베주 정리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 평면 곡선
- 2.2. 일반적인 경우
3. 증명
4. 예시
5. 교차수 (Multiplicity)
6. 역사
7. 아핀(Affine)의 경우
참조

1. 개요

베주 정리는 대수적으로 닫힌 체에서 정의된 대수 곡선들의 교차점에 대한 정리이다. 이 정리에 따르면, 두 개의 서로 다른 기약 대수 곡선의 교차수(중복도 포함)는 각 곡선의 차수의 곱과 같으며, 더 일반적으로는 n개의 초곡면의 교차수(중복도 포함)는 각 초곡면을 정의하는 다항식 차수의 곱과 같다. 이 정리는 평면 곡선, 고차원 공간, 아핀 공간 등 다양한 경우에 적용되며, 교차 중복도의 개념을 통해 정확한 교차점의 개수를 계산할 수 있다. 베주 정리는 아이작 뉴턴에 의해 사실상 증명되었으며, 에티엔 베주에 의해 일반화되었고, 20세기에 들어와서 중복도 개념이 정립되면서 엄밀한 증명이 이루어졌다.

2. 정의

대수적으로 닫힌 체에서 정의되며, 사영 공간 속의 대수 곡선 또는 초곡면들의 교차수에 관한 정리이다.

$k$ 가 대수적으로 닫힌 체이고, $X$ 와 $Y$ 가 $k$ 에 대한 2차원 사영 공간 속에 존재하는, 서로 다른 기약(irreducible) 대수 곡선이라면, $X$ 와 $Y$ 의 중복도를 고려한 교차수는 $X$ 의 차수와 $Y$ 의 차수의 곱과 같다.

보다 일반적으로, $p_1,\dots,p_n$ 이 $n+1$ 개의 변수를 가지는 동차다항식일 때, $p_i^{-1}(0)\subset P_k^n$ 은 $n$ 차원 사영 공간 속의 $n-1$ 차원 초곡면을 정의한다. 이들의 (중복도를 고려한) 교차수는 $p_i$ 들의 차수의 곱과 같다.

: $i(p_1,p_2,\dots,p_n)=\prod_i\deg p_i$ ^[1]

"''X''와 ''Y''가 공통 성분을 갖지 않는다"는 가정은 "''X''와 ''Y''가 공유하는 점이 유한 개이다"라고 바꿔 말할 수도 있다. 예를 들어, ''X''와 ''Y''의 정의 다항식이 모두 기약 다항식이며 서로 다르다면, 이 가정을 충분히 만족한다.^[1]

2. 1. 평면 곡선

대수적으로 닫힌 체

k

에 대한 2차원 사영 공간에서 서로 다른 기약(irreducible) 대수 곡선

X

와

Y

의 교차수(중복도를 고려한)는

X

의 차수와

Y

의 차수의 곱과 같다.

두 평면 사영 곡선 ''X''와 ''Y''가 체 ''F'' 위에서 정의되고, 공통 성분을 갖지 않는 경우(이 조건은 ''X''와 ''Y''가 양의 차수를 갖는 공통 약수 없이 다항식으로 정의됨을 의미한다), ''F''를 포함하는 대수적으로 닫힌 체 ''E''의 좌표를 갖는 ''X''와 ''Y''의 교차점의 총 개수는, 중복도를 고려하여, ''X''와 ''Y''의 차수의 곱과 같다.

''X''와 ''Y''를 체 ''F'' 위의 사영 평면 ''FP''₂에 있는 두 곡선으로, 공통 성분을 갖지 않는다고 하자. ''X''와 ''Y''는 ''F''의 대수적 폐포 ''E'' 위의 사영 평면 ''EP''₂에 있는 곡선으로 자연스럽게 볼 수 있다. ''X''와 ''Y''의 ''EP''₂에서의 교점의 총 개수는 중복도를 포함하면, ''X''의 차수와 ''Y''의 차수의 곱과 같다.

"''X''와 ''Y''가 공통 성분을 갖지 않는다"는 가정은 "''X''와 ''Y''가 공유하는 점이 유한 개이다"라고 바꿔 말할 수도 있다. 예를 들어, ''X''와 ''Y''의 정의 다항식이 모두 기약 다항식이며 서로 다르다면, 이 가정을 충분히 만족한다.

