일반화 다각형

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 페이트-히그만 정리
- 3.2. 헤머스-루스 부등식
4. 예시
5. 반유한 일반화 다각형
6. 조합론적 응용
7. 역사
참조

1. 개요

일반화 다각형은 결합 구조의 일종으로, 임의의 n각형을 일반화한 개념이다. 준선형 공간이며, 특정 m각형을 부분 구조로 갖지 않고, 적어도 하나의 n각형을 부분 구조로 갖는 조건을 만족한다. 일반화 다각형은 점과 선으로 구성된 이분 그래프로 표현할 수 있으며, 차수 (s, t)를 가질 수 있다. 페이트-히그만 정리에 의해, 유한 일반화 n각형은 n이 2, 3, 4, 6, 8일 때만 존재하며, 각 n에 해당하는 일반화 이각형, 삼각형, 사각형, 육각형, 팔각형이 있다. 일반화 다각형은 리 군, 케이지, 익스팬더 그래프 등과 관련 있으며, 조합론적 문제 해결에 활용된다. 자크 티츠가 반단순 리 군 연구를 위해 1959년 도입했다.

더 읽어볼만한 페이지

결합기하학 - 베주 정리
베주 정리는 대수적으로 닫힌 체 위에서 정의된 사영 공간 또는 아핀 공간 내 초곡면들의 교차점을 다루는 대수기하학의 중요한 정리이며, 교차점의 개수는 각 초곡면의 차수의 곱과 같다는 내용을 담고 있고, 오류 정정 부호 설계, 타원 곡선 암호 등 다양한 분야에 응용된다.
결합기하학 - 사영 평면
사영 평면은 점, 선, 사건으로 구성되며 평행선이 없고, 차수를 가지며, 유한 또는 무한할 수 있고, 다양한 방법으로 구성되며, 여러 종류가 존재하고, 평면 쌍대성 등의 개념으로 연구된다.
군론 - 점군
점군은 도형의 병진 조작을 제외한 대칭 조작들의 집합으로 군론의 공리를 만족하며, 쉐인플리스 기호나 허먼-모건 기호로 표기되고, 대칭 조작에 대응하는 행렬 표현은 가약 표현과 기약 표현으로 분해될 수 있다.
군론 - 파울리 행렬
파울리 행렬은 양자역학에서 스핀을 나타내는 데 사용되는 에르미트 행렬이자 유니타리 행렬로, 행렬식은 -1이고 대각합은 0이며, 리 대수의 생성원이자 파울리 벡터로 정의되어 다양한 물리학 분야에서 활용된다.

일반화 다각형
일반화 다각형
정의
유형	조합론적 구조
수학 분야	기하학 조합론
속성
꼭짓점 당 변의 수	s
변 당 꼭짓점의 수	t
계수	n
블록	n-곤
점	일반화된 n-곤의 꼭짓점
관련 구조
관련 구조	브루핫-티츠 건물 폴라 공간 일반화 사각형 일반화 육각형
일반적인 속성
점-선형 공간	참
정칙 그래프	참
2중 정칙 그래프	참
다른 이름
다른 이름	티츠 다각형

2. 정의

일반화 다각형은 점과 선, 그리고 그들의 연결 관계로 이루어진 구조로, 특정 조건을 만족해야 한다.

일반화 다각형은 점 집합 ''P'', 선 집합 ''L'', 그리고 연결 관계 ''I'' ( $I\subseteq P\times L$ )의 세 묶음 (결합 구조)(''P'',''L'',''I'')으로 표현할 수 있다. '''결합 그래프'''라고 불리는 이분 그래프를 사용하여 나타낼 수 있는데, 이 그래프의 꼭짓점 집합은 ''P'' ∪ ''L''이고, 변 집합은 점과 선의 연결 관계를 포함한다.

