이합체 모형

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 이합체 모형
- 2.2. 단량체-이합체 모형
3. 성질
- 3.1. 단량체-이합체 모형과 이합체 모형의 관계
- 3.2. 상관 함수
4. 예시
- 4.1. 2차원 이징 모형과 피셔 격자
5. 타일링
6. 응용
- 6.1. 통계 물리학에서의 응용
참조

1. 개요

이합체 모형은 통계 역학 모형의 일종으로, 유한 그래프의 변을 이합체, 꼭짓점을 단량체로 간주하여 완벽 부합(이합체 배치)의 에너지와 확률을 계산한다. 이합체 모형과 단량체-이합체 모형이 있으며, 단량체 에너지를 무한대로 취하면 단량체-이합체 모형은 이합체 모형으로 수렴한다. 이합체 모형은 2차원 이징 모형, 다다미 타일링, 도미노 타일링 등 다양한 분야에 응용된다.

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이합체 모형
기본 정보
종류	수학적 모델
분야	통계 역학 조합론 확률론
역사
발명	1961년, 피터 W. 카스텔레인, 파월 훔츠와 마크 카츠
설명
내용	평면 그래프를 덮는 타일
관련 항목	아이싱 모형 자유 페르미온

2. 정의

그래프의 완벽 부합들의 집합을 위상 공간으로 하는 통계 역학 모형을 이합체 모형이라고 한다. 이 모형에서 완벽 부합은 이합체 배치, 그래프의 변은 이합체라고 불린다. 각 변에는 에너지가 주어져 있으며, 특정 배치의 에너지는 그 배치에 속하는 변들의 에너지 합으로 계산된다. 이 에너지 함수로 정의되는 기브스 측도를 사용하여 모형을 분석한다.^[1]

그래프의 부합들의 집합을 위상 공간으로 하는 통계 역학 모형을 단량체-이합체 모형이라고 한다. 이 모형에서는 부합에 속하는 변들의 이합체 에너지와 부합에 인접하지 않는 꼭짓점들의 단량체 에너지의 합으로 에너지를 정의하고, 이 에너지 함수로 정의되는 기브스 측도를 사용한다.^[1]

2. 1. 이합체 모형

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

유한 그래프 $\Gamma$
실수 값 함수 $E\colon\operatorname E(\Gamma)\to\mathbb R$. 이를 각 변의 '''에너지'''라고 한다.

그렇다면, $\Gamma$의 완벽 부합들의 집합을

:$\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)\subseteq\operatorname{Pow}(\operatorname E(\Gamma))$

로 표기하자. 통계 역학에서, 완벽 부합은 보통 '''이합체 배치'''(二合體配置, dimer configuration^영어)라고 하며, 그래프의 변은 '''이합체'''라고 한다. 즉, 흔히 사용되는 수학 용어 및 대응되는 물리학 용어는 다음과 같다.

수학	물리학
변	이합체(dimer^영어)
꼭짓점	단량체(monomer^영어)
완벽 부합	이합체 배치
변의 무게(weight^영어)	이합체의 에너지
꼭짓점의 무게(weight^영어)	단량체의 에너지

이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다.

위상 공간은 완벽 부합의 집합 $\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)$이다.
임의의 완벽 부합 $M\in\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)$의 '''에너지'''는 부합에 속하는 변들의 에너지들의 합 $\textstyle E(M)=\sum_{e\in M}E(e)$이다.
온도 $T=1/\beta$에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 $\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)\to\mathbb R$로 정의되는 기브스 측도이다.
$Z(\beta;\Gamma)=\sum_{M\in\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)}\exp\left(-\beta\sum_{e\in M}E(e)\right)$
$\Pr(M;\beta)=\frac{\exp\left(-\beta E(M)\right)}Z\qquad(M\in\operatorname{PerfMatch}(\Gamma))$

여기서 값 $Z(\beta;\Gamma)$는 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 '''이합체 모형'''이라고 한다.