2. 2. 일반적인 경우

k^영어가 대수적으로 닫힌 체이고,

p_1,\dots,p_n

이

n+1

개의 변수를 가지는 동차다항식이라고 하자. 그렇다면

p_i^{-1}(0)\subset P_k^n

은

n

차원 사영 공간 속의

n-1

차원 초곡면을 정의한다. 이들의 (중복도를 고려한) 교차수는

p_i

들의 차수의 곱과 같다.

:

i(p_1,p_2,\dots,p_n)=\prod_i\deg p_i

고차원에서의 일반화는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

대수적으로 닫힌 체 위에서, 차원이 ''n''인 사영 공간에 ''n''개의 사영 초곡면이 주어져 있고, 이 초곡면들은

d_1, \ldots,d_n

차수를 갖는 ''n'' + 1개의 변수에 대한 ''n''개의 동차 다항식에 의해 정의된다. 그러면 교차점의 개수가 무한하거나, 중복도를 고려한 교차점의 개수가

d_1 \cdots d_n

과 같다. 만약 초곡면들이 상대적으로 일반 위치에 있다면,

d_1 \cdots d_n

개의 교차점이 있으며, 모두 중복도 1을 갖는다.

이 정리에 대한 다양한 증명이 있는데, 순수하게 대수적인 용어로 표현되거나, 대수 기하학의 언어를 사용한다.

베주 정리는 소위 다중 동차 베주 정리로 일반화되었다.

3. 증명

베주 정리의 증명은 여러 가지 방법으로 이루어질 수 있다.

x, y에 관한 방정식을 동차좌표로 쓰면 다음과 같다.

: $a_0z^m + a_1z^{m-1} + \dots + a_{m-1}z + a_m = 0.$

: $b_0z^n + b_1z^{n-1} + \dots + b_{n-1}z + b_n = 0.$

여기서 a_i와 b_i는 x와 y에 대해 차수가 i인 동차다항식이다.

x와 y의 교차점은 연립 방정식의 해에 대응된다. m=4와 n=3인 경우 실베스터 행렬은 다음과 같다.

: $S=\begin{pmatrix}a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & 0 & 0 \\0 & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & 0 \\0 & 0 & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0 & 0 & 0 \\0 & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0 & 0 \\0 & 0 & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0 \\0 & 0 & 0 & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \\\end{pmatrix}$

2차 다항식의 종결식으로 불리는 S의 행렬식 $\det S$ 는 Z에서 공통해를 가질 때 0이다. $\det S$ 의 항들의 차수는 항상 mn이다. 따라서 $\det S$ 는 x와 y에 대해 차수가 mn인 동차다항식이다. 대수학의 기본 정리에 의해, |S|는 많아야 mn개의 선형 인자로 인수분해 될 수 있다. 따라서 최대 mn개의 해를 갖는다.^[1]

3. 1. 종결식(Resultant) 이용 (평면 곡선의 경우)

''x'', ''y''에 관한 방정식을 동차좌표로 쓰면 다음과 같다.

:

a_0z^m + a_1z^{m-1} + \dots + a_{m-1}z + a_m = 0.

:

b_0z^n + b_1z^{n-1} + \dots + b_{n-1}z + b_n = 0.

여기서 a_i와 b_i는 ''x''와 ''y''에 대해 차수가 ''i''인 동차다항식이다.

''x''와 ''y''의 교차점은 연립 방정식의 해에 대응된다. ''m''=4와 ''n''=3인 경우, 실베스터 행렬은 다음과 같다.

:

S=\begin{pmatrix}a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & 0   & 0 \\0   & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & 0 \\0   & 0   & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0   & 0   & 0 \\0   & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0   & 0 \\0   & 0   & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0 \\0   & 0   & 0   & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \\\end{pmatrix}

이때 2차 다항식의 종결식으로 불리는

S

의 행렬식

\det S

는 Z에서 공통해를 가질 때 0이다.

