단조함수

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1. 개요

단조 함수는 실수 구간을 정의역으로 하고 실수 집합을 공역으로 하는 함수로서, 입력값의 순서를 함수값이 따라가면 증가 함수, 반대로 따라가면 감소 함수로 정의된다. 미적분학에서는 함수가 전체적으로 감소하지 않거나 증가하지 않으면 단조 함수라고 하며, 강한 단조 함수는 절대 순서 관계를 보존하거나 반전시키는 함수를 의미한다. 단조 함수는 모든 점에서의 오른쪽과 왼쪽 극한을 가지며, 점프 불연속점만 가질 수 있다는 특징이 있다. 이 외에도, 단조 함수는 위상수학, 함수해석학, 순서 이론, 탐색 알고리즘, 불 대수 등 다양한 분야에서 응용되며, 실수열의 단조성, 유계 단조 수열 등과 같은 개념으로 확장되어 사용된다.

단조함수

개요

정의	어떤 집합 위에서 정의된 전순서 관계를 보존하는 함수
종류	단조 증가 함수 (monotonic increasing function) 단조 감소 함수 (monotonic decreasing function)
관련 개념	미분 가능 함수

정의

단조 함수	함수 f가 정의역의 모든 x와 y에 대해 다음 중 하나를 만족하는 경우 단조 함수라고 함
단조 증가 함수 (Monotonically increasing function)	x ≤ y 이면 f(x) ≤ f(y)
단조 감소 함수 (Monotonically decreasing function)	x ≤ y 이면 f(x) ≥ f(y)
엄격한 단조 증가 함수 (Strictly monotonically increasing function)	x < y 이면 f(x) < f(y)
엄격한 단조 감소 함수 (Strictly monotonically decreasing function)	x < y 이면 f(x) > f(y)

성질

미분 가능성	단조 함수는 거의 모든 곳에서 미분 가능
도함수 부호	단조 증가 함수의 도함수는 항상 0 이상 단조 감소 함수의 도함수는 항상 0 이하
역함수	엄격한 단조 함수의 역함수는 존재하며, 원래 함수의 단조성을 유지

활용

최적화	단조 함수의 성질을 이용하여 최적화 문제 해결
수치 해석	방정식의 해를 구하는 알고리즘 개발
경제학	효용 함수, 생산 함수 분석
확률론	누적 분포 함수 분석

예시

단조 증가 함수	f(x) = x f(x) = exp(x) f(x) = log(x) (x > 0)
단조 감소 함수	f(x) = -x f(x) = exp(-x)

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2. 정의

실수 구간 $I$ 를 정의역, 실수 집합 $\R$ 을 공역으로 하는 함수 $f\colon I\to\R$ 이 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면, 단조 함수라고 한다.

* 임의의 $x,y\in I$ 에 대하여, $x\le y$ 이면 $f(x)\le f(y)$ 인 경우, $f$ 를 증가 함수(increasing function^영어)라고 하며, $f$ 가 단조 증가(monotonically increasing^영어)한다고 한다.
* 임의의 $x,y\in I$ 에 대하여, $x\le y$ 이면 $f(x)\ge f(y)$ 인 경우, $f$ 를 감소 함수(decreasing function^영어)라고 하며, $f$ 가 단조 감소(monotonically decreasing^영어)한다고 한다.

단조 함수는 순서 관계 $\le$ 를 보존하거나 반전시키는 함수이다.

실수 부분 집합 $D\subset\R$ 에서 실수 집합 $\R$ 로 가는 함수 $f\colon D\to\R$ 의, 부분 구간 $I\subset D$ 에서의 단조성은, $f$ 의 $I$ 로의 제한 $f|_I$ 의 단조성을 뜻한다.

미적분학에서, 실수 값을 갖는 실수의 부분 집합에서 정의된 함수 $f$ 는 전체적으로 감소하지 않거나, 전체적으로 증가하지 않으면 단조 함수라고 한다.

함수 $f$ 의 모든 차수의 도함수가 구간의 모든 점에서 0보다 크거나 같음 또는 0보다 작거나 같음이면 함수 $f$ 가 구간 $\left(a, b\right)$ 에서 절대 단조라고 한다.