2. 2. 단량체-이합체 모형

이합체 모형을 확장하여, 부합과 단량체 에너지 개념을 도입하고, 에너지, 기브스 측도, 분배 함수를 정의한다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

유한 그래프 $\Gamma$
실수 값 함수 $E_2\colon\operatorname E(\Gamma)\to\mathbb R$ . 이를 '''이합체 에너지'''(dimer energy^영어)라고 한다.
실수 값 함수 $E_1\colon\operatorname V(\Gamma)\to\mathbb R$ . 이를 '''단량체 에너지'''(monomer energy^영어)라고 한다.

그렇다면,

\Gamma

의 부합들의 집합을

:

\operatorname{Match}(\Gamma)\subseteq\operatorname{Pow}(\operatorname E(\Gamma))

로 표기하자.

이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다.

위상 공간은 부합의 집합 $\operatorname{Match}(\Gamma)$ 이다.
임의의 부합 $M\in\operatorname{Match}(\Gamma)$ 의 '''에너지'''는 부합에 속하는 변들의 이합체 에너지들과, 부합에 인접하지 않는 꼭짓점들의 단량체 에너지들의 합이다.
$E(M)=\sum_{e\in M}E_2(e)+\sum_{v\in\operatorname V(\Gamma\setminus M)}E_1(v)$
온도 $T=1/\beta$ 에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 $\operatorname{Match}(\Gamma)\to\mathbb R$ 로 정의되는 기브스 측도이다.
$Z(\Gamma)=\sum_{M\in\operatorname{Match}(\Gamma)}\exp\left(-\beta E(M)\right)$
$\Pr(M)=\frac{\exp\left(-\beta E(M)\right)}Z\qquad(M\in\operatorname{Match}(\Gamma))$

여기서 값

Z(\Gamma)

는 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 '''단량체-이합체 모형'''(monomer–dimer model^영어)이라고 한다.

3. 성질

이합체 모형은 주어진 그래프에서 변(edge)들이 서로 겹치지 않게 선택되는 배열(부합)을 연구하는 통계역학 모형이다. 이 모형은 물리학, 화학, 조합론 등 다양한 분야에서 응용된다. 이합체 모형은 단량체-이합체 모형의 특별한 경우인데, 단량체-이합체 모형에서는 그래프의 꼭짓점(vertex)이 이합체(dimer)로 덮이지 않은 경우, 해당 꼭짓점에 단량체(monomer)가 있다고 가정한다. 이때 단량체 에너지 값을 매우 크게 설정하면, 단량체가 존재하는 배열은 거의 나타나지 않게 되어 사실상 이합체 모형과 같아진다.

이합체 모형과 단량체-이합체 모형에서는 특정 변이나 꼭짓점이 선택될 확률을 나타내는 상관 함수(correlation function)를 정의할 수 있다. 이 함수는 모형의 통계적 성질을 분석하는 데 중요한 역할을 한다.

3. 1. 단량체-이합체 모형과 이합체 모형의 관계

적어도 하나 이상의 완벽 부합을 갖는 유한 그래프에서, 단량체 에너지를 무한대로 취할 경우 (

E_1\to\infty

) 단량체-이합체 모형은 이합체 모형으로 수렴한다.

3. 2. 상관 함수

유한 그래프

\Gamma

위의 이합체 모형에서, 각 변

e\in\operatorname E(\Gamma)

에 대한 관측 가능량

\sigma(e;M)

은 다음과 같은 지시 함수이다.

:

\sigma(e;M)=\begin{cases}1&e\in M\\0&e\not\in M\end{cases}

이에 따라, 변 집합

S\subseteq\operatorname E(\Gamma)

에 대한 '''상관 함수'''는 다음과 같이 정의된다.

:

\left\langle \prod_{e\in S}\sigma(e)\right\rangle=\sum_{S\subseteq M\in\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)}\Pr(M)\in[0,1]

만약

S

가 서로 닿는 두 변을 포함한다면, 상관 함수는 0이 된다.

:

\left\langle \prod_{e\in S}\sigma(e)\right\rangle=0

보다 일반적인 경우로, 유한 그래프

\Gamma

위의 단량체-이합체 모형에서는 각 변

e\in\operatorname E(\Gamma)

및 각 꼭짓점

v\in\operatorname V(\Gamma)

에 대한 지시 함수 관측 가능량을 다음과 같이 정의한다.