\det S

의 항들의 차수는 항상

mn

이므로,

\det S

는 ''x''와 ''y''에 대해 차수가 ''mn''인 동차다항식이다. 대수학의 기본 정리에 의해, |S|는 많아야 ''mn''개의 선형 인자로 인수분해 될 수 있다. 따라서 최대

mn

개의 해를 갖는다.

차수가 각각 ''p''와 ''q''인 불확정변수 ''x'', ''y'', ''t''에 대한 두 개의 동차 다항식을 ''P''와 ''Q''라 하자. 이들의 영점은 두 사영 곡선의 동차 좌표이다. 따라서 교차점의 동차 좌표는 ''P''와 ''Q''의 공통 영점이다.

하나의 불확정변수(예: ''y'')의 거듭제곱을 모으면, 계수가 ''x''와 ''t''에 대한 동차 다항식인 일변수 다항식이 얻어진다.

''P''와 ''Q''의 ''y''에 대한 차수가 전체 차수(''p''와 ''q'')와 같도록 하고, 두 교차점을 지나는 각 선이 점 (0, 1, 0)을 지나지 않도록 좌표 변환을 해야 한다. (이는 두 점이 같은 데카르트 ''x''-좌표를 갖지 않는다는 것을 의미한다.)

''y''에 대한 ''P''와 ''Q''의 결합자 ''R''(''x'' ,''t'')는 ''x''와 ''t''에 대한 동차 다항식이며, 다음 속성을 갖는다.

R(\alpha,\tau)=0

(

(\alpha, \tau)\ne (0,0)

) 이면,

\beta

가 존재하여

(\alpha, \beta, \tau)

가 ''P''와 ''Q''의 공통 영점이 된다. 위의 기술적 조건은

\beta

가 고유함을 보장한다. 또한 결합자의 정의에 사용된 차수가 ''p''와 ''q''이므로, ''R''의 차수는 ''pq''이다.

''R''은 두 개의 불확정변수에 대한 동차 다항식이므로, 대수학의 기본 정리에 의해 ''R''은 ''pq''개의 선형 다항식의 곱으로 표현된다. ''P''와 ''Q''의 공통 영점의 중복도를 곱에서 해당 인수의 발생 횟수로 정의하면, 베주 정리가 증명된다.

교차 중복도가 변형의 관점에서 정의와 같음을 증명하려면, 결합자와 그 선형 인수가 ''P''와 ''Q''의 계수에 대한 연속 함수임을 언급하는 것으로 충분하다.

3. 2. U-종결식(U-resultant) 이용

U^영어-종결식은 20세기 초 프랜시스 소워비 매컬리가 소개한 다변수 결합자(매컬리의 결합자라고도 함)의 특수한 경우이다.^[1] n+1개의 변수

x_0, \ldots, x_n

에서 n개의 동차 다항식

f_1,\ldots,f_n

이 주어지면, U^영어-종결식은

f_1,\ldots,f_n

과

U_0x_0+\cdots +U_nx_n

의 결합자이며, 여기서 계수

U_0, \ldots, U_n

은 보조 변수이다.^[1] U^영어-종결식은

U_0, \ldots, U_n

의 동차 다항식이며, 차수는

f_i.

의 차수의 곱이다.^[1]

다변수 다항식은 일반적으로 기약 다항식이지만, U^영어-종결식은

f_i

의 계수를 포함하는 대수적으로 닫힌 체에서

U_i

에 대해 선형인 다항식으로 인수분해될 수 있다.^[1] 이러한 선형 인수는 다음과 같은 방식으로

f_i

의 공통 영점에 해당한다.^[1] 각 공통 영점

(\alpha_0, \ldots, \alpha_n)

에 선형 인수

(\alpha_0 U_0 + \cdots + \alpha_n U_n)

가 해당하고, 그 반대도 성립한다.^[1]

이것은 공통 영점의 중복도를 U^영어-종결자의 해당 선형 인수의 중복도로 정의하면 베주의 정리를 증명한다.^[1] 앞의 증명과 마찬가지로, 이 중복도와 변형에 의한 정의의 동일성은

f_i

의 계수의 함수로서 U^영어-결합자의 연속성에서 비롯된다.^[1]

베주의 정리에 대한 이러한 증명은 현대의 엄밀성 기준을 충족하는 가장 오래된 증명으로 보인다.^[1]

3. 3. 아이디얼(Ideal)의 차수 이용

x, y에 관한 방정식을 동차좌표로 쓰면 다음과 같다.^[1]

:

a_0z^m + a_1z^{m-1} + \dots + a_{m-1}z + a_m = 0.

