쌍대 다각형

3. 쌍대 다각형의 성질

정다각형은 자기 쌍대 다각형이다.

등각 다각형(꼭짓점-추이)의 쌍대는 변추이 다각형(변-추이)이다. 예를 들어, (등각) 직사각형과 (변추이) 마름모는 쌍대이다.

원내 다각형에서 긴 변은 쌍대(접하는 다각형)에서 더 큰 외각에 해당하며, 짧은 변은 더 작은 각에 해당한다. 또한, 원래 다각형에서 합동인 변은 쌍대에서 합동인 각을 생성하며, 그 반대도 성립한다. 예를 들어, 매우 예각인 이등변 삼각형의 쌍대는 둔각 이등변 삼각형이다.

도먼 루크 작도에서, 쌍대 다면체의 각 면은 해당 꼭짓점 도형의 쌍대 다각형이다.

4. 사각형의 쌍대성

사각형은 쌍대성의 개념을 설명하기 좋은 예시이다. 등각(꼭지점-추이) 다각형의 쌍대는 등변(변-추이) 다각형이다. 예를 들어, (등각) 직사각형과 (등변) 마름모는 쌍대이다.

다면체의 변-각 쌍대성의 예로, 원내접 사각형과 접선 사각형의 속성을 비교할 수 있다.^[1]

원내접 사각형의 외접원은 접선 사각형의 내접원에 대응된다. 원내접 사각형 변의 수직 이등분선은 외심에서 만나고, 접선 사각형 각의 이등분선은 내심에서 만난다. 원내접 사각형의 대각의 합은 서로 같고, 접선 사각형의 대변의 합은 서로 같다.

이러한 쌍대성은 이등변 사다리꼴과 연을 비교하면 더 명확하게 드러난다. 이등변 사다리꼴의 두 쌍의 같은 인접 각은 연의 두 쌍의 같은 인접 변에 대응된다. 이등변 사다리꼴의 한 쌍의 같은 대변은 연의 한 쌍의 같은 대각에 대응된다. 이등변 사다리꼴의 한 쌍의 대변을 통과하는 대칭축은 연의 한 쌍의 대각을 통과하는 대칭축에 대응된다.

4. 1. 원에 내접하는 사각형과 접선 사각형

이러한 쌍대성은 이등변 사다리꼴과 연을 비교하면 더 명확하게 드러난다.

4. 2. 이등변 사다리꼴과 연

위 표에서 이등변 사다리꼴의 두 쌍의 같은 인접 각은 연의 두 쌍의 같은 인접 변에 대응된다. 이등변 사다리꼴의 한 쌍의 같은 대변은 연의 한 쌍의 같은 대각에 대응된다. 이등변 사다리꼴의 한 쌍의 대변을 통과하는 대칭축은 연의 한 쌍의 대각을 통과하는 대칭축에 대응된다.

5. 쌍대 다각형의 종류

정다각형은 자기 쌍대 다각형이다.

이등변 다각형(꼭짓점-추이)의 쌍대는 변추이 다각형(변-추이)이다. 예를 들어, (이등변) 직사각형과 (변추이) 마름모는 쌍대이다.

원내 다각형에서, 긴 변은 쌍대(접하는 다각형)에서 더 큰 외각에 해당하며, 짧은 변은 더 작은 각에 해당한다. 또한, 원래 다각형에서 합동인 변은 쌍대에서 합동인 각을 생성하며, 그 반대도 성립한다. 예를 들어, 매우 예각인 이등변 삼각형의 쌍대는 둔각 이등변 삼각형이다.

도먼 루크 작도에서, 쌍대 다면체의 각 면은 해당 꼭짓점 도형의 쌍대 다각형이다.

쌍대 다각형을 만드는 방법은 다음과 같다.

• 깎기 연산: 다각형의 변을 잘라 각 원래 변의 중심에 꼭짓점을 만들고, 새로운 꼭짓점들 사이에 새로운 변을 형성한다. 이 구성은 되돌릴 수 없다. 즉, 두 번 적용하여 생성된 다각형은 일반적으로 원래 다각형과 닮지 않다.
• 극 쌍대 변환: 쌍대 다면체와 마찬가지로, 내접원, 외접원, 또는 둘 다 존재하는 경우, 그들의 중심원을 취하여 그 안에서 극 쌍대 변환을 수행할 수 있다.
• 사영 쌍대성: 사영 쌍대성 하에서, 점의 쌍대는 선이고, 선의 쌍대는 점이다. 따라서 다각형의 쌍대는 다각형이며, 원래 다각형의 변은 쌍대 다각형의 꼭짓점에, 그리고 그 반대로 대응된다. 쌍대 곡선의 관점에서, 곡선 위의 각 점에 해당 점에서 접선에 쌍대인 점을 연관시키는 관점에서 사영 쌍대성은 다음과 같이 해석될 수 있다.
• 다각형의 한 변 위의 모든 점은 같은 접선을 가지며, 이 접선은 그 변 자체와 일치한다. 따라서 이 점들은 모두 쌍대 다각형에서 같은 꼭짓점에 매핑된다.
• 꼭짓점에서, 해당 꼭짓점에 대한 "접선"은 두 변 사이의 각도를 가진 그 점을 지나는 모든 선이다. 이러한 선에 대한 쌍대점은 쌍대 다각형의 변이 된다.
• 조합론적 방법: 조합론적으로, 다각형은 꼭짓점 집합, 변 집합, 그리고 인접 관계(어떤 꼭짓점과 변이 닿는지)로 정의할 수 있다. 두 개의 인접한 꼭짓점은 변을 결정하고, 이와 쌍대적으로, 두 개의 인접한 변은 꼭짓점을 결정한다. 그러면 쌍대 다각형은 단순히 꼭짓점과 변을 바꾸어 얻는다. 따라서 꼭짓점이 {A, B, C}이고 변이 {AB, BC, CA}인 삼각형의 경우, 쌍대 삼각형은 꼭짓점 {AB, BC, CA}를 가지며 변은 {B, C, A}를 가지는데, 여기서 B는 AB와 BC를 연결하는 식이다.