:

\sigma(e;M)=\begin{cases}1&e\in M\\0&e\not\in M\end{cases}

:

\sigma(v;M)=\begin{cases}1&v\in\operatorname V(\Gamma\setminus M)\\0&v\not\in\operatorname V(\Gamma\setminus M)\end{cases}

이에 따라, 변 집합

S_2\subseteq\operatorname E(\Gamma)

및 꼭짓점 집합

S_1\subseteq\operatorname V(\Gamma)

에 대한 '''상관 함수'''는 다음과 같이 정의된다.

:

\left\langle \prod_{e\in S_2}\sigma(e)\right\rangle=\sum_{{\scriptstyle S_2\subseteq M\in\operatorname{Match}(\Gamma)\atop\scriptstyle S_1\subseteq\operatorname V(\Gamma\setminus M)}}\Pr(M)\in[0,1]

만약

S_2

가 서로 닿는 두 변을 포함하거나,

S_2

의 원소가

S_1

의 원소와 인접한다면, 상관 함수는 0이 된다.

:

\left\langle \prod_{v\in S_1}\sigma(v)\prod_{e\in S_2}\sigma(e)\right\rangle=0

4. 예시

2차원 이징 모형은 피셔 격자(Fisher lattice)라는 특별한 평면 삼차 그래프 위의 이합체 모형과 같다.^[1] 이 관계는 이징 모형의 각 상태와 피셔 격자의 완벽 부합 사이의 대응을 통해 구체적으로 나타난다. 즉, 2차원 이징 모형에서 스핀 배열에 따라 변을 굵게 또는 가늘게 표시하고, 각 꼭짓점을 8가지 가능한 나비 그래프로 치환하면, 이징 모형의 상태와 피셔 격자의 완벽 부합 사이에 2대 1 대응 관계가 성립한다. 이는 이징 모형에서 모든 스핀을 뒤집어도 같은 완벽 부합에 대응되기 때문이다.

4. 1. 2차원 이징 모형과 피셔 격자

2차원 이징 모형은 '''피셔 격자'''(Fisher lattice^영어)라는 특별한 평면 삼차 그래프 위의 이합체 모형과 같다.^[1] 피셔 격자는 정12각형과 정삼각형으로 구성된 평면 테셀레이션의 그래프이다.

평면의 정사각 격자 그래프에서 각 꼭짓점(╳)을 나비 모양의 삼차 그래프(─┬┐ ┌┬─, │├─┤│, ─┴┘ └┴─)로 바꾼다. 즉, 45도 회전한 사각형 격자의 일부분은 피셔 격자의 일부분에 대응한다.

이 경우, 각 꼭짓점에서 완벽 부합은 다음과 같은 8개의 가능한 형태를 가진다.

피셔 격자의 완벽 부합	평면 이징 모형의 스핀 배열
─┰┐ ┌┰─	╲ ╱	╲ ╱
━┭┐ ┌┰─	╲ ╱	╲ ╱
─┰┐ ┌┮━	╲ ╱	╲ ╱
━┭┐ ┏┭─	╲ ╱	╲ ╱
─┮┓ ┌┮━	╲ ╱	╲ ╱
━┭┐ ┌┮━	╲ ╱	╲ ╱
─┮┓ ┏┭─	╲ ╱	╲ ╱
━┭┐ ┌┮━	╲ ╱	╲ ╱

(굵게 표시된 변이 완벽 부합에 속하는 변이다.)

즉, 2차원 이징 모형의 임의의 상태에서, 각 스핀 사이의 변을 다음과 같이 칠한다.

서로 다른 스핀 사이의 변은 굵게
서로 같은 스핀 사이의 변은 가늘게

그 후, 각 꼭짓점을 위와 같은 8개의 나비 그래프 가운데 하나로 치환하면, 이징 모형의 각 상태와 피셔 격자의 완벽 부합 사이에 2대 1 대응을 얻는다. 2대 1인 이유는 이징 모형의 상태에서 모든 스핀을 뒤집어도 같은 완벽 부합에 대응하기 때문이다.

예를 들어, 45도 기울여 그린 평면 이징 모형 상태의 일부분이 다음과 같다면,

╲ ╱

+

╲ ╱ ╲ ╱

+ +

╲ ╱ ╲ ╱ ╲ ╱

− + +

╱ ╲ ╱ ╲ ╱ ╲

+ −

╱ ╲ ╱ ╲

−

╱ ╲

이는 다음과 같은 피셔 격자 완벽 부합에 대응한다.