:

b_0z^n + b_1z^{n-1} + \dots + b_{n-1}z + b_n = 0.

a|a^영어와 b|b^영어는 x와 y에 대해 차수가 i인 동차다항식이다.

x와 y의 교차점은 연립 방정식의 해에 대응된다. 실베스터 행렬에서 m=4, n=3인 경우, 다음과 같다.^[1]

:

S=\begin{pmatrix}a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & 0   & 0 \\0   & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & 0 \\0   & 0   & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0   & 0   & 0 \\0   & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0   & 0 \\0   & 0   & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0 \\0   & 0   & 0   & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \\\end{pmatrix}

2차 다항식의 종결식으로 불리는

S

의 행렬식

\det S

는 Z에서 공통해를 가질 때 0이다.

\det S

항들의 차수는 항상

mn

이다. 따라서

\det S

는 x와 y에 대해 차수가 mn인 동차다항식이다. 대수학의 기본 정리에 의해, |S|는 많아야 mn개의 선형 인자로 인수분해 될 수 있다. 따라서 최대

mn

개의 해를 갖는다.^[1]

베주 정리는 다음 정리를 사용하여 다항식의 개수에 대한 귀납법으로 증명할 수 있다.^[1]

: ''를 사영 대수 집합이고 차원이

\delta

이며, 차수가

d_1

인 집합, 그리고 를 차수가

d_2

인 초곡면(단일 다항식으로 정의됨)이라 하자. 이 때, 는 의 어떠한 기약 성분도 포함하지 않는다. 이러한 가정 하에서, 와 의 교집합은 차원이

\delta-1

이고 차수는

d_1d_2

이다.''^[1]

힐베르트 급수를 이용한 (개략적인) 증명은 사영 다양체의 차수와 베주 정리를 참조하라.

이 정리는 베주 정리의 개념적으로 간단한 증명을 가능하게 할 뿐만 아니라, 교차 이론에 매우 중요하다. 왜냐하면 이 이론은 기본적으로 위의 정리의 가정이 적용되지 않을 때 교차 중복성을 연구하는 데 전념하기 때문이다.^[1]

4. 예시

1차 대수 곡선은 직선이므로, 두 직선의 교차수는 1이다. 두 직선이 평행하다면, 이 교차점은 사영 공간에서 무한대에 위치한다.
n차 곡선과 직선의 교차수는 $n$ 이다. 이는 n차 곡선이 대수학의 기본 정리를 따르기 때문이다.
2차 대수 곡선은 원뿔 곡선이므로, 두 원뿔 곡선의 교차수는 4이다. 일부 교차점은 중복도가 2 이상일 수 있다.^[1]

4. 1. 두 직선

두 개의 서로 다른 직선은 평행하지 않다면 정확히 1점에서 교차한다. 평행하다면, 무한 원점에서 정확히 1번 교차한다.^[1] 예를 들어, 두 직선 ''x'' + 2''y'' = 3 과 ''x'' + 2''y'' = 5 를 제차 다항식 ''x'' + 2''y'' - 3''z'' = 0 과 ''x'' + 2''y'' - 5''z'' = 0 으로 정의하면, 연립 방정식으로 ''x'' = -2''y'', ''z'' = 0 을 얻는다. 따라서, 두 직선의 교점은 동차 좌표로 [-2 : 1 : 0] 으로 주어지며, ''z'' 좌표가 0이므로 무한 원점 직선상의 1점이다.^[1]

n차 곡선과 직선의 교차수는 n이다. 예를 들어 포물선 ''y'' - ''x''² = 0 의 차수는 2이고, 직선 ''y'' - ''ax'' = 0 의 차수는 1이므로, 정리에 따르면 둘은 정확히 2점에서 교차한다. ''a'' = 0 인 경우 원점에서 접하며, 여기서 2번 교차한다고 해석한다.^[1]