2.1. 증가 함수와 감소 함수

실수 구간을 정의역으로, 실수 집합을 공역으로 하는 함수 $f$ 에 대해, 임의의 두 입력값 $x, y$ 를 생각하자. 이때, $x \le y$ 인데 $f(x) \le f(y)$ 이면, 즉 함수값이 입력값의 순서를 따르면 $f$ 를 증가 함수(increasing function^영어)라고 한다. 반대로, $x \le y$ 인데 $f(x) \ge f(y)$ 이면, 즉 함수값이 입력값의 순서를 반대로 따르면 $f$ 를 감소 함수(decreasing function^영어)라고 한다.

만약 $x < y$ 일 때 $f(x) < f(y)$ 이면, $f$ 를 강한 증가 함수(strictly increasing function^영어)라고 한다. $x < y$ 일 때 $f(x) > f(y)$ 이면, $f$ 를 강한 감소 함수(strictly decreasing function^영어)라고 한다.

증가 함수와 감소 함수를 통틀어 단조 함수라고 하며, 강한 증가 함수와 강한 감소 함수를 통틀어 강한 단조 함수(strictly monotonic function^영어)라고 한다. 강한 단조 함수는 일대일 함수이다.

비 엄격한 단조성을 나타내기 위해 '약하게 단조', '약하게 증가', '약하게 감소'라는 용어를 사용하기도 한다.

'감소하지 않음'과 '증가하지 않음'이라는 용어는 '감소하지 않음' 및 '증가하지 않음'과 혼동해서는 안 된다.

부분 집합 $I \subseteq \mathbb{R}$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 에 대한 단조성은 다음 표와 같이 정리할 수 있다.

👆

좌우로 밀어서 보기

$\forall x_1, \forall x_2 \in I$ 에 대해 ~가 성립할 때	$f(x)$ 는 구간 I 에서 ~이다
$\forall x_1, \forall x_2 \in I$ 에 대해 ~가 성립할 때	어법1	어법2	어법3
$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\,$	증가	엄밀 증가	증가
$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)\,$	광의 증가	증가	감소하지 않음
$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2) \,$	감소	엄밀 감소	감소
$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)\,$	광의 감소	감소	증가하지 않음

2.2. 강한 단조 함수

만약 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면, 강한 단조 함수(strictly monotonic function^영어)라고 한다.

* 임의의 실수 구간 $I$ 의 원소 $x,y\in I$ 에 대하여, $x 이면 f(x) 이다. 이 경우, f 를$ 강한 증가 함수(strictly increasing function^영어)라고 한다.
* 임의의 실수 구간 $I$ 의 원소 $x,y\in I$ 에 대하여, $x 이면 f(x)>f(y) 이다. 이 경우, f 를$ 강한 감소 함수(strictly decreasing function^영어)라고 한다.

즉, 강한 단조 함수는 절대 순서 관계 $<$ 를 보존하거나 반전시키는 함수이다. 강한 단조 함수는 단조 함수보다 강한 개념이다. 예를 들어, 단조 함수는 어떤 부분 구간에서 줄곧 상수일 수 있으나, 강한 단조 함수는 그럴 수 없다.

단조성의 정의에서 순서 $\leq$ 를 엄격한 순서 $<$ 로 대체하면 더 강력한 요구 사항을 얻을 수 있다. 이러한 속성을 가진 함수를 엄격히 증가(증가)라고 한다. 다시, 순서 기호를 반전시켜 엄격히 감소(감소)라고 하는 해당하는 개념을 찾을 수 있다. 이러한 속성을 가진 함수는 엄격히 단조라고 한다. 엄격히 단조인 함수는 일대일 함수이다. 왜냐하면 $x$ 가 $y$ 와 같지 않은 경우, $x < y$ 또는 $x > y$ 이고, 단조성에 의해 $f(x) < f(y)$ 또는 $f(x) > f(y)$ 이므로, $f(x) \neq f(y)$ 이기 때문이다.