─┰┐ ┌┰─

┃┝━┥┃

━┭┐ ┌┰─┸┘ └┸─┮┓ ┏┭─

│┝━┥┃ │┞─┦│

━┵┘ └┸─┮┓ ┌┮━┵┘ └┶━

│┞─┧│

━┵┘ ┗┵─

5. 타일링

도미노 타일링과 관련된 개념으로는 통계역학에서의 가우스 자유장(Gaussian free field), 높이 함수의 스케일 극한, 체스판 문제(Mutilated chessboard problem) 등이 있다. 다다미는 일본식 방의 바닥 타일링에 사용되는 도미노 모양의 바닥 매트로, 배열 규칙을 가지고 있다.

5. 1. 높이 함수

정규 격자 위의 2차원 타일링의 일부 클래스에 대해, 격자의 정점에 정수를 연관시키는 높이 함수를 정의할 수 있다. 예를 들어, 체스판을 흑백 체커판 무늬로 색칠하고, 높이가 0인 노드

A_0

를 고정한다. 그런 다음, 모든 노드에 대해

A_0

에서 해당 노드로 가는 경로를 설정한다. 이 경로에서 각 노드

A_{n+1}

(즉, 사각형의 모서리)의 높이는 이전 노드

A_n

의 높이에, 경로의 오른쪽에 있는 사각형이 검은색이면 1을 더하고 그렇지 않으면 1을 빼서 정의한다.

자세한 내용은 케년(Kenyon)과 오쿤코프(Okounkov)의 2005년 논문에서 찾을 수 있다.

5. 2. 서스턴의 높이 조건

윌리엄 서스턴은 평면에서 단위 정사각형의 합집합으로 형성된 단일 연결 영역이 도미노 타일을 갖는지 여부를 결정하는 방법을 설명한다. 그는 정점들이 3차원 정수 격자의 점 (''x'',''y'',''z'')인 무향 그래프를 형성하는데, 각 점은 네 개의 이웃과 연결된다. 만약 ''x'' + ''y''가 짝수이면 (''x'',''y'',''z'')는 (''x'' + 1,''y'',''z'' + 1), (''x'' − 1,''y'',''z'' + 1), (''x'',''y'' + 1,''z'' − 1), (''x'',''y'' − 1,''z'' − 1)과 연결되고, ''x'' + ''y''가 홀수이면 (''x'',''y'',''z'')는 (''x'' + 1,''y'',''z'' − 1), (''x'' − 1,''y'',''z'' − 1), (''x'',''y'' + 1,''z'' + 1), (''x'',''y'' − 1,''z'' + 1)과 연결된다. 영역의 경계는 (''x'',''y'') 평면의 정수 점의 시퀀스로 간주되는데, 이는 3차원 그래프의 경로로 유일하게 상승한다. 이 영역이 타일링 가능하기 위한 필요 조건은 이 경로가 3차원에서 단순 폐곡선을 형성하도록 닫혀야 한다는 것이지만, 이 조건은 충분하지 않다. 경계 경로에 대한 더 주의 깊은 분석을 사용하여 서스턴은 필요 조건뿐만 아니라 충분 조건이 되는 영역의 타일링 가능성에 대한 기준을 제시했다.

5. 3. 영역 타일링의 수 계산

템펄리와 피셔, 그리고 카스텔레인은

m \times n

크기의 직사각형을

\frac{mn}{2}

개의 도미노로 덮는 방법의 수가 다음과 같음을 독립적으로 계산했다.

:

\prod_{j=1}^{\lceil\frac{m}{2}\rceil} \prod_{k=1}^{\lceil\frac{n}{2}\rceil} \left ( 4\cos^2 \frac{\pi j}{m + 1} + 4\cos^2 \frac{\pi k}{n + 1} \right ).

''m''과 ''n''이 모두 홀수이면, 이 공식은 0개의 가능한 도미노 타일링으로 정확하게 줄어든다.

