1의 거듭제곱근

3. 기본 성질

1의 n제곱근의 임의의 정수 거듭제곱도 1의 n제곱근이다.^[7] (z^k)ⁿ = z^kn = (zⁿ)^k = 1^k = 1이기 때문이다.

1의 n제곱근의 곱셈 역원은 복소 켤레이며, 이 역시 1의 n제곱근이다.^[8] 1/z = z^-1 = z^n-1 = z ̅이기 때문이다.

z가 1의 원시 n제곱근일 때, z^a = z^b는 a ≡ b (mod n)와 필요충분조건이다.

z가 1의 원시 n제곱근일 때, w = z^k는 n/gcd(k, n) 제곱근이다. 여기서 gcd(k, n)는 k와 n의 최대공약수이다.

k와 n이 서로소이면, z^k는 1의 원시 n제곱근이다. 따라서 서로 다른 1의 원시 n제곱근은 φ(n)개 존재한다. 여기서 φ는 오일러 피 함수이다.

4. 군의 성질

두 단위원의 곱과 곱셈 역원 역시 단위원이다. x^m = 1이고 yⁿ = 1이면, (x^-1)^m = 1이고, (xy)^k = 1이다. 여기서 k는 m과 n의 최소공배수이다.

따라서 단위원들은 곱셈에 대해 아벨 군을 이룬다. 이 군은 원군의 비틀림 부분군이다. 정수 n에 대해, 두 n제곱근의 곱과 곱셈 역원은 또한 n제곱근이다. 따라서 n제곱근은 곱셈에 대해 아벨 군을 이룬다.

원시 n제곱근 ω가 주어지면, 다른 n제곱근은 ω의 거듭제곱이다. 이는 n제곱근의 군이 순환군임을 의미한다. 이 군이 원군의 부분군이라는 사실에서 "순환군"이라는 용어가 유래되었다.

4. 1. 갈루아 군

5. 삼각함수를 이용한 표현

드 무아브르 공식에 의해, 1의 n제곱근은 다음과 같이 표현된다.^[3]

:$\backslash left(\backslash cos\; x\; +\; i\; \backslash sin\; x\backslash right)^n\; =\; \backslash cos\; nx\; +\; i\; \backslash sin\; nx$

x를 2π/n으로 설정하면,

:$\backslash left(\backslash cos\backslash frac\{2\backslash pi\}\{n\}\; +\; i\; \backslash sin\backslash frac\{2\backslash pi\}\{n\}\backslash right)^\{\backslash !n\}\; =\; \backslash cos\; 2\backslash pi\; +\; i\; \backslash sin\; 2\backslash pi\; =\; 1$

:$\backslash left(\backslash cos\backslash frac\{2\backslash pi\}\{n\}\; +\; i\; \backslash sin\backslash frac\{2\backslash pi\}\{n\}\backslash right)^\{\backslash !k\}\; =\; \backslash cos\backslash frac\{2k\backslash pi\}\{n\}\; +\; i\; \backslash sin\backslash frac\{2k\backslash pi\}\{n\}\; \backslash neq\; 1$ (k = 1, 2, ..., n-1)

즉, cos(2π/n) + i sin(2π/n)는 1의 원시 n제곱근이다.

따라서 1의 n제곱근은 다음과 같이 표현된다.^[3]

:$\backslash cos\backslash frac\{2k\backslash pi\}\{n\}+i\backslash sin\backslash frac\{2k\backslash pi\}\{n\},\backslash qquad\; k=0,1,\backslash dots,\; n-1.$

오일러 공식은 다음과 같다.

:$e^\{i\; x\}\; =\; \backslash cos\; x\; +\; i\; \backslash sin\; x$

이에 따라 1의 n제곱근은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

여기서 k와 n이 서로소일 때, e^(2πik/n)는 원시 n제곱근이 된다.

6. 대수적 표현

1의 n제곱근은 다항식 xⁿ - 1의 근이며, 대수적 수이다.^[9] 원시 n제곱근은 n차 원분 다항식 Φₙ(x)의 근이다. 원분 다항식은 정수 계수를 가지며, 유리수 위에서 기약 다항식이다. 갈루아 이론을 통해 원분 다항식이 근호를 사용하여 풀릴 수 있음을 보일 수 있다.