결합 그래프의 내경은 그 지름(''n''으로 표현)의 두 배이다. 이는 "점과 선의 쌍을 모두 포함하는 일반적인 ''n''-각형이 존재하고, 그것들을 모두 포함하는 일반적인 ''k''-각형 (''k'' < ''n'')은 존재하지 않는다"는 형태로 나타내기도 한다. 지름을 명시할 때는 지름 ''n''의 일반화 다각형을 '''일반화 ''n''-각형'''이라고 부르며, 작은 ''n''에 대해서는 일반적인 다각형의 경우에 사용하는 별칭을 그대로 사용하기도 한다.

2. 1. 기본 정의

임의의

n\ge3

에 대하여, '''일반화

n

각형'''(generalized

n

-gon^영어)은 다음 조건들을 모두 만족시키는 결합 구조이다.

준선형 공간이다. 즉,
* 임의의 서로 다른 두 점에 대하여 이와 결합하는 직선이 존재한다.
* 모든 직선은 두 개 이상의 점과 결합한다.
$2\le m 에 대하여, m 각형을 부분 구조로 갖지 않는다.$
적어도 하나 이상의 $n$ 각형을 부분 구조로 갖는다. 또한, 다음이 성립한다.
* 임의의 두 점 $x,y$ 에 대하여, $x$ 와 $y$ 를 꼭짓점으로 갖는 $n$ 각형이 존재한다.
* 임의의 두 직선 $l,m$ 에 대하여, $l$ 과 $m$ 을 변으로 갖는 $n$ 각형이 존재한다.
* 임의의 점 $x$ 과 직선 $l$ 에 대하여, $x$ 를 꼭짓점으로, $l$ 을 변으로 갖는 $n$ 각형이 존재한다.

이러한 조건은 점 집합과 선 집합을 연결하는 이분 그래프 ''사건 그래프''를 이용하여 표현할 수 있다.

사건 그래프의 둘레는 사건 그래프의 지름 ''n''의 두 배이다.

일반화 다각형은 다음과 같은 경우 차수 ''(s,t)''를 가진다.

모든 선은 정확히 ''s'' + 1개의 점을 포함한다.
모든 점은 정확히 ''t'' + 1개의 선에 놓인다.

모든 점(선)이 최소 3개의 선(점)에 연결되는 경우 일반화된 다각형은 두껍다고 한다. 모든 두꺼운 일반화된 다각형은 차수를 갖는다.

2. 2. 차수

일반화 다각형은 각 점과 선에 연결된 선과 점의 개수에 따라 차수 (''s'', ''t'')를 가진다.Order|오더^영어

모든 선은 정확히 ''s'' + 1개의 점을 포함한다.
모든 점은 정확히 ''t'' + 1개의 선 위에 있다.

모든 점(또는 선)이 최소 3개 이상의 선(또는 점)에 연결될 때, 일반화 다각형은 "두껍다"고 불린다. 모든 두꺼운 일반화 다각형은 차수를 갖는다.

2. 3. 쌍대성

일반화

n

각형의 결합 구조에서 점과 선의 역할을 바꾸어도 여전히 일반화

n

각형이 되며, 이를 쌍대 일반화 다각형이라고 한다.

3. 성질

일반화 다각형의 연결 그래프는 특정 조건을 만족하는 무어 그래프이다. 월터 페이트와 그레이엄 하이먼이 제시한 페이트-히그만 정리에 의해 유한 일반화 다각형의 존재 조건이 제한된다.

3. 1. 페이트-히그만 정리

월터 페이트와 그레이엄 하이먼은 ''s'' ≥ 2, ''t'' ≥ 2 인 경우, 유한 일반화 ''n''-각형(order) (''s'', ''t'')이 다음 ''n''의 값에 대해서만 존재할 수 있음을 증명했다.

: 2, 3, 4, 6 또는 8.

이 값에 대한 일반화 n각형은 일반화 이각형, 삼각형, 사각형, 육각형 및 팔각형이라고 한다. 페이트-히그만(Feit-Higman) 결과는 Kilmoyer와 Solomon이 다른 방식으로 증명했다.

페이트-히그만 정리를 Haemers-Roos 부등식과 결합하면 다음과 같은 제한 사항이 얻어진다.