모든 엄격 단조 함수는 치역에서 정의역으로의 일대일 대응을 보장하므로 역변환 가능하다. 그러나 약 단조 함수는 일부 구간에서 상수이므로 일대일 함수가 아니기 때문에 역변환이 불가능하다.

함수는 제한된 범위의 값에서 엄격 단조일 수 있으며, 따라서 모든 곳에서 엄격 단조가 아니더라도 해당 범위에서 역함수를 가질 수 있다. 예를 들어, $y = g(x)$ 가 범위 $[a, b]$ 에서 엄격하게 증가한다면, 범위 $[g(a), g(b)]$ 에서 역함수 $x = h(y)$ 를 갖는다.

2.3. 순서 보존/반전 사상

두 부분 순서 집합 사이의 순서 보존 사상(順序保存寫像, order-preserving map^영어)은 임의의 $x,y\in X$ 에 대하여 $x\le y$ 이면 $f(x)\preceq f(y)$ 인 함수 $f\colon X\to Y$ 이다. 즉, 두 부분 순서 집합 사이의 준동형이다.
두 부분 순서 집합 사이의 순서 반전 사상(order-reversing map^영어)은 임의의 $x,y\in X$ 에 대하여 $x\le y$ 이면 $f(x)\succeq f(y)$ 인 함수 $f\colon X\to Y$ 이다. 즉, 첫 번째 부분 순서 집합과 두 번째 부분 순서 집합 사이의 역순서 준동형이다.

순서 이론은 실수의 일반화로서 임의의 부분 순서 집합과 전순서 집합을 다룬다. 단조성의 정의는 이러한 경우에도 관련이 있다. 그러나 "증가"와 "감소"라는 용어는 그 전통적인 그림 표현이 전순서가 아닌 순서에는 적용되지 않기 때문에 피한다. 또한, 강한 순서 관계 $<$ 와 $>$ 는 많은 비전순서에서 거의 쓸모가 없으므로 이에 대한 추가 용어는 도입되지 않는다.

$\leq$ 을 임의의 부분 순서 집합의 부분 순서 관계라고 하면, 단조 함수는 아이소톤 또는 순서 보존이라고도 하며, 다음 속성을 만족한다.

$x \leq y \implies f(x) \leq f(y)$

여기서 $x$ 와 $y$ 는 함수의 정의역에 속한다. 두 단조 매핑의 합성 함수도 단조 함수이다.

쌍대 개념은 종종 안티톤, 반단조 또는 순서 반전이라고 불린다. 따라서, 안티톤 함수 $f$ 는 다음 속성을 만족한다.

$x \leq y \implies f(y) \leq f(x),$

여기서 $x$ 와 $y$ 는 함수의 정의역에 속한다.

3. 미분과 단조성

미분은 함수의 단조성을 판별하는 데 유용한 도구이며, 미분 가능한 함수의 단조성은 도함수의 부호를 통해 판별할 수 있다.

구간 $I$ 에 정의된 실수 단조 함수 $f\colon I\to\R$ 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* $f$ 의 불연속점은 모두 단순 불연속점이다.
* $f$ 의 불연속점은 많아야 가산 개이다.
* (르베그 미분가능성 정리) $f$ 의 미분 불가능점은 많아야 영측도이다.

이에 따라, 연속 함수가 아니거나 미분 불가능한 단조 함수의 성질은 상당히 제한된다.

다음은 단조 함수

f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}

에 대해 참인 성질들이다.
*

f

는 모든 점에서 오른쪽 극한과 왼쪽 극한을 가진다.
*

f

는 실수,

\infty

, 또는

-\infty

중 하나인 양 또는 음의 무한대(

\pm\infty

)에서 극한을 가진다.
*

f

는 점프 불연속점만 가질 수 있다.
*

f

는 정의역에서 가산 개의 불연속점만 가질 수 있다. 그러나 불연속점은 반드시 고립된 점으로 구성될 필요는 없으며, 심지어 구간 (a, b)에서 조밀할 수도 있다. 예를 들어, 양수의 가합 수열

(a_i)

와 유리수의 임의의 열거

(q_i)

에 대해, 단조 증가 함수

f(x)=\sum_{q_i\leq x} a_i

는 정확히 모든 무리수에서 연속이다(그림 참조). 이는

a_i

가

q_i

의 가중치인 유리수 상의 이산 측도의 누적 분포 함수이다.
* 만약

f

가

x^*\in\Bbb R

에서 미분 가능하고

f'(x^*)>0

이면,

x^*\in I

이고

f

가 I에서 증가하는 구간 I가 존재한다. 부분적인 역으로, 만약 f가 구간 I에서 미분 가능하고 증가한다면, 그 도함수는 I의 모든 점에서 양수이다.