4. 2. 직선과 곡선

n차 곡선과 직선의 교차수는 n이다. 이는 n차 곡선이 대수학의 기본 정리를 따르기 때문이다. 예를 들어, y=x²인 차수가 2인 포물선과, y=ax인 차수가 1인 직선은 a≠0일 때 정확히 두 점에서 만나고, a=0일 때 중복도가 2인 원점에서 만난다.^[1]

원의 방정식이 (x-a)²+(y-b)² = r² 로 주어지면, 그 동차화는 (x-az)²+(y-bz)² = r²z²이다. 따라서, 임의의 원은 무한 원점 직선과 두 점 [1 : ''i'' : 0], [1 : -''i'' : 0] 에서 교차한다. 실수 평면상에서 교점을 갖지 않는 경우, 이 두 점에 더하여 두 점의 복소수 점에서 교차한다.^[1]

쌍곡선의 경우, 두 개의 점근선 방향에 대응하는 점에서 교차한다. 타원의 경우, 무한 원점 직선과의 두 교점은 서로 복소 켤레 관계에 있다(예를 들어 원에서는 [1 : ''i'' : 0] 과 [1 : -''i'' : 0] 이었다). 포물선의 경우, 무한 원점 직선과 한 점에서만 교차하지만, 그 점은 접점이어서 두 번 교차한다고 간주된다.^[1]

4. 3. 두 원뿔 곡선

두 원뿔 곡선의 교차수는 4이다. 여기서 일부 교차점은 중복도가 2 이상일 수 있다. 일반적으로 두 개의 원뿔 곡선은 네 점에서 교차하며, 그 중 일부는 일치할 수 있다. 모든 교차점을 제대로 고려하려면 복소 좌표를 허용하고 사영 평면에서 무한선상의 점을 포함해야 할 수 있다.

두 원은 평면에서 두 점 이상에서 교차하지 않지만, 베주 정리는 네 점을 예측한다. 이 불일치는 모든 원이 무한선상의 동일한 두 복소점을 통과한다는 사실에서 비롯된다. 원 $(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$ 을 동차 좌표로 쓰면 $(x-az)^2+(y-bz)^2 - r^2z^2 = 0$ 이 되고, 이를 통해 두 점 (1 : ''i'' : 0)와 (1 : –''i'' : 0)가 모든 원에 놓여 있음을 알 수 있다. 두 원이 실제 평면에서 전혀 만나지 않으면, 다른 두 교차점은 비실수 좌표를 갖거나, 원이 동심원인 경우 무한선상의 정확히 두 점에서 교차하며 교차 중복도는 2이다.
정리에 따르면 모든 원뿔 곡선은 무한선에서 두 점에서 만나야 한다. 쌍곡선은 두 점근선의 두 방향에 해당하는 두 개의 실수점에서 만난다. 타원은 서로 켤레인 두 복소점에서 만나며 원의 경우, 점은 (1 : ''i'' : 0)와 (1 : –''i'' : 0)이다. 포물선은 단 하나의 점에서 만나지만, 접점이고 따라서 두 번 계산된다.
다음 그림은 원이 다른 타원과 교차점이 적은 경우의 예시를 보여준다. 이는 적어도 하나가 1보다 큰 중복도를 갖기 때문이다.

5. 교차수 (Multiplicity)

베주 정리에서 '중복도'는 핵심적인 개념이다. 교차수는 교차의 중복도를 나타내는 양의 정수로, 대수적으로 정의된다. 예를 들어, 두 곡선이 한 점에서 횡단 교차하는 경우 교차수는 1이고, 접하는 경우 교차수는 2 이상이다.^[4]

예를 들어, ''P''가 두 사영 곡선 ''X''와 ''Y'' 모두에서 비특이점이고, ''P''에서 ''X''의 접선과 ''Y''의 접선이 일치하지 않으면, ''P''에서의 교차수는 1이다. 이 경우를 종종 "''X''와 ''Y''는 점 ''P''에서 횡단 교차한다"고 표현한다. 반대로, 접선이 일치하면 교차수는 2 이상이다.^[4]

6. 역사

아이작 뉴턴이 《프린키피아》 1권 6부 보조정리 28을 증명하는 과정에서 사실상 증명하였다.^[2] 에티엔 베주가 1779년 출판한 《대수방정식론》(Théorie générale des équations algébriques^프랑스어)에서 재발견하였다.

