테셀레이션

3. 수학

3. 1. 테셀레이션의 기본 개념

• '''타일:''' 테셀레이션을 구성하는 기본 도형이다.
• '''모서리:''' 맞닿은 두 타일이 만나는 선으로, 보통 곧은 선분이다.
• '''꼭짓점:''' 3개 이상의 맞닿은 타일이 만나는 점이다.
• '''점추이 테셀레이션:''' 각 꼭짓점의 배열이 같은 테셀레이션이다.
• '''기본역:''' 반복되어 테셀레이션을 만드는 모양이다.^[113]
• '''모서리 대 모서리 타일링:''' 맞닿은 타일이 한 변을 완전히 공유하는 다각형 테셀레이션이다. 벽돌쌓기는 각 직육각형 벽돌의 긴 변을 마주하는 두 벽돌과 공유하기 때문에 모서리 대 모서리 테셀레이션이 아니다.^[113]

3. 2. 일반적인 테셀레이션

3. 3. 다양한 테셀레이션의 종류

단일 타일링 가능한 정 ''p''각형의 내각을 ''q''배 하면 360°가 되므로,

:$\backslash frac\{(p-2)\; \backslash times\; 180^\backslash circ\}\{p\}\; \backslash times\; q\; =\; 360^\backslash circ$

이 성립한다. 이것을 정리하면

:$(p\; -\; 2)\; (q\; -\; 2)\; =\; 4$

로 나타낼 수 있으며, 정수해는 위의 3개뿐이므로 단일 타일링 가능한 정다각형은 이 3개밖에 존재하지 않는다는 것을 증명할 수 있다.

정삼각형과 정사각형에 대해서는 꼭짓점이 다른 타일의 변에 접하도록 할 수도 있다. 단, 그 변을 그 접점에서 2변으로 나누어 내각 180°로 접하고 있다고 간주하면, 이것들은 후술할 일반 사각형이나 평행육각형에 의한 타일링의 특수한 경우이다.

모든 평행사변형은 단일 타일링이 가능하며, 모든 삼각형은 합동인 것을 2개 조합함으로써 평행사변형이 되므로, 모든 삼각형은 단일 타일링이 가능하다.

모든 합동인 평행육각형(parallelohexagon, 세 쌍의 대변이 모두 평행하고 길이가 같은 육각형)은 단일 타일링이 가능하며, 또한 모든 사각형은 합동인 것을 두 개 조합함으로써 평행육각형이 되므로, 모든 사각형은 단일 타일링이 가능하다.

평행육각형은 중심을 지나는 직선으로 합동인 두 개의 오각형으로 나눌 수 있다. 이러한 오각형도 단일 타일링이 가능하다.

단일 타일로 덮을 수 있는 도형에 대해, 대응하는 위치에 요철을 준 경우에도 단일 타일로 덮을 수 있다.

정사각형의 예:

평행육면체의 예:

오각형 타일링은 현대에도 미해결된 문제가 많아 연구 대상이 되고 있다.

특히, 단일 종류만으로 평면을 주기적으로 타일링할 수 있는 볼록 오각형의 모양은 지금까지 15가지 유형(type)이 알려져 있다. 놀랍게도 그 중 4종류는 1976년과 1977년에 아마추어 수학자인 주부에 의해 발견되었다. 최신인 15번째 유형은 워싱턴 대학교 보셀교의 등에 의해 2015년에 발견되었다. 그리고 이 15가지 종류가 전부라고 주장하는 논문을 2017년에 Rao가 발표했다.^[93][94] 현재 심사 중이다.^[93]

펜로즈 타일, #비주기적 타일링 참조.

어떤 주기성도 갖지 않는 타일링도 존재한다. 단, 주기적 타일링을 비주기적으로 변형한 것(장소에 따라 임의의 방법으로 타일을 분할하는 등)은 비주기적 타일링으로 간주하지 않는다.

최초의 비주기적 타일링은 1966년에 발견되었으며, 20426종류의 타일을 사용한다. 그 후, 보다 적은 종류의 타일로 타일링하는 방법이 발견되었고, 1974년에는 영국의 물리학자 로저 펜로즈가 비주기적 타일링이 가능한 2종류의 마름모 타일인 "펜로즈 타일"을 고안했지만, 비주기적 모노타일(단일 타일로 비주기적 타일링이 가능한 타일)이 존재하는지 여부는 오랫동안 미해결 상태였으며, '''아인슈타인 문제'''라고 불렸다.^[95]

그러나 2011년에 Socolar–Taylor tile라고 불리는 한 종류의 비연결 타일로 비주기적 타일링이 가능하다는 것이 발견되었고, 2023년에는 David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Strauss가, 처음에는 뒤집어서 사용해도 된다는 완화된 조건 하에서 "모자"("hat")라고 명명된 13각형 타일 1종류로 비주기적 타일링이 가능하다는 것을 보고했으며, 그 직후 "모자"의 개량을 통해 뒤집을 필요가 없는 14각형 비주기적 모노타일 "Spectre"를 발표하여 아인슈타인 문제를 완전히 해결했다.^[95]

참고로 고차원에서는 한 종류의 블록에 의한 3차원 공간의 비주기적 채움이 1993년에 발견되었다.

3. 4. 벽지군

3. 5. 다각형 테셀레이션

3. 6. 고차원 테셀레이션

4. 예술과 건축에서의 테셀레이션

테셀레이션은 기원전 4000년경 수메르인들이 점토 타일 패턴으로 벽 장식을 만들 때 사용했다.^[1] 테세라라고 불리는 작은 정사각형 블록으로 만들어진 장식적인 모자이크는 고대 시대에 널리 사용되었으며,^[2] 때로는 기하학적 패턴을 나타내기도 했다.^[3][60]

1619년, 요하네스 케플러는 저서 천체의 조화^la에서 정규 및 준정규 테셀레이션에 대해 썼으며, 벌집과 눈송이의 육각형 구조를 탐구하고 설명한 최초의 사람이었을 것이다.^[4]

1891년, 러시아의 결정학자 예브그라프 표도로프는 평면의 모든 주기적 타일링이 17개의 서로 다른 등거리 변환군 중 하나를 특징으로 한다는 것을 증명했다.^[5][6] 표도로프의 연구는 테셀레이션에 대한 수학적 연구의 비공식적인 시작을 알렸다. 알렉세이 바실리예비치 슈브니코프와 니콜라이 벨로프 (1964)의 ''색채 대칭''^[7], 하인리히 헤쉬와 오토 킨즐레 (1963)도 주요 기여자이다.^[8]

4. 1. 이슬람 건축

4. 2. M. C. 에셔의 작품

4. 3. 한국 전통 건축

4. 4. 현대 건축

5. 기타 분야에서의 테셀레이션

테셀레이션은 자연, 제조, 퍼즐 등 다양한 분야에서 발견되거나 활용된다.

5. 1. 자연

5. 2. 제조업

5. 3. 퍼즐

참조

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