이러한 성질 때문에 단조 함수는 해석학에서 유용하게 활용된다. 이 외에도 단조 함수는 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다.
* 만약

f

가 구간

I

에서 정의된 단조 함수이면,

f

는

I

에서 거의 모든 곳에서 미분 가능하다. 즉,

f

가 미분 가능하지 않은

I

의 숫자 집합

x

는 르베그 측도 영을 가진다. 또한, 이 결과는 가산 집합으로 개선될 수 없다. 칸토어 함수를 참조하라.
* 이 집합이 가산 집합이면,

f

는 절대 연속이다.
* 만약

f

가 구간

\left[a, b\right]

에서 정의된 단조 함수이면,

f

는 리만 적분 가능하다.

단조 함수는 확률론에서 중요한 응용 분야를 갖는다. 만약

X

가 확률 변수이면, 그 누적 분포 함수

F_X\!\left(x\right) = \text{Prob}\!\left(X \leq x\right)

는 단조 증가 함수이다.

어떤 함수가 특정 점(최빈값)까지 단조 증가하다가 그 이후 단조 감소하면 단봉 함수라고 한다.

f

가 엄격한 단조 함수이면,

f

는 정의역에서 단사이고,

T

가

f

의 치역이면,

T

에서

f

에 대한 역함수가 존재한다. 반면, 상수 함수는 단조이지만 단사 함수가 아니므로, 역함수를 가질 수 없다.

부분 집합

I \subseteq \mathbb{R}

에서 정의된 함수

f(x)

에 대한 단조성은 다음과 같이 정의된다.

👆

좌우로 밀어서 보기

$\forall x_1, \forall x_2 \in I$ 에 대해 ~가 성립할 때	$f(x)$ 는 구간 I 에서 ~이다
$\forall x_1, \forall x_2 \in I$ 에 대해 ~가 성립할 때	어법1	어법2	어법3
$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\,$	증가	엄밀 증가	증가
$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)\,$	광의 증가	증가	감소하지 않음
$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2) \,$	감소	엄밀 감소	감소
$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)\,$	광의 감소	감소	증가하지 않음

등호 성립 여부에 대한 정의는 서적에 따라 다를 수 있다.

특히, 정의역 전체에서 증가/감소하는 함수를 각각 증가 함수/감소 함수라고 하며, 이들을 통틀어 단조 함수라고 부른다.

3.1. 도함수와 증가/감소

3.2. 강한 단조성과 도함수

미분은 함수의 단조성을 판별하는 좋은 도구이다. 미분 가능한 실수 함수 $f\colon D\to\R$ 와 부분 구간 $I\subset D$ 에 대하여, 강한 단조 함수에 대한 다음 성질들이 성립한다.

* $f$ 가 $I$ 에서 강한 증가 함수일 필요충분조건은, 임의의 $x\in I$ 에 대하여, $f'(x)\ge0$ 이며, 임의의 $x\in J$ 에 대하여 $f'(x)=0$ 인 부분 구간 $J\subset I$ 가 존재하지 않는 것이다.
* $f$ 가 $I$ 에서 강한 감소 함수일 필요충분조건은, 임의의 $x\in I$ 에 대하여, $f'(x)\le0$ 이며, 임의의 $x\in J$ 에 대하여 $f'(x)=0$ 인 부분 구간 $J\subset I$ 가 존재하지 않는 것이다.

특히, 만약 $I$ 에서 항상 $f'(x)>0$ 이거나, 항상 $f'(x)<0$ 이면, $f$ 는 $I$ 에서 강한 단조 함수이다. 그러나 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 함수 $f(x)=x^3$ 은 실수 전체에서 강한 증가 함수이지만, $f'(0)=0$ 이다.

