맨위로가기

무한곱

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

무한곱은 복소수 수열의 곱의 극한으로, 부분곱의 극한을 통해 정의된다. 무한곱은 수렴과 발산의 개념을 가지며, 부분곱의 극한이 0이 아닌 값으로 수렴하면 수렴하고, 0으로 수렴하거나 존재하지 않으면 발산한다. 무한곱은 삼각 함수, 감마 함수, 리만 제타 함수 등 다양한 함수의 표현에 사용되며, 바이어슈트라스 인수분해 정리를 통해 전체 함수의 표현에도 활용된다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 수열 - 코시 열
    코시 열은 무한수열에서 항들이 뒤로 갈수록 서로 가까워지는 수열로, 수렴열은 항상 코시 열이지만 그 역은 성립하지 않을 수 있으며, 실수의 완비성 정의 및 무한급수 수렴성 판정에 중요한 역할을 하는 개념이다.
  • 수열 - 실베스터 수열
    실베스터 수열은 각 항이 이전 항들의 곱에 1을 더한 값으로 정의되는 정수 수열로서, 재귀적으로 정의되며 이중 지수 함수적으로 증가하고, 이집트 분수 및 탐욕 알고리즘과 관련이 있으며, 역수 합은 1로 수렴한다.
  • 해석학 (수학) - 수학적 최적화
    수학적 최적화는 주어진 집합에서 실수 또는 정수 변수를 갖는 함수의 최댓값이나 최솟값을 찾는 문제로, 변수 종류, 제약 조건, 목적 함수 개수에 따라 다양한 분야로 나뉘며 여러 학문 분야에서 활용된다.
  • 해석학 (수학) - 라플라스 변환
    라플라스 변환은 함수 f(t)를 복소수 s를 사용하여 적분을 통해 다른 함수 F(s)로 변환하는 적분 변환이며, 선형성을 가지고 미분방정식 풀이 등 공학 분야에서 널리 사용된다.

2. 정의

복소수 수열 (a_n)_{n=0}^\infty\subset\mathbb C의 '''무한곱'''(무한승적, infinite product)은 다음과 같은 극한으로 정의된다.

:\prod_{n=0}^\infty a_n=\lim_{n\to\infty}\prod_{k=0}^na_k=\lim_{n\to\infty}a_0a_1\cdots a_n

여기서 \prod_{k=0}^na_k=a_0a_1\cdots a_n은 무한곱의 n번째 '''부분곱'''(partial product영어)이다.

가산 무한 수열 (x_n)_{n\in \boldsymbol{\mathsf{N}}}의 무한곱은 다음과 같이 정의된다.

:\prod_{n=1}^\infty x_n

2. 1. 수렴과 발산

복소수 수열 (a_n)_{n=0}^\infty\subset\mathbb C의 무한곱 \prod_{n=0}^\infty a_n은 부분곱 \prod_{k=0}^na_k=a_0a_1\cdots a_n의 극한으로 정의된다. 이 극한이 존재하고 0이 아닌 값이면, 무한곱은 수렴한다고 한다. 반대로 부분곱의 극한이 0이거나 존재하지 않으면, 무한곱은 발산한다고 한다.

양의 실수로 이루어진 무한곱 \prod_{n=1}^{\infty} a_n은 \sum_{n=1}^{\infty} \log(a_n)이 수렴할 때에만 0이 아닌 실수로 수렴한다. 이는 무한 합의 수렴 기준을 무한 곱의 수렴 기준으로 변환할 수 있게 해준다.

a_n = 1 + p_n으로 정의하면, 다음 부등식이 성립한다.

:1+\sum_{n=1}^{N} p_n \le \prod_{n=1}^{N} \left( 1 + p_n \right) \le \exp \left( \sum_{n=1}^{N}p_n \right)

이는 p_n의 무한 합이 수렴하면 a_n의 무한 곱도 수렴함을 보여준다. 또한, p_n \to 0이면 극한 비교 판정법에 의해 \sum_{n=1}^\infty \log(1+p_n)과 \sum_{n=1}^\infty p_n은 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다.

