일차 부등식

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1. 개요

일차 부등식은 부등호(<, >, ≤, ≥)를 사용하여 두 일차식의 크기를 비교하는 수학적 표현이다. 일차 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나, 양수를 곱하거나 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않지만, 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 바뀐다. 일변수 일차 부등식은 ax > b 또는 ax < b (a, b는 상수) 형태로 나타나며, 이변수 일차 부등식은 ax + by < c 또는 ax + by ≥ c 형태로 표현되고 좌표평면 상에서 반평면으로 해를 나타낼 수 있다. n차원 실수 공간에서는 $a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n < b$ 또는 $a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n \leq b$ 형태로 나타낼 수 있다. 일차 부등식은 다면체, 선형 계획법 등 다양한 분야에 활용되며, 순서환과 순서체로 일반화될 수 있다.

일차 부등식

일반 정보

유형	대수적 부등식
포함	선형 함수

변수 개수

1	수직선
2	좌표 평면

관련 주제	선형 계획법

종류	부등식
변수	변수가 하나인 일차식
그래프	수직선

2. 일차 부등식의 성질

일차 부등식은 기본적인 연산에 대해 다음과 같은 성질을 가지며, 이 성질을 이용하여 부등식의 해를 구할 수 있다.

* 양변에 같은 수를 더하거나 빼어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
* 양변에 같은 양수를 곱하거나 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
* 양변에 같은 음수를 곱하거나 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다.

2.1. 기본 성질

1) 양변에 같은 수를 더하거나 같은 수를 빼어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.

2) 양변에 같은 양수를 곱하거나 같은 양수를 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.

3) 양변에 같은 음수를 곱하거나 같은 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다.

3. 일차 부등식의 형태

$x$ 에 대한 일차 부등식의 일반형은 다음과 같다.

: $ax>b$
: $ax (단, a, b 는 상수 이다.)$

3.1. 일변수 일차 부등식

일변수 일차 부등식은 미지수 x에 대한 일차식으로 표현되며, 일반형은 다음과 같다.

: ax > b
: ax < b (단, a, b는 상수이다.)

다음은 일차 부등식의 예시이다.

* $\frac{x-3}{6} > \frac{7x+2}{9}$
* $1.2x - 0.6 > x$

3.2. 이변수 일차 부등식

선형 부등식의 그래프: x + 3y — 선형 부등식의 그래프:
x + 3y < 9

이변수 일차 부등식은 두 변수를 포함하며, 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.
:ax + by < c^영어 또는 ax + by ≥ c^영어
여기서 부등호는 한쪽만 만족하거나 양쪽 모두 만족할 수 있다. 이러한 부등식의 해는 유클리드 평면에서 반평면(특정 선의 한쪽에 있는 모든 점)으로 나타낼 수 있다. 부등식이 한쪽만 만족하는 경우(엄격한 부등식), 반평면을 결정하는 선(ax + by = c)은 해에 포함되지 않는다. 해가 되는 반평면을 찾으려면, 선 위에 있지 않은 점(x₀, y₀)에서 ax + by의 값을 계산하여 부등식이 만족되는지 확인한다.

예를 들어, x + 3y < 9의 해를 구하기 위해, 먼저 x + 3y = 9를 점선으로 그린다. 점선은 부등식이 엄격하여 선이 해에 포함되지 않음을 의미한다. 다음으로, 선 위에 없는 점 (0,0)을 선택한다. 0 + 3(0) = 0 < 9 이므로, (0,0)은 해에 속한다. 따라서 (0,0)을 포함하는 반평면(선의 "아래쪽")이 이 부등식의 해가 된다.

3.3. 고차원 일차 부등식

n차원 실수 공간(Rⁿ)에서 일차 부등식은 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

: a₁x₁ + a₂x₂ + ⋯ + aₙxₙ < b

또는

: a₁x₁ + a₂x₂ + ⋯ + aₙxₙ ≤ b

여기서 x₁, x₂, ..., xₙ은 미지수이고, a₁, a₂, ..., aₙ, b는 상수이다.