함수 $f(x)$ 가 항상 미분 가능한 경우, $f(x)$ 가 광의 증가가 되는 것은 $f'(x)$ 가 항상 음이 아닌 것과 동치이며, $f(x)$ 가 광의 감소가 되는 것은 $f'(x)$ 가 항상 양이 아닌 것과 동치이다. 더욱이 $f'(x)$ 의 영점이 존재하지 않는 경우, 엄밀한 단조성을 말할 수 있다.

4. 단조 함수의 성질

미분은 함수의 단조성을 판별하는 좋은 도구이다. 미분 가능한 실수 함수 $f\colon D\to\R$ 와 부분 구간 $I\subset D$ 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

* $f$ 가 $I$ 에서 단조 증가할 필요충분조건은, 임의의 $x\in I$ 에 대하여, $f'(x)\ge0$ 인 것이다.
* $f$ 가 $I$ 에서 단조 감소할 필요충분조건은, 임의의 $x\in I$ 에 대하여, $f'(x)\le0$ 인 것이다.

같은 $f$ 및 $I$ 에 대하여, 강한 단조 함수에 대한 다음 성질들도 성립한다.

* $f$ 가 $I$ 에서 강한 증가 함수일 필요충분조건은, 임의의 $x\in I$ 에 대하여, $f'(x)\ge0$ 이며, 임의의 $x\in J$ 에 대하여 $f'(x)=0$ 인 부분 구간 $J\subset I$ 가 존재하지 않는 것이다.
* $f$ 가 $I$ 에서 강한 감소 함수일 필요충분조건은, 임의의 $x\in I$ 에 대하여, $f'(x)\le0$ 이며, 임의의 $x\in J$ 에 대하여 $f'(x)=0$ 인 부분 구간 $J\subset I$ 가 존재하지 않는 것이다.

특히, 만약 $I$ 에서 항상 $f'(x)>0$ 이거나, 항상 $f'(x)<0$ 이면, $f$ 는 $I$ 에서 강한 단조 함수이다. 그러나 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 함수 $f(x)=x^3$ 은 실수 전체에서 강한 증가 함수이지만, $f'(0)=0$ 이다.

구간 $I$ 에 정의된 실수 단조 함수 $f\colon I\to\R$ 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

* $f$ 는 모든 점에서 오른쪽 극한과 왼쪽 극한을 가진다.
* $f$ 는 실수, $\infty$ , 또는 $-\infty$ 중 하나인 양 또는 음의 무한대( $\pm\infty$ )에서 극한을 가진다.
* $f$ 의 불연속점은 모두 단순 불연속점이다.
* (르베그 미분가능성 정리)

이에 따라, 연속 함수가 아니거나 미분 불가능한 단조 함수의 성질은 상당히 제한된다.

만약 $f$ 가 구간 $\left[a, b\right]$ 에서 정의된 단조 함수이면, $f$ 는 리만 적분 가능하다.

단조 함수의 중요한 응용 분야는 확률론에 있다. 만약 $X$ 가 확률 변수이면, 그 누적 분포 함수 $F_X\!\left(x\right) = \text{Prob}\!\left(X \leq x\right)$ 는 단조 증가 함수이다.

어떤 함수가 어떤 점(최빈값)까지 단조 증가하고 그 다음 단조 감소하면 단봉 함수이다.

$f$ 가 엄격한 단조 함수이면, $f$ 는 정의역에서 단사이고, $T$ 가 $f$ 의 치역이면, $f$ 에 대한 $T$ 에서 역함수가 존재한다. 대조적으로, 각 상수 함수는 단조이지만 단사 함수가 아니며, 따라서 역함수를 가질 수 없다.

