이십각형

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1. 개요
2. 정이십각형
- 2.1. 넓이 공식
- 2.2. 작도
3. 활용
- 3.1. 대칭
- 3.2. 분할
4. 관련 다각형
- 4.1. 페트리 다각형
참조

1. 개요

이십각형은 20개의 변과 꼭짓점을 가진 다각형을 의미하며, 정이십각형은 모든 변의 길이와 내각의 크기가 같은 규칙적인 형태를 갖는다. 정이십각형의 한 내각은 162°이며, 한 외각은 18°이다. 넓이는 변의 길이 또는 외접원의 반지름을 사용하여 계산할 수 있으며, 자와 컴퍼스를 이용한 작도가 가능하다. 이십각형은 '더 프라이스 이즈 라이트'의 빅 휠, 셰익스피어의 글로브 극장, 만(卍)자 문양 등 다양한 분야에서 활용된다. 또한 대칭, 분할, 관련 다각형 및 고차원 다포체의 페트리 다각형으로도 나타낼 수 있다.

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이십각형
개요
정이십각형
종류	다각형
변의 수	20
꼭짓점의 수	20
슈플리 기호	{20}
성질	볼록 정다각형 순환 다각형 등각 다각형 이소곤 다각형
정이십각형
내각	162°
특징	작도 가능

2. 정이십각형

정이십각형은 슐레플리 기호로 {20}으로 표현되며, 절단된 십각형 t{10} 또는 두 번 절단된 오각형 tt{5}로 구성될 수도 있다. 정이십각형의 한 내각은 162°, 외각과 중심각은 18°이다.

$\cos (2\pi/20)$ 는 유리수와 제곱근으로 나타낼 수 있다.

: $\cos\frac{2\pi}{20} = \cos\frac{\pi}{10} =\cos 18^\circ=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}$

정오각형과 정십각형의 작도가 가능하므로, 정이십각형은 작도가 가능하다.^[1]

2. 1. 넓이 공식

한 변의 길이가

t

인 정이십각형의 넓이는 다음과 같다.

:

A = 5t^2 \cot \frac{\pi}{20} \simeq 31.5688\,t^2.

외접원의 반지름

R

로 나타내면, 넓이는 다음과 같다.

:

A=\frac{5R^2}{2}(\sqrt{5}-1);

이는 정이십각형이 외접원의 약 98.36%를 채운다는 것을 의미한다.

2. 2. 작도

정이십각형은

20 = 2^2 \times 5

이므로, 컴퍼스와 자를 사용하여 작도할 수 있다. 이는 정규 십각형의 변을 이등분하거나, 정규 오각형을 두 번 이등분하여 작도하는 것도 가능하다는 것을 의미한다.

주어진 변의 길이를 사용하여 작도할 때, 반지름이 $\overline{CD}$ 인 원 C 주위의 원호는 선분 $\overline{E_{20}F}$ 를 황금비로 나눈다.

: $\frac{\overline{ E_{20}E_1}}{\overline{E_1 F}} = \frac{\overline{E_{20} F}}{\overline{ E_{20}E_1}} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} =\varphi \approx 1.618$

주어진 변의 길이를 가진 이십각형 작도 애니메이션 (작도는 주어진 변의 길이를 가진 십각형과 매우 유사하다.)

「반지름 2의 정원」(녹색)과 「변의 길이가 1과 φ의 황금 직사각형(주황색)을 활용하면 그림과 같이 해당 정원의 원주를 20등분하는 점을 구할 수 있다.

3. 활용

미국 인기 게임 쇼 더 프라이스 이즈 라이트의 빅 휠은 이십각형 단면을 가지고 있다.

윌리엄 셰익스피어의 극단이 사용했던 야외 극장인 글로브는 1989년 부분 발굴을 통해 이십각형 기초 위에 건설되었음이 밝혀졌다.^[1]

만(卍)자는 불규칙 이십각형으로 간주된다.^[2] 만(卍)자는 불교의 상징으로 한국의 사찰에서 자주 볼 수 있는 문양이다.

정사각형, 오각형, 정이십각형은 평면을 꼭짓점에서 완전히 채울 수 있다.

3. 1. 대칭

정 이십각형의 대칭. 꼭짓점은 대칭 위치에 따라 색상이 지정되어 있으며, 파란색 거울은 꼭짓점을, 보라색 거울은 모서리를 통과한다. 회전 차수는 중앙에 표시된다.