가우스는 원시 n제곱근을 제곱근, 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈만으로 표현할 수 있는 경우가 자와 컴퍼스 작도로 정n각형을 작도할 수 있는 경우와 같음을 증명했다. 이는 n이 2의 거듭제곱이거나, 서로 다른 2의 거듭제곱과 페르마 소수의 곱인 경우에만 해당한다.

원시 n제곱근 z에 대해, 1/z 또한 원시 n제곱근이며, r = z + 1/z는 z의 실수부의 두 배이다. Φₙ는 상반 다항식이며, r을 근으로 갖는 다항식 Rₙ은 상반 다항식에 대한 표준 연산을 통해 Φₙ에서 유도할 수 있다. 원시 n제곱근은 이차 방정식 z² - rz + 1 = 0을 풀어 Rₙ의 근에서 유도할 수 있으며, 원시 근의 실수부는 r/2이고 허수부는 $\backslash pm\; i\backslash sqrt\{1-\backslash left(\backslash frac\; r2\backslash right)^2\}$이다.

다항식 Rₙ은 모든 근이 실수인 기약 다항식이다. Rₙ의 차수가 2의 거듭제곱인 경우는 n이 2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수의 곱(아마도 빈)의 곱인 경우뿐이며, 이때 정n각형은 자와 컴퍼스로 작도할 수 있다. 그렇지 않은 경우에는 근을 사용하여 풀 수는 있지만, 환원 불가능 사례에 해당하여 근을 근으로 표현하는 모든 식에 비실수 근이 포함된다.

6. 1. 낮은 차수에서의 명시적 표현

• n = 1인 경우, 유일한 원시 1제곱근은 1이다.
• n = 2인 경우, 유일한 원시 2제곱근은 -1이다.
• n = 3인 경우, 원시 3제곱근은 $\backslash frac\{-1\; \backslash pm\; i\; \backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$이다.
• n = 4인 경우, 원시 4제곱근은 $\backslash pm\; i$이다.
• n = 5인 경우, 원시 5제곱근은 $\backslash frac\{\backslash varepsilon\backslash sqrt\; 5\; -\; 1\}4\; \backslash pm\; i\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{10\; +\; 2\backslash varepsilon\backslash sqrt\; 5\}\}\{4\}$ (여기서 $\backslash varepsilon$는 1 또는 -1)이다.
• n = 6인 경우, 원시 6제곱근은 $\backslash frac\{1\; \backslash pm\; i\; \backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$이다.
• n = 7인 경우, 원시 7제곱근은 $\backslash frac\{r\}\{2\}\backslash pm\; i\backslash sqrt\{1-\backslash frac\{r^2\}\{4\}\}$ (여기서 r은 삼차 다항식 $r^3+r^2-2r-1$의 실근)이다.
• n = 8인 경우, 원시 8제곱근은 $\backslash pm\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}\; \backslash pm\; i\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}$이다.

7. 주기성

만약 z^영어가 원시 n^영어차 단위근이라면, 거듭제곱 수열 …, z^영어⁻¹, z^영어⁰, z^영어¹, …는 n^영어주기적이다. (모든 j^영어 값에 대해 z^{영어j영어 + n영어} = z^{영어j영어}z^{영어n영어} = z^{영어j영어}이기 때문이다)

n^영어개의 거듭제곱 수열 s^영어_k^영어: …, z^{영어k영어⋅(-1)}, z^{영어k영어⋅0}, z^{영어k영어⋅1}, … (k^영어 = 1, …, n^영어)는 모두 n^영어주기적이다. (z^{영어k영어⋅(j영어 + n영어}) = z^{영어k영어⋅j영어}이기 때문이다)

이 수열들의 집합 s^영어₁, …, s^영어_n^영어은 모든 n^영어주기적 수열의 기저를 이룬다. 즉, 임의의 복소수 n^영어주기적 수열 …, x^영어_-1, x^영어₀, x^영어₁, …는 원시 n^영어차 단위근 거듭제곱의 선형 결합으로 표현 가능하다.