''n'' = 2 이면, incidence graph는 완전 이분 그래프이며 "s", "t"는 임의의 정수가 될 수 있다.
''n'' = 3 이면, 구조는 유한 사영 평면이며, ''s'' = ''t''이다.
''n'' = 4 이면, 구조는 유한 일반화 사변형이며, ''t''^1/2 ≤ ''s'' ≤ ''t''²이다.
''n'' = 6 이면, ''st''는 제곱수이며, ''t''^1/3 ≤ ''s'' ≤ ''t''³이다.
''n'' = 8 이면, ''2st''는 제곱수이며, ''t''^1/2 ≤ ''s'' ≤ ''t''²이다.
''s'' 또는 ''t''가 1이 허용되고 구조가 일반적인 ''n''-각형이 아닌 경우, 이미 나열된 ''n''의 값 외에 ''n'' = 12가 가능할 수 있다.

''s'', ''t'' > 1인 알려진 모든 유한 일반화 육각형의 order (''s'', ''t'')은 다음과 같다.

(''q'', ''q''): 분할 케일리 육각형과 이중 육각형,
(''q''³, ''q''): 뒤틀린 삼위일체 육각형, 또는
(''q'', ''q''³): 이중 뒤틀린 삼위일체 육각형,

여기서 ''q''는 소수의 거듭제곱이다.

''s'', ''t'' > 1인 알려진 모든 유한 일반화 팔각형의 order (''s'', ''t'')은 다음과 같다.

(''q'', ''q''²): Ree-Tits 팔각형 또는
(''q''², ''q''): 이중 Ree-Tits 팔각형,

여기서 ''q''는 2의 홀수 거듭제곱이다.

3. 2. 헤머스-루스 부등식

월터 페이트와 그레이엄 하이먼의 페이트-히그만 정리를 헤머스-루스 부등식과 결합하면 다음과 같은 제한 사항이 얻어진다.

''n'' = 2 이면, 인시던스 그래프는 완전 이분 그래프이며 "s", "t"는 임의의 정수가 될 수 있다.
''n'' = 3 이면, 구조는 유한 사영 평면이며, ''s'' = ''t''이다.
''n'' = 4 이면, 구조는 유한 일반화 사변형이며, ''t''^1/2 ≤ ''s'' ≤ ''t''²이다.
''n'' = 6 이면, ''st''는 제곱수이며, ''t''^1/3 ≤ ''s'' ≤ ''t''³이다.
''n'' = 8 이면, ''2st''는 제곱수이며, ''t''^1/2 ≤ ''s'' ≤ ''t''²이다.
''s'' 또는 ''t''가 1이 허용되고 구조가 일반적인 ''n''-각형이 아닌 경우, 이미 나열된 ''n''의 값 외에 ''n'' = 12가 가능할 수 있다.

4. 예시

일반화 다각형의 예시는 다음과 같다.

'''일반화 이각형''': 모든 점이 모든 직선과 인접하고, 둘 이상의 점과 직선이 존재하는 인접 구조이다. 연결 그래프는 완전 이분 그래프이다.
'''일반화 삼각형''': 사영 평면과 같다.
'''일반화 사각형''': 랭크 2의 리 군 타입에서 ''n''이 4일 때 관련된 일반화된 사각형이 존재한다.
'''일반화 다각형''': 순환 그래프를 구성하는 결합 구조는 일반화 다각형을 이룬다.
'''리 군과의 관계''': 계수 2의 리 군에 대해 관련된 일반화된 다각형이 존재한다.

4. 1. 일반화 이각형

일반화 이각형은 다음 조건을 만족시키는 인접 구조이다.

모든 점은 모든 직선과 인접한다.
둘 이상의 점이 존재한다.
둘 이상의 직선이 존재한다.

일반화된 이각형의 연결 그래프는 완전 이분 그래프 K_{''s''+1,''t''+1}이다.

4. 2. 일반화 삼각형

일반화 삼각형은 사영 평면과 동치인 개념이다.