4.1. 불연속점과 미분 불가능점

* $f$ 는 점프 불연속점만 가질 수 있다.
* $f$ 는 정의역에서 가산 개의 불연속점만 가질 수 있다. 그러나 불연속점은 반드시 고립된 점으로 구성될 필요는 없으며, 심지어 구간 (a, b)에서 조밀할 수도 있다. 예를 들어, 양수의 가합 수열 $(a_i)$ 와 유리수의 임의의 열거 $(q_i)$ 에 대해, 단조 증가 함수
: $f(x)=\sum_{q_i\leq x} a_i$ 는 정확히 모든 무리수에서 연속이다(그림 참조). 이는 $a_i$ 가 $q_i$ 의 가중치인 유리수 상의 이산 측도의 누적 분포 함수이다.
* 만약 $f$ 가 구간 $I$ 에서 정의된 단조 함수이면, $f$ 는 $I$ 에서 거의 모든 곳에서 미분 가능하다. 즉, $x$ 에서 $f$ 가 미분 가능하지 않은 $I$ 의 숫자 집합 $x$ 는 르베그 측도 영을 가진다. 또한, 이 결과는 가산 집합으로 개선될 수 없다. 칸토어 함수를 참조하라.
* 만약 $f$ 가 $x^*\in\Bbb R$ 에서 미분 가능하고 $f'(x^*)>0$ 이면, $x^*\in I$ 이고 $f$ 가 I에서 증가하는 구간 I가 존재한다. 부분적인 역으로, 만약 f가 구간 I에서 미분 가능하고 증가한다면, 그 도함수는 I의 모든 점에서 양수이다.

5. 단조 변환

모든 엄격 단조 함수는 치역에서 정의역으로 일대일 대응을 보장하므로 역변환 가능하다. 그러나 약 단조 함수는 일부 구간에서 상수이므로 일대일 함수가 아니기 때문에 역변환이 불가능하다.

함수는 제한된 범위의 값에서 엄격 단조일 수 있으며, 따라서 모든 곳에서 엄격 단조가 아니더라도 해당 범위에서 역함수를 가질 수 있다. 예를 들어, $y = g(x)$ 가 범위 $[a, b]$ 에서 엄격하게 증가한다면, 범위 $[g(a), g(b)]$ 에서 역함수 $x = h(y)$ 를 갖는다.

"단조"라는 용어는 때때로 "엄격 단조"를 대신하여 사용되므로, 일부 자료에서는 모든 단조 함수가 역변환 가능하다고 언급할 수 있지만, 실제로는 모든 엄격 단조 함수가 역변환 가능하다는 의미일 수 있다.

단조 변환은 엄격하게 증가하는 함수에 의한 변환을 의미하기 때문에 "단조 변환"이라는 용어는 혼란을 야기할 수 있다. 이는 단조 변환을 통해 효용 함수의 서수적 속성이 보존되는 경제학의 경우에 해당한다(단조 선호 참조). 이 맥락에서 "단조 변환"이라는 용어는 양의 단조 변환을 의미하며, 숫자의 순서를 반전시키는 "음의 단조 변환"과 구별하기 위한 것이다.

6. 여러 분야에서의 응용

위상수학에서 사상 $f: X \to Y$ 가 각 올이 연결되어 있으면 단조라고 한다.

함수해석학에서 위상 벡터 공간 $X$ 상의 연산자 $T: X \rightarrow X^*$ 는 다음 조건을 만족하면 단조 연산자라고 한다.

: $(Tu - Tv, u - v) \geq 0 \quad \forall u,v \in X.$

카추롭스키 정리는 바나흐 공간 위의 볼록 함수가 도함수로서 단조 연산자를 가짐을 보여준다.

순서론에서 순서를 보존하는 함수는 순서 보존 함수라고 불린다. 부분 순서 집합의 부분 순서 관계를 $\leq$ 라고 할 때, 단조 함수는 다음 속성을 만족한다.

: $x \leq y \implies f(x) \leq f(y)$

여기서 $x$ 와 $y$ 는 함수의 정의역에 속한다. 두 단조 함수의 합성 함수도 단조 함수이다. 쌍대 개념은 안티톤, 반단조 또는 순서 반전이라고 불린다.

탐색 알고리즘의 맥락에서 단조성(일관성)은 휴리스틱 함수에 적용되는 조건이다. 휴리스틱 $h(n)$ 이 모든 노드 $n$ 과 모든 동작 $a$ 에 의해 생성된 $n$ 의 모든 후속 노드 $n'$ 에 대해, 다음 조건을 만족하면 단조적이다.