:x^영어_j^영어 = ∑_k^영어 X^영어_k^영어 ⋅ z^{영어k영어⋅j영어} = X^영어₁z^{영어1⋅j영어} + ⋯ + X^영어_n^영어 ⋅ z^{영어n영어⋅j영어} (단, X^영어₁, …, X^영어_n^영어는 복소수, j^영어는 정수)

이는 푸리에 해석의 한 형태이다. j^영어가 (이산) 시간 변수라면, k^영어는 주파수이고, X^영어_k^영어는 복소 진폭이다.

원시 n^영어차 단위근을 다음과 같이 선택하면:

:z^영어 = e^2πi/n영어 = cos(2π/n^영어) + i sin(2π/n^영어)

x^영어_j^영어는 cos과 sin의 선형 결합으로 표현 가능하다.

:x^영어_j^영어 = ∑_k^영어 A^영어_k^영어cos(2πj^영어k^영어/n^영어) + ∑_k^영어 B^영어_k^영어sin(2πj^영어k^영어/n^영어)

이는 이산 푸리에 변환이다.

8. 합

을 모든 차 단위근(원시근이든 아니든)의 합이라고 하면,

:$\backslash operatorname\{SR\}(n)\; =$

\begin{cases}

1, & n=1\\

0, & n>1.

\end{cases}

이것은 비에타의 공식의 결과이다. 차 단위근은 다항식 의 근이므로, 그 합은 차의 계수인데, 이거나 이냐에 따라 1 또는 0이다.^[10]

또는, 인 경우에는 증명할 것이 없고, 인 경우에는 근 가 존재한다. 모든 차 단위근의 집합 가 군이므로, 이기 때문에, 합은 을 만족하고, 따라서 이다.

을 모든 원시 차 단위근의 합이라고 하자. 그러면

:$\backslash operatorname\{SP\}(n)\; =\; \backslash mu(n),$

여기서 은 뫼비우스 함수이다.

기본 성질 섹션에서는, 이 모든 차 단위근의 집합이고 이 원시근의 집합이라면, 은 의 서로소인 합집합임을 보였다.

:$\backslash operatorname\{R\}(n)\; =\; \backslash bigcup\_\{d\; \backslash ,|\backslash ,\; n\}\backslash operatorname\{P\}(d),$

이것은 다음을 의미한다.

:$\backslash operatorname\{SR\}(n)\; =\; \backslash sum\_\{d\; \backslash ,|\backslash ,\; n\}\backslash operatorname\{SP\}(d).$

뫼비우스 반전 공식을 적용하면 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{SP\}(n)\; =\; \backslash sum\_\{d\; \backslash ,|\backslash ,\; n\}\backslash mu(d)\backslash operatorname\{SR\}\backslash left(\backslash frac\{n\}\{d\}\backslash right).$

이 공식에서, 만약 이면, 이고, 이면: 이다. 따라서 .

이것은 라마누잔 합 의 특별한 경우 인데,^[10] 이는 원시 차 단위근의 제곱의 합으로 정의된다.

:$c\_n(s)\; =\; \backslash sum\_\{a\; =\; 1\; \backslash atop\; \backslash gcd(a,\; n)\; =\; 1\}^n\; e^\{2\; \backslash pi\; i\; \backslash frac\{a\}\{n\}\; s\}.$

9. 직교성

다음의 직교성 관계가 유도된다: j|j^영어 = 1, …, n|n^영어 그리고 j′|j′^영어 = 1, …, n|n^영어에 대해

:$\backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}\; \backslash overline\{z^\{j\backslash cdot\; k\}\}\; \backslash cdot\; z^\{j\text{'}\backslash cdot\; k\}\; =\; n\; \backslash cdot\backslash delta\_\{j,j\text{'}\}$

여기서 δ는 크로네커 델타이고 z는 임의의 원시 n차 단위근이다.

n × n 행렬 U의 (j, k)번째 요소는

:$U\_\{j,k\}\; =\; n^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\}\backslash cdot\; z^\{j\backslash cdot\; k\}$