만약 \sum_{n=1}^{\infty} \log(a_n)이 -\infty로 발산하면, ''a''''n''의 부분 곱은 0으로 수렴하고, 이때 무한 곱은 0으로 발산한다고 한다.[1]

p_n이 임의의 부호를 갖는 경우, \sum_{n=1}^\infty p_n의 수렴이 \prod_{n=1}^\infty (1+p_n)의 수렴을 보장하지는 않는다. 예를 들어 p_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}이면 \sum_{n=1}^\infty p_n은 수렴하지만, \prod_{n=1}^\infty (1 + p_n)은 0으로 발산한다. 그러나 \sum_{n=1}^\infty |p_n|이 수렴하면 \prod_{n=1}^\infty (1+p_n)은 절대 수렴한다. 즉, 무한 곱의 값을 바꾸지 않고 인수들의 순서를 재배열할 수 있다.[2] 또한, \sum_{n=1}^\infty |p_n|^2이 수렴하면, \sum_{n=1}^\infty p_n 과 \prod_{n=1}^\infty (1+p_n)은 모두 수렴하거나 모두 발산한다.[3]

무한 곱 \prod_{n = 1}^\infty x_n 이 수렴한다는 것은 다음 두 조건을 만족하는 것을 의미한다.

  • 어떤 번호 ''m'' 이후부터는 항상 ''x''n ≠ 0 (''n'' > ''m'')[4]
  • 부분 곱 ''p''n := ''x''m+1 … ''x''n (''n'' > ''m'') 이 0이 아닌 값 ''P''m에 ''n'' → ∞ 의 극한으로 수렴한다.[5]


무한 곱이 수렴하면 lim''n''→∞ ''x''n = 1 이 성립한다.

\textstyle \prod_{n = 1}^\infty (1 + \vert x_n \vert)이 수렴할 때, \textstyle \prod_{n = 1}^\infty (1 + x_n)은 절대 수렴한다고 한다.[5] 무한 곱 \textstyle \prod_{n = 1}^\infty (1 + x_n)이 절대 수렴하는 것은 무한 급수 \textstyle \sum_{n = 1}^\infty x_n이 절대 수렴할 때, 그리고 그 때에 한한다.[5]

3. 성질

무한곱 \prod_{n=0}^\infty a_n이 수렴하면, \lim_{n\to\infty}a_n=1이다.

복소수 수열 (a_n)_{n=0}^\infty\subset\mathbb C에 대하여, 임의의 n\in\mathbb N에 대하여 |a_n|<1이라면, 다음 두 조건은 서로 동치이다.[15]


  • 무한곱 \prod_{n=1}^\infty(1+a_n)은 (0이 아닌 값으로) 수렴한다.
  • 급수 \sum_{n=N}^\infty\ln(1+a_n)는 수렴한다.


복소수열 (a_n)_{n=0}^\infty\subset\mathbb C에 대하여, 임의의 n\in\mathbb N에 대하여 |a_n|<1이고, 다음 두 조건 중 적어도 하나가 성립한다고 가정한다.

  • (양의 실수의 수열) 임의의 n\in\mathbb N에 대하여, a_n\in\mathbb R^+[15]
  • (르베그 2-수렴) \sum_{n=0}^\infty|a_n|^2<\infty[15]


그러면 다음 두 조건은 서로 동치이다.

  • 무한곱 \prod_{n=1}^\infty(1+a_n)은 (0이 아닌 값으로) 수렴한다.
  • 급수 \sum_{n=1}^\infty a_n는 수렴한다.


일반적으로 무한곱 \prod_{n=1}^\infty(1+a_n)이 수렴하더라도 급수 \sum_{n=1}^\infty a_n는 발산할 수 있다. 예를 들어 p_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}이면 \sum_{n=1}^\infty p_n은 수렴하지만, \prod_{n=1}^\infty (1 + p_n)은 0으로 발산한다.[2]

a_n=1+p_n으로 정의하면, 다음과 같은 경계가 성립한다.

:1+\sum_{n=1}^{N} p_n \le \prod_{n=1}^{N} \left( 1 + p_n \right) \le \exp \left( \sum_{n=1}^{N}p_n \right)

이는 단조 수렴 정리에 의해 ''a''''n''의 무한 곱이 ''p''''n''의 무한 합이 수렴하면 수렴한다는 것을 보여준다. p_n \to 0이면, 극한 비교 판정법에 의해 두 급수

:\sum_{n=1}^\infty \log(1+p_n) \quad \text{and} \quad \sum_{n=1}^\infty p_n,

는 서로 동치이며, 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다.