: $h(n) \leq c\left(n, a, n'\right) + h\left(n'\right) .$

불 대수에서 단조 함수는 모든 입력 조합에 대해, 입력 중 하나를 거짓(0)에서 참(1)으로 변경하면 출력이 거짓(0)에서 참(1)으로만 변경될 수 있고, 참(1)에서 거짓(0)으로는 변경될 수 없는 경우이다. 이러한 단조 불 함수는 and 연산자와 or 연산자만을 사용하여 결합한 식으로 정의될 수 있다. (not 연산자는 허용되지 않는다.)

6.1. 위상수학

사상 $f: X \to Y$ 가 각 올이 연결되어 있으면 단조라고 한다. 즉, 각 원소 $y \in Y$ 에 대해 (비어 있을 수도 있는) 집합 $f^{-1}(y)$ 는 $X$ 의 부분 공간이다.

6.2. 함수해석학

위상 벡터 공간 $X$ 상의 함수해석학에서 (비선형일 수 있는) 연산자 $T: X \rightarrow X^*$ 는 다음과 같은 경우 단조 연산자라고 한다.

: $(Tu - Tv, u - v) \geq 0 \quad \forall u,v \in X.$

카추롭스키 정리는 바나흐 공간 위의 볼록 함수가 도함수로서 단조 연산자를 가짐을 보여준다.

$X \times X^*$ 의 부분 집합 $G$ 는 모든 쌍 $[u_1, w_1]$ 과 $[u_2, w_2]$ 에 대해 다음과 같은 경우 단조 집합이라고 한다.

: $(w_1 - w_2, u_1 - u_2) \geq 0.$

$G$ 는 집합 포함의 의미에서 모든 단조 집합 중에서 극대일 경우 극대 단조라고 한다. 단조 연산자 $G(T)$ 의 그래프는 단조 집합이다. 단조 연산자는 그래프가 극대 단조 집합일 경우 극대 단조라고 한다.

6.3. 순서론

순서론에서 순서를 보존하는 함수는 아이소톤 또는 순서 보존 함수라고 불린다. 부분 순서 집합의 부분 순서 관계를 $\leq$ 라고 할 때, 단조 함수는 다음 속성을 만족한다.

: $x \leq y \implies f(x) \leq f(y)$

여기서 $x$ 와 $y$ 는 함수의 정의역에 속한다. 두 단조 함수의 합성 함수도 단조 함수이다.

쌍대 개념은 안티톤, 반단조 또는 순서 반전이라고 불린다. 따라서, 안티톤 함수 $f$ 는 다음 속성을 만족한다.

: $x \leq y \implies f(y) \leq f(x),$

여기서 $x$ 와 $y$ 는 함수의 정의역에 속한다.

상수 함수는 단조 함수이자 안티톤 함수이다. 반대로, 만약 $f$ 가 단조 함수이자 안티톤 함수이고, $f$ 의 정의역이 격자라면, $f$ 는 상수 함수여야 한다.

단조 함수는 순서 이론에서 중심적인 역할을 한다. 몇 가지 주목할 만한 특수한 단조 함수는 $x \leq y$ iff $f(x) \leq f(y)$ 를 만족하는 함수인 순서 매입과 전사 함수인 순서 매입인 순서 동형 사상이다.

위의 단조성의 정의는 정의역과 치역이 실수 전체의 집합이 아니어도 (반)순서 집합 일반에서 의미를 갖는다. 이 경우, 증가하는 사상은 순서를 보존하는 사상(order-preserving, isotone^영어)이라고 바꿔 말할 수 있으며, 감소하는 사상은 순서를 뒤집는 사상(order-reversing, antitone^영어)이라고 바꿔 말할 수 있다.

