융의 정리

1. 개요

융의 정리는 유클리드 공간에서 주어진 집합을 포함하는 최소 반지름의 닫힌 공에 대한 정리이다. 이 정리는 집합의 지름과 닫힌 공의 반지름 사이의 관계를 설명하며, 특히 n차원 유클리드 공간에서 지름이 d인 콤팩트 집합은 반지름이 $d\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{n\}\{2(n+1)\}\}$ 이하인 닫힌 공 안에 포함된다는 것을 보여준다. 2차원 평면에서는 정삼각형의 경우에 해당하며, 일반적인 거리 공간에서는 덮개 닫힌 구의 반지름과 지름 사이의 관계가 다르게 나타나며, 비유클리드 기하학으로의 확장도 존재한다.

2. 공식화

유클리드 n-차원 공간($\backslash mathbb\{R\}^n$) 상의 공집합이 아닌 집합 $P$를 고려하자. 이 집합의 지름 $diam(P)$는 집합 내 두 점 사이 거리의 상한(supremum)으로 정의된다.
* $diam(P)\; =\; \backslash sup\backslash \{d(x,\; y)\; |\; x,\; y\; \backslash in\; P\backslash \}$

융의 정리에 따르면, 반지름 $r$이 다음 부등식을 만족하는 닫힌 공이 존재하여 집합 $P$를 포함(cover)한다.
* $r\; \backslash le\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{n\}\{2(n+1)\}\}\; diam(P)$

특히, $P$가 콤팩트 집합 $K\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^n$인 경우, 지름 $d$는 $K$ 내의 두 점 사이의 최대 유클리드 거리가 된다.
* $d\; =\; \backslash max\_\{p,q\backslash ,\backslash in\backslash ,\; K\}\; \backslash |\; p\; -\; q\; \backslash |\_2$

이 경우, 융의 정리는 반지름 $r$이 다음 조건을 만족하는 닫힌 공이 존재하여 $K$를 포함함을 보장한다.
* $r\; \backslash leq\; d\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{n\}\{2(n+1)\}\}$

이 부등식에서 등호가 성립하는 경우는 $K$가 정규 n-단순체일 때이다.

3. 경계 조건

n차원 단체, 즉 n-차원에서의 삼각형, 정사면체, 그리고 그것들의 확장 형태에 대해서는 경계 조건이 성립한다.

콤팩트 집합 $K\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^n$를 고려하고,
$d\; =\; \backslash max\_\{p,q\backslash ,\backslash in\backslash ,\; K\}\; \backslash |\; p\; -\; q\; \backslash |\_2$
를 K의 지름으로 정의한다. 이는 K 내의 임의의 두 점 사이의 가장 큰 유클리드 거리이다. 융의 정리는 반지름 r이
$r\; \backslash leq\; d\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{n\}\{2(n+1)\}\}$
을 만족하는 닫힌 공이 존재하여 K를 포함한다고 말한다. 등호가 성립하는 경계 사례는 정규 n-단순체에서 얻어진다.

융의 정리의 가장 일반적인 경우는 평면에서, 즉 n = 2일 때이다. 이 경우 정리에서는 주어진 집합의 모든 점을 포함하는 원이 존재하며, 그 반지름은 다음을 만족한다.
$r\; \backslash leq\; \backslash frac\{d\}\{\backslash sqrt\{3\}\}$
이 경계는 K가 정삼각형 (또는 그 세 꼭짓점)일 때 $r\; =\; \backslash frac\{d\}\{\backslash sqrt\{3\}\}$이므로 가능한 가장 작은 값이다.

예를 들어 2차원에서의 정삼각형을 고려해 보자. 이 삼각형의 지름을 $d$라고 하면, 이는 삼각형의 한 변의 길이와 같다. 피타고라스의 정리에 의해 한 꼭짓점에서 마주보는 변까지의 높이는 $\backslash frac\{\backslash sqrt3\}\{2\}d$이다. 삼각형의 무게중심(외심과 동일)은 높이를 2:1로 내분하므로, 한 꼭짓점에서 중심점까지의 거리는 높이의 $\backslash frac\{2\}\{3\}$인 $\backslash frac\{\backslash sqrt3\}\{2\}d\; \backslash times\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt3\}d$가 된다. 이는 융의 정리에서 n = 2일 때의 경계값 $r\; =\; \backslash frac\{d\}\{\backslash sqrt\{3\}\}$과 일치하며, 이 반지름을 갖는 원은 정삼각형을 정확히 덮는다.

4. 일반적인 거리 공간

일반적인 거리 공간에서는 유클리드 공간과 달리, 집합을 덮는 가장 작은 닫힌 공의 반지름 $r$과 그 집합의 지름 $d$ 사이의 비율이 일정하지 않다. 그러나 모든 거리 공간에서 임의의 유계 집합 $S$에 대해, 반지름 $r$과 지름 $d$ 사이에는 항상 다음 부등식이 성립한다.

