코시 수렴 판정법

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1. 개요

코시 수렴 판정법은 수열 또는 급수의 수렴 여부를 판별하는 데 사용되는 수학적 정리이다. 실수체 또는 복소수체에서 정의된 수열이 수렴하기 위한 필요충분조건은 코시 수렴 판정법을 통해 모든 양의 실수 ε에 대해 특정 조건을 만족하는 자연수 N이 존재한다는 것을 증명하는 것이다. 이 정리는 수열의 부분합이 코시 점렬을 이루는지 여부를 확인함으로써 수렴성을 판별하며, 실수의 완비성과 밀접한 관련이 있다. 코시 수렴 판정법은 실수항 또는 복소수항 급수, 바나흐 공간 위의 급수, 함수항 급수 등 다양한 경우에 적용될 수 있으며, 일반항 판정법, 절대 수렴 판정법, 바이어슈트라스 M-판정법과 같은 다른 정리들을 증명하는 데 사용된다. 또한 함수의 극한과 이상 적분의 수렴 여부를 판별하는 데에도 활용된다.

코시 수렴 판정법

유형	수학적 판정법
분야	실해석학
이름	코시 수렴 판정법
발명가	오귀스탱루이 코시

설명

내용	실수열 또는 복소수열이 수렴하기 위한 필요충분조건
필요충분조건	임의의 양수 ε에 대해, 충분히 큰 N이 존재하여, 모든 m, n > N에 대해 \|an - am\| < ε을 만족한다.

공식 설명

실수열 (aₙ)에 대한 판정법	실수열 (aₙ)이 주어졌을 때, 이 수열이 수렴하기 위한 필요충분조건은 다음 조건을 만족하는 것이다. 임의의 양수 ε > 0에 대해, 자연수 N이 존재하여, 모든 m, n > N에 대해 \|aₘ - aₙ\| < ε이다.
복소수열 (aₙ)에 대한 판정법	복소수열 (aₙ)이 주어졌을 때, 이 수열이 수렴하기 위한 필요충분조건은 다음 조건을 만족하는 것이다. 임의의 양수 ε > 0에 대해, 자연수 N이 존재하여, 모든 m, n > N에 대해 \|aₘ - aₙ\| < ε이다.

역사

기원	오귀스탱루이 코시가 1821년 Cours d'Analyse에 발표

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1. 개요
2. 정의
3. 따름정리
4. 관련 정리
- 4.1. 함수의 극한에 대한 코시 수렴 판정법
- 4.2. 이상 적분에 대한 코시 수렴 판정법

2. 정의

코시 수렴 판정법은 주어진 수열이나 급수가 코시 수열의 성질을 만족하면 수렴한다는 판정법이다.

실수 또는 복소수 수열에 대한 코시 수렴 판정법은 다음과 같다. 실수체 또는 복소수체 $\mathbb K$ 위의 수열 $(x_n)_{n=0}^\infty\subseteq\mathbb K$ 에 대해, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

* $\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n$ 은 수렴한다.
* 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_\epsilon\in\mathbb N$ 가 존재한다: 임의의 $m,n>N_\epsilon$ 에 대하여, $\textstyle\left|{\sum_{k=m+1}^nx_k}\right|<\epsilon$ .

여기서 $|\cdot|$ 는 절댓값이다.

바나흐 공간이나 함수열에 대해서도 유사한 코시 수렴 판정법이 존재하며, 자세한 내용은 하위 섹션을 참고할 수 있다.

2.1. 실수항 또는 복소수항 급수

실수 또는 복소수 수열에 대한 코시 수렴 판정법은 다음과 같다.

$\mathbb K$ 위의 수열 $(x_n)_{n=0}^\infty\subseteq\mathbb K$ 에 대해, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

* $\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n$ 은 수렴한다.
* 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_\epsilon\in\mathbb N$ 가 존재한다: 임의의 $m,n>N_\epsilon$ 에 대하여, $\textstyle\left|{\sum_{k=m+1}^nx_k}\right|<\epsilon$

여기서 $|\cdot|$ 는 절댓값이다. 이는 부분합 $\textstyle\sum_{k=0}^nx_k$ 이 코시 점렬임을 뜻하며, $\mathbb K$ 가 완비 거리 공간이므로 부분합의 수렴과 동치이다.

수열 $\sum_{i=0}^\infty a_i$ 가 수렴할 필요충분조건은 모든 $\varepsilon>0$ 에 대해, 모든 $n > N$ 과 모든 $p \geq 1$ 에 대해 $|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|<\varepsilon$ 를 만족하는 자연수 $N$ 이 존재한다는 것이다.

코시 수렴 판정법은 실수 공간 $\R$ 과 복소수 공간 $\C$ (거리는 절댓값으로 주어짐)가 모두 완비 거리 공간이기 때문에 성립한다.

2.1.1. 증명

부분합 수열의 수렴에 대한 결과를 사용하여 무한 급수의 수렴 자체에 적용할 수 있다. 코시 수렴 판정법은 그러한 적용 중 하나이다.