만약 급수 \sum_{n=1}^{\infty} \log(a_n)이 -\infty로 발산하면, ''a''''n''의 부분 곱의 수열은 0으로 수렴한다. 이때 무한 곱은 '''0으로 발산'''한다고 말한다.[1]

\sum_{n=1}^\infty |p_n|이 수렴한다면 곱 \prod_{n=1}^\infty (1+p_n)은 ''절대적으로'' 수렴한다. 즉, 무한 곱의 수렴 또는 극한 값을 변경하지 않고 인수를 임의의 순서로 재배열할 수 있다.[2] 또한, \sum_{n=1}^\infty |p_n|^2이 수렴한다면, 합 \sum_{n=1}^\infty p_n 과 곱 \prod_{n=1}^\infty (1+p_n)은 모두 수렴하거나, 모두 발산한다.[3]

4. 예

다음은 무한곱의 예시이다.

함수무한 곱 표현비고
단순 극점\begin{align}
싱크 함수\frac{\sin \pi z}{\pi z} =\prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2}\right)오일러에 의한 것이다. 월리스 곱은 이의 특수한 경우이다.
역 감마 함수\begin{align}슐뢰밀히
바이어슈트라스 시그마 함수\sigma(z) = z\prod_{\omega \in \Lambda_{*}} \left(1-\frac{z}{\omega}\right)e^{\frac{z^2}{2\omega^2}+\frac{z}{\omega}}여기서 \Lambda_{*}는 원점을 제외한 격자이다.
Q-포흐아머 기호(z;q)_\infty = \prod_{n=0}^\infty (1-zq^n)q-아날로그 이론에서 널리 사용된다. 오일러 함수는 특수한 경우이다.
라마누잔 세타 함수\begin{align}야코비 삼중곱의 표현으로, 야코비 세타 함수의 표현에서도 사용된다.
리만 제타 함수\zeta(z) = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 - p_n^{-z}}여기서 pn은 n번째 소수를 나타낸다. 이것은 오일러 곱의 특수한 경우이다.



이 외에도 다음과 같은 무한곱 표현들이 있다.


:\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{\pi}{2}
:\zeta (s)=\prod_{p:\text{prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}
:\frac{1}{\Gamma(z)}:=ze^{{\gamma}z}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{m}\right)e^{-z/m}

(여기서 \gamma는 오일러 상수이다.)
:\sin \pi z=\pi z\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1-\frac{z^2}{n^2} \right)

:\cos \pi z=\prod_{n=1}^{\infty} \left\{ 1-\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2})^2} \right\}

:\sinh \pi z=\pi z\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1+\frac{z^2}{n^2} \right)

:\cosh \pi z=\prod_{n=1}^{\infty} \left\{ 1+\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2})^2} \right\}
:\begin{align}

&(a;q)_\infty:=\prod_{k=0}^{\infty}(1-aq^k),\quad |q|<1\\

&(a;q)_n:=\frac{(a;q)_\infty}{(aq^n;q)_\infty}

\end{align}
:\Gamma_q(x) := (1-q)^{1-x}\,\frac{(q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty},\quad|q|<1

4. 1. 월리스 곱

다음과 같은 무한곱을 '''월리스 곱'''(Wallis product영어)이라고 한다.

:\prod_{n=1}^\infty\frac{4n^2}{4n^2-1}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\frac 1{2n+1}=\frac\pi 2

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 다음과 같은 적분 공식을 사용하자.

:\int_0^{\pi/2}\sin^{2n}x\mathrm dx=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac\pi 2

:\int_0^{\pi/2}\sin^{2n+1}x\mathrm dx=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\qquad(n\in\{1,2,\dots\})

임의의 x\in(0,\pi/2) 및 n\in\{1,2,\dots\}에 대하여 \sin^{2n+1}x<\sin^{2n}x<\sin^{2n-1}x이므로, 다음이 성립한다.