로 정의되며, 이는 이산 푸리에 변환을 나타낸다. 가우스 소거법을 사용하여 역변환을 계산하는 데는 O(n³)번의 연산이 필요하다. 하지만 직교성으로부터 U가 유니타리 행렬임을 알 수 있다. 즉,

:$\backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}\; \backslash overline\{U\_\{j,k\}\}\; \backslash cdot\; U\_\{k,j\text{'}\}\; =\; \backslash delta\_\{j,j\text{'}\},$

따라서 U의 역행렬은 단순히 복소 켤레이다. (이 사실은 가우스가 삼각 보간법 문제를 풀 때 처음 언급했다.) 주어진 벡터에 U 또는 그 역행렬을 직접 적용하는 데는 O(n²)번의 연산이 필요하다. 고속 푸리에 변환 알고리즘은 연산 횟수를 O(n log n)으로 더욱 줄인다.

10. 원분 다항식

n차 ''원분 다항식'' Φₙ(z)는 원시 n제곱근을 영점으로 갖는 기약 다항식이며, 각 근은 중복도 1을 갖는다.

:$\backslash Phi\_n(z)\; =\; \backslash prod\_\{k=1\}^\{\backslash varphi(n)\}(z-z\_k)$

여기서 $z\_k$는 원시 n차 단위근이고, $\backslash varphi(n)$은 오일러 피 함수이다. 다항식 Φₙ(z)는 정수 계수를 가지며, 유리수 위에서 기약 다항식이다.^[9]

모든 n차 단위근은 n의 정확히 하나의 양의 약수 d에 대한 원시 d차 단위근이다. 즉, 다음이 성립한다.^[9]

:$z^n\; -\; 1\; =\; \backslash prod\_\{d\; \backslash ,|\backslash ,\; n\}\; \backslash Phi\_d(z).$

이 공식은 다항식 $z^n\; -\; 1$을 기약 인수로 인수분해한 것을 나타낸다.

:$\backslash begin\{align\}$

z^1 -1 &= z-1 \\

z^2 -1 &= (z-1)(z+1) \\

z^3 -1 &= (z-1) (z^2 + z + 1) \\

z^4 -1 &= (z-1)(z+1) (z^2+1) \\

z^5 -1 &= (z-1) (z^4 + z^3 +z^2 + z + 1) \\

z^6 -1 &= (z-1)(z+1) (z^2 + z + 1) (z^2 - z + 1)\\

z^7 -1 &= (z-1) (z^6+ z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) \\

z^8 -1 &= (z-1)(z+1) (z^2+1) (z^4+1) \\

\end{align}

뫼비우스 반전 공식을 적용하면 다음을 얻는다.

:$\backslash Phi\_n(z)\; =\; \backslash prod\_\{d\; \backslash ,|\backslash ,\; n\}\backslash left(z^\backslash frac\{n\}\{d\}\; -\; 1\backslash right)^\{\backslash mu(d)\}\; =\; \backslash prod\_\{d\; \backslash ,|\backslash ,\; n\}\backslash left(z^d\; -\; 1\backslash right)^\{\backslash mu\backslash left(\backslash frac\{n\}\{d\}\backslash right)\},$

여기서 $\backslash mu$는 뫼비우스 함수이다.

p가 소수이면 1을 제외한 모든 p차 단위근은 원시 p차 근이다.^[6]

:$\backslash Phi\_p(z)\; =\; \backslash frac\{z^p\; -\; 1\}\{z\; -\; 1\}\; =\; \backslash sum\_\{k\; =\; 0\}^\{p\; -\; 1\}\; z^k.$

11. 순환군

1의 *n*제곱근은 곱셈에 대해 위수 *n*인 순환군을 이룬다. 이러한 군은 복소수체의 곱셈군의 모든 유한군 부분군을 구성한다. 이 순환군의 생성자는 원시 *n*차 단위근이다.^[15]

1의 *n*제곱근은 위수 *n*인 임의의 순환군의 기약 군 표현을 형성한다.