4. 3. 일반화 사각형

랭크 2의 리 군 타입 ''G''에서 ''n''이 4일 때, ''G''가 ''X''의 깃발 집합에 대해 추이적으로 작용하는 관련된 일반화된 사각형 ''X''가 존재한다.

4. 4. 다각형

어떤 순환 그래프를 구성하는 결합 구조는 일반화 다각형을 이룬다. 모든 자연수 ''n'' ≥ 3에 대해, 일반적인 다각형의 경계를 ''n''개의 변으로 고려한다. 다각형의 꼭짓점을 점으로, 변을 선으로 선언하고, 집합 포함 관계를 연결 관계로 한다. 이것은 ''s'' = ''t'' = 1인 일반화된 ''n''각 도형을 만든다. ''n'' ≥ 3이 되는 자연수에 대해, 일반적인 ''n''변의 다각형을 취하고, 다각형의 정점을 점으로, 변을 직선으로, 일반적인 연결 관계를 갖춘 기하학을 생각하면, 그것은 ''s'' = ''t'' = 1이 되는 일반화 ''n''각형을 제공한다.

4. 5. 리 군과의 관계

랭크 2의 각 리 군 타입 ''G''에 대해, ''n''이 3, 4, 6 또는 8일 때 ''G''가 ''X''의 깃발 집합에 대해 추이적으로 작용하는 관련된 일반화된 ''n''각형 ''X''가 존재한다. 유한한 경우, ''n=6''이면 ''G''₂(''q'')의 차수 (''q'', ''q'')인 분할 케일리 육각형과 ³''D''₄(''q''³)의 차수 (''q''³, ''q'')인 꼬인 삼중성 육각형을 얻는다. ''n''=8''이면 ²''F''₄(''q'')에 대해 ''q'' = 2^2''n''+1인 차수 (''q'', ''q''²)의 리-티츠 팔각형을 얻는다. 쌍대성을 고려하면, 이들은 유일하게 알려진 두꺼운 유한 일반화 육각형 또는 팔각형이다.

5. 반유한 일반화 다각형

''s''와 ''t'' 중 하나는 유한하고(1보다 큼) 다른 하나는 무한한 일반화 다각형이 존재하는지는 알려져 있지 않다. 이러한 경우를 '반유한'이라고 부른다. 피터 캐머런은 각 선에 세 점이 있는 반유한 일반화 사변형은 존재하지 않음을 증명했고, 안드리스 브라우어와 빌 칸토어는 독립적으로 각 선에 네 점이 있는 경우를 증명했다. 각 선에 다섯 점이 있는 경우는 G. 체린이 모형 이론을 사용하여 존재하지 않음을 증명했다.^[1] 각 선에 세 점이 있는 가장 작은 경우조차 일반화 육각형 또는 팔각형에 대한 추가 가정을 하지 않고는 그러한 결과가 알려져 있지 않다.

6. 조합론적 응용

일반화 다각형의 발생 그래프는 중요한 속성을 가진다. 예를 들어 차수가 ''(s,s)''인 모든 일반화 ''n''각형은 ''(s+1,2n)'' 케이지이다. 또한 좋은 확장 속성을 가지므로 익스팬더 그래프와 관련이 있다.^[2] 일반화 다각형으로부터 여러 종류의 극단적인 익스팬더 그래프를 얻을 수 있다.^[3] 램지 이론에서 일반화 다각형을 사용하여 구성된 그래프는 비대각 램지 수에 대한 가장 잘 알려진 구성적 하한을 제공한다.^[4]

7. 역사

일반화 다각형의 개념은 자크 티츠가 반단순 리 군을 연구하기 위하여 1959년에 도입하였다.

참조

_[1] 논문 Locally finite generalized quadrangles with at most five points per line
_[2] 논문 Explicit Concentrators from Generalized N-Gons
_[3] 간행물 Linear programming bounds for regular graphs
_[4] 논문 Some constructive bounds on Ramsey numbers

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com