이발사의 역설

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1. 개요
2. 역설
3. 역사
- 3.1. 러셀의 역설과의 관계
4. 일차 논리에서의 표현
참조

1. 개요

이발사의 역설은 마을에 단 한 명의 이발사가 있고, 그 이발사는 스스로 면도하지 않는 모든 사람의 수염을 깎는다는 조건에서 "이발사는 자신의 수염을 면도하는가?"라는 질문에 대한 모순을 다룬다. 이 질문에 긍정적으로 답하면 이발사는 스스로 면도할 수 없다는 모순이 발생하고, 부정적으로 답하면 스스로 면도를 해야 한다는 모순이 발생한다. 이 역설은 러셀의 역설의 변형으로, 집합론의 모순을 지적하는 데 기여했다. 일차 논리를 사용하여 표현할 수 있으며, 이러한 이발사는 존재할 수 없다는 결론을 도출한다.

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이발사의 역설
역설 개요
별칭	이발사의 문제 이발소 역설
유형	논리적 역설
고안자	버트런드 러셀
발표 시기	1918년
파생	러셀의 역설
설명
내용	한 마을에 스스로 면도하지 않는 사람만 면도해 주는 이발사가 있을 때, 이 이발사는 스스로 면도를 해야 하는가?
문제점	이발사가 스스로 면도하면, 스스로 면도하지 않는 사람만 면도해 준다는 규칙에 위배된다. 스스로 면도하지 않으면, 스스로 면도하지 않는 사람을 면도해 줘야 하므로 면도를 해야 한다.
중요성	집합론의 모순을 드러내는 러셀의 역설을 일상생활에 빗대어 설명한 것으로, 자기 모순적인 상황을 명확하게 보여준다.
해결
방법	이발사는 존재할 수 없다. 이발사의 정의 자체가 모순을 내포하고 있기 때문이다. 다시 말해, 조건을 만족하는 이발사를 정의하는 것은 불가능하다.
의미	명확한 기준을 세우는 것의 중요성을 보여준다. 조건을 정의할 때 모순이 없는지 확인해야 한다.

2. 역설

마을에 단 한 명의 이발사(남성)가 있다고 가정한다. 이 이발사는 스스로 수염을 깎지 않는 모든 사람의 수염을 면도하고, 그 이외의 사람의 수염은 깎지 않는다. 여기서 문제는 "이발사는 자신의 수염을 면도하는가?"이다.^[5]

이 질문에 답하려고 하면 모순이 발생한다.

# 이발사는 스스로 면도하지 않는 사람만 면도하므로, 자기 자신의 수염을 깎을 수 없다. 만약 스스로 면도를 한다면, 그는 '스스로 면도하지 않는 사람만 면도하는' 규칙을 어기게 되어 더 이상 그 이발사일 수 없다.

# 반대로, 이발사가 스스로 면도를 하지 않는다면, 그는 '스스로 면도하지 않는 사람들'의 그룹에 속하게 된다. 따라서 이발사의 규칙에 따라 그는 자신의 수염을 깎아야 한다.

결국 이발사가 자신의 수염을 깎는다고 가정해도, 깎지 않는다고 가정해도 모두 모순에 빠지게 된다.

원래 형태에서, 이 역설은 해결책이 없다. 왜냐하면 "스스로 면도하지 않는 모든 사람, 그리고 그 사람들만을 면도하는" 이발사는 애초에 존재할 수 없기 때문이다. 이 질문은 존재할 수 없는 이발사의 존재를 가정하는 함정 질문이며, 이는 무의미한 명제이므로 거짓이다.

3. 역사

이 역설은 종종 버트런드 러셀의 것으로 잘못 알려져 있다(예: 마틴 가드너의 ''Aha!''에서 언급됨). 이는 러셀의 역설을 각색하여 러셀에게 제시된 것이다.^[1]

3. 1. 러셀의 역설과의 관계

이 역설은 종종 버트런드 러셀의 것으로 잘못 알려져 있다(예: 마틴 가드너의 ''Aha!''). 이는 러셀의 역설의 또 다른 형태로 러셀에게 제시되었으며,^[1] 러셀은 게오르크 칸토어와 고틀로프 프레게가 사용한 집합론에 모순이 있음을 보이기 위해 러셀의 역설을 고안했다.