또는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

: a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + ⋯ + aₙxₙ < 0

또는

: a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + ⋯ + aₙxₙ ≤ 0

4. 일차 부등식의 해법

일차 부등식의 해는 부등식을 만족시키는 미지수의 범위를 의미한다.

4.1. 일반적인 해법 (일변수)

$x$ 에 대한 일차 부등식의 일반적인 해법은 다음과 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

$ax>b$	$b \ge 0$	$b<0$
$a>0$	$x>\frac {b}{a}$
$a=0$	해 없음	$x$ 는 모든 실수
$a<0$	$x<\frac {b}{a}$

👆

좌우로 밀어서 보기

$ax$	$b>0$	$b \le 0$
$a>0$	$x<\frac {b}{a}$
$a=0$	$x$ 는 모든 실수	해 없음
$a<0$	$x>\frac {b}{a}$

4.2. 연립 일차 부등식

여러 개의 일차 부등식이 동시에 주어지는 경우, 각 부등식의 해를 구하여 공통 범위를 찾는다.

: $\begin{alignat}{7}a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; \leq \;&&& b_1 \\a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; \leq \;&&& b_2 \\\vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && &&& \;\vdots \\a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; \leq \;&&& b_m \\\end{alignat}$

여기서 $x_1,\ x_2,...,x_n$ 는 미지수이고, $a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}$ 는 연립의 계수이며, $b_1,\ b_2,...,b_m$ 는 상수항이다.

연립 일차 부등식은 행렬 부등식으로 간결하게 나타낼 수 있다.

: $Ax \leq b,$

여기서 A는 m×n 행렬이고, x는 변수로 구성된 n×1 열 벡터이며, b는 상수로 구성된 m×1 열 벡터이다.

위의 연립에서는 엄격한 부등식과 엄격하지 않은 부등식을 모두 사용할 수 있다. 모든 일차 부등식의 연립이 해를 갖는 것은 아니다.

푸리에-모츠킨 소거법을 사용하여 일차 부등식의 연립에서 변수를 소거할 수 있다.

5. 일차 부등식의 활용

일차 부등식은 여러 실생활 문제와 수학적 모델링에 활용된다.

일차 부등식 여러 개의 해집합은 n차원 실수 공간에서 반공간들의 교집합으로 나타낼 수 있으며, 이는 볼록 다면체를 이룬다. 선형 부등식 시스템의 해 집합은 각 부등식에 의해 정의된 반공간들의 교집합이며, 볼록 집합이다.

선형 계획법 문제는 변수에 대한 여러 선형 부등식 제약 조건에 따라 목적 함수를 최적화(최댓값 또는 최솟값 찾기)하는 것을 목표로 한다.

5.1. 다면체

여러 개의 일차 부등식의 해집합은 n차원 실수 공간에서 반공간들의 교집합으로 나타낼 수 있으며, 이는 볼록 다면체를 이룬다. 선형 부등식 시스템의 해 집합은 개별 부등식에 의해 정의된 반공간들의 교집합에 해당하며, 볼록 집합이다. 이는 반공간이 볼록 집합이고 볼록 집합들의 교집합 역시 볼록하기 때문이다. 비퇴화된 경우에 이 볼록 집합은 볼록 다면체(예: 반공간, 두 평행 반공간 사이의 슬래브 또는 다면체 원뿔로, 무한정일 수 있음)이다. 또한, n차원 공간 Rⁿ의 아핀 부분 공간에 국한된, 비어 있거나 더 낮은 차원의 볼록 다면체일 수도 있다.

5.2. 선형 계획법

선형 계획법 문제는 일반적으로 변수에 대한 여러 선형 부등식 제약 조건에 따라 함수(목적 함수)를 최적화(최댓값 또는 최솟값 찾기)하는 것을 목표로 한다. 제약 조건 목록은 선형 부등식 시스템이다.

6. 일반화

일차 부등식의 개념은 덧셈, 곱셈, 비교 연산이 잘 정의되어야 하므로, 순서환, 특히 순서체로 확장될 수 있다.