1의 거듭제곱근은 임의의 순환 행렬의 고유 벡터 항목으로 나타난다. 즉, 순환 이동에 불변인 행렬이며, 이는 블로흐 정리의 변형이다.^[15] 특히, 순환 에르미트 행렬(예: 주기적 경계를 갖는 이산화된 1차원 라플라시안)을 고려하는 경우, 직교성은 에르미트 행렬의 고유 벡터의 일반적인 직교성으로부터 즉시 파생된다.^[16]

1의 거듭제곱근은 모두 복소수 평면에서의 단위 원 위에 있다. 또한 1의 *n*제곱근 전체는 위수 *n*의 순환군이며, 원주군의 정규 부분군이다.

12. 원분체

유리수에 원시 n차 단위근을 첨가하면, n차 원분체 ℚ(exp(2πi/n))을 얻는다. 이 체는 모든 n차 단위근을 포함하며 ℚ 위의 n차 원분 다항식의 분해체이다. 체 확대 ℚ(exp(2πi /n))/ℚ의 차수는 φ(''n'')이며, 갈루아 군은 ℤ/nℤ의 곱셈 단위군과 자연스럽게 동형이다.

ℚ(exp(2πi /n))/ℚ의 갈루아 군이 아벨 군이므로, 이는 아벨 확대이다. 원분체의 모든 부분체는 유리수의 아벨 확대이다. 따라서 모든 ''n''차 단위근은 φ(''n'')을 넘지 않는 다양한 ''k''차 근을 사용하여 표현될 수 있다. 이러한 경우 갈루아 이론은 가우스 합을 사용하여 명시적으로 작성할 수 있다. 가우스의 ''산술 탐구''에서 나온 이 이론은 갈루아가 등장하기 여러 해 전에 발표되었다.^[17]

반대로, 유리수의 ''모든'' 아벨 확대는 원분체의 그러한 부분체이다. 이는 크로네커가 증명했으며, 일반적으로 베버가 증명을 완성했다는 이유로 ''크로네커-베버 정리''라고 불리는 크로네커의 정리의 내용이다.

13. 이차 정수와의 관계

n = 1, 2}}의 경우, 1의 거듭제곱근 1과 -1은 모두 정수이다.

n}}의 세 값에 대해 1의 거듭제곱근은 이차 정수이다.

• n = 3, 6}}의 경우, 아이젠슈타인 정수 (D = -3}})이다.
• n = 4}}의 경우, 가우스 정수 (D = -1}}): 허수 단위 참조.

• n = 5, 10}}의 경우, 비실수 1의 거듭제곱근 (사차 방정식을 만족)은 이차 정수가 아니지만, 각 근과 켤레 복소수의 합 z + = 2 Re z}}는 환 Z[]}}] (D = 5}})의 원소이다. 두 쌍의 비실수 5차 1의 거듭제곱근에 대해 이러한 합은

참조

_[1] 서적 Field Theory and Its Classical Problems, Volume 14 https://books.google[...] Cambridge University Press
_[2] 서적 Algebra Springer
_[3] 서적 Fundamental Concepts of Algebra Dover Publications
_[4] 서적 Adventure in Mathematics https://books.google[...] World Scientific
_[5] 서적 Applied Abstract Algebra https://books.google[...] Springer
_[6] 서적 Field and Galois theory https://books.google[...] Springer
_[7] 서적 Introduction to Applied Algebraic Systems https://books.google[...] Oxford University Press
_[8] 서적 Advanced Modern Algebra https://books.google[...] American Mathematical Society
_[9] 서적 Prime Factorization and Computer Methods for Factorization https://books.google[...] Springer
_[10] 서적 Introduction to Analytic Number Theory https://books.google[...] Springer
_[11] 간행물 On the magnitude of the coefficients of the cyclotomic polynomial
_[12] 간행물 Solvability by radicals is in polynomial time
_[13] 서적 Disquisitiones Arithmeticae Yale University Press
_[14] 웹사이트 Solving Cyclotomic Polynomials by Radical Expressions http://cg.cs.uni-bon[...] 2007-06-22
_[15] 서적 Group Theory and Its Applications in Physics Springer
_[16] 간행물 The discrete cosine transform http://epubs.siam.or[...]
_[17] 문서