그러나 러셀 자신은 이발사의 역설이 자신의 역설의 한 예가 아니라고 명확히 부인했다. 그는 ''논리적 원자론의 철학''에서 다음과 같이 설명했다:^[1]

:그 모순[러셀의 역설]은 매우 흥미롭다. 그 형태를 수정할 수 있다; 일부 수정 형태는 유효하고 일부는 그렇지 않다. 나는 한때 유효하지 않은 형태, 즉 이발사가 스스로 면도하는지 여부에 대한 질문을 제안받았다. 당신은 이발사를 "스스로 면도하지 않는 모든 사람과 그 사람만 면도하는 사람"으로 정의할 수 있다. 문제는 이발사가 스스로 면도하는가이다. 이 형태의 모순은 해결하기 어렵지 않다. 그러나 이전 형태에서는 집합이 자기 자신의 구성원인지 여부에 대한 전체 질문이 무의미하다는 점을 관찰함으로써 이를 해결할 수 있다고 생각한다. 즉, 어떤 집합도 자기 자신의 구성원이 아니며, 그렇다고 말하는 것조차 사실이 아니다. 왜냐하면 전체 형태의 단어는 의미 없는 소음일 뿐이기 때문이다.

이 점에 대한 더 자세한 내용은 러셀의 역설의 응용된 버전에서 다루어진다.

4. 일차 논리에서의 표현

이발사의 역설은 일차 논리를 사용하여 수학적으로 표현할 수 있다. 어떤 사람 $x$ 가 이발사라고 가정하자. 이발사의 정의는 "스스로 수염을 깎지 않는 모든 사람 $y$ 의 수염을 깎아주고, 그 외의 사람(즉, 스스로 수염을 깎는 사람)의 수염은 깎지 않는 사람"이다. 이를 논리 기호로 나타내면 다음과 같다.^[5]

$(\exists x ) (\text{person}(x) \wedge (\forall y) (\text{person}(y) \implies (\text{shaves}(x, y) \iff \neg \text{shaves}(y, y))))$

이 문장은 "어떤 사람 $x$ 가 존재하며( $\exists x$ ), 그 사람은( $\text{person}(x)$ ) 모든 사람 $y$ 에 대해( $\forall y$ ), 만약 $y$ 가 사람이라면( $\text{person}(y) \implies$ ), $x$ 가 $y$ 의 수염을 깎는 것( $\text{shaves}(x, y)$ )은 $y$ 가 스스로 수염을 깎지 않는 것( $\neg \text{shaves}(y, y)$ )과 동치( $\iff$ )이다"라는 의미를 가진다.

그러나 이 문장은 모순을 내포하고 있어 참이 될 수 없다. 그 이유는 전칭 양화사 $(\forall y)$ 때문이다. 이 양화사는 '모든 사람 $y$ '를 포함하는데, 여기에는 이발사 자신인 $x$ 도 포함된다. 따라서 $y$ 에 이발사 $x$ 를 대입하면, 전칭 양화된 부분의 조건은 다음과 같이 변형된다.

$\text{shaves}(x, x) \iff \neg \text{shaves}(x, x)$

이 식은 " $x$ 가 스스로 수염을 깎는 것은 $x$ 가 스스로 수염을 깎지 않는 것과 필요충분조건이다"라는 의미이다. 이는 " $A$ 는 $\neg A$ 와 동치이다"( $A \iff \neg A$ )라는 형태의 명백한 모순이다.

이러한 모순이 발생하기 때문에, 전칭 양화된 부분 $(\forall y) (\text{person}(y) \implies (\text{shaves}(x, y) \iff \neg \text{shaves}(y, y)))$ 은 항상 거짓이다. 결과적으로, 이발사 $x$ 의 존재를 나타내는 전체 문장 $(\exists x ) (\dots)$ 역시 거짓이 된다. 이는 논리적으로 모순 없는 이발사 $x$ 가 존재할 수 없음을 의미한다.^[2]^[3] 따라서 "이발사는 자신의 수염을 면도하는가?"라는 질문은 존재할 수 없는 대상을 전제하는 함정 질문이므로 의미가 없다.

참조

_[1] 논문 The Philosophy of Logical Atomism 1919
_[2] 웹사이트 The Barber's Paradox https://www.umsl.edu[...] 2023-10-21
_[3] 웹사이트 Barber paradox https://www.oxfordre[...] 2023-10-21
_[4] 간행물 The Philosophy of Logical Atomism
_[5] 간행물 The Philosophy of Logical Atomism 1918

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