:\int_0^{\pi/2}\sin^{2n+1}x\mathrm dx<\int_0^{\pi/2}\sin^{2n}x\mathrm dx<\int_0^{\pi/2}\sin^{2n-1}x\mathrm dx

여기에 위와 같은 공식을 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.

:\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\frac 1{2n+1}<\frac\pi 2<\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\frac 1{2n}

다음과 같은 부등식에 따라 양 끝의 식은 \pi/2로 수렴하므로, 월리스 공식이 증명된다.

:\begin{align}0

&<\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\frac 1{2n}-\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\frac 1{2n+1}\\

&=\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\frac 1{2n(2n+1)}\\

&<\frac 1{2n}\frac\pi 2

\end{align}

월리스 곱은 다음과 같다.[6][7]

:\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{\pi}{2}

4. 2. 리만 제타 함수

리만 제타 함수는 소수와 관련된 무한곱 (오일러 곱)으로 표현될 수 있다. 리만 제타 함수의 오일러 곱 표현은 정수론에서 소수의 분포를 연구하는 데 중요한 도구이다.[5]

:\zeta (s)=\prod_{p:\text{prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}

4. 3. 감마 함수

감마 함수는 팩토리얼을 일반화하는 함수로, 다음과 같은 무한곱으로 표현될 수 있다.[5][8][9]

:\frac{1}{\Gamma(z)}:=ze^{{\gamma}z}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{m}\right)e^{-z/m},\quad\gamma:=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log{n}\right)

여기서 \gamma는 오일러 상수이다.

4. 4. 삼각 함수

사인 함수, 코사인 함수를 비롯한 삼각 함수들은 무한곱으로 표현될 수 있다.[5]

:\sin \pi z=\pi z\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1-\frac{z^2}{n^2} \right)

:\cos \pi z=\prod_{n=1}^{\infty} \left\{ 1-\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2})^2} \right\}

:\sinh \pi z=\pi z\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1+\frac{z^2}{n^2} \right)

:\cosh \pi z=\prod_{n=1}^{\infty} \left\{ 1+\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2})^2} \right\}

4. 5. 기타 특수 함수

q-포흐하머 기호[10][11][12]는 다음과 같이 정의된다.

:\begin{align}

&(a;q)_\infty:=\prod_{k=0}^{\infty}(1-aq^k),\quad |q|<1,\\

&(a;q)_n:=\frac{(a;q)_\infty}{(aq^n;q)_\infty}.\\

\end{align}

q-gamma function|q-감마 함수영어[11][12][13]는 다음과 같이 정의된다.

:\Gamma_q(x) := (1-q)^{1-x}\,\frac{(q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty},\quad|q|<1.

행렬을 사용하여 q-감마 함수를 정의하는 것도 가능하다.[14]

5. 무한곱의 응용

무한곱은 총합과 유사하게 가산 무한 수열의 모든 항을 곱하는 연산이며, 극한의 개념을 사용하여 정의된다. 무한곱은 실수 또는 복소수 수열에 대해 정의되며, 수렴성은 엄밀하게 검토되어야 한다.[4]

무한곱의 대표적인 예시는 다음과 같다:



특히, 오일러 곱은 정수론에서 소수의 분포와 제타 함수를 이해하는 데 중요한 역할을 한다.[4]

5. 1. 함수 표현

바이어슈트라스 인수분해 정리에 따라, 모든 전체 함수는 무한곱으로 표현될 수 있다.

일반적으로, 함수 ''f''가 원점에서 ''m''차 근을 갖고, 다른 복소수 근을 ''u''1, ''u''2, ''u''3, ... (중복도를 차수에 따라 나열)에서 갖는 경우, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:f(z) = z^m e^{\phi(z)} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z}{u_n} \right) \exp \left\lbrace \frac{z}{u_n} + \frac{1}{2}\left(\frac{z}{u_n}\right)^2 + \cdots + \frac{1}{\lambda_n} \left(\frac{z}{u_n}\right)^{\lambda_n} \right\rbrace

여기서 ''λ''''n''은 곱이 수렴하도록 선택할 수 있는 음이 아닌 정수이고, \phi (z)는 어떤 전체 함수이다. 이 인수분해는 ''λ''''n''에 대한 값의 선택에 따라 달라지므로 고유하지 않다.