모든 실수 수열 $a_k$ 에 대해, 위에서 언급한 수렴에 대한 결과는 다음을 의미한다. 무한 급수

: $\sum_{k=1}^\infty a_k$

가 모든 $\varepsilon>0$ 에 대해 숫자 N이 존재하여 m ≥ n ≥ N이 다음을 만족하는 경우에만 수렴한다.

: $|s_m-s_n| = \left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right| < \varepsilon.$

이 정리에서 가장 흥미로운 부분은 코시 조건이 극한의 존재를 의미한다는 것이다. 이는 실수의 완비성과 관련이 있다.

코시 판정법은 "소멸하는 진동 조건은 수렴과 동등하다"로 요약될 수 있는 다양한 상황으로 일반화될 수 있다.

2.2. 바나흐 공간 위의 급수

$\mathbb K$ -바나흐 공간 $(X,\Vert\cdot\Vert)$ 위의 점렬 $(x_n)_{n=0}^\infty\subseteq X$ 에 대하여, 코시 수렴 판정법에 따르면 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n$ 은 수렴한다.
* 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_\epsilon\in\mathbb N$ 가 존재한다.
* 임의의 $m,n>N_\epsilon$ 에 대하여, $\textstyle\Vert{\sum_{k=m+1}^nx_k}\Vert<\epsilon$

2.2.1. 증명

$\mathbb K$ -바나흐 공간 $(X,\Vert\cdot\Vert)$ 위의 점렬 $(x_n)_{n=0}^\infty\subseteq X$ 이 주어졌다고 하자. 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n$ 은 수렴한다.
* 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_\epsilon\in\mathbb N$ 가 존재한다.
* 임의의 $m,n>N_\epsilon$ 에 대하여, $\textstyle\Vert{\sum_{k=m+1}^nx_k}\Vert<\epsilon$

첫 번째 조건은 부분합 $\textstyle\sum_{k=0}^nx_k$ 의 수렴을 일컫는다. 두 번째 조건은 부분합이 코시 점렬임을 뜻한다. $X$ 는 완비 거리 공간을 이루므로, 부분합이 수렴하는 것은 부분합이 코시 점렬인 것과 동치이다.

2.3. 함수항 급수

집합 $S$ 및 $\mathbb K$ 값 함수열 $f_n\colon S\to\mathbb K$ ( $n\in\mathbb N$ )이 주어졌을 때, 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* $\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n$ 은 균등 수렴한다.
* 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_\epsilon\in\mathbb N$ 가 존재한다.
임의의 $m,n>N_\epsilon$ 및 $s\in S$ 에 대하여, $\textstyle\left|\sum_{k=m+1}^nf_k(s)\right|<\epsilon$

보다 일반적으로, 집합 $S$ 및 $\mathbb K$ -바나흐 공간 $(X,\Vert\cdot\Vert)$ 및 $X$ 값 함수열 $f_n\colon S\to X$ ( $n\in\mathbb N$ )이 주어졌을 때도 마찬가지로 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* $\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n$ 은 균등 수렴한다.
* 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_\epsilon\in\mathbb N$ 가 존재한다.
임의의 $m,n>N_\epsilon$ 및 $s\in S$ 에 대하여, $\textstyle\left\Vert\sum_{k=m+1}^nf_k(s)\right\Vert<\epsilon$

임의의 집합 $S$ 및 $\mathbb K$ -바나흐 공간 $(X,\Vert\cdot\Vert)$ 에 대하여, 유계 함수 $S\to X$ 의 집합 $\mathcal B(S,X)$ 은 점별 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 대하여 벡터 공간을 이루며, 다음과 같은 상한 노름에 대하여 $\mathbb K$ -바나흐 공간을 이룬다.

: $\Vert f\Vert_\infty=\sup_{s\in S}\Vert f(s)\Vert\qquad(f\in\mathcal B(S,X))$

만약 각 $f_n$ 이 유계 함수라면, 첫 번째 조건은 $\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n$ 이 상한 노름에 대하여 수렴하는 것과 동치이며, 두 번째 조건은 부분합 $\textstyle\sum_{k=0}^nf_k$ 이 상한 노름에 대하여 $\mathcal B(S,X)$ 위의 코시 점렬을 이루는 것과 동치이다.

2.3.1. 증명

$\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n$ 이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_\epsilon$ 이 존재한다.

:임의의 $n>N_\epsilon$ 및 $s\in S$ 에 대하여, $\textstyle\left|\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^\infty f_k(s)\right|<\frac\epsilon 2$

따라서, 임의의 $n>m>N_\epsilon$ 및 $s\in S$ 에 대하여,

: $\left|\sum_{k=m+1}^nf_n(s)\right|=\left|\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right|\le\left|\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^\infty f_k(s)\right|+\left|\sum_{k=0}^\infty f_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right|<\epsilon$

이다.

반대로, 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_\epsilon\in\mathbb N$ 이 존재한다고 가정하자.

