb Z[x]

의 기약원이기도 하다.

\Phi_n(x)

의 차수는

\phi(n)

이며, 특히

n\ge3

일 때 짝수이다.

:

\deg\Phi_n=\phi(n)

모든 1의

n

제곱근은 어떤 유일한

n

의 (양의) 약수에 대한 원시 제곱근이므로, 다음 항등식이 성립한다.

:

x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)

이에 대한 뫼비우스 반전 공식은 다음과 같다.

:

\Phi_n(x)=\prod_{d\mid n}(x^d-1)^{\mu(n/d)}

\textstyle n'=\prod_{p\mid n}p

가

n

의 제곱 인수가 없는 약수 가운데 가장 큰 하나일 때, 다음이 성립한다. 이에 따라, 원분 다항식의 계산은 제곱 인수가 없는 지표의 경우로 귀결된다.

:

\Phi_n(x)=\Phi_{n'}(x^{n/n'})

3. 2. 차수

$\Phi_n(x)$ 의 차수는 $\phi(n)$ 이며, 특히 $n\ge3$ 일 때 짝수이다.
: $\deg\Phi_n=\phi(n)$

3. 3. 1의 거듭제곱근과의 관계

모든 1의

n

제곱근은 어떤 유일한

n

의 (양의) 약수에 대한 원시 제곱근이므로, 다음 항등식이 성립한다.

:

x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)

이에 대한 뫼비우스 반전 공식은 다음과 같다.

:

\Phi_n(x)=\prod_{d\mid n}(x^d-1)^{\mu(n/d)}

\textstyle n'=\prod_{p\mid n}p

가

n

의 제곱 인수가 없는 약수 가운데 가장 큰 하나일 때, 다음이 성립한다. 이에 따라, 원분 다항식의 계산은 제곱 인수가 없는 지표의 경우로 귀결된다.

:

\Phi_n(x)=\Phi_{n'}(x^{n/n'})

3. 4. 뫼비우스 반전 공식

뫼비우스 반전 공식에 따라 다음이 성립한다.

:

\Phi_n(x)=\prod_{d\mid n}(x^d-1)^{\mu(n/d)}

3. 5. 제곱 인수가 없는 정수

다음 성질들이 성립한다.

$\textstyle n'=\prod_{p\mid n}p$ 가 $n$ 의 제곱 인수가 없는 약수 가운데 가장 큰 하나일 때, 다음이 성립한다. 이에 따라, 원분 다항식의 계산은 제곱 인수가 없는 지표의 경우로 귀결된다.
: $\Phi_n(x)=\Phi_{n'}(x^{n/n'})$

3. 6. 계수

모든 정수는 어떤 원분 다항식의 계수이다. 특히, (낮은 차수에서와 달리) 원분 다항식의 계수는

\-1,0,1\}

로 이루어질 필요가 없다.

n\ge2

에 대하여,

\Phi_n(x)

의 계수들은 “회문”을 이룬다 (

a_0=a_{\phi(n)}=1,a_1=a_{\phi(n)-1},\dots

).

n\ge3

에 대하여,

\Phi_n(x)

의 가운데 항 계수(즉,

n/2

차항 계수)는 0이거나 (

n\in\{2^2,2^3,\dots\}

) 홀수이다 (

n\not\in\{2^2,2^3,\dots\}

).

3. 7. 값

원분 다항식의 특정 수에서의 값들은 다음과 같다.

$\Phi_n(0)=1$

$\Phi_n(1)=\begin{cases}$

0 & n=1 \\p & \exists p\in\{2,3,5,7,11,\dots\}\colon n\in\{p,p^2,p^3,\dots\} \\1 & n\ne1\land\not\exists p\in\{2,3,5,7,11,\dots\}\colon n\in\{p,p^2,p^3,\dots\}\end{cases}

$\Phi_n(-1)=\begin{cases}$
2 & n=1 \\

0 & n=2 \\1 & n\in\{3,5,7,9,\dots\} \\

n & n\in\{4,6,8,10,\dots\}

\end{cases}

4. 예

4. 1. 작은 지표

처음 몇 원분 다항식은 다음과 같다.

:Φ₁(x) = x - 1

:Φ₂(x) = x + 1

:Φ₃(x) = x² + x + 1

:Φ₄(x) = x² + 1

:Φ₅(x) = x⁴ + x³ + x² + x +1

:Φ₆(x) = x² - x + 1

:Φ₇(x) = x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1

:Φ₈(x) = x⁴ + 1

:Φ₉(x) = x⁶ + x³ + 1

:Φ₁₀(x) = x⁴ - x³ + x² - x + 1

:Φ₁₁(x) = x¹⁰ + x⁹ + x⁸ + x⁷ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1

:Φ₁₂(x) = x⁴ - x² + 1

:Φ₁₃(x) = x¹² + x¹¹ + x¹⁰ + x⁹ + x⁸ + x⁷ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1

:Φ₁₄(x) = x⁶ - x⁵ + x⁴ - x³ + x² - x + 1

:Φ₁₅(x) = x⁸ - x⁷ + x⁵ - x⁴ + x³ - x + 1

원분 다항식의 계수가 반드시 {-1, 0, 1}에 속하는 것은 아니다. 예를 들어, 105번째 원분 다항식 Φ₁₀₅(x)의 7차항 계수는 -2이다. 105는 서로 다른 세 소수(3, 5, 7)의 곱이며, 이는 이러한 반례가 나타나는 첫 번째 경우이다.

4. 2. Φ_p

소수

p

에 대하여,

:

\Phi_p(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+\cdots+x+1

이다.

\Phi_p(x)

가 기약 다항식임을 보이는 것은 아이젠슈타인 판정법에 따라 더 쉽다.

4. 3. Φ_pq

임의의 두 소수 p
두 소수 p
:Φ_pq(x) = (x^pq-1)(x-1) / (x^p-1)(x^q-1)

이다.

특히, Φ_pq(x)는 φ(pq)=(p-1)(q-1)차 다항식이며, 계수는 {-1,0,1}로 이루어지며, 계수 1의 항이 계수 −1의 항보다 하나 더 많다(Φ_pq(1)=1). 또한, Φ_pq(x)의 가운데 항 계수((p-1)(q-1)/2차항 계수)는 (-1)^r(p,q)이다.^[1]

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원분 다항식

1. 개요

2. 정의

2. 1. 1의 원시 n제곱근을 이용한 정의

2. 2. 뫼비우스 함수를 이용한 정의

2. 3. 재귀적 정의

3. 성질

3. 1. 기약성

3. 2. 차수

3. 3. 1의 거듭제곱근과의 관계

3. 4. 뫼비우스 반전 공식

3. 5. 제곱 인수가 없는 정수

3. 6. 계수

3. 7. 값

4. 예

4. 1. 작은 지표

4. 2. Φp

4. 3. Φpq

4. 2. Φ_p

4. 3. Φ_pq