대부분의 함수에 대해, 곱이 수렴하게 하는 최소 음이 아닌 정수 ''p''가 존재하며, 이를 표준 곱 표현이라고 한다. ''p'' = 0인 경우, 다음과 같은 형태를 취한다.

:f(z) = z^m e^{\phi(z)} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z}{u_n}\right).

이는 대수학의 기본 정리의 일반화로 간주될 수 있다. 다항식의 경우 곱이 유한해지고 \phi (z)는 상수이기 때문이다.

몇 가지 특별한 함수의 무한곱 표현은 다음과 같다.

함수무한 곱 표현비고
단순 극점\begin{align}
싱크 함수\frac{\sin \pi z}{\pi z} =\prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2}\right)오일러가 발견. 월리스의 π 공식은 이의 특수한 경우.
역 감마 함수\begin{align}
바이어슈트라스 시그마 함수\sigma(z) = z\prod_{\omega \in \Lambda_{*}} \left(1-\frac{z}{\omega}\right)e^{\frac{z^2}{2\omega^2}+\frac{z}{\omega}}여기서 \Lambda_{*}는 원점을 제외한 격자.
Q-포흐아머 기호(z;q)_\infty = \prod_{n=0}^\infty (1-zq^n)q-아날로그 이론에서 널리 사용. 오일러 함수는 특수한 경우.
라마누잔 세타 함수\begin{align}야코비 삼중곱의 표현으로, 야코비 세타 함수의 표현에서도 사용.
리만 제타 함수\zeta(z) = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 - p_n^{-z}}여기서 pn은 n번째 소수. 오일러 곱의 특수한 경우.



리만 제타 함수의 경우, 위에 제시된 곱 표현은 Re(''z'') > 1에서 수렴하며, 이 영역에서 해석 함수이다. 해석적 연속을 통해, 이 함수는 ''z'' = 1을 제외한 전체 복소 평면에서 해석 함수로 확장되며, ''z'' = 1에서 단순한 극점을 갖는다.

그 외 다른 함수의 무한곱 표현은 다음과 같다.

삼각 함수의 무한 곱 전개[5]

:\sin \pi z=\pi z\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1-\frac{z^2}{n^2} \right)

:\cos \pi z=\prod_{n=1}^{\infty} \left\{ 1-\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2})^2} \right\}

:\sinh \pi z=\pi z\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1+\frac{z^2}{n^2} \right)

:\cosh \pi z=\prod_{n=1}^{\infty} \left\{ 1+\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2})^2} \right\}

월리스 곱[6][7]

:\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{\pi}{2}

오일러 곱

:\zeta (s)=\prod_{p:\text{prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}

감마 함수[5][8][9]

:\frac{1}{\Gamma(z)}:=ze^{{\gamma}z}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{m}\right)e^{-z/m},\quad\gamma:=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log{n}\right)

(\gamma는 오일러 상수)[5][8]

q 포흐하머 기호[10][11][12]

: \begin{align}

&(a;q)_\infty:=\prod_{k=0}^{\infty}(1-aq^k),\quad |q|<1,\\

&(a;q)_n:=\frac{(a;q)_\infty}{(aq^n;q)_\infty}.\\

\end{align}

q 감마 함수[11][12][13]

:\Gamma_q(x) := (1-q)^{1-x}\,\frac{(q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty},\quad|q|<1.

5. 2. 복소해석학

무한곱은 복소해석학에서 정칙 함수의 성질을 분석하고 연구하는 데 사용된다.

모든 전체 함수 ''f''(''z'') (복소 평면에서 정칙 함수인 함수)는 최대 하나의 근을 갖는 전체 함수의 무한곱으로 인수분해할 수 있다. 이를 표준 곱 표현이라고 한다.

:f(z) = z^m e^{\phi(z)} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z}{u_n}\right).

(여기서 m은 원점에서 f의 근의 차수, un은 f의 다른 복소수 근, \phi (z)는 어떤 전체 함수)

이는 대수학의 기본 정리의 일반화로 볼 수 있다.

몇 가지 중요한 무한곱 표현은 다음과 같다.