6.4. 탐색 알고리즘

탐색 알고리즘의 맥락에서 단조성(일관성이라고도 함)은 휴리스틱 함수에 적용되는 조건이다. 휴리스틱 $h(n)$ 이 모든 노드 $n$ 과 모든 동작 $a$ 에 의해 생성된 $n$ 의 모든 후속 노드 $n'$ 에 대해, $n$ 에서 목표에 도달하는 데 드는 예상 비용이 $n$ 에 도달하는 단계 비용과 $n'$ 에서 목표에 도달하는 데 드는 예상 비용의 합보다 작거나 같으면 단조적이다.

$h(n) \leq c\left(n, a, n'\right) + h\left(n'\right) .$

이는 $n$ , $n'$ , 그리고 $n$ 에 가장 가까운 목표 $G_n$ 을 가진 삼각 부등식의 한 형태이다. 모든 단조 휴리스틱은 또한 허용 가능하기 때문에 단조성은 허용 가능성보다 더 엄격한 요구 사항이다. A*와 같은 일부 휴리스틱 알고리즘은 사용된 휴리스틱이 단조적일 경우 최적임을 증명할 수 있다.

6.5. 불 대수

불 대수에서 단조 함수는 모든 a_i 와 b_i 가 {0, 1}(0 또는 1)에 속하고, a₁ ≤ b₁, a₂ ≤ b₂, ..., a_n ≤ b_n 일 때, f(a₁, ..., a_n) ≤ f(b₁, ..., b_n)를 만족하는 함수이다. 다시 말해, 불 함수는 모든 입력 조합에 대해 입력 중 하나를 거짓(0)에서 참(1)으로 변경하면 출력이 거짓(0)에서 참(1)으로만 변경될 수 있고, 참(1)에서 거짓(0)으로는 변경될 수 없는 경우 단조 함수이다.

단조 함수 "a, b, c 중 적어도 둘 이상 참"의 하세 다이어그램. 색상은 함수 출력 값을 나타낸다.

예를 들어 "a, b, c 중 적어도 둘 이상 참"은 a, b, c에 대한 단조 함수인데, 이는 ((a and b) or (a and c) or (b and c))로 표현할 수 있기 때문이다. 이처럼 단조 불 함수는 입력값을 and 연산자와 or 연산자만을 사용하여 결합한 식으로 정의될 수 있다. (not 연산자는 허용되지 않는다.)

이러한 단조 불 함수들의 n개의 변수에 대한 수는 데데킨트 수라고 알려져 있다.

일반적으로 NP-난해 문제인 SAT 솔빙은 모든 관련된 함수와 술어가 단조적이고 불리언인 경우 효율적으로 수행될 수 있다.

7. 기타

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7.1. 실수열의 단조성

미적분학에서, 실수 값을 갖는 수열은 자연수 집합(전순서 집합이다)에서 실수 집합으로의 함수로 해석할 수 있다. 그 함수가 단조일 때, 그 수열을 단조 수열이라고 부른다.

실수 수열 $\left\{ a_k \right\} _{k=1}^n$ 을 생각한다. ( $n$ 은 $\infty$ 여도 상관없다)

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좌우로 밀어서 보기

$\forall i, \forall j \in \left\{ 1,2, \cdots ,n \right\}$ 에 대해 ~가 성립할 때	$\left\{ a_k \right\} _{k=1}^n$ 은 ~이다
	용어 1	용어 2	용어 3
$i < j \Rightarrow a_i < a_j\,$	증가	엄격한 증가	증가
$i < j \Rightarrow a_i \le a_j\,$	광의 증가	증가	감소하지 않음
$i < j \Rightarrow a_i > a_j\,$	감소	엄격한 감소	감소
$i < j \Rightarrow a_i \ge a_j\,$	광의 감소	감소	증가하지 않음

함수의 경우와 마찬가지로, 등호가 성립하는 경우의 처리는 서적에 따라 다양하며, 통일되지 않았다.

특히, 정의역 전체에서 증가/감소하는 수열을 증가 수열/감소 수열 또는 증가 열/감소 열이라고 한다. 증가 수열과 감소 수열을 통틀어 단조 수열이라고 한다.

7.2. 유계 단조 수열

위로 유계인 증가 실수열은 항상 수렴하며, 자연수 위의 재귀 함수는 반드시 고정점을 갖는다(영역 이론).