평면 곡선의 경우, 1687년 아이작 뉴턴이 그의 저서 《자연철학의 수학적 원리》 제1권 보조정리 28에서 두 곡선이 그 차수의 곱으로 주어진 수의 교차점을 갖는다고 주장했다.

일반적인 정리는 1779년 에티엔 베주의 《대수 방정식의 일반 이론》에 발표되었다. 베주는 방정식을 "완전한" 것으로 가정했는데, 이는 현대 용어로는 일반적인 것을 의미한다. 일반적인 다항식에서는 무한대의 점이 없고, 모든 중복도가 1이므로 베주의 공식은 정확하지만, 그의 증명은 현대적인 엄밀성의 요구 사항을 따르지 않았다. 교차 중복도 개념이 그 당시에는 알려지지 않았다는 사실은 그의 증명이 정확하지도 않고 최초의 증명도 아니라는 의견을 이끌어냈다.^[2]

교차 중복도에 대한 정확한 정의가 필요했기에, 중복도를 포함하는 명제의 증명은 20세기 이전에는 불가능했다. 20세기 전반기에 주어진 중복도의 정의는 연속적이고 무한소의 변형을 포함했다. 따라서 이 기간의 증명은 복소수 체에서만 적용되었다. 1958년에 장-피에르 세르가 순수하게 대수적인 중복도 정의를 제시했고, 이는 임의의 대수적으로 닫힌 체에서 유효한 증명으로 이어졌다.

베주 정리와 관련된 현대 연구는 베른슈타인-쿠시니렌코 정리와 같이 다항식의 다른 속성을 사용하여 다항식 시스템에 대한 다른 상한을 얻거나, 내시 함수와 같이 광범위한 함수로 일반화했다.^[3]

베주의 정리의 특수한 경우, 특히 직선·원뿔 곡선·타원 곡선의 교점에 관해서는 17세기부터 고찰되어 왔다. 콜린 매클로린, 레온하르트 오일러, 가브리엘 크라메르 등이 정리를 주장했지만, 증명은 주어지지 않았다. 베주가 이 정리의 증명을 공표한 것은 1779년에 출판한 《Théorie générale des équations algébriques》에서이다. 그러나 그는 다변수 방정식에 대해 현대적인 대수의 표기법을 몰랐기 때문에, 그 증명은 매우 번잡한 것이었다. 정리가 성립하기 위한 정확한 설정도 하지 않았기 때문에, 현대적으로는 그의 증명은 옳지 않고, 발견법에 속하는 것으로 간주된다.^[4] 1873년의 조르주 앙리 알팡이 처음으로 정확한 증명을 제시한 것으로 여겨지며, 1930년에는 반 데르 바르던이 초등적인 증명을 제시했다.^[5]

7. 아핀(Affine)의 경우

정리의 아핀 케이스는 1983년 데이비드 매서와 기스베르트 뷔스홀츠에 의해 증명되었다.

대수적으로 닫힌 체 위에서 n개의 아핀 초곡면을 생각하자. 이 초곡면들은 n개의 변수를 갖는 n개의 다항식에 의해 정의되며, 그 차수는 $d_1, \ldots,d_n$ 이다. 그러면 교차점의 수가 무한하거나, 교차점의 수를 중복도를 포함하여 계산했을 때 그 수가 $d_1 \cdots d_n$ 의 곱보다 작거나 같다. 만약 초곡면들이 상대적으로 일반적인 위치에 있다면, 정확히 $d_1 \cdots d_n$ 개의 교차점이 존재하며, 모두 중복도 1을 가진다.

이 버전은 일반적인 경우의 직접적인 결과는 아닌데, 그 이유는 아핀 공간에서 유한 개의 교차점을 가질 수 있으며, 무한대에서 무한히 많은 교차점을 가질 수 있기 때문이다.

참조

_[1] 전기 Bezout
_[2] 서적 Complex Algebraic Curves Cambridge University Press
_[3] 논문 Bezout theorem for nash functions 1989
_[4] 문서 Kirwan
_[5] 문서 MathPages

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