함수무한 곱 표현비고
싱크 함수\frac{\sin \pi z}{\pi z} =\prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2}\right)오일러가 발견. 월리스의 π 공식은 이의 특수한 경우.
역 감마 함수\frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-\frac{z}{n}}
바이어슈트라스 시그마 함수\sigma(z) = z\prod_{\omega \in \Lambda_{*}} \left(1-\frac{z}{\omega}\right)e^{\frac{z^2}{2\omega^2}+\frac{z}{\omega}}여기서 \Lambda_{*}는 원점을 제외한 격자.
Q-포흐아머 기호(z;q)_\infty = \prod_{n=0}^\infty (1-zq^n)q-아날로그 이론에서 널리 사용. 오일러 함수는 특수한 경우.
라마누잔 세타 함수f(a,b) = \prod_{n=0}^\infty (1+a^{n+1}b^n)(1+a^nb^{n+1})(1-a^{n+1}b^{n+1})야코비 삼중곱의 표현으로, 야코비 세타 함수의 표현에서도 사용.
리만 제타 함수\zeta(z) = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 - p_n^{-z}}여기서 pn은 n번째 소수. 오일러 곱의 특수한 경우.



리만 제타 함수의 경우, Re(''z'') > 1에서 수렴하며, 해석적 연속을 통해 ''z'' = 1을 제외한 전체 복소 평면으로 확장 가능하다.

실수나 복소수 수열 (x_n)_{n\in \boldsymbol{\mathsf{N}}}의 무한 곱 \prod_{n = 1}^\infty x_n 이 수렴한다는 것은,


  • 충분히 큰 ''n''에 대해 ''x''n ≠ 0 이고,
  • 부분 곱 ''p''n := ''x''m+1 … ''x''n (''n'' > ''m'') 이 0이 아닌 값으로 수렴하는 것을 의미한다.[4]


무한 곱이 수렴하면 lim''n''→∞ ''x''n = 1 이 성립한다.

\textstyle \prod_{n = 1}^\infty (1 + \vert x_n \vert)이 수렴하면, \textstyle \prod_{n = 1}^\infty (1 + x_n) 은 절대 수렴한다고 한다.[5]

5. 3. 정수론

오일러 곱

:\zeta (s)=\prod_{p:\text{prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}

무한곱은 정수론에서 소수의 분포, 제타 함수 등 중요한 개념을 이해하는 데 필수적이다.[4]

6. 비결합적 곱셈의 경우

곱셈이 결합적이지 않으면, 곱셈 순서가 문제가 되므로 ''a''1 × ''a''2 × … × ''a''n''라는 기호는 자체적인 의미가 없다. 하지만 부분 수열을 사용하여 다음과 같이 귀납적으로 정의할 수는 있다.


  • p_1=a_1,
  • p_{k+1}=p_k\times a_{k+1}


이때, p_n=\prod_{k=1}^{n}a_k로 쓰면,

:\prod_{k=1}^n a_k =(\cdots ((a_1 \times a_2 )\times a_3 )\times \cdots \times a_n)

의 의미가 된다. 그러나 이러한 정의는 실질적인 응용이 거의 없다.

참조

[1] 서적 Methods of Mathematical Physics Cambridge University Press
[2] 간행물 Conditional Convergence of Infinite Products http://ramanujan.mat[...] 2018-12-10
[3] 서적 Theory and Application of Infinite Series https://archive.org/[...] Blackie & Son Ltd. 1954
[4] 문서 つまり、有限個の例外を除いて数列の値はゼロでない。
[5] 서적 複素関数入門 岩波書店
[6] 웹사이트 Wallis Formula http://mathworld.wol[...]
[7] 웹사이트 A proof of the Wallis product formula http://www.kurims.ky[...]
[8] 서적 工学における特殊関数 共立出版
[9] 웹사이트 Gamma Function http://mathworld.wol[...]
[10] 웹사이트 Wolfram Mathworld: q-Pochhammer Symbol http://mathworld.wol[...]
[11] 서적 Special functions Cambridge university press
[12] 서적 Basic hypergeometric series Cambridge university press
[13] 웹사이트 q-Gamma Function http://mathworld.wol[...]
[14] 논문 On a q-gamma and a q-beta matrix functions
[15] 서적 Theory and application of infinite series Blackie & Son 1951


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com