3. 2. 분할

코세터는 모든 조노곤(마주보는 변이 평행하고 길이가 같은 다각형)을 개의 평행사변형으로 분할할 수 있다고 설명한다.^[4] 특히, 이것은 변의 개수가 짝수인 정다각형에 적용되며, 이 경우 평행사변형은 모두 마름모이다. 정이십각형의 경우, 이며 45개로 나눌 수 있다. 즉, 5개의 정사각형과 4세트의 10개의 마름모로 분할할 수 있다. 이 분해는 10-큐브의 페트리 다각형 투영을 기반으로 하며, 11520개의 면 중 45개에 해당한다. 는 20배 회전 및 반사에서의 키랄 형태를 포함하여 솔루션의 수를 18,410,581,880개로 열거한다.

45개의 마름모로의 분할
10-큐브	정이십각형 분할	정이십각형 마름모 분할 3	정이십각형 마름모 분할 4	정이십각형 무작위 분할

4. 관련 다각형

이십각형과 관련된 다각형에는 이십각별이 있다. 이십각별은 20개의 변을 가진 별 다각형이며, 슐래플리 기호로 $\{20/n\}$ 과 같이 표현된다. 슐래플리 기호로 나타낼 수 있는 정규 이십각별에는 $\{20/3\}$ , $\{20/7\}$ , $\{20/9\}$ 세 가지가 있다.

또한, 꼭짓점 배치가 같은 정규 별 모양(합성물)으로는 $2\{10\}$ , $4\{5\}$ , $5\{4\}$ , $2\{10/3\}$ , $4\{5/2\}$ , $10\{2\}$ 등이 있다.

n	1	2	3	4	5
형태	볼록 다각형	합성물	별 다각형	합성물
그림	$\{20/1\} = \{20\}$	$\{20/2\} = 2\{10\}$	$\{20/3\}$	$\{20/4\} = 4\{5\}$	$\{20/5\} = 5\{4\}$
내각	162°	144°	126°	108°	90°
n	6	7	8	9	10
형태	합성물	별 다각형	합성물	별 다각형	합성물
그림	$\{20/6\} = 2\{10/3\}$	$\{20/7\}$	$\{20/8\} = 4\{5/2\}$	$\{20/9\}$	$\{20/10\} = 10\{2\}$
내각	72°	54°	36°	18°	0°

정십각형과 십각별을 더 깊게 잘라내면, 꼭짓점 간격이 같고 변의 길이가 두 종류인 등각(정점-추이) 중간 이십각형별 형태를 만들 수 있다.^[5]

정규 이십각형별 $\{20/9\}$ 은 준절단 십각형 $t\{10/9\}=\{20/9\}$ 으로 볼 수 있다. 마찬가지로 십각별 $\{10/3\}$ 은 준절단 $t\{10/7\}=\{20/7\}$ 을 가지며, 십각별을 단순 절단하면 $t\{10/3\}=\{20/3\}$ 이 된다.

정규 십각형과 십각별의 절단으로 나타낸 이십각형별, $\{10\}$ , $\{10/3\}$
준정규	colspan=4 \|	준정규
$t\{10\}=\{20\}$			$t\{10/9\}=\{20/9\}$
$t\{10/3\}=\{20/3\}$			$t\{10/7\}=\{20/7\}$

4. 1. 페트리 다각형

정이십각형은 코세터 평면에서 직교 투영으로 나타낼 수 있으며, 다음과 같은 고차원 다포체의 페트리 다각형이다.

A₁₉	B₁₀		D₁₁	E₈	H₄	2H₂	2H₂
19-단순체	10-정축체	10-초정육면체	11-데미초정육면체	4 21 다포체	600-포체	그랜드 반각기둥	10-10 이중각뿔	10-10 이중각기둥
19-단순체	10-정축체	10-초정육면체	11-데미초정육면체	(4₂₁)	600-포체	그랜드 반각기둥	10-10 이중각뿔	10-10 이중각기둥

이것은 또한 정십이면체 120-포체, 작은 별모양 120-포체, 큰 십이면체 120-포체, 큰 그랜드 120-포체의 페트리 다각형이기도 하다.

참조

_[1] 웹사이트 To Span the Globe http://researchmagaz[...] University of Georgia 2010-06-10
_[2] MathWorld Icosagon https://mathworld.wo[...]
_[3] 서적 The Symmetries of Things ""
_[4] 서적 Mathematical recreations and Essays ""
_[5] 간행물 Metamorphoses of polygons The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History

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