:$\backslash frac\{d\}\{2\}\; \backslash le\; r\; \backslash le\; d$

이 부등식은 최소 포함 공의 반지름이 지름의 절반보다는 크거나 같고, 지름보다는 작거나 같다는 것을 의미한다. 이 부등식은 특정 거리 공간에서는 등호가 성립할 수 있어 최적(tight)이며, 이에 대한 자세한 설명과 예시는 하위 섹션에서 다룬다.

융의 정리의 다양한 비유클리드 기하학 버전도 알려져 있다(예: Dekster 1995, 1997 참조).

4.1. 일반적인 거리 공간에서의 부등식 상세 설명

일반적인 거리 공간에서, 주어진 유계 집합 $S$를 덮는 가장 작은 닫힌 공의 반지름 $r$과 $S$의 지름 $d$ 사이에는 항상 다음과 같은 관계가 성립한다.

:$\backslash frac\{d\}\{2\}\; \backslash le\; r\; \backslash le\; d$

이 부등식은 다음과 같이 이해할 수 있다.

* 첫 번째 부등식 ($\backslash frac\{d\}\{2\}\; \backslash le\; r$): 이 부등식은 닫힌 공의 중심과 두 개의 지름점(집합 내에서 거리가 $d$인 두 점) 사이의 삼각 부등식을 이용하여 유도할 수 있다.
* 두 번째 부등식 ($r\; \backslash le\; d$): 집합 $S$ 안의 임의의 점을 중심으로 하고 반지름이 $d$인 공을 생각해보자. 지름의 정의에 따라, 이 공은 집합 $S$의 모든 점을 포함해야 한다. 따라서 $S$를 덮는 가장 작은 공의 반지름 $r$은 $d$보다 클 수 없다.

이 두 부등식은 특정 거리 공간에서는 등호가 성립할 수 있어, 이 부등식은 최적이다(tight).

* 모든 점 사이의 거리가 같은 [[균등 거리 공간]]에서는 $r=d$가 성립한다.
* 반대로, 평면에서의 맨해튼 거리와 같은 [[사영 거리 공간]]에서는 $r=d/2$가 성립한다. 맨해튼 거리의 경우, 집합 $S$ 내의 각 점을 중심으로 하고 반지름이 $d/2$인 닫힌 공들을 생각하면, 이 공들은 반드시 공집합이 아닌 교집합을 가진다. 이러한 모든 공은 공통된 교집합을 가지며, 이 교집합의 점에서 중심을 갖는 반지름 $d/2$인 공은 $S$ 전체를 포함한다.

융의 정리의 다양한 비유클리드 기하학 버전도 알려져 있다(예: Dekster 1995, 1997 참조).

4.2. 특수한 경우

모든 거리 공간에서 임의의 유계 집합 $S$에 대해, 지름 $d$와 최소 포함 공의 반지름 $r$ 사이에는 $d/2\backslash le\; r\backslash le\; d$ 관계가 성립한다. 이 부등식은 특정 경우에 더 정확해질 수 있다.

* 모든 거리가 동일한 균등 거리 공간에서는 $r=d$이다.
* 맨해튼 거리를 사용하는 평면과 같은 사영 거리 공간에서는 $r=d/2$이다. 이 경우, $S$의 각 점에서 중심을 잡고 반지름이 $d/2$인 닫힌 공들은 모두 공집합이 아닌 교집합을 가지며, 이 교집합 내의 한 점을 중심으로 하고 반지름이 $d/2$인 공은 $S$ 전체를 포함하게 된다.

5. 비유클리드 기하학으로의 확장

모든 거리 공간에서 임의의 유계 집합 $S$에 대해, 집합의 지름을 $d$라 하고 $S$를 포함하는 최소 공의 반지름을 $r$이라 할 때, $d/2\backslash le\; r\backslash le\; d$가 성립한다. 첫 번째 부등식($d/2\backslash le\; r$)은 공의 중심과 거리가 $d$인 두 점 사이의 삼각 부등식에 의해 유도되며, 두 번째 부등식($r\backslash le\; d$)은 $S$의 임의의 점을 중심으로 하고 반지름이 $d$인 공이 $S$ 전체를 포함한다는 사실로부터 성립한다.

이러한 부등식의 경계값은 특정 거리 공간에서 실제로 나타날 수 있다.
* 모든 점 사이의 거리가 동일한 균등 거리 공간에서는 $r=d$이다.
* 평면의 맨해튼 거리와 같은 사영 거리 공간에서는 $r=d/2$이다.

융의 정리는 다양한 비유클리드 기하학 버전으로도 확장되어 연구되고 있다(예: Dekster 1995, 1997 참조).