2\times n

직사각형을 ''n''개의 도미노로 타일링하는 특별한 경우, 그 수는 피보나치 수열로 줄어든다.^[1]

''m'' = ''n'' = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... 인 정사각형의 경우, 타일링 수는 다음과 같다.

:1, 2, 36, 6728, 12988816, 258584046368, 53060477521960000, ...

이러한 숫자는

mn \times mn

왜대칭 행렬의 Pfaffian으로 작성하여 찾을 수 있으며, 이 행렬의 고유값은 명시적으로 찾을 수 있다. 이 기법은 통계 역학에서 고전적인 2차원 이합체-이합체 상관 함수 계산 등 다양한 수학 관련 주제에 적용될 수 있다.

영역의 타일링 수는 경계 조건에 매우 민감하며, 영역의 모양이 약간만 변경되어도 크게 달라질 수 있다. 예를 들어 ''n''차 아즈텍 다이아몬드의 타일링 수는 2^{(''n'' + 1)''n''/2}이다. 그러나 중간에 2개의 긴 행 대신 3개의 긴 행이 있는 ''n''차 "확장된 아즈텍 다이아몬드"로 대체되면 타일링 수는 훨씬 더 작은 수 D(''n'',''n''), 즉 들라노이 수로 감소하며, ''n''에서 초지수적 증가가 아닌 지수적 증가만 나타낸다. 중간에 하나의 긴 행만 있는 ''n''차 "축소된 아즈텍 다이아몬드"의 경우, 하나의 타일링만 존재한다.

5. 4. 다다미 타일링

다다미는 도미노 모양(1x2 직사각형)의 일본식 바닥 매트이다. 방을 다다미로 채울 때는 몇 가지 규칙이 있는데, 보통 세 개의 다다미가 만나는 지점은 좋다고 여기지만, 네 개가 만나는 지점은 좋지 않다고 여긴다.^[1] 따라서 좋은 다다미 타일링은 모서리마다 세 개의 다다미만 만나도록 하는 것이다.^[1] 이렇게 모서리에 세 개씩 다다미가 만나도록 방을 채우는 문제는 NP-완전 문제이다.

6. 응용

이합체 모형은 통계 물리학에서 이합체 배치(dimer configuration^영어)를 연구하는 데 사용된다. 이 모형은 그래프 이론을 기반으로 하며, 다음과 같은 용어 대응을 갖는다.

수학	물리학
변	이합체 (dimer)
꼭짓점	단량체 (monomer)
완벽 부합	이합체 배치
변의 무게 (weight^영어)	이합체의 에너지
꼭짓점의 무게 (weight^영어)	단량체의 에너지

이러한 대응을 바탕으로, 이합체 모형과 단량체-이합체 모형을 정의할 수 있다.

6. 1. 통계 물리학에서의 응용

다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다.

위상 공간은 완벽 부합의 집합 $\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)$ 이다.
임의의 완벽 부합 $M\in\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)$ 의 '''에너지'''는 부합에 속하는 변들의 에너지들의 합 $\textstyle E(M)=\sum_{e\in M}E(e)$ 이다.
온도 $T=1/\beta$ 에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 $\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)\to\mathbb R$ 로 정의되는 기브스 측도이다.
$Z(\beta;\Gamma)=\sum_{M\in\operatorname{PerfMatch}(\Gamma)}\exp\left(-\beta\sum_{e\in M}E(e)\right)$
$\Pr(M;\beta)=\frac{\exp\left(-\beta E(M)\right)}Z\qquad(M\in\operatorname{PerfMatch}(\Gamma))$

여기서 값

Z(\beta;\Gamma)

는 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 '''이합체 모형'''이라고 한다.

주기적인 도미노 타일링과 2차원 주기적 격자에서의 완전히 좌절된 이징 모형의 바닥 상태 구성 사이에는 일대일 대응이 있다. 바닥 상태에서 스핀 모형의 각 플라켓은 정확히 하나의 기하학적 좌절된 상호 작용을 포함해야 한다. 따라서 쌍대 격자에서 보면, 각 좌절된 모서리는 ''1x2'' 직사각형으로 "덮여" 있어야 하며, 이 직사각형은 전체 격자를 가로지르며 겹치지 않아야 한다. 즉, 쌍대 격자의 도미노 타일링이다.

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