:임의의 $m,n>N_\epsilon$ 및 $s\in S$ 에 대하여, $\textstyle\left|\sum_{k=m+1}^nf_k(s)\right|<\epsilon$

그렇다면, 각 $s\in S$ 에서의 부분합 $\textstyle\sum_{k=0}^nf_k(s)$ 는 $\mathbb K$ 위의 코시 수열이며, 따라서 $\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n(s)$ 은 수렴한다. 이제, 위 조건에서 $n\to\infty$ 을 취하면 다음을 얻는다.

:임의의 $m>N_\epsilon$ 및 $s\in S$ 에 대하여, $\textstyle\left|\sum_{k=0}^\infty f_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right|<\epsilon$

이에 따라, $\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n$ 은 균등 수렴한다.

$\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n$ 이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_\epsilon$ 가 존재한다.

:임의의 $n>N_\epsilon$ 및 $s\in S$ 에 대하여, $\textstyle\left\Vert\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^\infty f_k(s)\right\Vert<\frac\epsilon 2$

따라서, 임의의 $n>m>N_\epsilon$ 및 $s\in S$ 에 대하여,

: $\left\Vert\sum_{k=m+1}^nf_n(s)\right\Vert=\left\Vert\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right\Vert\le\left\Vert\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^\infty f_k(s)\right\Vert+\left\Vert\sum_{k=0}^\infty f_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right\Vert<\epsilon$

이다.

반대로, 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_\epsilon\in\mathbb N$ 이 존재한다고 가정하자.

:임의의 $m,n>N_\epsilon$ 및 $s\in S$ 에 대하여, $\textstyle\left\Vert\sum_{k=m+1}^nf_k(s)\right\Vert<\epsilon$

그렇다면, 각 $s\in S$ 에서의 부분합 $\textstyle\sum_{k=0}^nf_k(s)$ 는 $\mathbb K$ 위의 코시 수열이며, 따라서 $\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n(s)$ 은 수렴한다. 이제, 위 조건에서 $n\to\infty$ 을 취하면 다음을 얻는다.

:임의의 $m>N_\epsilon$ 및 $s\in S$ 에 대하여, $\textstyle\left\Vert\sum_{k=0}^\infty f_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right\Vert<\epsilon$

이에 따라, $\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n$ 은 균등 수렴한다.

3. 따름정리

일반항 판정법은 코시 수렴 판정법에서 n=m+1을 취한 특수한 경우이다. 모든 절대 수렴 급수는 수렴하며, 바이어슈트라스 M-판정법 또한 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

3.1. 일반항 판정법

일반항 판정법은 코시 수렴 판정법에서 $n=m+1$ 을 취한 특수한 경우로 생각할 수 있다.

3.2. 절대 수렴 판정법

절대 수렴하는 급수는 코시 수렴 판정법을 사용하여 수렴함을 증명할 수 있다.

3.3. 바이어슈트라스 M-판정법

바이어슈트라스 M-판정법은 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

4. 관련 정리

함수의 극한에 대한 코시 수렴 판정법에 따르면, 열린구간 $I\subseteq\mathbb R$ 및 $a\in I$ 및 함수 $f\colon I\setminus\{a\}\to\mathbb R$ 에 대하여, 함수의 극한 $\lim_{x\to a}f(x)$ 이 존재하는 것과 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여 다음을 만족시키는 양의 실수 $\delta_\epsilon>0$ 가 존재한다는 것은 서로 동치이다.

* 임의의 $0<|x-a|,|y-a|<\delta_\epsilon$ 에 대하여, $|f(x)-f(y)|<\epsilon$

이상 적분에 대한 코시 수렴 판정법에 따르면, 이상 적분
: $\int_a^\infty f(x)\mathrm dx$
: $f\colon[a,\infty)\to\mathbb K$
에 대하여, $\textstyle\int_a^\infty f(x)\mathrm dx$ 가 수렴하는 것과 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여 다음을 만족시키는 실수 $M>a$ 가 존재한다는 것은 서로 동치이다.

* 임의의 $x,y>M$ 에 대하여, $\textstyle\left|{\int_x^yf(t)\mathrm dt}\right|<\epsilon$

4.1. 함수의 극한에 대한 코시 수렴 판정법

임의의 열린구간 $I\subseteq\mathbb R$ 및 $a\in I$ 및 함수 $f\colon I\setminus\{a\}\to\mathbb R$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 함수의 극한 $\lim_{x\to a}f(x)$ 이 존재한다.
* 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 양의 실수 $\delta_\epsilon>0$ 가 존재한다.
* 임의의 $0<|x-a|,|y-a|<\delta_\epsilon$ 에 대하여, $|f(x)-f(y)|<\epsilon$

4.2. 이상 적분에 대한 코시 수렴 판정법

이상 적분
: $\int_a^\infty f(x)\mathrm dx$
: $f\colon[a,\infty)\to\mathbb K$
에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $\textstyle\int_a^\infty f(x)\mathrm dx$ 는 수렴한다.
* 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 실수 $M>a$ 가 존재한다.
** 임의의 $x,y>M$ 에 대하여, $\textstyle\left|{\int_x^yf(t)\mathrm dt}\right|<\epsilon$